चेबीशेव की असमानता और केंद्रीय सीमा प्रमेय | 10+ महत्वपूर्ण उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुण

संभाव्यता सिद्धांत में चेबीशेव की असमानता और केंद्रीय सीमा प्रमेय उन स्थितियों से निपटते हैं जहां हम लगभग सामान्य स्थिति में बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर के योग की संभाव्यता वितरण खोजना चाहते हैं, सीमा प्रमेयों को देखने से पहले हम कुछ असमानताओं को देखते हैं, जो संभावनाओं के लिए सीमा प्रदान करता है यदि माध्य और भिन्नता ज्ञात है।

सामग्री की तालिका

मार्कोव की असमानता

यादृच्छिक चर X के लिए मार्कोव की असमानता जो कि a>0 के लिए केवल धनात्मक मान लेती है, है

P\{X \geq a\} \leq \frac{E[X]}{a}

इसे साबित करने के लिए a>0 विचार करें

मैं=\बाएं\{\शुरू {सरणी}} 1 और \पाठ { अगर } एक्स \geq एक \\ 0 और \पाठ {अन्यथा} \end{सरणी}\दाएं।

जबसे

एक्स \geq 0 \\ \\ मैं \leq \frac{X}{a}

अब हम इस असमानता की अपेक्षा करते हुए प्राप्त करते हैं

ई[मैं] \leq \frac{E[X]}{a}

कारण यह है की

ई[I]=P\{X \geq a\}

जो मार्कोव की असमानता को a>0 as . के लिए देता है

P\{X \geq a\} \leq \frac{E[X]}{a}

चेबीशेव की असमानता

    यादृच्छिक चर X के परिमित माध्य और प्रसरण के लिए k>0 के लिए चेबीशेव की असमानता है

P(|X-\mu| \geq k\} \leq \frac{\sigma^{2}}{k^{2}}

जहां सिग्मा और म्यू यादृच्छिक चर के विचरण और माध्य का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसे साबित करने के लिए हम उपयोग करते हैं मार्कोव की असमानता गैर नकारात्मक यादृच्छिक चर के रूप में

(X-\mu)^{2}

स्थिर वर्ग के रूप में a के मान के लिए, इसलिए

P\बाएं\{(X-\mu)^{2} \geq k^{2}\right\} \leq \frac{E\left[(X-\mu)^{2}\right]}{ कश्मीर^{2}}

यह समीकरण के बराबर है

P(|X-\mu| \geq k\} \leq \frac{E\left[(X-\mu)^{2}\right]}{k^{2}}=\frac{\sigma^ {2}}{के^{2}}

स्पष्ट रूप से

(X-\mu)^{2} \equiv k^{2} \text{if and only if} |X-\mu| \geq के

मार्कोव और चेबीशेव की असमानताओं के उदाहरण :

  1. यदि विशिष्ट वस्तु के उत्पादन को सप्ताह के लिए औसत 50 के साथ यादृच्छिक चर के रूप में लिया जाता है, तो एक सप्ताह में उत्पादन की संभावना 75 से अधिक हो जाती है और यदि एक सप्ताह का उत्पादन 40 और 60 के बीच होता है तो क्या संभावना होगी, बशर्ते उसके लिए विचरण सप्ताह 25 है?

हल: एक सप्ताह के लिए वस्तु के उत्पादन के लिए यादृच्छिक चर X पर विचार करें, फिर 75 से अधिक उत्पादन की संभावना का पता लगाने के लिए हम उपयोग करेंगे मार्कोव की असमानता as

P(X>75\} \leq \frac{E[X]}{75}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}

अब विचरण 40 के साथ ४० से ६० के बीच उत्पादन की संभावना हम उपयोग करेंगे चेबीशेव की असमानता as

पी\{|एक्स-50| \geq 10\} \leq \frac{\sigma^{2}}{10^{2}}=\frac{1}{4}

so

P\{|X-50|<10\} \geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

यह सप्ताह के लिए संभावना दिखाता है यदि उत्पादन 40 से 60 के बीच है तो 3/4 है।

2. दिखाएँ कि चेबीशेव की असमानता जो संभाव्यता को ऊपरी सीमा प्रदान करता है, विशेष रूप से संभाव्यता के वास्तविक मूल्य के करीब नहीं है।

उपाय:

मान लें कि यादृच्छिक चर X समान रूप से माध्य 5 और विचरण 25/3 के साथ अंतराल (0,1) पर वितरित किया जाता है, तो . द्वारा चेबीशेव की असमानता हम लिख सकते है

