द्विपद और Poisson यादृच्छिक चर और इसके गुण
रैंडम वैरिएबल जो n repetitions के लिए रैंडम प्रयोग की सफलता और विफलता के परिणामों से संबंधित है, को द्विपद यादृच्छिक रैंडम के रूप में जाना जाता है, इसकी संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन की परिभाषा सफलता p की संभावना और विफलता q की प्रायिकता से संबंधित है, उदाहरण के लिए परिभाषा। पहले से ही हमने देखा है, अब समझ के साथ हम ऐसे असतत यादृच्छिक चर के कुछ गुणों को देखते हैं,
द्विपद यादृच्छिक चर की उम्मीद और विविधता
सफलता की संभावना के रूप में n दोहराव और पी के साथ द्विपद यादृच्छिक चर की उम्मीद और विविधता
ई [एक्स] = एनपी
और वार (एक्स) = एनपी (1-पी)
अब इन दोनों को की परिभाषा का पालन करके घात k के यादृच्छिक चर की अपेक्षा दिखाने पर विचार करें जन समारोह की संभावना द्विपद यादृच्छिक चर के लिए,
जहां Y, n-1 परीक्षणों और पी के साथ एक और द्विपद यादृच्छिक चर है, सफलता की संभावना के रूप में, यदि हम k = 1 का मान लेते हैं तो हमें मिलेगा
ई [एक्स] = एनपी
और यदि हम k = 2 को प्रतिस्थापित करते हैं तो हम प्राप्त करेंगे
ई [एक्स2] = npE [Y + 1]
= एनपी [(एन -1) पी + 1]
तो हम आसानी से मिल जाएगा
वार (एक्स) = ई [एक्स2] - (ई [एक्स])2
= एनपी [(एन -1) पी + 1] - (एनपी)2
= एनपी (1-पी)
उदाहरण: एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, 100 बार टॉसिंग का प्रयोग करें और इस मामले में दिखाई देने वाली पूंछों की संख्या, इस तरह के प्रयोग के माध्य, विचलन और मानक विचलन का पता लगाएं।
एक टॉस के लिए पूंछ में सफलता p = 1/2 = 0.5 की संभावना है
इसलिए इस तरह के प्रयोग का मतलब है
ई [एक्स] = एनपी
चूंकि प्रयोग केवल सफलता या विफलता के रूप में द्विपद है, इसलिए हम पुनरावृत्ति की संख्या के लिए प्राप्त करेंगे
इसलिए μ = np
μ = 100x (0.5) = 50
इसी तरह विचरण और मानक विचलन होगा
वार (एक्स) = एनपी (1-पी)
σ2= एनपी (1-पी)
मान होगा
σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25
उदाहरण: 0.1 बोल्ट के बहुत से बोल्ट विनिर्माण कंपनी में 400 दोषपूर्णता की संभावना के लिए माध्य और मानक विचलन खोजें।
यहाँ n = 400, p = 0.1, माध्य = np = 400 × 0.1 = 40
के बाद से
σ2= एनपी (1-पी)
इसलिए मानक विचलन होगा
उदाहरण: खोज संभावना यदि द्विपद यादृच्छिक चर के लिए माध्य और मानक विचलन क्रमशः 2 और 4 है, तो वास्तव में, कम से कम और कम से कम 2 सफलताएँ।
चूंकि माध्य = np = 4
और प्रसरण = np(1-p) = 2,
तो 4(1-पी)=2
(1-पी) = 1/2
पी = 1- (1/2)
इस मूल्य को हम प्राप्त करते हैं
एनपी = 4
n (1/2) = 4
एन = 8
ठीक 2 सफलताओं की संभावना होगी
2 से कम सफलताओं की संभावना होगी
पी (एक्स <2)
= पी (0) + पी (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256
कम से कम 2 सफलताओं की संभावना
p (X> 2) = 1- p (X <2)
= 1-पी (0) - पी (1) = 1- [पी (0) + पी (1)] = 1- (9/256) = 247/256
पॉसन रैंडम वेरिएबल
असतत रैंडम वैरिएबल X जो मानों को 0,1,2 लेता है …… .. किसी भी λ> 0 के लिए प्रदान किए जाने वाले पिसन रैंडम वैरिएबल को जाना जाता है।
or
as
जब n बहुत बड़ा होता है और सफलता p की संभावना बहुत कम होती है, तो ऐसे मामले में Poisson यादृच्छिक चर अपने प्रायिकता मास फ़ंक्शन के साथ संबंधित pmf के साथ द्विपद यादृच्छिक चर का सन्निकटन बन जाता है क्योंकि इस मामले में अपेक्षा जो np है वह मध्यम होगा और वह होगा be λ = np .
