संभाव्यता सिद्धांत का संक्षिप्त विवरण
पिछले लेखों में, हमने जिस संभावना पर चर्चा की थी, वह बहुत ही बुनियादी स्तर पर थी, प्रायिकता इस बात की जानकारी देने का एक साधन है कि कोई घटना घटित हुई है, शुद्ध गणित में प्रायिकता की अवधारणा को संभाव्यता सिद्धांत के रूप में वर्णित किया गया है जो कि व्यापक रूप से है मुख्य घटनाओं की संभावना खोजने के लिए वास्तविक जीवन के साथ-साथ दर्शन, विज्ञान, जुआ, वित्त, सांख्यिकी और गणित आदि की विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाता है।
संभाव्यता सिद्धांत गणित की वह शाखा है जो यादृच्छिक प्रयोग और उसके परिणाम से संबंधित है, यादृच्छिक प्रयोग के इस तरह के विश्लेषण से निपटने के लिए मुख्य वस्तुएं हैं घटनाएं, यादृच्छिक चर, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं, गैर-निर्धारक घटनाएं आदि।
एक उदाहरण प्रदान करना जब हम एक सिक्का उछालते हैं या मरते हैं तो यह घटना यादृच्छिक है लेकिन जब हम ऐसी परीक्षण संख्या को दोहराते हैं तो इस तरह के परीक्षण या घटना के परिणाम के परिणामस्वरूप एक विशेष सांख्यिकीय व्यवस्था होगी जिसे हम बड़ी संख्या के कानून के माध्यम से अध्ययन करने के बाद भविष्यवाणी कर सकते हैं या केंद्रीय सीमा प्रमेय आदि इसलिए हम इसी तरह उपयोग कर सकते हैं सिद्धांत संभावना मानव की दिन-प्रतिदिन की गतिविधि के लिए, उदाहरण के लिए डेटा के बड़े सेट का मात्रात्मक विश्लेषण द्वारा विश्लेषण किया जा सकता है, उन प्रणालियों की व्याख्या के लिए जिनके लिए हमारे पास अपर्याप्त जानकारी है, हम संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं जैसे सांख्यिकीय यांत्रिकी में जटिल प्रणाली, परमाणु पैमाने की भौतिक घटनाओं के लिए क्वांटम यांत्रिकी में।
वास्तविक जीवन की स्थितियों के साथ-साथ उन अनुप्रयोगों की संख्या भी होती है जहां संभाव्यता की स्थिति होती है, संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग अवधारणा की परिचितता और संभाव्यता सिद्धांत के परिणामों और संबंधों को संभालने के लिए किया जाएगा। निम्नलिखित में हम प्रायिकता सिद्धांत में कुछ शर्तों की मदद से स्थितियों का विभेदन करेंगे।
असतत संभावना
असतत संभावना सिद्धांत यादृच्छिक प्रयोगों का अध्ययन है, जिसमें परिणाम को संख्यात्मक रूप से गिना जा सकता है, इसलिए यहां प्रतिबंध उन घटनाओं को दिया जाता है जो दिए गए नमूना स्थान का गिनने योग्य सबसेट होना चाहिए। इसमें सिक्का या पासा फेंकना, बेतरतीब ढंग से चलना, डेक से कार्ड्स उठाना, बैग्स में बॉल आदि का प्रयोग शामिल है।
निरंतर संभावना
निरंतर संभावना सिद्धांत यादृच्छिक प्रयोगों का अध्ययन है, जिसमें परिणाम निरंतर अंतराल के भीतर होता है, इसलिए यहां प्रतिबंध घटनाओं का है जो नमूना अंतराल के सबसेट के रूप में निरंतर अंतराल के रूप में होना चाहिए।
उपाय-सिद्धांत संबंधी संभावना