P(|X-5|>4\} \leq \frac{25}{3(16)} \लगभग 0.52

लेकिन वास्तविक संभावना होगी

पी(|X-5|>4\}=0.20

जो वास्तविक प्रायिकता से बहुत दूर है इसी तरह यदि हम यादृच्छिक चर X को सामान्य रूप से माध्य और विचरण के साथ वितरित करते हैं तो चेबीशेव की असमानता होगा

P\{|X-\mu|>2 \sigma\} \leq \frac{1}{4}

लेकिन वास्तविक संभावना है

P(|X-\mu|>2 \sigma\}=P\left\{\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|>2\right\}=2[1-\ फी(2)] \लगभग ०.०४५६

बड़ी संख्या का कमजोर कानून

यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए कमजोर कानून का परिणाम होगा कि चेबीशेव की असमानता सबूत के लिए उपकरण के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है उदाहरण के लिए साबित करने के लिए

पी\{एक्स=ई[एक्स]\}=1

यदि विचरण शून्य है, तो 0 के बराबर प्रसरण वाले एकमात्र यादृच्छिक चर वे हैं जो संभाव्यता 1 के साथ स्थिर हैं इसलिए by चेबीशेव की असमानता n के लिए 1 . से अधिक या उसके बराबर

P\बाएं\{|X-\mu|>\frac{1}{n}\दाएं\}=0

as

n \rightarrow \infty

संभावना की निरंतरता से

\शुरू{गठबंधन} 0=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{|X-\mu|>\frac{1}{n}\right\} &=P\left\{\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{|X-\mu|>\frac{1}{n}\right\}\right\} \\ &=P\{X \neq \mu\} \ अंत {गठबंधन}

जो परिणाम को सिद्ध करता है।

बड़ी संख्या का कमजोर कानून: समान रूप से वितरित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए X1,X2,……. जिनमें से प्रत्येक का परिमित माध्य E[X . हैi]=μ, फिर किसी ε>0 . के लिए

P\बाएं\{\बाएं|\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}-\mu\right| \geq \varepsilon\right\} \rightarrow 0 \quad \text { as } \quad n \rightarrow \infty

इसे साबित करने के लिए हम मानते हैं कि अनुक्रम में प्रत्येक यादृच्छिक चर के लिए भिन्नता भी सीमित है, इसलिए अपेक्षा और भिन्नता and

E\बाएं[\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}\right]=\mu \quad \text { और } \quad \operatorname{Var}\left(\frac{X_ {1}+\cdots+X_{n}}{n}\दाएं)=\frac{\sigma^{2}}{n}

अब . से चेबीशेव की असमानता संभावना की ऊपरी सीमा के रूप में

P\बाएं\{\बाएं|\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}-\mu\right| \geq \varepsilon\right\} \leq \frac{\sigma^{2}}{n \varepsilon^{2}}

जो n अनंत की ओर प्रवृत्त होने के लिए होगा

P\बाएं\{\बाएं|\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}-\mu\right| \geq \varepsilon\right\} \rightarrow 0 \quad \text { as } \quad n \rightarrow \infty

केंद्रीय सीमा प्रमेय

RSI केंद्रीय सीमा प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है क्योंकि यह बड़ी संख्या के योग को वितरण देता है जो लगभग सामान्य है वितरण स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के लिए अनुमानित संभावनाओं को खोजने की विधि के अलावा केंद्रीय सीमा प्रमेय भी कई प्राकृतिक आबादी की अनुभवजन्य आवृत्तियों को दर्शाता है जो घंटी के आकार का मतलब सामान्य वक्र प्रदर्शित करता है, इस प्रमेय की विस्तृत व्याख्या देने से पहले हम परिणाम का उपयोग करते हैं

"यदि यादृच्छिक चर का अनुक्रम Z1,Z2,…. वितरण फलन और क्षण उत्पन्न करने वाला फलन F के रूप में हैZn और एमzn फिर

M_{Z_{n}}(t) \rightarrow M_{Z}(t) \text{ सभी t के लिए, फिर } F_{Z_{n}}(t) \rightarrow F_{Z}(t) \text{ सभी t के लिए जिस पर } F_{Z}(t) \text{सतत है"}

केंद्रीय सीमा प्रमेय: समान रूप से वितरित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए X1,X2,……. जिनमें से प्रत्येक का मतलब μ और भिन्नता है σ2 तो राशि का वितरण

