सशर्त वितरण: जानने के लिए 7 रोचक तथ्य

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• सशर्त वितरण
• असतत सशर्त वितरण
• असतत सशर्त वितरण पर उदाहरण
• सतत सशर्त वितरण
• सतत सशर्त वितरण पर उदाहरण
• द्विचर सामान्य वितरण का सशर्त वितरण
• यादृच्छिक चर के फलन का संयुक्त प्रायिकता वितरण
• यादृच्छिक चर के फलन के संयुक्त प्रायिकता वितरण पर उदाहरण Examples

सशर्त वितरण

   वितरण के सशर्त मामले पर चर्चा करना बहुत दिलचस्प है जब दो यादृच्छिक चर एक दूसरे को संतुष्ट करते हुए वितरण का अनुसरण करते हैं, हम पहले यादृच्छिक चर, असतत और निरंतर दोनों मामलों में सशर्त वितरण को संक्षेप में देखते हैं, फिर कुछ पूर्वापेक्षाओं का अध्ययन करने के बाद हम पर ध्यान केंद्रित करते हैं सशर्त उम्मीदें।

असतत सशर्त वितरण

     संयुक्त वितरण में संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन की सहायता से हम असतत यादृच्छिक चर X और Y के लिए सशर्त वितरण को परिभाषित करते हैं, X के लिए सशर्त संभाव्यता का उपयोग करते हुए Y को संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ वितरण के रूप में

बशर्ते हर की संभावना शून्य से अधिक हो, इसी तरह हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं

संयुक्त प्रायिकता में यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं तो यह बदल जाएगा

इसलिए दिए गए असतत यादृच्छिक चर के लिए असतत सशर्त वितरण या सशर्त वितरण, Y दिए गए Y के लिए समान तरीके से उपरोक्त संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ यादृच्छिक चर है जिसे हम परिभाषित कर सकते हैं।

असतत सशर्त वितरण पर उदाहरण

1. खोज यादृच्छिक चर की प्रायिकता द्रव्यमान फलन X को Y=1 दिया गया है, यदि यादृच्छिक चर X और Y के लिए संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन के रूप में कुछ मान हैं

p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3

अब सबसे पहले Y=1 के मान के लिए हमारे पास है

इसलिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए

हमारे पास है

और

• X दिए गए X+Y=n का सशर्त वितरण प्राप्त करें, जहां X और Y पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण हैं।₁ और λ₂ और X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं

चूँकि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, इसलिए सशर्त वितरण में प्रायिकता द्रव्यमान फलन होगा

चूंकि पॉइसन यादृच्छिक चर का योग फिर से पॉइसन है इसलिए

इस प्रकार उपरोक्त संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ सशर्त वितरण ऐसे पॉइसन वितरण के लिए सशर्त वितरण होगा। उपरोक्त मामले को दो से अधिक यादृच्छिक चर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

सतत सशर्त वितरण

   पहले से परिभाषित y दिए गए यादृच्छिक चर X का सतत सशर्त वितरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ निरंतर वितरण है

हर घनत्व शून्य से अधिक है, जो निरंतर घनत्व समारोह के लिए है

इस प्रकार इस तरह के सशर्त घनत्व समारोह की संभावना है

उसी तरह जैसे असतत में यदि X और Y निरंतर में स्वतंत्र हैं तो भी

और इसलिए

इसलिए हम इसे लिख सकते हैं

सतत सशर्त वितरण पर उदाहरण

1. यदि खुले अंतराल (0,1) के साथ संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन दिया जाता है, तो Y दिए गए यादृच्छिक चर X के सशर्त घनत्व फलन की गणना कीजिए

यदि यादृच्छिक चर X के लिए Y (0,1) के भीतर दिया गया है तो उपरोक्त घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके हमारे पास है

• सशर्त संभावना की गणना करें

यदि संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है

सशर्त संभाव्यता को खोजने के लिए पहले हमें सशर्त घनत्व फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है, इसलिए परिभाषा के अनुसार यह होगा

अब प्रायिकता में इस घनत्व फलन का उपयोग कर रहे हैं सशर्त संभाव्यता is

द्विचर सामान्य वितरण का सशर्त वितरण

  हम जानते हैं कि सामान्य यादृच्छिक चर X और Y का द्विचर सामान्य वितरण संबंधित साधनों और भिन्नताओं के साथ होता है क्योंकि मापदंडों में संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन होता है