माप सिद्धांत संबंधी संभाव्यता सिद्धांत असतत और निरंतर यादृच्छिक परिणामों में से किसी से संबंधित है, और इस स्थिति में अंतर करता है कि किस उपाय का उपयोग किया जाना है। उपाय सिद्धांत संबंधी संभाव्यता सिद्धांत भी संभाव्यता वितरण से संबंधित है जो न तो असतत है और न ही निरंतर और न ही दोनों का मिश्रण है।
इसलिए संभाव्यता का अध्ययन करने के लिए, हमें सबसे पहले यह जानना चाहिए कि यादृच्छिक प्रयोग की प्रकृति क्या है या तो असतत है, निरंतर या दोनों का मिश्रण है या नहीं, इसके आधार पर हम अपनी रणनीतियों को निर्धारित कर सकते हैं कि हमें किस तरीके का अनुसरण करना है। हम एक-एक करके सभी स्थिति पर लगातार चर्चा करेंगे।
प्रयोग
परिणाम या परिणाम उत्पन्न करने वाली किसी भी क्रिया को प्रयोग कहा जाता है। प्रयोग दो प्रकार के होते हैं।
| नियतात्मक प्रयोग | गैर-नियतात्मक प्रयोग (या यादृच्छिक प्रयोग) |
| कोई भी प्रयोग जिसके परिणाम हम कुछ परिस्थितियों में पहले से अनुमान लगा सकते हैं। | कोई भी प्रयोग जिसका परिणाम या परिणाम हम पहले से अनुमान नहीं लगा सकते। |
| उदाहरण के लिए विद्युत के आधार पर विशिष्ट सर्किट में धारा का प्रवाह, बशर्ते कि हम कुछ भौतिक नियमों द्वारा जानते हों। | उदाहरण के लिए एक निष्पक्ष सिक्के को उछालना हमें पता नहीं है कि सिर आएगा या पूंछ जाएगा |
| हमें इस तरह के प्रयोगों के परिणाम के लिए संभाव्यता सिद्धांत की आवश्यकता नहीं है। | हमें इस तरह के प्रयोगों के परिणाम के लिए संभाव्यता सिद्धांत की आवश्यकता है। |
संभाव्यता का सिद्धांत मूल रूप से a के मॉडल पर निर्भर करता है यादृच्छिक प्रयोग, इसका तात्पर्य है एक प्रयोग जिसका परिणाम निश्चितता के साथ अप्रत्याशित है, प्रयोग से पहले। लोग आमतौर पर सोचते हैं कि मौलिक रूप से समान परिस्थितियों में प्रयोग हमेशा के लिए हो सकता है।
यह अनुमान है महत्वपूर्ण है क्योंकि संभाव्यता का सिद्धांत लंबे समय तक अभ्यास से संबंधित है क्योंकि प्रयोग को फिर से बनाया गया है। स्वाभाविक रूप से, एक यादृच्छिक प्रयोग की एक उचित परिभाषा के लिए विशेष रूप से इस बात की सावधानीपूर्वक परिभाषा की आवश्यकता होती है कि प्रयोग के बारे में कौन सी जानकारी दर्ज की जा रही है, जो कि एक का गठन करने वाली सावधानीपूर्वक परिभाषा है। परिणाम।
नमूना जगह
जैसा कि पहले से ही चर्चा की गई नमूना स्पेस कुछ भी नहीं है लेकिन सेट गैर-नियतात्मक या यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणाम हैं। गणितीय विश्लेषण में यादृच्छिक चर जो इस तरह के प्रयोग का परिणाम है, एक्स यानी एक्स द्वारा निरूपित एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन है: ⊆ एस → in जिसे हम बाद में विस्तार से चर्चा करेंगे। यहां हम नमूना स्थान को परिमित के रूप में वर्गीकृत कर सकते हैं या अनंत। अनंत नमूना रिक्त स्थान हो सकते हैं असतत or निरंतर.
| परिमित नमूना स्थान | अनंत असतत नमूना रिक्त स्थान |
| दो अलग-अलग परिणाम के साथ एक सिक्का या कुछ भी फेंकना {एच, टी} | एक सिक्के को बार-बार उछालना जब तक कि पहले सिर से पता न चले कि संभावित परिणाम {H, TH, TTH, TTTH, …………… ”हो सकता है |
| एक मरना फेंकना {1, 2, 3, 4, 5, 6} | 6 आने तक एक मौत को बार-बार फेंकना |
| 52 कार्ड के डेक से एक कार्ड खींचना | एक कार्ड ड्राइंग और रानी आने तक की जगह |
| एक वर्ष से जन्मदिन चुनना {, 1, 2, 3,…, 4}। | लगातार दो ट्रेनों का समय |
घटना
कार्यक्रम जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं कि यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान है, जिसके लिए हम संभावना पर चर्चा कर रहे हैं। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि परिमित नमूना स्थान के लिए नमूना स्थान के पावर सेट में कोई भी ईवेंट है और अनंत के लिए हमें कुछ सबसेट को बाहर करना होगा।
| स्वतंत्र घटनाएं | आश्रित घटनाएँ |
| यदि अन्य घटनाओं के लिए घटनाओं का कोई प्रभाव नहीं है | एक घटना की घटना अन्य घटनाओं को प्रभावित करती है |
| उदाहरण के लिए एक सिक्का उछालना | बिना लौटे एक कार्ड खींचना। |
| घटनाओं की संभावनाएं भी प्रभावित नहीं होती हैं | प्रभावित होने वाली घटनाओं की संभावनाएं |
| P (A (B) = P (A) XP (B) | P (A (B) = P (A) XP (B / A) P (B / A) सशर्त जांच है। B का दिया हुआ A |
अनियमित चर
की समझ अनियमित चर संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। अनियमित चर संभावना की अवधारणा को सामान्यीकृत करने में बहुत मददगार है जो संभावित प्रश्नों को गणितीय गुण प्रदान करता है और माप सिद्धांत का उपयोग यादृच्छिक चर पर आधारित है। रैंडम वैरिएबल जो कि रैंडम प्रयोग का परिणाम है, एक्स यानी एक्स: ए → एस → by द्वारा निरूपित एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन है
| असतत यादृच्छिक चर | सतत यादृच्छिक चर |
| यादृच्छिक प्रयोग के अनगिनत परिणाम | रेंज में यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम |
| एक सिक्का टॉस के लिए, संभावित घटनाएं सिर या पूंछ हैं। इसलिए यादृच्छिक चर मान लेता है: X = 1 यदि सिर और X = 0 यदि पूंछ | शून्य और एक के बीच एक वास्तविक संख्या |
| डाई एक्स = 1,2,3,4,5,6 फेंकने के लिए | यात्रा के समय के लिए X = (3,4) |
एक यादृच्छिक चर को एक अज्ञात मूल्य के रूप में माना जा सकता है जो हर बार निरीक्षण होने पर बदल सकता है। इस प्रकार, एक रैंडम वैरिएबल को फंक्शन मैपिंग के रूप में सोचा जा सकता है नमूना अंतरिक्ष वास्तविक संख्याओं के लिए एक यादृच्छिक प्रक्रिया की।
संभाव्यता वितरण
संभाव्यता वितरण है अपनी संभावना के साथ यादृच्छिक चर के संग्रह के रूप में परिभाषित,
इसलिए स्पष्ट रूप से यादृच्छिक चर की प्रकृति के आधार पर हम इसे वर्गीकृत कर सकते हैं
| असतत संभावना वितरण | निरंतर संभावना वितरण |
| यदि यादृच्छिक चर असतत है तो संभाव्यता वितरण को असतत संभाव्यता वितरण के रूप में जाना जाता है | यदि यादृच्छिक चर निरंतर है तो संभाव्यता वितरण को निरंतर संभाव्यता वितरण के रूप में जाना जाता है |
| उदाहरण के लिए किसी सिक्के को उछालने के लिए दो बार पूंछों को वितरित किया जा सकता है क्योंकि परिणाम टीटी, एचएच, टीएच, एचटी होगा एक्स (पूंछ की संख्या नहीं): 0 1 2 पी (एक्स): 1/4 1/2 1/3 | एक सतत संभाव्यता वितरण एक असतत प्रायिकता वितरण से भिन्न होता है ताकि यादृच्छिक चर ≤ के लिए इसकी संभाव्यता P (X X a) को वक्र के नीचे का क्षेत्र माना जा सके (नीचे दी गई छवि देखें) |
यादृच्छिक चर की संभावना से निपटने के लिए इसी तरह से यादृच्छिक चर की प्रकृति पर निर्भर करता है, इसलिए हम जिन अवधारणाओं का उपयोग कर रहे हैं, वे यादृच्छिक चर की प्रकृति पर निर्भर करेंगे।
निष्कर्ष:
इस लेख में हम मुख्य रूप से प्रायिकता के परिदृश्य पर चर्चा करते हैं कि कैसे हम संभाव्यता और कुछ अवधारणा की तुलनात्मक रूप से कर सकते हैं। मुख्य विषय पर चर्चा करने से पहले यह चर्चा महत्वपूर्ण है ताकि हम जिन समस्याओं से निपटते हैं वे स्पष्ट रूप से पता चलें। निरंतर लेखों में हम यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता से संबंधित हैं और संभाव्यता सिद्धांत से संबंधित कुछ परिचित शब्दों पर हम चर्चा करेंगे, यदि आप आगे पढ़ना चाहते हैं तो यहां से गुजरें:
Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
गणित के अधिक विषयों के लिए कृपया जाँच करें इस पृष्ठ.