\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}}

मानक सामान्य की ओर जाता है क्योंकि n वास्तविक मान होने के लिए n अनंत की ओर जाता है

P\बाएं\{\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq a\right\} \rightarrow \frac{1}{\ sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{a} e^{-x^{2}/2} dx \quad \text { as } n \rightarrow \infty

प्रमाण: परिणाम को सिद्ध करने के लिए माध्य को शून्य और प्रसरण को एक मान लें चेबीशेव की असमानता और केंद्रीय सीमा प्रमेय | 10+ महत्वपूर्ण उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुणμ=0 और σ2= 1 और द पल उत्पन्न समारोह X के लिएi मौजूद है और परिमित मूल्यवान है इसलिए यादृच्छिक चर X के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शनi/√n होगा

E\बाएं[\exp \बाएं\{\frac{t X_{i}}{\sqrt{n}}\right\}\right]=M\left(\frac{t}{\sqrt{n}} \सही)

यहाँ X sum के योग के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फलन हैi/√n होगा

\बाएं[एम\बाएं(\frac{L}{\sqrt{n}}\दाएं)\दाएं]^{n}

अब हम L(t)=logM(t) लेते हैं

so

\begin{aligned} L(0) &=0 \\ L^{\prime}(0) &=\frac{M^{\prime}(0)}{M(0)} \\ &=\mu \\ &=0 \\ L^{\prime \prime}(0) &=\frac{M(0) M^{\prime \prime}(0)-\left[M^{\prime}(0 )\दाएं]^{2}}{[एम(0)]^{2}} \\ और=ई\बाएं[एक्स^{2}\दाएं] \\ &=1 \अंत{गठबंधन}

सबूत दिखाने के लिए हम पहले दिखाते हैं

[एम(टी / \sqrt{n})]^{n} \rightarrow e^{2^{2}/2} \text{ as }n \rightarrow \infty

इसके समकक्ष रूप दिखा कर

एन एल(टी / \sqrt{n}) \rightarrow t^{2} / 2

के बाद से

\शुरू {गठबंधन} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{L(t / \sqrt{n})}{n^{-1}}&=\lim _{n \rightarrow \infty} \ फ़्रैक{-L^{\prime}(t / \sqrt{n}) n^{-3/2} t}{-2 n^{-2}} \quad \text{L'Hpital's रूल द्वारा}\ \ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{L^{\prime}(t / \sqrt{n}) t}{2 n^{-1 / 2}}\right] \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{-L^{\prime \prime}(t / \sqrt{n}) n^{-3 / 2} t^{2 }}{-2 n^{-3 / 2}}\right] \quad \text{ फिर से L'Hôpital's रूल द्वारा }\\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[L^{\ प्राइम \प्राइम}\बाएं(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \frac{t^{2}}{2}\right] \\ &=\frac{t^{2}} {2}\अंत{गठबंधन}

इसलिए यह माध्य शून्य और प्रसरण 1 के लिए परिणाम दिखाता है, और यही परिणाम सामान्य मामले के लिए भी होता है

X_{i}^{*}=\left(X_{i}-\mu\right) / \sigma

और प्रत्येक के लिए हमारे पास है

P\बाएं\{\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq a\right\} \rightarrow \Phi(a)

केंद्रीय सीमा प्रमेय का उदाहरण

एक खगोल विज्ञानी की प्रयोगशाला से एक तारे के प्रकाश वर्ष में दूरी की गणना करने के लिए, वह कुछ मापने की तकनीकों का उपयोग कर रहा है, लेकिन वातावरण में परिवर्तन के कारण हर बार मापी गई दूरी सटीक नहीं होती है, लेकिन कुछ त्रुटि के साथ सटीक दूरी खोजने के लिए वह योजना बनाता है अनुक्रम में लगातार निरीक्षण करें और इन दूरियों के औसत को अनुमानित दूरी के रूप में देखें, यदि वह माप के मूल्यों को समान रूप से वितरित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के साथ d और विचरण 4 प्रकाश वर्ष पर विचार करता है, तो 0.5 त्रुटि प्राप्त करने के लिए माप की संख्या ज्ञात करें अनुमानित और वास्तविक मूल्य में?