उदाहरण: इस संभावना को ज्ञात करें कि पुस्तक के प्रत्येक पृष्ठ पर कम से कम एक टाइपिंग त्रुटि है जिसका एकल पृष्ठ के लिए 1/2 के साथ पॉइसन वितरण है।
असतत रैंडम वैरिएबल X को पेज पर त्रुटियों को दर्शाते हैं। इसलिए पॉसों यादृच्छिक चर के रूप में प्रायिकता बड़े पैमाने पर होती है
= 1/2
उदाहरण: इस संभावना का पता लगाएं कि किसी मशीन द्वारा उत्पादित ०.१ दोषपूर्ण उत्पादन की संभावना वाले १० आइटम के नमूने में सबसे अधिक दोषपूर्ण वस्तु है।
यह हम द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ-साथ पॉइसन प्रायिकता मास फ़ंक्शन दोनों को हल कर सकते हैं, इसलिए हम इसे पॉइसन द्वारा हल करते हैं
Poisson यादृच्छिक चर की उम्मीद और विचरण
पोसेन के यादृच्छिक परिवर्तन और प्रत्यावर्तन के साथ n दोहराव और पी के रूप में यादृच्छिक सफलता की संभावना है
ई [एक्स] = एनपी = λ
और
वार (एक्स) = एनपी = λ
परिणाम दिखाने से पहले हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि पॉइसन यादृच्छिक चर और कुछ नहीं बल्कि द्विपद यादृच्छिक चर का सन्निकटन है इसलिए np= अब संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन का उपयोग करके अपेक्षा होगी
इसका मतलब यह है कि पॉइसन यादृच्छिक चर का गणितीय अपेक्षित मूल्य इसके पैरामीटर के बराबर है, इसी तरह पॉसों यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना के लिए हमें एक्स के वर्ग की अपेक्षा की आवश्यकता होती है,
उपरोक्त योग स्पष्ट है क्योंकि दो राशियों की अपेक्षा और योग हैं।
इस प्रकार हमें प्राप्त होने वाले विचरण का मूल्य है
वार (एक्स) = ई [एक्स2] - (ई [एक्स])2
= λ
इसलिए पोइसन यादृच्छिक चर के मामले में माध्य और विचरण का एक ही मान है अर्थात पैरामीटर के रूप में np।
RSI Poisson यादृच्छिक चर विभिन्न प्रक्रियाओं की खोज के लिए सन्निकटन अच्छा है, जैसे कि कुछ विशिष्ट समय अवधि के भीतर भूकंपों की संख्या की घटना का पता लगाना, गर्म कैथोड से एक निश्चित समय के दौरान इलेक्ट्रॉन की संख्या का पता लगाना, निर्दिष्ट समय के दौरान मौतों की संभावित संख्या का पता लगाना, या संख्या विशिष्ट वर्ष के भीतर युद्ध आदि
उदाहरण : इस संभावना की गणना करें कि दो दिनों में यात्रियों की कुल संख्या 2 से कम है। यदि 5 मतलब वाले यात्रियों के आगमन की संख्या पॉइसन यादृच्छिक चर का अनुसरण करती है। mean = np = 5
यदि हम दो दिनों में यात्रियों की संख्या को 2 से कम मानते हैं तो यह होगा
| पहला दिन | दूसरा दिन | कुल मिलाकर |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
तो संभावना होगी संयोजन इन दो दिनों में से
=e-10[1+5+5]
=11ई-10
= 114.5410-5
= 4.994 * 10-4
उदाहरण: 4 कंडेनसर के एक पैकेट से 100 या अधिक दोषपूर्ण कंडेनसर की संभावना की गणना करें बशर्ते कि कंडेनसर के लिए विनिर्माण दोष 1% है।
यहाँ p = 1% = 0.01 और n = 100 * 0.01 = 1
इसलिए हम Poisson यादृच्छिक चर संभावना संभावना बड़े पैमाने पर PMF का उपयोग कर सकते हैं
माध्य = np = 100 * 0.01 = 1
इसलिए 4 या अधिक दोषपूर्ण कंडेनसर की संभावना होगी
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
उदाहरण: यदि किसी उत्पाद के निर्माण के लिए किसी उत्पाद के दोषपूर्ण होने के लिए 0.002 संभावनाएं हैं, तो ऐसे उत्पादों के 10 पैक के लिए क्या संभावना होगी कि इस तरह के पैकेट में 50000 की खेप से कोई दोषपूर्ण, एक दोषपूर्ण और दो दोषपूर्ण उत्पाद न हों। एक ही उत्पाद के पैकेट।
यहां एकल पैक दोष की संभावना के लिए यानी p=0.002, n=10
तब माध्य np=0.002*10= 0.020
हम प्रत्येक मामले के लिए खोज करेंगे
इसलिए तालिका से यह स्पष्ट है कि पैकेट शून्य, एक और दो में दोषपूर्ण ब्लेड की संख्या क्रमशः 4900,980,10 होगी।
निष्कर्ष:
इस लेख में हमने एक के कुछ गुणों पर चर्चा की द्विपद यादृच्छिक चर, Poisson यादृच्छिक चर और यादृच्छिक प्रयोग। गुणों के साथ चर्चा की गई एक और असतत रैंडम वेरिएबल यानी पॉसों रैंडम वैरिएबल। बेहतर समझ के लिए प्रायिकता मास फ़ंक्शन, अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन उदाहरण के लिए वितरण गणित पेज.
Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा
