संभाव्यता सिद्धांत | इसका पूरा अवलोकन

सामग्री

  1. यादृच्छिक प्रयोग
  2. नमूना जगह
  3. ट्रेल और ईवेंट
  4. मिश्रित घटनाओं
  5. सटीक घटनाओं
  6. घटनाक्रमों का विस्तृत और विशिष्ट प्रणाली
  7. स्वतंत्रता क्या है?
  8. संभाव्यता से क्या अभिप्राय है 

जोखिम लेने की अवधारणा से संभाव्यता सिद्धांत उभरा। आज बहुत सी जटिलताएँ हैं जो मौका के खेल से आती हैं, जैसे कि फुटबॉल मैच जीतना, ताश खेलना और सिक्का फेंकना या पासा फेंकना। 

प्रायिकता सिद्धांत का उपयोग कई अलग-अलग क्षेत्रों में किया जाता है और की अनुकूलता सिद्धांत संभावना लगभग इतने सारे विभिन्न आवश्यकताओं के लिए उपकरण प्रस्तुत करता है। यहां हम कुछ मूलभूत अवधारणाओं और परिणामों की मदद से संभाव्यता सिद्धांत और कुछ नमूनों पर चर्चा करने जा रहे हैं।

रैंडम विशेषज्ञ:

"यादृच्छिक प्रयोग एक तरह का प्रयोग है जहाँ परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है।"

नमूना अंतरिक्ष: 

प्रयोग से सभी संभावित परिणामों के सेट को नमूना स्थान कहा जाता है, इसे आमतौर पर एस द्वारा निरूपित किया जाता है और सभी टेस्ट आउट को नमूना बिंदु कहा जाता है।
उदा: एक बार में 2 सिक्कों को उछालने के यादृच्छिक प्रयोग के बारे में सोचें। 4 परिणाम हैं, S = {HH, TT, HT, TH} द्वारा निरूपित एक नमूना स्थान है।

ट्रेल और घटना:

नमूना स्थान S के A के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमूह को एक घटना कहा जाता है। सिक्का फेंकने के प्रयोग पर विचार करें। जब हम एक सिक्का फेंकते हैं, तो हम एक सिर (एच) या एक पूंछ (टी) पा सकते हैं। यहां एक सिक्का फेंकना निशान है और एक सिर या पूंछ प्राप्त करना एक घटना है।

मिश्रित सिद्धांत: 

दो या दो से अधिक बुनियादी घटनाओं के संयोजन द्वारा अधिग्रहित घटनाओं को यौगिक घटनाओं या डेकोमोयोग्य घटनाओं कहा जाता है।

सटीक घटनाएँ:

किसी भी निशान के संभव परिणामों की कुल संख्या को संपूर्ण घटना कहा जाता है।

जैसे: एक पासा फेंकने में संभावित परिणाम १ या २ या ३ या ४ या ५ या ६ हैं। इसलिए हमारे पास मरने की कुल ६ घटनाएं हैं।

घटनाक्रमों की विस्तृत और उत्कृष्ट प्रणाली:

S, यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान है, यदि X1, एक्स2, …..एक्सn के सबसेट हैं S और

(i) एक्सi ∩ एक्सj = Φ के लिए ij और (ii) एक्स1 ∪ एक्स2 ………… Xn =S

फिर एक्स का यह संग्रह1∪ एक्स2 ………… Xn घटनाओं की एक परस्पर अनन्य और संपूर्ण प्रणाली बनाने के लिए कहा जाता है।

स्वतंत्रता क्या है?

जब हम अच्छी तरह से समायोजित कार्ड की एक जेब में एक कार्ड बाहर खींचते हैं और दूसरी बात हम कार्ड के बाकी पैकेट (51 कार्ड युक्त) से एक कार्ड भी निकालते हैं, तो दूसरा निकालने वाला पहले पर लटका देता है। लेकिन, अगर दूसरी ओर, हम पहले कार्ड को खींचकर (प्रतिस्थापित) करके दूसरे कार्ड को पैक से बाहर निकालते हैं, तो दूसरे ड्रा को पहले के स्वतंत्र रूप में जाना जाता है।

उदाहरण:  दो सिक्के फेंके गए। बता दें कि पहला सिक्का हेड एक्स इवेंट है और वाई दूसरा सिक्का है जिसे फेंकने के बाद पूंछ दिखाई जा रही है। दो घटनाएँ X और Y मूल रूप से स्वतंत्र हैं।

उदाहरण:   दो उचित पासे खींचे जाते हैं। यदि पहले मरने पर विषम संख्या आती है, तो इसे घटना X मानें और दूसरी मृत्यु को भी संख्या Y मानें।

दो घटना X और Y परस्पर स्वतंत्र हैं।

उदाहरण: एक कार्ड 52 कार्ड के पैक से तैयार किया गया है। अगर A = कार्ड दिल का है, B = कार्ड एक राजा है और एक = बी = कार्ड राजा का दिल है, फिर घटनाओं A और B निर्भर हैं

केस की संख्या: उन मामलों की संख्या जो एक घटना को एक परीक्षण में करने की अनुमति देते हैं, प्राथमिक घटनाओं की कुल संख्या है कि उनमें से किसी का पहलू घटना की घटना को सुनिश्चित करता है।

संभाव्यता से क्या अभिप्राय है 

यदि मनमाने ढंग से प्रदर्शन का परिणाम होता है n असंगत, समान रूप से संभावित और संपूर्ण परिणाम, जिसमें से m एक घटना की घटना के लिए सहमत हैं A, तब होने की संभावना A द्वारा दिया गया है

P (X) = \ frac {m} {n} = \ frac {नंबर \ _ का \ _ परिणाम \ _ अनुकूल \ \ से \ \ X} {नंबर \ का \ _ \ _ कुल \ "परिणामों का}।

संभाव्यता अंकन: P (X) = m / n

दो घटनाओं X और Y के लिए,

(i) एक्स ′ या एक्स  या एक्सC एक्स की गैर-घटना या उपेक्षा के लिए इंगित करता है।

(ii) एक्स ∪ Y का अर्थ है, X और Y में से किसी एक के होने के लिए।

(iii) एक्स ∩ Y का अर्थ X और Y की समवर्ती घटना से है।

(iv) एक्स ′ ∩ Y ∩ का अर्थ है एक और दूसरे X और Y के न होने के लिए।

(v) X indicates Y का अर्थ है "X का होना Y की घटना को दर्शाता है"।

उदाहरण: एक बाल्टी में 6 लाल और 7 काले पत्थर होते हैं। एक लाल रंग के पत्थर को खींचने की संभावना का पता लगाएं। 

हल: कुल सं। 1 मार्बल = 6 + 7 प्राप्त करने के संभावित तरीके

 1 लाल संगमरमर = 6 प्राप्त करने के तरीकों की संख्या 

संभाव्यता = (अनुकूल मामलों की संख्या) / (संपूर्ण मामलों की कुल संख्या) = ६/१३

उदाहरण: 52 कार्ड के पैक से, 1 कार्ड यादृच्छिक रूप से तैयार किया गया है। रानी कार्ड प्राप्त करने की संभावना का पता लगाएं।

समाधान: एक रानी कार्ड को 4 तरीकों से चुना जा सकता है।

 1 रानी कार्ड चुनने के तरीकों की कुल संख्या = 52 

संभाव्यता = अनुकूल मामलों की संख्या / संपूर्ण मामलों की कुल संख्या = 4/52 = 1/13

उदाहरण: फेंकने की संभावना का पता लगाएं:

(a) 4, (b) विषम संख्या, (c) सम संख्या प्राप्त करना 

एक साधारण मृत्यु के साथ (छह का सामना करना पड़ा)। 

उपाय: समस्या पासा समस्या है

a) जब कोई डाई फेंकता है तो 4 पाने का एक ही तरीका है।

संभाव्यता = अनुकूल मामलों की संख्या / संपूर्ण मामलों की संख्या = 1/6

b) विषम संख्या में गिरने के तरीकों की संख्या 1, 3, 5 = 3 है

संभाव्यता = अनुकूल मामलों की संख्या / संपूर्ण मामलों की कुल संख्या = 3/6 = 1/2

c) सम संख्या गिरने के तरीकों की संख्या 2, 4, 6 = 3 है

संभाव्यता = अनुकूल मामलों की संख्या / संपूर्ण मामलों की कुल संख्या = 3/6 = 1/2

उदाहरण: राजा और रानी को खोजने का संभावित मौका क्या है, जब 2 ताश के पत्तों से 52 कार्ड बनाए जाते हैं?

उपाय:  2 कार्ड 52 कार्ड = के पैक से तैयार किए जा सकते हैं 52C2 (52 चुनें 2) तरीके

52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326

1 रानी कार्ड 4 रानी कार्ड = से लिया जा सकता है 4C1= 4 तरीके (4 चुनें 1) 

1 राजा कार्ड 4 राजा कार्ड से लिया जा सकता है = 4C1= 4 तरीके (4 चुनें 1)

अनुकूल मामले = 4 × 4 = 16 तरीके

पी (ड्राइंग 1 क्वीन और 1 किंग कार्ड) = अनुकूल मामलों की संख्या / संपूर्ण मामलों की संख्या = 16/1326 = 8

उदाहरण: पहली फेंक में 4, 5 या 6 और दूसरी फेंक में 1, 2, 3 या 4 मिलने की संभावना क्या है अगर पासा दो बार फेंका जाए। 

उपाय:

पी (ए) = पहली फेंक में 4, 5 या 6 प्राप्त करने की संभावना = 3/6 = 1/2

और पी (बी) = दूसरी फेंक में 1, 2, 3 या 4 प्राप्त करने की संभावना = 4/6 = 2/3

घटनाओं की संभावना हो

सिद्धांत संभावना

उदाहरण: एक पुस्तक जिसमें कुल 100 नंबर पृष्ठ हों, यदि पृष्ठ में से किसी एक को मनमाना चुना गया हो। संभावित मौका क्या है कि चयनित पृष्ठ के पृष्ठ संख्या के सभी अंकों का योग 11 है।

उपाय:  11 प्राप्त करने के अनुकूल तरीकों की संख्या होगी (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6) ), (6, 5)

इसलिए आवश्यक संभावना = 8/100 = 2/25

उदाहरण: एक बाल्टी में 10 सफेद, 6 लाल, 4 काले और 7 नीले पत्थर होते हैं। 5 पत्थर यादृच्छिक पर बाहर खींच रहे हैं। क्या संभावना है कि उनमें से 2 लाल रंग हैं और एक काला रंग है?

उपाय: 

कुल सं। पत्थर के = १० + ६ + ४ + bles = २ +

5 मार्बल इन 27 मार्बल्स से खींचे जा सकते हैं = 27 5 तरीके चुनते हैं

= 27C5=27!/[5!(27-5)!]=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730

कुल नं। की घटनाएँ = 80730

2 लाल पत्थर 6 लाल पत्थर = 6 तरीकों से तैयार किए जा सकते हैं

= 6C2=6!/[2!(6-2)!]=(6*5)/2=15

1 ब्लैक मार्बल्स को 4 ब्लैक मार्बल्स से बाहर निकाला जा सकता है = 4 1 तरीके = चुनें 4C1=4

∴ अनुकूल मामलों की संख्या = 15 × 4 = 60

इसलिए आवश्यक संभावना = अनुकूल मामलों की संख्या। संपूर्ण मामलों की संख्या

निष्कर्ष:

   RSI सिद्धांत संभावना बहुत दिलचस्प है और हमारे दैनिक दिन से लेकर दैनिक जीवन तक लागू है संभावना सिद्धांत और उदाहरण हमें परिचित लगते हैं, यह वास्तव में एक संपूर्ण सिद्धांत है जो आजकल कई तकनीकों और अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, यह लेख प्रायिकता की अवधारणा की एक झलक था जो लगातार लेख विस्तार की अवधारणा और संभाव्यता के परिणामों से निपटेंगे। अधिक अध्ययन के लिए, कृपया नीचे पुस्तक देखें:

Ref: Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा।

यदि आप गणित के अन्य विषयों को पढ़ने में रुचि रखते हैं, तो कृपया देखें इस पृष्ठ.

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

संभाव्यता सिद्धांत | इसका पूरा अवलोकनमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
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