हल: आइए मापों को अनुक्रम X . में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रूप में मानें1,X2,……।एक्सn इसलिए द्वारा केंद्रीय सीमा प्रमेय हम लिख सकते है

Z_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-nd}{2 \sqrt{n}}

जो मानक सामान्य वितरण में सन्निकटन है, इसलिए संभावना होगी

\बाएं।\शुरू करें{सरणी}} P\बाएं\{-0.5 \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}-d \leq 0.5\right। \end{array}\right\}=P\left\{-0.5 \frac{\sqrt{n}}{2} \leq Z_{n} \leq 0.5 \frac{\sqrt{n}}{2} \right\} \लगभग \Phi\बाएं(\frac{\sqrt{n}}{4}\right)-\Phi\left(\frac{-\sqrt{n}}{4}\right)=2 \Phi\बाएं(\frac{\sqrt{n}}{4}\right)-1

इसलिए ९५ प्रतिशत पर माप की सटीकता प्राप्त करने के लिए खगोलविद को n* दूरियां मापनी चाहिए जहां

2 \Phi\बाएं(\frac{\sqrt{n^{*}}}{4}\right)-1=0.95 \quad \text { या } \quad \Phi\left(\frac{\sqrt{n ^{*}}}{4}\दाएं)=0.975

इसलिए सामान्य वितरण तालिका से हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

\frac{\sqrt{n^{*}}}{4}=1.96 \quad \text { या } \quad n^{*}=(7.84)^{2} \लगभग 61.47

जो कहता है कि माप 62 बार किया जाना चाहिए, इसे . की मदद से भी देखा जा सकता है चेबीशेव की असमानता ले कर

ई\बाएं[\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{n}\right]=d \quad \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{ n} \frac{X_{i}}{n}\right)=\frac{4}{n}

इसलिए असमानता का परिणाम है

पी\बाएं\{\बाएं|\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{n}-d\right|>0.5\right\} \leq \frac{4}{n (0.5)^{2}}=\frac{16}{n}

इसलिए n=16/0.05=320 के लिए जो निश्चितता देता है कि अवलोकन की प्रयोगशाला से तारे की दूरी के मापन में केवल o.5 प्रतिशत त्रुटि होगी।

2. अभियांत्रिकी पाठ्यक्रम में प्रवेशित छात्रों की संख्या माध्य 100 के साथ पोइसन वितरित है, यह निर्णय लिया गया कि यदि प्रवेशित छात्र 120 या अधिक हैं तो शिक्षण दो खंडों में होगा अन्यथा केवल एक खंड में, क्या संभावना होगी कि वहाँ होगा पाठ्यक्रम के लिए दो खंड हो?

हल : पॉसों बंटन का अनुसरण करने पर सटीक हल होगा

ई^{-100} \sum_{i=120}^{\infty} \frac{(100)^{i}}{i !}

जो स्पष्ट रूप से विशेष संख्यात्मक मान नहीं देता है, यदि हम यादृच्छिक चर X को छात्रों के रूप में मानते हैं तो केंद्रीय सीमा प्रमेय

P\{X \geq 120\}=P\{X \cong 119.5\}

कौन हो सकता है

\शुरू {सरणी} {एल} = पी \ बाएं \ {\ फ्रैक {एक्स -100} {\ वर्ग {100}} \ जीईक \ फ्रैक {119.5-100} {\ वर्ग {100}} \ दाएं \} \\ \लगभग 1-\Phi(1.95) \\ \लगभग 0.0256 \end{array}

जो संख्यात्मक मान है।

3. इस प्रायिकता की गणना कीजिए कि दस पासे पर लुढ़कने पर 30 और 40 के बीच का योग 30 और 40 के बीच है?

हल: यहाँ पासे को X मानते हुएi मैं के दस मूल्यों के लिए। माध्य और विचरण होगा

E\left(X_{i}\right)=\frac{7}{2}, \quad \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=E\left[X_{i}^{2}\right]-\left(E\left[X_{i}\right]\right)^{2}=\frac{35}{12}

इस प्रकार निम्नलिखित का पालन करना केंद्रीय सीमा प्रमेय हम लिख सकते है

\शुरू {गठबंधन} P[29.5 \leq X \leq 40.5\} &=P\बाएं\{\frac{29.5-35}{\sqrt{\frac{350}{12}}} \leq \frac{X -35}{\sqrt{\frac{350}{12}}} \leq \frac{40.5-35}{\sqrt{\frac{350}{12}}}\right\} \\ & \लगभग 2 \Phi(1.0184)-1 \\ & \लगभग 0.692 \end{aligned}

जो आवश्यक संभावना है।

4. समान रूप से वितरित स्वतंत्र यादृच्छिक चर X For के लिएi अंतराल (0,1) पर प्रायिकता का सन्निकटन क्या होगा?

प\बाएं\{\sum_{i=1}^{10} X_{i}>6\दाएं\}

हल: यूनिफ्रॉम वितरण से हम जानते हैं कि माध्य और प्रसरण होगा

E\बाएं[X_{i}\right]=\frac{1}{2} \qquad \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\frac{1}{12}

अब का उपयोग कर केंद्रीय सीमा प्रमेय हम कर सकते हैं

\शुरू {गठबंधन} P\बाएं\{\sum_{1}^{10} X_{i}>6\दाएं\} और=P\बाएं\{\frac{\sum_{1}^{10} X_{ i}-5}{\sqrt{10\left(\frac{1}{12}\right)}}>\frac{6-5}{\sqrt{10\left(\frac{1}{12} \right)}}\right\} \\ & \लगभग 1-\Phi(\sqrt{1.2}) \\ & \लगभग 0.1367 \end{aligned}

इस प्रकार यादृच्छिक चर का योग 14 प्रतिशत होगा।

5. परीक्षा के मूल्यांकनकर्ता के लिए प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ग्रेड देने के लिए ग्रेड देने के लिए 25 मिनट में 450 परीक्षाएं होंगी यदि 50 परीक्षाएं हैं जिनकी ग्रेडिंग समय औसत 20 मिनट और मानक विचलन 4 मिनट के साथ स्वतंत्र है।

समाधान: यादृच्छिक चर X . द्वारा परीक्षा को ग्रेड देने के लिए आवश्यक समय पर विचार करेंi तो यादृच्छिक चर X होगा

X=\sum_{i=1}^{25} X_{i}

चूंकि २५ परीक्षा के लिए यह कार्य ४५० मिनट के साथ है इसलिए

पी\{X \leq 450\}

E[X]=\sum_{i=1}^{25} E\left[X_{i}\right]=25(20)=500

\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{25}\\  \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=25(16)=400

यहाँ का उपयोग कर केंद्रीय सीमा प्रमेय

\शुरू {गठबंधन} P[X \leq 450\} &=P\बाएं(\frac{X-500}{\sqrt{400}} \leq \frac{450-500}{\sqrt{400}}\ दाएं) \\ और \लगभग पी(जेड \leq-2.5\} \\ &=P(Z \geq 2.5\} \\ &=1-\Phi(2.5)=0.006 \end{aligned}

जो आवश्यक संभावना है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय

अनुक्रम के लिए जो समान रूप से वितरित नहीं है लेकिन स्वतंत्र यादृच्छिक चर X1,X2,……. जिनमें से प्रत्येक का मतलब μ और भिन्नता है σ2 बशर्ते यह संतुष्ट हो

  1. प्रत्येक एक्सi समान रूप से बंधा है
  2. प्रसरणों का योग अनंत है, तो

P\बाएं\{\frac{\sum_{i=1}^{n}\बाएं(X_{i}-\mu_{i}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n } \sigma_{i}^{2}}} \simeq a\right\} \rightarrow \Phi(a) \quad \text { as } n \rightarrow \infty

बड़ी संख्या का मजबूत कानून

बड़ी संख्या का मजबूत कानून संभाव्यता सिद्धांत की बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा है जो कहता है कि संभाव्यता के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुक्रम का औसत उसी वितरण के माध्य में परिवर्तित हो जाएगा।

कथन: समान रूप से वितरित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए X1,X2,……. जिनमें से प्रत्येक का परिमित माध्य होने पर प्रायिकता एक

\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n} \rightarrow \mu \quad \text { as } \quad n \rightarrow \infty^{\dagger}

प्रमाण: इसे सिद्ध करने के लिए मान लें कि प्रत्येक यादृच्छिक चर का माध्य शून्य है, और श्रृंखला and

S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}

अब इसके लिए इस की शक्ति पर विचार करें

\शुरू {गठबंधन} E\बाएं[S_{n}^{4}\दाएं]=& E\बाएं[\बाएं(X_{1}+\cdots+X_{n}\दाएं)\बाएं(X_{1 }+\cdots+X_{n}\right)\right.\\ &\left.\times\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right)\left(X_{1}+\ cdots+X_{n}\right)\right] \end{aligned}

दायीं ओर के पदों का विस्तार लेने के बाद हमारे पास फॉर्म की शर्तें हैं

X_{i}^{4}, \quad X_{i}^{3} X_{j}, \quad X_{i}^{2} X_{j}^{2}, \quad X_{i}^ {2} X_{j} X_{k}, \quad \quad X_{i} X_{j} X_{k} X_{l}

चूँकि ये निर्दलीय हैं इसलिए इनका माध्य होगा

\शुरू {गठबंधन} E\बाएं[X_{i}^{3} X_{j}\right] &=E\बाएं[X_{i}^{3}\right] E\left[X_{j}\ दाएँ]=0 \\ E\बाएं[X_{i}^{2} X_{j} X_{k}\दाएं] और=E\बाएं[X_{i}^{2}\दाएं] E\बाएं[ X_{j}\right] E\left[X_{k}\right]=0 \\ E\left[X_{i} X_{j} X_{k} X_{l}\right] &=0 \\ \अंत{गठबंधन}

जोड़ी के संयोजन की मदद से अब श्रृंखला का विस्तार होगा

\शुरू {गठबंधन} E\बाएं[S_{n}^{4}\दाएं] और=n E\बाएं[X_{i}^{4}\दाएं]+6\बाएं (\शुरू {सरणी} {l } n \\ 2 \end{array}\right) E\left[X_{i}^{2} X_{j}^{2}\right] \\ &=n K+3 n(n-1) E\बाएं[X_{i}^{2}\right] E\left[X_{j}^{2}\right] \end{aligned}

के बाद से

0 \leq \operatorname{Var}\left(X_{i}^{2}\right)=E\left[X_{i}^{4}\right]-\left(E\left[X_{i}^{2}\right]\right)^{2}

so

\बाएं(ई\बाएं[एक्स_{i}^{2}\दाएं]\दाएं)^{2} \leq ई\बाएं[एक्स_{i}^{4}\दाएं]= के

हम मिल

E\बाएं[S_{n}^{4}\दाएं] \leq n K+3 n(n-1) K

यह असमानता का सुझाव देता है

ई\बाएं[\frac{S_{n}^{4}}{n^{4}}\right] \leq \frac{K}{n^{3}}+\frac{3 K}{n^ {2}}

इसलिये

E\left[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} E\left[\frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]<\infty

श्रृंखला के अभिसरण द्वारा क्योंकि प्रत्येक यादृच्छिक चर की संभावना एक है

\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}^{4}}{n^{4}}=0

के बाद से

\frac{S_{n}}{n} \rightarrow 0 \quad \text { as } \quad n \rightarrow \infty

यदि प्रत्येक यादृच्छिक चर का माध्य शून्य के बराबर नहीं है तो विचलन और प्रायिकता के साथ हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{\बाएं(X_{i}-\mu\right)}{n}=0

or

\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{n}=\mu

जिसका परिणाम आवश्यक है।

एक तरफा चेबीशेव असमानता

यादृच्छिक चर X के लिए एक तरफा Chebysheve असमानता माध्य शून्य और परिमित विचरण के साथ यदि a>0 is

चेबीशेव की असमानता
चेबीशेव असमानता

इसे साबित करने के लिए b>0 के लिए विचार करें यादृच्छिक चर X को इस रूप में दें

X \geq a \text{ के बराबर है } X+b \geq a+b

जो देता है

P[X \geq a]=P[X+b \geq a+b]\\ \leq P[(X+b)^{2} \geq (a+b)^{2}]

इसलिए का उपयोग करना मार्कोव की असमानता

चेबीशेव की असमानता
एक तरफा चेबीशेव

जो आवश्यक असमानता देता है। माध्य और विचरण के लिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

P(X-\mu \geq a\} \leq \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+a^{2}} \\P(\mu-X \geq a\} \leq \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+a^{2}}

इसे आगे इस प्रकार लिखा जा सकता है

\begin{array}{l} P(X \geq \mu+a\} \leq \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+a^{2}} \\ P\{ एक्स \leq \mu-a\} \leq \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+a^{2}} \end{array}

उदाहरण:

प्रायिकता की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए कि कंपनी का उत्पादन जो यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है, कम से कम 120 होगा, यदि इस निश्चित कंपनी का उत्पादन माध्य 100 और विचरण 400 है।

उपाय:

एक तरफा का उपयोग करना चेबीशेव असमानता

P\{X \geq 120\}=P(X-100 \geq 20\} \leq \frac{400}{400+(20)^{2}}=\frac{1}{2}

तो यह एक सप्ताह के भीतर उत्पादन की संभावना देता है कम से कम 120 1/2 है, अब इस संभावना के लिए बाध्य का उपयोग करके प्राप्त किया जाएगा मार्कोव की असमानता

P[X \geq 120\} \leq \frac{E(X)}{120}=\frac{5}{6}

जो संभाव्यता के लिए ऊपरी सीमा को दर्शाता है।

उदाहरण:

सौ पुरुषों और सौ महिलाओं वाले दो सौ व्यक्तियों से सौ जोड़े लिए जाते हैं, इस संभावना की ऊपरी सीमा पाते हैं कि अधिकतम तीस जोड़े में एक पुरुष और एक महिला शामिल होंगे।

उपाय:

मान लीजिए यादृच्छिक चर Xi as

X_{i}=\left\{\ start {array}{ll}1 & \text { अगर पुरुष मैं एक महिला के साथ जोड़ा जाता है} \\ 0 और \text {अन्यथा }\end{सरणी}\दाएं।

इसलिए युग्म को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

X=\sum_{i=1}^{100} X_{i}

चूँकि प्रत्येक पुरुष की समान रूप से शेष लोगों के साथ जोड़ी होने की संभावना हो सकती है जिनमें सौ महिलाएं हैं, इसलिए माध्य

E\बाएं[X_{i}\right]=P\बाएं\{X_{i}=1\दाएं\}=\frac{100}{199}

इसी तरह यदि i और j बराबर नहीं हैं तो

\शुरू {गठबंधन} E\बाएं[X_{i} X_{j}\दाएं] और=P\बाएं\{X_{i}=1, X_{j}=1\दाएं\} \\ &=P\ बायां\{X_{i}=1\दाएं\} P\बाएं[X_{j}=1 \मध्य X_{i}=1\दाएं\}=\frac{100}{199} \frac{99}{ 197} \अंत{गठबंधन}

as

प\बाएं\{X_{j}=1 \मध्य X_{i}=1\दाएं\}=99/197

इसलिए हमारे पास है

शुरू करें {गठबंधन} ई [एक्स] और = \ योग_ {i = 1} ^ {100} ई \ बाएं [एक्स_ {i} \ दाएं] \\ और = (100) \ frac {100} {199} \\ & \लगभग 50.25 \\ \operatorname{Var}(X) &=\sum_{i=1}^{100} \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)+2 \sum_{i

का उपयोग चेबीशेव असमानता

P\{X \leq 30\} \leq P\{|X-50.25| \geq 20.25\} \leq \frac{25.126}{(20.25)^{2}} \लगभग 0.061

जो बताता है कि महिलाओं के साथ 30 पुरुषों की जोड़ी बनाने की संभावना छह से कम है, इस प्रकार हम उपयोग करके सीमा में सुधार कर सकते हैं एक तरफा चेबीशेव असमानता

\begin{aligned} P[X \leq 30\} &=P[X \leq 50.25-20.25\rangle \\ & \leq \frac{25.126}{25.126+(20.25)^{2}} \\ & \ लगभग, ०.०५८ \end{aligned}

चेरनॉफ बाउंड

यदि क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य पहले से ही ज्ञात है तो

\शुरू {गठबंधन} P[X \geq a\}&=P\left(e^{\ell X} \geq e^{\downarrow a}\right)\\ &\leq E\left[e^{ टी एक्स}\दाएं] ई^{-टा} \अंत{गठबंधन}

as

एम(टी)=ई\बाएं[ई^{एलएक्स}\दाएं]

उसी तरह हम t<0 as . के लिए लिख सकते हैं

\शुरू {गठबंधन} P\{X \leq a\} और=P\बाएं\{e^{IX} \geq e^{[\alpha}\right\} \\ और \leq E\बाएं[e^ {टी एक्स}\दाएं] ई^{-टा} \end{गठबंधन}

इस प्रकार चेर्नॉफ बाउंड को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

\begin{array}{ll} P\{X \geq a\} \leq e^{-f \tau} M(t) और \text { सभी के लिए } t>0 \\ P\{X \leq a \} \leq e^{-\pi \tau} M(t) और \text { सभी के लिए } t<0 \end{array}

यह असमानता टी के सभी मूल्यों के लिए है या तो सकारात्मक या नकारात्मक।

मानक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए चेरनॉफ सीमाएं

चेरनॉफ मानक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए बाध्य है जिसका क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

एम (टी) = ई ^ {ई ^ {2} / 2}

is

P\{Z \geq a\rangle \leq e^{-ta} e^{t^{2} / 2} \quad \text { सभी के लिए } \quad t>0

इसलिए इस असमानता को कम करने और दाहिने हाथ की शक्ति की शर्तें a>0 . के लिए देती हैं

P\{Z \geq a\} \simeq e^{-\lambda^{2} / 2}

और a<0 के लिए यह है

P\{Z \leq a\} \leqq e^{-\alpha^{2} / 2}

पोइसन यादृच्छिक चर के लिए चेरनॉफ सीमाएं

पोइसन यादृच्छिक चर के लिए चेर्नॉफ सीमा जिसका क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

M(t)=e^{\lambda\left(e^{\prime}-1\right)}

is

P\{X \geq i\} \leq e^{\lambda\left(e^{t}-1\right)} e^{-it} \quad t>0

इसलिए इस असमानता को कम करने और दाहिने हाथ की शक्ति की शर्तें a>0 . के लिए देती हैं

P\{X \geq i\} \leq e^{\lambda \omega / \lambda-1)}\left(\frac{\lambda}{i}\right)

और यह होगा

P\{X \geq i\} \leq \frac{e^{-2}(e \lambda)^{i}}{l^{i}}

चेर्नॉफ बाउंड्स पर उदाहरण

एक खेल में यदि किसी खिलाड़ी के किसी भी पिछले स्कोर से स्वतंत्र खेल जीतने या हारने की समान रूप से संभावना है, तो संभावना के लिए बाध्य चेरनॉफ खोजें

हल: मान लीजिए Xi खिलाड़ी की जीत को निरूपित करें तो संभावना होगी

पी\बाएं\{X_{i}=1\दाएं\}=पी\बाएं\{X_{i}=-1\दाएं\}=\frac{1}{2}

n नाटकों के अनुक्रम के लिए चलो

S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}

तो पल पैदा करने वाला कार्य होगा

E\बाएं[e^{\ell X}\right]=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}

यहाँ घातीय पदों के विस्तार का उपयोग कर रहे हैं

\begin{aligned} e^{I}+e^{-l} &=1+t+\frac{t^{2}}{2 !}+\frac{t^{3}}{3 !}+ \cdots+\left(1-t+\frac{t^{2}}{2 !}-\frac{t^{3}}{3 !}+\cdots\right) \\ &=2\left\{ 1+\frac{t^{2}}{2 !}+\frac{t^{4}}{4 !}+\cdots\right\} \\ &=2 \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{t^{2 n}}{(2 n) !} \\ & \simeq 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(t^{2} / 2\दाएं)^{n}}{n !} \quad \operatorname{since}(2 n) ! \ गीक एन! 2^{n} \\ &=2 e^{t^{2} / 2} \end{aligned}

तो हमारे पास

ई\बाएं[ई^{टी एक्स}\दाएं] \geq ई^{टी^{2}/2}

अब पल पैदा करने वाले फ़ंक्शन की संपत्ति को लागू करना

\शुरू {गठबंधन} ई \ बाएँ [ई ^ {\ गणित {एस} _ {एन}} \ दाएँ] और = \ बाएँ (ई \ बाएँ [ई ^ {एलएक्स} \ दाएँ] \ दाएँ) ^ {n} \ \ & \leq e^{n^{2} / 2} \end{aligned}

यह असमानता देता है

P\बाएं\{S_{n} \geq a\right\} \leq e^{-\alpha^{2}/2 n} \quad a>0

इसलिये

पी\बाएं\{एस_{10} \geq 6\दाएं\} \leq ई^{-36 / 20} \लगभग 0.1653

निष्कर्ष:

बड़ी संख्या के लिए असमानताओं और सीमा प्रमेय पर चर्चा की गई और संभावनाओं की सीमा के लिए उचित उदाहरण भी विचार की झलक पाने के लिए लिए गए, साथ ही सामान्य, पॉइसन यादृच्छिक चर और क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन की सहायता प्रदर्शित करने के लिए लिया जाता है अवधारणा आसानी से, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है तो नीचे दी गई पुस्तकों के माध्यम से या संभाव्यता पर अधिक लेख के लिए, कृपया हमारा अनुसरण करें गणित के पन्ने.

शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

चेबीशेव की असमानता और केंद्रीय सीमा प्रमेय | 10+ महत्वपूर्ण उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुणमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, दिलचस्प और आत्म व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजेक्स में योगदान करना मुझे अच्छा लगता है।
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