सामग्री: ब्रैकट बीम
- कैंटिलीवर बीम परिभाषा
- कैंटिलीवर बीम फ्री बॉडी डायग्राम
- कैंटिलीवर बीम सीमा की स्थिति
- एक्स के एक फ़ंक्शन के रूप में ब्रैकट में आंतरिक कतरनी और झुकने वाले क्षण को निर्धारित करें
- एकसमान वितरित भार (UDL) के साथ कैंटिलीवर बीम पर 2 मीटर की दूरी पर कतरनी बल और झुकने वाले क्षण का पता लगाना
- यूनिफ़ॉर्मली डिस्ट्रिब्यूटेड लोड के साथ एक कैंटिलीवर बीम के लिए विक्षेपण वक्र का समीकरण
- ब्रैकट बीम कठोरता और कंपन
- शुद्ध झुकने वाले क्षण को प्रेरित करते हुए झुकने वाले तनाव के कारण ब्रैकट बीम झुकना
- यूनिफ़ॉर्मली डिस्ट्रिब्यूटेड लोड (UDL) के कारण प्रेरित ब्रैकट झुकने तनाव का पता लगाना
- कैंटिलीवर बीम पर प्रश्न और उत्तर
कैंटिलीवर बीम परिभाषा
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever
एक ब्रैकट बीम एक बीम है जिसका एक छोर तय हो गया है, और दूसरा छोर मुफ़्त है। निश्चित समर्थन उस छोर पर बीम के विस्थापन और घूर्णी गति को रोकता है। ब्रैकट बीम बिना किसी अतिरिक्त समर्थन के ओवरहैजिंग सुविधा को अनुमति देता है। जब भार बीम के मुक्त छोर पर लागू होता है, तो ब्रैकट उस समर्थन को लोड करता है जहां यह कतरनी बल [V] और झुकने वाले क्षण [BM] को निर्धारित छोर पर लागू करता है।
कैंटिलीवर बीम मुक्त शरीर आरेख
बीम के मुक्त छोर पर बिंदु लोड अभिनय के साथ एक ब्रैकट बीम पर विचार करें।
ब्रैकट बीम के लिए नि: शुल्क बॉडी आरेख नीचे दिया गया है:
ब्रैकट बीम सीमा की स्थिति
ए पर प्रतिक्रिया बलों और पल की गणना संतुलन की शर्तों को लागू करके की जा सकती है
\\sum F_y=0, \\sum F_x=0 ,\\sum M_A=0
क्षैतिज संतुलन के लिए
\\sum F_x=0
R_ {HA} = 0ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए
\\sum F_y=0
\\\\R_{VA}-W=0
\\\\R_{VA}=Wमोमेंट ए के बारे में लेना, क्लॉकवाइज पल को पॉजिटिव और काउंटर क्लॉकवाइज मोमेंट को नेगेटिव के रूप में लिया जाता है
WL-M_A = 0
M_A = WL
एक्स के एक फ़ंक्शन के रूप में ब्रैकट में आंतरिक कतरनी और झुकने वाले क्षण को निर्धारित करें
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए समान रूप से वितरित लोड के साथ ब्रैकट बीम पर विचार करें।
यूडीएल के कारण बीम पर अभिनय लोड परिणाम द्वारा दिया जा सकता है
W = एक आयत का क्षेत्रफल
डब्ल्यू = एल * डब्ल्यू
डब्ल्यू = डब्ल्यूएल
समतुल्य बिंदु लोड डब्ल्यूएल बीम के केंद्र में कार्य करेगा। यानी, एल / 2 पर
बीम का फ्री बॉडी डायग्राम बन जाता है
ए पर प्रतिक्रिया के मूल्य की गणना संतुलन की शर्तों को लागू करके की जा सकती है
\\sum F_y=0, \\sum F_x=0 ,\\sum M_A=0
क्षैतिज संतुलन के लिए
\\sum F_x=0
\\\\R_{HA}=0ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए
\\sum F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=wLमोमेंट ए के बारे में लेना, क्लॉकवाइज पल को पॉजिटिव और काउंटर क्लॉकवाइज मोमेंट को नेगेटिव के रूप में लिया जाता है
wL*\\frac{L}{2}-M_A=0
\\\\M_A=\\frac{wL^2}{2}XX एक मुक्त छोर से x की दूरी पर ब्याज की धारा है
पहले से चर्चा किए गए हस्ताक्षर सम्मेलन के अनुसार, यदि हम कतरनी बल की गणना शुरू करते हैं बाईं तरफ या बीम के बाएं छोर, ऊपर की ओर बल के रूप में लिया जाता है सकारात्मक, और अधोगामी अभिनय बल के रूप में लिया जाता है नकारात्मक।
ए पर कतरनी बल है
S.F_A = R_ {VA} = wLक्षेत्र में XX है
S.F_x=R_{VA}-w[L-x]
\\\\S.F_x=wL-wL+wx=wxB पर कतरनी बल है
S.F=R_{VA}-wL
\\\\S.F_B=wL-wL=0ए और बी पर कतरनी बल का मान बताता है कि कतरनी बल निश्चित छोर से मुक्त अंत तक रैखिक रूप से भिन्न होता है।
बीएमडी के लिए, यदि हम से झुकने के क्षण की गणना शुरू करते हैं बाईं तरफ या बीम के बाएं छोर, दक्षिणावर्त क्षण के रूप में लिया जाता है सकारात्मक और काउंटर-क्लॉकवाइज मोमेंट के रूप में लिया जाता है नकारात्मक।
ए में बी.एम.
B.M_A=M_A=\\frac{wL^2}{2}एक्स पर बीएम
B.M_x=M_A-w[L-x]
\\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(L-x)^2}{2}
\\\\B.M_x=wx(L-\\frac{x}{2})B पर बी.एम.
B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}
\\\\B.M_B=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{wL^2}{2}=0
एकसमान वितरित भार (UDL) के साथ कैंटिलीवर बीम पर 2 मीटर की दूरी पर कतरनी बल और झुकने वाले क्षण का पता लगाना
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए समान रूप से वितरित लोडिंग के साथ ब्रैकट बीम पर विचार करें। डब्ल्यू = २० एन / एम केवल। एल = 20 मीटर, एक्स = 10 मीटर
यूडीएल के कारण बीम पर अभिनय लोड परिणाम द्वारा दिया जा सकता है
W = एक आयत का क्षेत्रफल
डब्ल्यू = २० * १०
डब्ल्यू = २०० एन
समतुल्य बिंदु लोड डब्ल्यूएल बीम के केंद्र में कार्य करेगा। यानी, एल / 2 पर
बीम का मुफ्त शरीर आरेख बन जाता है,
ए पर प्रतिक्रिया के मूल्य की गणना संतुलन की शर्तों को लागू करके की जा सकती है
\\sum F_y=0, \\sum F_x=0 ,\\sum M_A=0
क्षैतिज संतुलन के लिए
\\sum F_x=0
\\\\R_{HA}=0ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए
\\sum F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 Nमोमेंट ए के बारे में लेना, क्लॉकवाइज पल को पॉजिटिव और काउंटर क्लॉकवाइज मोमेंट को नेगेटिव के रूप में लिया जाता है
200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-mXX एक मुक्त छोर से x की दूरी पर ब्याज की धारा है
पहले से चर्चा किए गए हस्ताक्षर सम्मेलन के अनुसार, यदि हम कतरनी बल की गणना शुरू करते हैं बाईं तरफ या बीम के बाएं छोर, ऊपर की ओर बल के रूप में लिया जाता है सकारात्मक, और अधोगामी अभिनय बल के रूप में लिया जाता है नकारात्मक।
ए पर कतरनी बल है
S.F_A=R_{VA}=wL
\\\\S.F_A=200 Nक्षेत्र में XX है
S.F_x=R_{VA}-w[L-x]
\\\\S.F_x=wL-wL+wx=wxx = 2 मीटर के लिए
\\\\S.F_x=wx=20*2=40\\;N
B पर कतरनी बल है
S.F=R_{VA}-wL
\\\\S.F_B=wL-wL=0ए और बी पर कतरनी बल का मान बताता है कि कतरनी बल निश्चित छोर से मुक्त अंत तक रैखिक रूप से भिन्न होता है।
बीएमडी के लिए, यदि हम से झुकने के क्षण की गणना शुरू करते हैं बाईं तरफ या बीम के बाएं छोर, दक्षिणावर्त क्षण के रूप में लिया जाता है सकारात्मक और काउंटर-क्लॉकवाइज मोमेंट के रूप में लिया जाता है नकारात्मक।
ए में बी.एम.
B.M_A = M_A
B.M_A=1000\\;N.m
एक्स पर बीएम
B.M_x = M_A-w [Lx]
\\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\\frac{x}{2}]\\\\B.M_x=20*2*[10-\\frac{2}{2}]=360\\;N.mB पर बी.एम.
B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}=1000-\\frac{20*10^2}{2}=0
यूनिफ़ॉर्मली डिस्ट्रिब्यूटेड लोड के साथ एक कैंटिलीवर बीम के लिए विक्षेपण वक्र का समीकरण
यूनिफ़ॉर्मली वितरित भार के साथ नीचे चित्रा में दिखाए गए लंबाई एल के ब्रैकट बीम पर विचार करें। हम ढलान के लिए समीकरण प्राप्त करेंगे और नीचे को झुकाव डबल एकीकरण विधि का उपयोग कर इस बीम के लिए।
बाएं छोर से x की दूरी पर झुकने वाला क्षण इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:
M=-wx* \\frac{x}{2}वक्र के अंतर समीकरण का उपयोग करना,
\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}एक बार मिल जाने के बाद,
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]समेकित समीकरण [1] हमें मिलता है,
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]सीमा की स्थितियों का उपयोग करके एकीकरण के स्थिरांक प्राप्त किए जा सकते हैं,
एक्स = एल पर, डाई / डीएक्स = 0; ए के समर्थन के बाद से गति को रोकता है। इस प्रकार, समीकरण [1] से, हम प्राप्त करते हैं,
C_1=\\frac{wL^3}{6}X = L, y = 0 पर, समर्थन में कोई विक्षेप या निश्चित अंत A नहीं। इस प्रकार, समीकरण [2] से, हम प्राप्त करते हैं,
0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2C_2= \\frac{-wL^4}{8}[1] और [2] में निरंतर मान को प्रतिस्थापित करते हुए हमें समीकरण के नए सेट मिलते हैं
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]दिए गए डेटा से x = 12 मीटर और अधिकतम विक्षेपण पर ढलान का मूल्यांकन करें: I = 722 सेमी4 , ई = 210 जीपीए, एल = 20 मीटर, डब्ल्यू = २० एनएम
उपरोक्त समीकरणों से: x = 12 मीटर पर,
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;रेडियनसमीकरण [4] से
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}y=-0.064 \\;m
कन्टीलीवर बीम कठोरता और कंपन
कठोरता को झुकने वाले क्षण में विक्षेपण या विकृति के प्रतिरोध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक बीम के अधिकतम विक्षेपण पर लागू अधिकतम भार के अनुपात को बीम की कठोरता कहा जा सकता है।
मुक्त छोर पर एक फोर्स डब्ल्यू के साथ एक ब्रैकट बीम के लिए, अधिकतम विक्षेपण द्वारा दिया जाता है
δ=\\frac{WL^3}{3EI}जहाँ W = लागू भार, L = किरण की लंबाई, E = युवा का मापांक, I = जड़ता का दूसरा क्षण
कठोरता द्वारा दिया जाता है,
k=W/δ
\\\\k=W/\\frac{WL^3}{3EI}
\\\\k=\\frac{3EI}{L^3} प्राकृतिक आवृत्ति को उस आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिस पर कोई भी ड्राइविंग या विरोध बल के अभाव में एक प्रणाली कंपन करती है।
ω_n=\\sqrt{k/m}
\\\\ω_n=\\sqrt{\\frac{3EI}{L^3m} }
जहां मी = बीम का द्रव्यमान।
शुद्ध झुकने वाले मोमेंट उत्प्रेरण तनाव के कारण ब्रैकट बीम झुकना
जब किसी सदस्य को सदस्य के विमान में समान और विपरीत जोड़ों के अधीन किया जाता है, तो इसे शुद्ध झुकने के रूप में परिभाषित किया जाता है। शुद्ध झुकने में किरण बल पर अभिनय शून्य है।
मान्यताओं: सामग्री समरूप है
हुक का कानून लागू है
सदस्य प्रिज्मीय है
सदस्य के विमान में एक युगल लगाया जाता है
झुकने के बाद बीम के क्रॉस-सेक्शन का कोई ताना-बाना नहीं होता है
तनाव प्रोफ़ाइल तटस्थ अक्ष से रैखिक होना चाहिए
तनाव वितरण तटस्थ अक्ष से किरण के ऊपर और नीचे के तंतुओं तक रैखिक होता है।
यूलर-बर्नौली के समीकरण के लिए झुकने का क्षण द्वारा दिया गया है
\\frac{M}{I}=\\frac{\\sigma_b}{y}=\\frac{E}{R}एम = बीम के क्रॉस-सेक्शन पर लागू झुकने वाला क्षण।
मैं = जड़ता का दूसरा क्षेत्र क्षण
St = सदस्य में तनाव प्रेरित प्रेरित
y = बीम के तटस्थ अक्ष और मिमी में वांछित फाइबर या तत्व के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी
ई = एमपी में यंग का मापांक
मिमी में वक्रता का आर = त्रिज्या
व्यास के साथ ब्रैकट बीम के लिए झुका हुआ तनाव d, और लागू भार W को दिया जा सकता है,
बीम के स्थिर समर्थन पर झुकने वाला तनाव कार्य करेगा
जिस क्षण आवेदन किया गया M = डब्ल्यूएल
जड़ता का दूसरा क्षेत्र क्षण
I=\\frac{\\pi}{64}d^4बीम के तटस्थ अक्ष और वांछित फाइबर या तत्व के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी
y = d / 2
झुकने तनाव के रूप में दिया जाता है
σ=\\frac{My}{I}
\\\\σ=\\frac{32WL}{\\pi d^3}कैंटिलीवर बीम पर समान रूप से वितरित भार (UDL) के साथ झुकने वाले तनाव का पता लगाना
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए समान रूप से वितरित लोड के साथ एक कैंटिलीवर बीम पर विचार करें I = 722 सेमी4 , ई = 210 जीपीए, एल = 20 मीटर, डब्ल्यू = २० एनएम
ए पर प्रतिक्रिया बलों और पल की गणना संतुलन की शर्तों को लागू करके की जा सकती है
\\sum F_y=0, \\sum F_x=0 ,\\sum M_A=0
क्षैतिज संतुलन के लिए
\\sum F_x=0
\\\\R_{HA}=0ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए
\\sum F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 Nमोमेंट ए के बारे में लेना, क्लॉकवाइज पल को पॉजिटिव और काउंटर क्लॉकवाइज मोमेंट को नेगेटिव के रूप में लिया जाता है
200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-mझुकने पर दबाव
σ=\\frac{My}{I}
σ=\\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}
σ=3.238\\;MPa
कैंटिलीवर बीम पर प्रश्न और उत्तर
Q.1 बीम के अधिकतम विक्षेपण पर लागू अधिकतम भार का अनुपात क्या कहलाता है?
उत्तर: कठोरता को झुकने वाले क्षण में विक्षेपण या विकृति के प्रतिरोध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बीम के अधिकतम विक्षेपण पर लागू अधिकतम भार के अनुपात को बीम की कठोरता कहा जा सकता है।
Q.2 एक ब्रैकट बीम को परिभाषित करें?
उत्तर: एक ब्रैकट बीम एक किरण है जिसका एक छोर निश्चित है, और दूसरा छोर मुफ़्त है। निश्चित समर्थन उस छोर पर बीम के विस्थापन और घूर्णी गति को रोकता है। ब्रैकट बीम बिना किसी अतिरिक्त समर्थन के ओवरहैजिंग सुविधा को अनुमति देता है। जब लोड बीम के मुक्त छोर पर लागू होता है, तो ब्रैकट उस समर्थन को लोड करता है जहां यह कतरनी बल [V] और झुकने वाले क्षण [BM] को निश्चित छोर की ओर लागू करता है।
Q.3 एक ब्रैकट बीम को बीम की लंबाई पर समान रूप से वितरित भार के अधीन किया जाता है, कतरनी बल और झुकने के मोमेंट आरेख का आकार क्या होगा?
उत्तर: बीम की लंबाई पर समान रूप से वितरित भार के अधीन एक ब्रैकट बीम के लिए, कतरनी बल आरेख का आकार एक रैखिक वक्र होगा और बेंडिंग मोमेंट डायग्राम एक परवलयिक वक्र होगा।
Q.4 एक ब्रैकट को एक समान रूप से शून्य पर शुरू होने वाले बीम की लंबाई पर एक समान भार के अधीन किया जाता है, जो शियर फोर्स और झुकने वाले मोमेंट आरेख का आकार होगा?
उत्तर: बीम की लंबाई पर समान रूप से भिन्न भार के अधीन एक ब्रैकट बीम के लिए, शियर बल आरेख का आकार परवलयिक वक्र होगा और झुका हुआ मोमेंट आरेख एक घन या तृतीय-डिग्री वक्र होगा।
Q.5 ब्रैकट बीम के झुकने में तनाव और संपीडन कहां काम करते हैं?
उत्तर: किसी दिए गए स्पैन के कैंटिलीवर बीम के लिए, अधिकतम झुकने वाला तनाव बीम के निश्चित छोर पर होगा। डाउनवर्ड नेटलोड के लिए, अधिकतम तन्यता झुकने वाले तनाव को क्रॉस-सेक्शन के शीर्ष पर कार्य किया जाता है, और अधिकतम संपीडित तनाव बीम के निचले तंतु पर कार्य किया जाता है।
Q.6 एक ब्रैकट की लंबाई बीम के मोमेंट (M) के अधीन होती है, कतरनी बल और झुकने का क्षण क्या होगा?
उत्तर: क्षण भर के लिए एक ब्रैकट बीम के लिए M बीम की लंबाई से अधिक, शियर बल शून्य होगा, क्योंकि बीम पर कोई बाहरी झुकने वाला बल कार्य नहीं करेगा और बीम की पूरी लंबाई के लिए झुकने वाला क्षण स्थिर रहेगा।
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मैं हकीमुद्दीन बावनगांववाला, मैकेनिकल डिजाइन और विकास में विशेषज्ञता वाला एक मैकेनिकल डिजाइन इंजीनियर हूं। मैंने डिज़ाइन इंजीनियरिंग में एम.टेक पूरा कर लिया है और मेरे पास 2.5 साल का शोध अनुभव है। अब तक हीट ट्रीटमेंट फिक्स्चर के हार्ड टर्निंग और परिमित तत्व विश्लेषण पर दो शोध पत्र प्रकाशित। मेरी रुचि का क्षेत्र मशीन डिजाइन, सामग्री की ताकत, हीट ट्रांसफर, थर्मल इंजीनियरिंग आदि है। सीएडी और सीएई के लिए कैटिया और एएनएसवाईएस सॉफ्टवेयर में कुशल। रिसर्च के अलावा.