चेबीशेव की असमानता और केंद्रीय सीमा प्रमेय पर 13 तथ्य

संभाव्यता सिद्धांत में चेबीशेव की असमानता और केंद्रीय सीमा प्रमेय उन स्थितियों से निपटते हैं जहां हम लगभग सामान्य स्थिति में बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर के योग की संभाव्यता वितरण खोजना चाहते हैं, सीमा प्रमेयों को देखने से पहले हम कुछ असमानताओं को देखते हैं, जो संभावनाओं के लिए सीमा प्रदान करता है यदि माध्य और भिन्नता ज्ञात है।

मार्कोव की असमानता

यादृच्छिक चर X के लिए मार्कोव की असमानता जो कि a>0 के लिए केवल धनात्मक मान लेती है, है

इसे साबित करने के लिए a>0 विचार करें

जबसे

अब हम इस असमानता की अपेक्षा करते हुए प्राप्त करते हैं

कारण यह है की

जो मार्कोव की असमानता को a>0 as . के लिए देता है

चेबीशेव की असमानता

 परिमित के लिए यादृच्छिक चर X का माध्य और प्रसरण चेबीशेव की असमानता k>0 is . के लिए

जहां सिग्मा और म्यू यादृच्छिक चर के विचरण और माध्य का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसे साबित करने के लिए हम उपयोग करते हैं मार्कोव की असमानता गैर नकारात्मक यादृच्छिक चर के रूप में

स्थिर वर्ग के रूप में a के मान के लिए, इसलिए

यह समीकरण के बराबर है

स्पष्ट रूप से

मार्कोव और चेबिशेव की असमानताओं के उदाहरण:

1. यदि विशिष्ट वस्तु के उत्पादन को सप्ताह के लिए औसत 50 के साथ यादृच्छिक चर के रूप में लिया जाता है, तो एक सप्ताह में उत्पादन की संभावना 75 से अधिक हो जाती है और यदि एक सप्ताह का उत्पादन 40 और 60 के बीच होता है तो क्या संभावना होगी, बशर्ते उसके लिए विचरण सप्ताह 25 है?

हल: एक सप्ताह के लिए वस्तु के उत्पादन के लिए यादृच्छिक चर X पर विचार करें, फिर 75 से अधिक उत्पादन की संभावना का पता लगाने के लिए हम उपयोग करेंगे मार्कोव की असमानता as

अब विचरण 40 के साथ ४० से ६० के बीच उत्पादन की संभावना हम उपयोग करेंगे चेबीशेव की असमानता as

so

यह सप्ताह के लिए संभावना दिखाता है यदि उत्पादन 40 से 60 के बीच है तो 3/4 है।

2. दिखाएँ कि चेबीशेव की असमानता जो संभाव्यता को ऊपरी सीमा प्रदान करता है, विशेष रूप से संभाव्यता के वास्तविक मूल्य के करीब नहीं है।

उपाय:

मान लें कि यादृच्छिक चर X समान रूप से माध्य 5 और विचरण 25/3 के साथ अंतराल (0,1) पर वितरित किया जाता है, तो . द्वारा चेबीशेव की असमानता हम लिख सकते है

लेकिन वास्तविक संभावना होगी

जो वास्तविक प्रायिकता से बहुत दूर है इसी तरह यदि हम यादृच्छिक चर X को सामान्य रूप से माध्य और विचरण के साथ वितरित करते हैं तो चेबीशेव की असमानता होगा

लेकिन वास्तविक संभावना है

बड़ी संख्या का कमजोर कानून

यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए कमजोर कानून का परिणाम होगा कि चेबीशेव की असमानता सबूत के लिए उपकरण के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है उदाहरण के लिए साबित करने के लिए

यदि विचरण शून्य है, तो 0 के बराबर प्रसरण वाले एकमात्र यादृच्छिक चर वे हैं जो संभाव्यता 1 के साथ स्थिर हैं इसलिए by चेबीशेव की असमानता n के लिए 1 . से अधिक या उसके बराबर

as

संभावना की निरंतरता से

जो परिणाम को सिद्ध करता है।

इसे साबित करने के लिए हम मानते हैं कि अनुक्रम में प्रत्येक यादृच्छिक चर के लिए भिन्नता भी सीमित है, इसलिए अपेक्षा और भिन्नता and

अब . से चेबीशेव की असमानता संभावना की ऊपरी सीमा के रूप में

जो n अनंत की ओर प्रवृत्त होने के लिए होगा

केंद्रीय सीमा प्रमेय

RSI केंद्रीय सीमा प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है क्योंकि यह बड़ी संख्या के योग को वितरण देता है जो लगभग सामान्य है वितरण स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के लिए अनुमानित संभावनाओं को खोजने की विधि के अलावा केंद्रीय सीमा प्रमेय भी कई प्राकृतिक आबादी की अनुभवजन्य आवृत्तियों को दर्शाता है जो घंटी के आकार का मतलब सामान्य वक्र प्रदर्शित करता है, इस प्रमेय की विस्तृत व्याख्या देने से पहले हम परिणाम का उपयोग करते हैं

"यदि यादृच्छिक चर का अनुक्रम Z₁,Z₂,…. वितरण फलन और क्षण उत्पन्न करने वाला फलन F के रूप में है_Zn और एम_zn फिर

केंद्रीय सीमा प्रमेय: समान रूप से वितरित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए X₁,X₂,……. जिनमें से प्रत्येक का मतलब μ और . है प्रसरण 2 तो योग का वितरण

मानक सामान्य की ओर जाता है क्योंकि n वास्तविक मान होने के लिए n अनंत की ओर जाता है

प्रमाण: परिणाम को सिद्ध करने के लिए माध्य को शून्य और प्रसरण को एक मान लें μ=0 और σ²= 1 और द पल उत्पन्न समारोह X के लिए_i मौजूद है और परिमित मूल्यवान है इसलिए यादृच्छिक चर X के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन_i/√n होगा

यहाँ X sum के योग के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फलन है_i/√n होगा

अब हम L(t)=logM(t) लेते हैं

so

सबूत दिखाने के लिए हम पहले दिखाते हैं

इसके समकक्ष रूप दिखा कर

के बाद से

इसलिए यह माध्य शून्य और प्रसरण 1 के लिए परिणाम दिखाता है, और यही परिणाम सामान्य मामले के लिए भी होता है

और प्रत्येक के लिए हमारे पास है

केंद्रीय सीमा प्रमेय का उदाहरण

एक खगोल विज्ञानी की प्रयोगशाला से एक तारे के प्रकाश वर्ष में दूरी की गणना करने के लिए, वह कुछ मापने की तकनीकों का उपयोग कर रहा है, लेकिन वातावरण में परिवर्तन के कारण हर बार मापी गई दूरी सटीक नहीं होती है, लेकिन कुछ त्रुटि के साथ सटीक दूरी खोजने के लिए वह योजना बनाता है अनुक्रम में लगातार निरीक्षण करें और इन दूरियों के औसत को अनुमानित दूरी के रूप में देखें, यदि वह माप के मूल्यों को समान रूप से वितरित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के साथ d और विचरण 4 प्रकाश वर्ष पर विचार करता है, तो 0.5 त्रुटि प्राप्त करने के लिए माप की संख्या ज्ञात करें अनुमानित और वास्तविक मूल्य में?

हल: आइए मापों को अनुक्रम X . में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रूप में मानें₁,X₂,……।एक्स_n इसलिए द्वारा केंद्रीय सीमा प्रमेय हम लिख सकते है

जो मानक में सन्निकटन है सामान्य वितरण तो संभावना होगी

इसलिए ९५ प्रतिशत पर माप की सटीकता प्राप्त करने के लिए खगोलविद को n* दूरियां मापनी चाहिए जहां

इसलिए सामान्य वितरण तालिका से हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

जो कहता है कि माप 62 बार किया जाना चाहिए, इसे . की मदद से भी देखा जा सकता है चेबीशेव की असमानता ले कर

इसलिए असमानता का परिणाम है

इसलिए n=16/0.05=320 के लिए जो निश्चितता देता है कि अवलोकन की प्रयोगशाला से तारे की दूरी के मापन में केवल o.5 प्रतिशत त्रुटि होगी।

2. अभियांत्रिकी पाठ्यक्रम में प्रवेशित छात्रों की संख्या माध्य 100 के साथ पोइसन वितरित है, यह निर्णय लिया गया कि यदि प्रवेशित छात्र 120 या अधिक हैं तो शिक्षण दो खंडों में होगा अन्यथा केवल एक खंड में, क्या संभावना होगी कि वहाँ होगा पाठ्यक्रम के लिए दो खंड हो?

हल : पॉसों बंटन का अनुसरण करने पर सटीक हल होगा

जो स्पष्ट रूप से विशेष संख्यात्मक मान नहीं देता है, यदि हम यादृच्छिक चर X को छात्रों के रूप में मानते हैं तो केंद्रीय सीमा प्रमेय

कौन हो सकता है

जो संख्यात्मक मान है।

3. इस प्रायिकता की गणना कीजिए कि दस पासे पर लुढ़कने पर 30 और 40 के बीच का योग 30 और 40 के बीच है?

हल: यहाँ पासे को X मानते हुए_i मैं के दस मूल्यों के लिए। माध्य और विचरण होगा

इस प्रकार निम्नलिखित का पालन करना केंद्रीय सीमा प्रमेय हम लिख सकते है

जो आवश्यक संभावना है।

4. समान रूप से वितरित स्वतंत्र यादृच्छिक चर X For के लिए_i अंतराल (0,1) पर प्रायिकता का सन्निकटन क्या होगा?

हल: यूनिफ्रॉम वितरण से हम जानते हैं कि माध्य और प्रसरण होगा

अब का उपयोग कर केंद्रीय सीमा प्रमेय हम कर सकते हैं

इस प्रकार यादृच्छिक चर का योग 14 प्रतिशत होगा।

5. परीक्षा के मूल्यांकनकर्ता के लिए प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ग्रेड देने के लिए ग्रेड देने के लिए 25 मिनट में 450 परीक्षाएं होंगी यदि 50 परीक्षाएं हैं जिनकी ग्रेडिंग समय औसत 20 मिनट और मानक विचलन 4 मिनट के साथ स्वतंत्र है।

समाधान: यादृच्छिक चर X . द्वारा परीक्षा को ग्रेड देने के लिए आवश्यक समय पर विचार करें_i तो यादृच्छिक चर X होगा

चूंकि २५ परीक्षा के लिए यह कार्य ४५० मिनट के साथ है इसलिए

यहाँ का उपयोग कर केंद्रीय सीमा प्रमेय

जो आवश्यक संभावना है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय

अनुक्रम के लिए जो समान रूप से वितरित नहीं है लेकिन स्वतंत्र यादृच्छिक चर X₁,X₂,……. जिनमें से प्रत्येक का मतलब μ और भिन्नता है σ² बशर्ते यह संतुष्ट हो

1. प्रत्येक एक्स_i समान रूप से बंधा है
2. प्रसरणों का योग अनंत है, तो

बड़ी संख्या का मजबूत कानून

बड़ी संख्या का मजबूत कानून की बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है सिद्धांत संभावना जो कहता है कि प्रायिकता के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुक्रम का औसत उसी वितरण के माध्य में परिवर्तित हो जाएगा

कथन: समान रूप से अनुक्रम के लिए वितरित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर X₁,X₂,……. जिनमें से प्रत्येक का परिमित माध्य होने पर प्रायिकता एक

प्रमाण: इसे सिद्ध करने के लिए मान लें कि प्रत्येक यादृच्छिक चर का माध्य शून्य है, और श्रृंखला and

अब इसके लिए इस की शक्ति पर विचार करें

दायीं ओर के पदों का विस्तार लेने के बाद हमारे पास फॉर्म की शर्तें हैं

चूँकि ये निर्दलीय हैं इसलिए इनका माध्य होगा

जोड़ी के संयोजन की मदद से अब श्रृंखला का विस्तार होगा

के बाद से

so

हम मिल

यह असमानता का सुझाव देता है

इसलिये

श्रृंखला के अभिसरण द्वारा क्योंकि प्रत्येक यादृच्छिक चर की संभावना एक है

के बाद से

यदि प्रत्येक यादृच्छिक चर का माध्य शून्य के बराबर नहीं है तो विचलन और प्रायिकता के साथ हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

or

जिसका परिणाम आवश्यक है।

एक तरफा चेबीशेव असमानता

यादृच्छिक चर X के लिए एक तरफा Chebysheve असमानता माध्य शून्य और परिमित विचरण के साथ यदि a>0 is

इसे साबित करने के लिए b>0 के लिए विचार करें यादृच्छिक चर X को इस रूप में दें

जो देता है

इसलिए का उपयोग करना मार्कोव की असमानता

जो आवश्यक असमानता देता है। माध्य और विचरण के लिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

इसे आगे इस प्रकार लिखा जा सकता है

उदाहरण:

प्रायिकता की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए कि कंपनी का उत्पादन जो यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है, कम से कम 120 होगा, यदि इस निश्चित कंपनी का उत्पादन माध्य 100 और विचरण 400 है।

उपाय:

एक तरफा का उपयोग करना चेबीशेव असमानता

तो यह एक सप्ताह के भीतर उत्पादन की संभावना देता है कम से कम 120 1/2 है, अब इस संभावना के लिए बाध्य का उपयोग करके प्राप्त किया जाएगा मार्कोव की असमानता

जो संभाव्यता के लिए ऊपरी सीमा को दर्शाता है।

उदाहरण:

सौ पुरुषों और सौ महिलाओं वाले दो सौ व्यक्तियों से सौ जोड़े लिए जाते हैं, इस संभावना की ऊपरी सीमा पाते हैं कि अधिकतम तीस जोड़े में एक पुरुष और एक महिला शामिल होंगे।

उपाय:

मान लीजिए यादृच्छिक चर X_i as

इसलिए युग्म को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

चूँकि प्रत्येक पुरुष की समान रूप से शेष लोगों के साथ जोड़ी होने की संभावना हो सकती है जिनमें सौ महिलाएं हैं, इसलिए माध्य

इसी तरह यदि i और j बराबर नहीं हैं तो

as

इसलिए हमारे पास है

का उपयोग चेबीशेव असमानता

जो बताता है कि महिलाओं के साथ 30 पुरुषों की जोड़ी बनाने की संभावना छह से कम है, इस प्रकार हम उपयोग करके सीमा में सुधार कर सकते हैं एक तरफा चेबीशेव असमानता

चेरनॉफ बाउंड

यदि क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य पहले से ही ज्ञात है तो

as

उसी तरह हम t<0 as . के लिए लिख सकते हैं

इस प्रकार चेर्नॉफ बाउंड को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

यह असमानता टी के सभी मूल्यों के लिए है या तो सकारात्मक या नकारात्मक।

मानक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए चेरनॉफ सीमाएं

मानक के लिए चेरनॉफ़ सीमा सामान्य यादृच्छिक चर जिसका क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

is

इसलिए इस असमानता को कम करने और दाहिने हाथ की शक्ति की शर्तें a>0 . के लिए देती हैं

और a<0 के लिए यह है

पोइसन यादृच्छिक चर के लिए चेरनॉफ सीमाएं

पोइसन यादृच्छिक चर के लिए चेर्नॉफ सीमा जिसका क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

is

इसलिए इस असमानता को कम करने और दाहिने हाथ की शक्ति की शर्तें a>0 . के लिए देती हैं

और यह होगा

चेर्नॉफ बाउंड्स पर उदाहरण

एक खेल में यदि किसी खिलाड़ी के किसी भी पिछले स्कोर से स्वतंत्र खेल जीतने या हारने की समान रूप से संभावना है, तो संभावना के लिए बाध्य चेरनॉफ खोजें

हल: मान लीजिए X_i खिलाड़ी की जीत को निरूपित करें तो संभावना होगी

n नाटकों के अनुक्रम के लिए चलो

तो पल पैदा करने वाला कार्य होगा

यहाँ घातीय पदों के विस्तार का उपयोग कर रहे हैं

तो हमारे पास

अब पल पैदा करने वाले फ़ंक्शन की संपत्ति को लागू करना

यह असमानता देता है

इसलिये

निष्कर्ष:

बड़ी संख्या के लिए असमानताओं और सीमा प्रमेय पर चर्चा की गई और संभावनाओं की सीमा के लिए उचित उदाहरण भी विचार की झलक पाने के लिए लिए गए, साथ ही सामान्य, पॉइसन यादृच्छिक चर और क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन की सहायता प्रदर्शित करने के लिए लिया जाता है अवधारणा आसानी से, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है तो नीचे दी गई पुस्तकों के माध्यम से या संभाव्यता पर अधिक लेख के लिए, कृपया हमारा अनुसरण करें गणित के पन्ने.

शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय