फंक्शन ग्राफ की विशेषताएं: 5 महत्वपूर्ण तथ्य

समारोह रेखांकन के लक्षण

समारोह रेखांकन के लक्षण, यह लेख किसी फ़ंक्शन में मौजूद वेरिएबल के मान के अलावा फ़ंक्शन की ग्राफिकल प्रस्तुति की अवधारणा पर चर्चा करेगा। जिससे पाठको को कार्यप्रणाली आसानी से समझ आ सके।

कौन सा ग्राफ कार्य का प्रतिनिधित्व करता है f (X) = | x-2 | - 1?

दाहिने हाथ की अभिव्यक्ति पर एक नज़र हमें आश्चर्यचकित करती है, -2 के आसपास वे दो बार क्या हैं? वैसे उन सलाखों को गणित में एक बहुत ही विशेष कार्य के लिए अंकन है, जिसे मापांक फ़ंक्शन या पूर्ण मान फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। इस समारोह में इतना महत्वपूर्ण है समारोह सिद्धांत यह इसके मूल पर कुछ शब्दों के लायक है।

हम कहते हैं कि हमें एक शहर से दूसरे शहर जाने के लिए आवश्यक समय तय करना है। इस मामले में, क्या हम केवल दो शहरों के बीच की दूरी में दिलचस्पी नहीं लेंगे? क्या दिशा का कोई महत्व होगा? इसी तरह, पथरी के अध्ययन में, हमें अक्सर दो संख्याओं की निकटता का विश्लेषण करने की आवश्यकता होती है, जो कि उनके अंतर का पूर्ण मूल्य है। यदि अंतर सकारात्मक या नकारात्मक है, तो हमें परवाह नहीं है। जर्मन गणितज्ञ कार्ल वेइरस्ट्रास वह था जिसे एक फ़ंक्शन की आवश्यकता का एहसास हुआ जो किसी संख्या के निरपेक्ष मूल्य को व्यक्त करेगा। वर्ष 1841 में, वीयरस्ट्रैस ने मापांक समारोह को परिभाषित किया और इसके प्रतीक के रूप में दो पट्टियों का उपयोग किया। 

f (x) = x सभी x> 0 के लिए

= -x सभी x <0 के लिए

= 0 के लिए x = 0

एफ (एक्स) = एक्स के रूप में संक्षिप्त

परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि इस फ़ंक्शन का सकारात्मक संख्या पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। हालाँकि यह एक ऋणात्मक संख्या को उसी पूर्ण मान वाले धनात्मक संख्या में बदल देता है। इसलिये

| 5 | = 5

 7-2 5 =

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

X। X का ग्राफ खींचने के लिए, हमें f (x) = x के ग्राफ के साथ शुरू करना चाहिए, जो कि मूल के माध्यम से एक सीधी रेखा है, जो एक्स अक्ष के सकारात्मक पक्ष में 45 डिग्री पर झुका है

यह कहा जा सकता है कि इस ग्राफ का ऊपरी आधा भाग f (x) = x | द्वारा रखा जाएगा क्योंकि यह फ़ंक्शन सकारात्मक संख्याओं को नहीं बदलता है। ग्राफ के निचले आधे हिस्से को, हालांकि, पक्ष बदलना होगा, क्योंकि | x | हमेशा सकारात्मक रहना चाहिए। तो, f (x) = x के निचले आधे भाग के सभी बिंदुओं को X अक्ष से समान दूरी रखते हुए, अब ऊपरी आधे पर प्रतिस्थापित किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, संपूर्ण एफ (एक्स) के बाएँ हाथ = | x | X अक्ष के बारे में f (x) = x के LAL HALF में सुधार का प्रमाण है।

उपरोक्त आकृति में, दायां आधा रेखांकन दिखाता है | x | और एक्स अधकपारी, जबकि बायां आधा दूसरे के प्रतिबिंब के रूप में दिखाता है। यह ध्यान रखना आवश्यक है कि इस तकनीक को किसी भी कार्य के लिए बढ़ाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यह ग्राफ की कल्पना करना आसान है। f (x) | अगर हम पहले से ही f (x) का ग्राफ जानते हैं। एक्स अक्ष के बारे में अपने प्रतिबिंब के साथ निचले आधे को बदलना महत्वपूर्ण है।

अब हम जानते हैं कि |x| को कैसे प्लॉट किया जाता है। लेकिन हमारी मूल समस्या |x-2| के प्लॉट की मांग करती है। खैर, यह और कुछ नहीं एक है उत्पत्ति की पारी (0,0) से (2,0) तक क्योंकि यह सभी बिंदुओं के X रीडिंग को 2 इकाइयों से कम कर देता है, इस प्रकार f(x) को f(x-2) में बदल देता है।

अब -1 को ही ध्यान में रखा जाना शेष है। इसका मतलब है सभी बिंदुओं पर से 1 घटा देना। x-2 | दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि ग्राफ को 1 इकाई द्वारा लंबवत रूप से नीचे खींचना। इसलिए, नया शीर्ष (2) के बजाय (1, -2,0) होगा

कौन सा ग्राफ फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है f (X) = - | x-2 | - 1?

ठीक है, हमारे द्वारा किए गए विश्लेषण के बाद यह काफी आसान होना चाहिए। यहाँ एकमात्र अंतर |x-2| से पहले एक ऋण चिह्न है। ऋण चिह्न बस |x-2| . के ग्राफ को उलट देता है एक्स अक्ष के संबंध में। तो, हम पिछले को पुनः आरंभ कर सकते हैं बिंदु के ठीक बाद समस्या जहां हमारे पास |x-2| का ग्राफ था। लेकिन, इस बार -1 पर विचार करने से पहले, हम ग्राफ को उल्टा कर देंगे।

इसके बाद, हम -1 को शामिल करने के लिए इसे एक इकाई से नीचे खींच लेंगे। और हो गया।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक होना चाहिए अगर उसमें क्या विशेषता है?

एक सीधी रेखा क्या है? आम तौर पर इसे समतल सतह पर दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। लेकिन इसे दूसरे कोण से भी परिभाषित किया जा सकता है। चूंकि XY विमान बिंदुओं का एक संग्रह है, हम इस विमान की किसी भी रेखा को गतिमान बिंदु का स्थान या ट्रेस मान सकते हैं या एक बिंदु जिसका X, Y सह-निर्देशांक बदल रहा है।

एक सीधी रेखा के साथ बढ़ने का मतलब है कि दिशा में बदलाव के बिना आंदोलन हो रहा है। दूसरे शब्दों में, यदि कोई बिंदु किसी दिए गए बिंदु से बढ़ना शुरू करता है और केवल एक ही दिशा में चलता है, तो इसे एक सीधी रेखा का अनुसरण कहा जाता है। इसलिए, यदि हम एक कार्य के रूप में रेखीय ग्राफ को व्यक्त करने के लिए हैं, तो हमें निरंतर दिशा की स्थिति के लिए एक समीकरण खोजना होगा।

लेकिन गणितीय रूप से दिशा कैसे व्यक्त करें? खैर, जैसा कि हमारे पास एक्सवाई विमान में पहले से ही संदर्भ के दो कुल्हाड़ियां हैं, एक पंक्ति की एक दिशा उस कोण से व्यक्त की जा सकती है जो इसे दो अक्षों में से किसी के साथ बनाती है। तो, हम मान लेते हैं कि एक सीधी रेखा कोण α पर झुकी हुई है। लेकिन इसका मतलब होगा कि समानांतर रेखाओं वाला परिवार और सिर्फ एक ही नहीं। तो, α एक लाइन का एकमात्र पैरामीटर नहीं हो सकता।

ध्यान दें कि लाइनें केवल उनके वाई अवरोधन में भिन्न होती हैं। Y अवरोधक उस बिंदु के मूल से दूरी है जहां रेखा Y अक्ष से मिलती है। आइए हम इस पैरामीटर को कहते हैं, सी। तो, हमारे पास दो पैरामीटर हैं, α और C. अब, हमें लाइन के समीकरण को प्राप्त करने का प्रयास करें।

आंकड़े से यह सही त्रिकोण से स्पष्ट होना चाहिए, कि किसी भी बिंदु (x, y) के लिए लाइन पर शासी शर्त होनी चाहिए                      

(yc) / x = tanα।

⟹ य = xtanα + c

⟹y = mx + c जहां m = tanα है

इसलिए, फॉर्म y = ax + b के किसी भी समीकरण को एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। दूसरे शब्दों में f (x) = ax + b रैखिक होने के लिए एक फ़ंक्शन का वांछित रूप है।

वही एक सीधी रेखा की पारंपरिक परिभाषा से भी व्युत्पन्न हो सकता है जो बताता है कि एक रेखा एक विमान की सतह पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता है। तो, चलो (X1, y1) और (x2, y2) एक सीधी रेखा पर दो बिंदु हैं।

लाइन पर किसी भी अन्य बिंदु के लिए, एक शर्त को तीन बिंदुओं द्वारा गठित दो लाइन खंडों के ढलानों को बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि लाइन को सभी खंडों पर ढलान बनाए रखना चाहिए। इसलिए समीकरण                                 

                                                                   (Y y₁) / (xx)₁) = (y)₂-y₁)/(एक्स₂-x₁)

                                                            ⟹y (x)₂-x₁) + x (y₁-y₂) + (x)₁y₂-y₁x₂) = 0

यह समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 के फॉर्म का है जिसे फॉर्म में लिखा जा सकता है, y = ax + b, जिसे हम एक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में जानते हैं।

जब दूसरे चर को बदल दिया जाता है तो प्रदान किए गए चर में परिवर्तन दिखाने के लिए किस ग्राफ का उपयोग किया जाता है?

किसी फ़ंक्शन का एक आदर्श ग्राफ खींचने के लिए, हमें या तो एक निश्चित बीजीय अभिव्यक्ति या अनंत संख्या में डेटा बिंदुओं की आवश्यकता होगी। वास्तविक जीवन में, दोनों ही अधिकतर उपलब्ध नहीं हैं। हमारे पास जो डेटा है वह बिखरा हुआ है। दूसरे शब्दों में, हमारे पास (x, y) बिंदुओं की एक सूची हो सकती है, जिन्हें ग्राफ पर प्लॉट किया जा सकता है, लेकिन अंक बहुत सघन रूप से स्थित नहीं हो सकते हैं। लेकिन हमें उन बिंदुओं को किसी भी तरह से जोड़ना होगा, क्योंकि पैटर्न या चर की प्रवृत्ति को देखने का कोई अन्य तरीका नहीं है। इस प्रकार प्राप्त ग्राफ को रेखा ग्राफ के रूप में जाना जाता है।

यह इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि पड़ोसी बिंदु सीधी रेखाओं के साथ जुड़ जाते हैं। यह ग्राफ़ दो चर के बीच संबंध को दर्शाने के लिए सबसे उपयुक्त है जहाँ एक दूसरे पर निर्भर है और दोनों बदल रहे हैं। समय-श्रृंखला रेखांकन लाइन-ग्राफ के उदाहरण हैं जहां एक्स अक्ष घंटों / दिनों / महीनों / वर्षों की इकाइयों में समय का प्रतिनिधित्व करता है और वाई अक्ष चर का प्रतिनिधित्व करता है जिसका मान समय के साथ बदलता है।

आवधिक कार्य

जब आश्रित चर एक निश्चित अवधि या स्वतंत्र चर के अंतराल पर अपने मूल्य को दोहराता है, तो फ़ंक्शन आवधिक कहा जाता है। अंतराल को अवधि या मौलिक अवधि कहा जाता है, कभी-कभी मूल अवधि या प्राइम अवधि भी। किसी फ़ंक्शन के आवधिक होने का मानदंड कुछ वास्तविक स्थिर T, f (x + T) = f (x) के लिए है। जिसका मतलब है कि f (x) x की प्रत्येक T इकाइयों के बाद अपना मान दोहरा रहा है। हम किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य को नोट कर सकते हैं, और हम उसी बिंदु पर टी इकाइयों पर दाएं और बाएं समान मान पाएंगे। यह एक आवधिक कार्य की विशेषता है।

उपर्युक्त आकृति सिनक्स के आवधिक व्यवहार को दर्शाती है। हम एक्स के दो यादृच्छिक मान लेते हैं, एक्स 1 और एक्स 2 के रूप में और एक्स अक्ष के समानांतर रेखाओं को पाप (एक्स 1) और पाप (एक्स 2) से खींचते हैं। हम ध्यान दें कि दोनों रेखाएं ग्राफ़ से ठीक 2π की दूरी पर फिर से मिलती हैं। इसलिए सिंक्स की अवधि 2π है। तो हम किसी भी x के लिए sin (x + 2 π) = sinx लिख सकते हैं। अन्य त्रिकोणमितीय कार्य भी आवधिक हैं। कोसिन की अवधि सिन के समान है और इसलिए कोसेक और सेक करते हैं। टैन की अवधि π होती है और इसलिए कॉट होता है।

किस अवधि को एक क्षैतिज इकाई में होने वाले आवधिक कार्य के चक्र की संख्या मिलती है?

एक पूर्ण अवधि को एक चक्र कहा जाता है। तो, एक्स की टी इकाइयों में बिल्कुल एक चक्र है। इसलिए x की एक इकाई में 1 / T चक्र हैं। संख्या 1 / T आवधिक कार्यों के अध्ययन में विशेष महत्व है क्योंकि यह बताता है कि फ़ंक्शन कितनी बार अपने मूल्यों को दोहरा रहा है। इसलिए 'फ्रीक्वेंसी' शब्द को नंबर 1 / T पर रखा गया है। फ़्रिक्वेंसी को 'f' द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसे फ़ंक्शन के 'f' के साथ भ्रमित नहीं होना पड़ता है। आवृत्ति जितनी अधिक होती है, उतनी अधिक संख्या प्रति चक्र होती है। आवृत्ति और अवधि एक दूसरे के विपरीत आनुपातिक हैं, एफ = 1 / टी या टी = 1 / एफ से संबंधित हैं। पाप (X) के लिए, अवधि 2π है, इसलिए आवृत्ति 1/2, होगी।

उदाहरण:

1. पाप की अवधि और आवृत्ति की गणना (3x)

जैसे पाप (x) का 2π में एक चक्र होता है, पाप (3x) का 3π में 2 चक्र होगा क्योंकि x पाप (3x) में 3 गुना तेजी से बढ़ता है। तो आवृत्ति 3 गुना पाप (x) की होगी, जो कि 3/2 times है। वह अवधि 1 / (3 / 2π) = 2 3/XNUMX बनाता है

2. Sin2x + sin3x की अवधि की गणना करें

ध्यान दें कि मूलभूत अवधि का कोई भी पूर्णांक एक अवधि है। इस समस्या में, फ़ंक्शन के दो घटक हैं। पहले की अवधि π और दूसरी की 2 3/2 है। लेकिन ये दोनों अलग-अलग हैं, इसलिए न तो समग्र कार्य की अवधि हो सकती है। लेकिन जो भी रचना की अवधि होती है, उसे घटकों का भी काल होना पड़ता है। तो, यह दोनों के लिए एक सामान्य पूर्णांक होना चाहिए। लेकिन असीम रूप से उनमें से कई हो सकते हैं। इसलिए मूलभूत अवधि घटकों की अवधि के कम से कम सामान्य बहुविध होंगे। इस समस्या में जो Lcm (π, 3 2/XNUMX) = XNUMX L है 

3. (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x) की अवधि की गणना करें

यह देखना बहुत ही रोचक है कि पिछली समस्या में जिस नियम का हमने आविष्कार किया था, वह वास्तव में आवधिक कार्यों की किसी भी रचना के लिए लागू होता है। तो, इस मामले में भी प्रभावी अवधि घटकों की अवधि का एलसीएम होगा। वह एलसीएम (π, 2π / 5,2 3/2, π / 2) = XNUMXπ है

4. Sinx + sin thex की अवधि की गणना करें

सबसे पहले, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि अवधि LCM (2 2, 2) होनी चाहिए, लेकिन तब हमें पता चलता है कि ऐसी संख्या 2 obvious के रूप में मौजूद नहीं है, अतार्किक है इसलिए XNUMX इसके गुणन हैं और XNUMX इसके गुणन हैं। इसलिए, इन दो नंबरों के लिए कोई भी सामान्य पूर्णांक नहीं हो सकता है। इसलिए, यह फ़ंक्शन आवधिक नहीं है।

आंशिक भाग फ़ंक्शन {x} आवधिक है।

f (x) = {x}

इसे फ्रैक्शनल पार्ट फंक्शन के रूप में जाना जाता है। यह एक वास्तविक संख्या का सबसे बड़ा पूर्णांक भाग छोड़ देता है और केवल आंशिक भाग को छोड़ देता है। तो, इसका मान हमेशा 0 और 1 के बीच होता है, लेकिन कभी भी 1 के बराबर नहीं होता है। इस ग्राफ़ को यह स्पष्ट करना चाहिए कि इसकी अवधि 1 है।

निष्कर्ष

अब तक हमने फंक्शन ग्राफ की विशेषताओं पर चर्चा की। अब हमें विशेषताओं और विभिन्न प्रकार के ग्राफ़ पर स्पष्ट होना चाहिए। हमें कार्यों की चित्रमय व्याख्या का भी विचार था। अगला लेख रेंज और डोमेन, उलटा फ़ंक्शन, विभिन्न फ़ंक्शन और उनके ग्राफ़ जैसी अवधारणाओं पर बहुत अधिक विवरण और बहुत सारी समस्याओं को कवर करेगा। अध्ययन में गहराई से जाने के लिए, आपको नीचे पढ़ने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है

माइकल स्पिवाक द्वारा पथरी।

माइकल आर्टिन द्वारा बीजगणित।

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टेकीसाइंस कोर एसएमई

टेकीसाइंस कोर एसएमई टीम भौतिकी, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, ऑटोमोटिव, मैकेनिकल इंजीनियरिंग सहित विभिन्न वैज्ञानिक और तकनीकी क्षेत्रों के अनुभवी विषय विशेषज्ञों का एक समूह है। हमारी टीम TechieScience.com वेबसाइट के लिए विज्ञान और प्रौद्योगिकी विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला पर उच्च-गुणवत्ता, अच्छी तरह से शोधित लेख बनाने के लिए सहयोग करती है।

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