इसलिए दिए गए X के लिए ऐसे द्विचर सामान्य वितरण के लिए सशर्त वितरण को खोजने के लिए निरंतर यादृच्छिक चर के सशर्त घनत्व फ़ंक्शन और हमारे पास उपरोक्त संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन का पालन करके परिभाषित किया गया है

इसे देखकर हम कह सकते हैं कि यह सामान्य रूप से माध्य के साथ वितरित किया जाता है

और विचरण

इसी तरह पहले से परिभाषित वाई दिए गए एक्स के लिए सशर्त घनत्व फ़ंक्शन एक्स के पैरामीटर की स्थिति को वाई के साथ बदल देगा,

एक्स के लिए सीमांत घनत्व फ़ंक्शन हम स्थिरांक के मान का उपयोग करके उपरोक्त सशर्त घनत्व फ़ंक्शन से प्राप्त कर सकते हैं

आइए हम इंटीग्रल में स्थानापन्न करें

घनत्व समारोह अब होगा

. के कुल मूल्य के बाद से

प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार घनत्व फलन अब होगा

जो सामान्य माध्य और पैरामीटर के रूप में विचरण के साथ यादृच्छिक चर X के घनत्व कार्य के अलावा और कुछ नहीं है।

यादृच्छिक चर के फलन का संयुक्त प्रायिकता वितरण

  अब तक हम दो यादृच्छिक चर के संयुक्त संभाव्यता वितरण को जानते हैं, अब यदि हमारे पास ऐसे यादृच्छिक चर के कार्य हैं तो उन कार्यों का संयुक्त संभाव्यता वितरण क्या होगा, घनत्व और वितरण फ़ंक्शन की गणना कैसे करें क्योंकि हमारे पास वास्तविक जीवन स्थितियां हैं जहां हम यादृच्छिक चर के कार्य हैं,

यदि आप₁ और वाई₂ यादृच्छिक चर के कार्य हैं X₁ और एक्स₂ क्रमशः जो संयुक्त रूप से निरंतर हैं तो इन दोनों कार्यों का संयुक्त निरंतर घनत्व कार्य होगा

जहां जैकोबियन

और वाई₁ =g₁ (X₁, एक्स₂) और यू₂ =g₂ (X₁, एक्स₂) कुछ कार्यों के लिए जी₁ और जी₂ . यहाँ जी₁ और जी₂ जैकोबियन की शर्तों को निरंतर के रूप में संतुष्ट करता है और निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होता है।

अब यादृच्छिक चरों के ऐसे फलनों की प्रायिकता होगी

यादृच्छिक चर के फलन के संयुक्त प्रायिकता वितरण पर उदाहरण Examples

1. यादृच्छिक चर Y . का संयुक्त घनत्व फलन ज्ञात कीजिए₁ =X₁ +X₂ और वाई₂=X₁ -X₂ , जहां X₁ और एक्स₂ संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ संयुक्त रूप से निरंतर हैं। वितरण की विभिन्न प्रकृति के बारे में भी चर्चा करें।

यहां हम सबसे पहले जैकोबियन की जांच करेंगे

जी के बाद से₁(x₁, एक्स₂)= एक्स₁ + एक्स₂  और जी₂(x₁, एक्स₂)= एक्स₁ - एक्स₂ so

Y को सरल बनाना₁ =X₁ +X₂ और वाई₂=X₁ -X₂ , X . के मान के लिए₁ =1/2( वाई₁ +Y₂ ) और एक्स₂ = वाई₁ -Y₂ ,

यदि ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र समान यादृच्छिक चर हैं

या यदि ये यादृच्छिक चर सामान्य मापदंडों के साथ स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर हैं

या यदि ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं तो

• यदि X और Y दिए गए अनुसार स्वतंत्र मानक सामान्य चर हैं

संबंधित ध्रुवीय निर्देशांक के लिए संयुक्त वितरण की गणना करें।

हम सामान्य रूपांतरण X और Y को r और as . में परिवर्तित करेंगे

तो इन फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न होगा

तो जैकोबियन इस फ़ंक्शन का उपयोग कर रहा है

यदि दोनों यादृच्छिक चर X और Y शून्य से अधिक हैं तो सशर्त संयुक्त घनत्व फलन है

अब कार्टेशियन का रूपांतरण ध्रुवीय समन्वय का उपयोग करके समन्वय करता है

अतः प्रायिकता घनत्व समारोह सकारात्मक मूल्यों के लिए होगा

अलग के लिए संयोजन एक्स और वाई के घनत्व कार्य समान तरीके से हैं

अब उपरोक्त घनत्वों के औसत से हम घनत्व फलन को इस प्रकार बता सकते हैं

और अंतराल पर ध्रुवीय निर्देशांक के इस संयुक्त घनत्व से सीमांत घनत्व फलन (0, 2π)

• यादृच्छिक चरों के फलन के लिए संयुक्त घनत्व फलन ज्ञात कीजिए

यू=एक्स+वाई और वी=एक्स/(एक्स+वाई)

जहां एक्स और वाई हैं गामा वितरण मापदंडों के साथ (α + ) और (β +λ) क्रमशः।

की परिभाषा का उपयोग करना गामा वितरण और संयुक्त वितरण फलन यादृच्छिक चर X और Y के लिए घनत्व फलन होगा

दिए गए कार्यों पर विचार करें

g₁ (x,y) =x+y , जी₂ (एक्स, वाई) = एक्स/(एक्स+वाई),

तो इन फ़ंक्शन का विभेदन है

अब जैकोबियन is

दिए गए समीकरणों को सरल बनाने के बाद चर x=uv और y=u(1-v) प्रायिकता घनत्व फलन है

हम संबंध का उपयोग कर सकते हैं

• के लिए संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना करें

Y₁ =X₁ +X₂+ एक्स₃ , वाई₂ =X₁- एक्स₂ , वाई₃ =X₁ - एक्स₃

जहां यादृच्छिक चर X1, X2, X3 मानक हैं सामान्य यादृच्छिक चर.

आइए अब हम के आंशिक अवकलजों का उपयोग करके जैकोबियन की गणना करें

Y₁ =X₁ +X₂+ एक्स₃ , वाई₂ =X₁- एक्स₂ , वाई₃ =X₁ - एक्स₃

as

चर X . के लिए सरलीकरण₁ , एक्स₂ और एक्स₃

X₁ = (वाई₁ + वाई₂ + वाई₃)/3 , एक्स₂ = (वाई₁ - 2Y₂ + वाई₃)/3 , एक्स₃ = (वाई₁ + वाई₂ -2 वाई₃) / 3

हम संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन को सामान्य कर सकते हैं:

तो हमारे पास

सामान्य चर के लिए संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है

इसलिये

जहां सूचकांक है

Y के संयुक्त घनत्व फलन की गणना कीजिए₁ …… हाँ_n और Y . के लिए सीमांत घनत्व फलन_n जहां

और एक्स_i पैरामीटर के साथ स्वतंत्र समान रूप से वितरित घातीय यादृच्छिक चर हैं।

फॉर्म के यादृच्छिक चर के लिए

Y₁ =X₁ , वाई₂ =X₁ + एक्स₂ , ……, यू_n =X₁ + ……+ एक्स_n

जैकोबियन फॉर्म का होगा

और इसलिए इसका मान एक है, और घातीय यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन

और चर X . के मान_i की होगी

तो संयुक्त घनत्व समारोह है

अब Y . का सीमांत घनत्व फलन ज्ञात कीजिए_n हम एक के बाद एक एकीकृत करेंगे

और

बुद्धिमान की तरह

यदि हम इस प्रक्रिया को जारी रखते हैं तो हमें प्राप्त होगा

जो सीमांत घनत्व फलन है।

निष्कर्ष:

RSI सशर्त वितरण असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए विभिन्न उदाहरणों के साथ चर्चा की गई इन यादृच्छिक चर के कुछ प्रकारों पर विचार करते हुए, जहां स्वतंत्र यादृच्छिक चर महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके अलावा संयुक्त संयुक्त सतत यादृच्छिक चर के कार्य के लिए वितरण उपयुक्त उदाहरणों के साथ भी समझाया गया है, यदि आपको और पढ़ने की आवश्यकता है तो नीचे दिए गए लिंक पर जाएं।

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