सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुण

सशर्त वितरण

   वितरण के सशर्त मामले पर चर्चा करना बहुत दिलचस्प है जब दो यादृच्छिक चर एक दूसरे को संतुष्ट करते हुए वितरण का अनुसरण करते हैं, हम पहले यादृच्छिक चर, असतत और निरंतर दोनों मामलों में सशर्त वितरण को संक्षेप में देखते हैं, फिर कुछ पूर्वापेक्षाओं का अध्ययन करने के बाद हम पर ध्यान केंद्रित करते हैं सशर्त उम्मीदें।

असतत सशर्त वितरण

     संयुक्त वितरण में संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन की सहायता से हम असतत यादृच्छिक चर X और Y के लिए सशर्त वितरण को परिभाषित करते हैं, X के लिए सशर्त संभाव्यता का उपयोग करते हुए Y को संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ वितरण के रूप में

p_{X|Y}(x|y)=P\बाएं { X=x|Y=y \right}

=\frac{P\बाएं {X=x, Y=y \right}}{P\बाएं {Y=y \right}}

=\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}

बशर्ते हर की संभावना शून्य से अधिक हो, इसी तरह हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं

F_{X|Y}(x|y)=P \left { X\leq x|Y\leq y \right}

=\sum_{a\leq x} p_{X|Y} (a|y)

संयुक्त प्रायिकता में यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं तो यह बदल जाएगा

p_{X|Y} (x|y) = P \बाएं { X=x|Y=y \right}

=\frac{P\बाएं {X=x, Y=y \right}}{P\बाएं {Y=y \right}}

=पी\बाएं {एक्स=एक्स \दाएं}

इसलिए दिए गए असतत यादृच्छिक चर के लिए असतत सशर्त वितरण या सशर्त वितरण, Y दिए गए Y के लिए समान तरीके से उपरोक्त संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ यादृच्छिक चर है जिसे हम परिभाषित कर सकते हैं।

असतत सशर्त वितरण पर उदाहरण

  1. यदि यादृच्छिक चर X और Y के लिए संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन के कुछ मान हैं, तो Y=1 दिए गए यादृच्छिक चर X का प्रायिकता द्रव्यमान फलन ज्ञात कीजिए।

p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3

अब सबसे पहले Y=1 के मान के लिए हमारे पास है

p_{Y}(1)=\sum_{x}p(x,1)=p(0,1)+p(1,1)=0.5

इसलिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए

p_{X|Y}(x|y)=P\बाएं { X=x|Y=y \right}

=\frac{P\बाएं {X=x,Y=y \right}}{P\बाएं {Y=y \right}}

=\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}

हमारे पास है

p_{X|Y}(0|1)=\frac{p(0,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{2}{5}

और

p_{X|Y}(1|1)=\frac{p(1,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{3}{5}

  • X दिए गए X+Y=n का सशर्त वितरण प्राप्त करें, जहां X और Y पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण हैं।1 और λ2 और X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं

चूँकि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, इसलिए सशर्त वितरण में प्रायिकता द्रव्यमान फलन होगा

P\बाएं { X=k|X + Y=n \right } =\frac{P\बाएं { X=k, X+Y =n \right }}{P\बाएं { X+Y=n \right } }

=\frac{P\बाएं {X=k, X =n -k \right}}{P\बाएं { X+Y=n \right}}

=\frac{पी\बाएं {एक्स=के \दाएं} पी\बाएं { वाई=एनके \दाएं}} {पी\बाएं { एक्स+वाई=एन \दाएं}}

चूंकि पॉइसन यादृच्छिक चर का योग फिर से पॉइसन है इसलिए

P\बाएं { X=k|X +Y =n \right} =\frac{e^{-\lambda {1}}\lambda {1}^{k}}{k!}\frac{e^{ -\lambda_{2}^{}}\lambda {2}^{nk}}{(nk)!}\बाएं [ \frac{e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})} (\lambda {1}+\lambda _{2})^{n}}{n!} \right ]^{-1}

=\frac{n!}{(nk)!k!}\frac{\lambda {1}^{k}\lambda {2}^{nk}}{(\lambda {1}+\lambda {2} )^{एन}}

=\binom{n}{k} \बाएं ( \frac{\lambda {1}}{\lambda {1}+\lambda {2}} \right )^{k}\left ( \frac{\lambda { 2}}{\lambda {1}+\lambda {2}} \right )^{nk}

इस प्रकार उपरोक्त संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ सशर्त वितरण ऐसे पॉइसन वितरण के लिए सशर्त वितरण होगा। उपरोक्त मामले को दो से अधिक यादृच्छिक चर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

सतत सशर्त वितरण

   पहले से परिभाषित y दिए गए यादृच्छिक चर X का सतत सशर्त वितरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ निरंतर वितरण है

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}

हर घनत्व शून्य से अधिक है, जो निरंतर घनत्व समारोह के लिए है

f_{X|Y}(x|y)dx=\frac{f(x,y)dxdy}{f_{Y}(y)dy}

\लगभग \frac{P\left { x\leq X\leq x+dx, y\leq Y \leq y+ dy \right }}{P\left { y\leq Y \leq y+dy \right }}

=P\बाएं { x\leq X \leq x+dx|y\leq Y\leq y+dy \right }

इस प्रकार इस तरह के सशर्त घनत्व समारोह की संभावना है

P\बाएं { X\in A|Y =y \right} =\int_{A} f_{X|Y}(x|y)dx

उसी तरह जैसे असतत में यदि X और Y निरंतर में स्वतंत्र हैं तो भी

f_{X|Y}(x|y)dx=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{X}(x)f_{Y}(y) }{f_{Y}(y)} =f_{X}(x)

और इसलिए

\frac{P\बाएं { x< X< x+ dx|N =n \right}}{dx} = \frac{P\बाएं { N=n|x < X < x+ dx \right }}{P\बाएं { N=n \right }} \frac{P\left { x< X < x+ dx \right }}{dx}

\lim_{dx \to 0}\frac{P\left { x< X < x +dx|N =n \right}}{dx} =\frac{P\left { N=n|X =x \right }}{पी\बाएं {एन=एन \दाएं}} एफ(एक्स)

इसलिए हम इसे लिख सकते हैं

f_{X|N}(x|n)=\frac{P\left { N=n|X=x \right }}{P\बाएं { N=n \right}}f(x)

सतत सशर्त वितरण पर उदाहरण

  1. यदि खुले अंतराल (0,1) के साथ संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन दिया जाता है, तो Y दिए गए यादृच्छिक चर X के सशर्त घनत्व फलन की गणना कीजिए

f(x,y)=\begin{cases} \frac{12}{5} x(2-xy) \ \ 0< x< 1, \ \ 0< y< 1 \\ \ \ 0 \ \ \ \ अन्यथा \ अंत {मामले}

यदि यादृच्छिक चर X के लिए Y (0,1) के भीतर दिया गया है तो उपरोक्त घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके हमारे पास है

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}

=\frac{f(x,y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx}

=\frac{x(2-xy)}{\int_{0}^{1} x(2-xy) dx}

=\frac{x(2-xy)}{\frac{2}{3}-\frac{y}{2}}

=\frac{6x(2-xy)}{4-3y}

  • सशर्त संभावना की गणना करें

पी\बाएं {एक्स> 1|वाई=वाई \दाएं}

यदि संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है

f(x,y)=\begin{cases} \frac{e^{-\frac{x}{y}}e^{-y}}{y} \ \ 0< x< \infty , \ \ 0 < y< \infty \\ \ \ 0 \ \ \ \ अन्यथा \end{मामलों}

सशर्त संभाव्यता को खोजने के लिए पहले हमें सशर्त घनत्व फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है, इसलिए परिभाषा के अनुसार यह होगा

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}

=\frac{e^{-x/y}e^{-y}/y}{e^{-y}\int_{0}^{\infty}(1/y)e^{-x/y }डीएक्स}

=\frac{1}{y}e^{-x/y}

अब प्रायिकता में इस घनत्व फलन का उपयोग कर रहे हैं सशर्त संभाव्यता is

P\बाएं { X> 1|Y=y \right} =\int_{1}^{\infty}\frac{1}{y} e^{-x/y}dx

= ई^{-x/y} \lvert_{1}^{\infty}

= ई^{-1/y}

द्विचर सामान्य वितरण का सशर्त वितरण

  हम जानते हैं कि सामान्य यादृच्छिक चर X और Y का द्विचर सामान्य वितरण संबंधित साधनों और भिन्नताओं के साथ होता है क्योंकि मापदंडों में संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन होता है

सशर्त वितरण
द्विचर सामान्य वितरण का सशर्त वितरण

इसलिए दिए गए X के लिए ऐसे द्विचर सामान्य वितरण के लिए सशर्त वितरण को खोजने के लिए निरंतर यादृच्छिक चर के सशर्त घनत्व फ़ंक्शन और हमारे पास उपरोक्त संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन का पालन करके परिभाषित किया गया है

सशर्त वितरण
द्विचर सामान्य वितरण का सशर्त वितरण

इसे देखकर हम कह सकते हैं कि यह सामान्य रूप से माध्य के साथ वितरित किया जाता है

\बाएं ( \mu {x} + \rho \frac{\sigma {x}}{\sigma {y}} (y-\mu {y}) \right)

और विचरण

\sigma _{x}^{2}(1-\rho ^{2})

इसी तरह पहले से परिभाषित वाई दिए गए एक्स के लिए सशर्त घनत्व फ़ंक्शन एक्स के पैरामीटर की स्थिति को वाई के साथ बदल देगा,

एक्स के लिए सीमांत घनत्व फ़ंक्शन हम स्थिरांक के मान का उपयोग करके उपरोक्त सशर्त घनत्व फ़ंक्शन से प्राप्त कर सकते हैं

सशर्त वितरण
द्विचर सामान्य वितरण का सशर्त वितरण

आइए हम इंटीग्रल में स्थानापन्न करें

w=\frac{y-\mu {y}}{\sigma {y}}

घनत्व समारोह अब होगा

सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुण

. के कुल मूल्य के बाद से

सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुण

प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार घनत्व फलन अब होगा

सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुण

जो सामान्य माध्य और पैरामीटर के रूप में विचरण के साथ यादृच्छिक चर X के घनत्व कार्य के अलावा और कुछ नहीं है।

यादृच्छिक चर के फलन का संयुक्त प्रायिकता वितरण

  अब तक हम दो यादृच्छिक चर के संयुक्त संभाव्यता वितरण को जानते हैं, अब यदि हमारे पास ऐसे यादृच्छिक चर के कार्य हैं तो उन कार्यों का संयुक्त संभाव्यता वितरण क्या होगा, घनत्व और वितरण फ़ंक्शन की गणना कैसे करें क्योंकि हमारे पास वास्तविक जीवन स्थितियां हैं जहां हम यादृच्छिक चर के कार्य हैं,

यदि आप1 और वाई2 यादृच्छिक चर के कार्य हैं X1 और एक्स2 क्रमशः जो संयुक्त रूप से निरंतर हैं तो इन दोनों कार्यों का संयुक्त निरंतर घनत्व कार्य होगा

f_{Y_{1}Y_{2}}(y_{1}y_{2})=fX_{1}X_{2}(x_{1},x_{2})|J(x_{1},x_{2})|^{-1}

जहां जैकोबियन

J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} \frac{\आंशिक g_1}{\आंशिक x_1} और \frac{\आंशिक g_1}{\आंशिक x_2} \ \ \\ \frac{ \आंशिक g_2}{\आंशिक x_1} और \frac{\आंशिक g_2}{\आंशिक x_2} \end{vmatrix} \equiv \frac{\आंशिक g_1}{\आंशिक x_1}\frac{\आंशिक g_2}{\ आंशिक x_2} - \frac{\आंशिक g_1}{\आंशिक x_2}\frac{\आंशिक g_2}{\आंशिक x_1} \neq 0

और वाई1 =g1 (X1, एक्स2) और यू2 =g2 (X1, एक्स2) कुछ कार्यों के लिए जी1 और जी2 . यहाँ जी1 और जी2 जैकोबियन की शर्तों को निरंतर के रूप में संतुष्ट करता है और निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होता है।

अब यादृच्छिक चरों के ऐसे फलनों की प्रायिकता होगी

सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुण

यादृच्छिक चर के फलन के संयुक्त प्रायिकता वितरण पर उदाहरण Examples

  1. यादृच्छिक चर Y . का संयुक्त घनत्व फलन ज्ञात कीजिए1 =X1 +X2 और वाई2=X1 -X2 , जहां X1 और एक्स2 संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ संयुक्त रूप से निरंतर हैं। वितरण की विभिन्न प्रकृति के बारे में भी चर्चा करें।

यहां हम सबसे पहले जैकोबियन की जांच करेंगे

J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} \frac{\आंशिक g_1}{\आंशिक x_1} और \frac{\आंशिक g_1}{\आंशिक x_2} \ \\ \frac{\ आंशिक g_2}{\आंशिक x_1} और \frac{\आंशिक g_2}{\आंशिक x_2} \end{vmatrix}

जी के बाद से1(x1, एक्स2)= एक्स1 + एक्स2  और जी2(x1, एक्स2)= एक्स1 - एक्स2 so

J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-2

Y को सरल बनाना1 =X1 +X2 और वाई2=X1 -X2 , X . के मान के लिए1 =1/2( वाई1 +Y2 ) और एक्स2 = वाई1 -Y2 ,

f_{Y_{1}},<em>{Y</em>{2}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{2}f_{X_{1},X_{2}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{y_{1} - y_{2}}{2} \right )

यदि ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र समान यादृच्छिक चर हैं

f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\begin{cases} \frac{1}{2} \ \ 0 \leq y_{1} + y_{2 } \leq 2 \ \ , \ \ 0\leq y_{1} - y_{2} \leq 2 \\ 0 \ \ अन्यथा \end{मामलों}

या यदि ये यादृच्छिक चर सामान्य मापदंडों के साथ स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर हैं

सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुण

या यदि ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं तो

f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\frac{1}{4\pi }e^{-[(y_{1}+y_{2})^{2}/8 + (y_{1} -y_{2})^{2}/8]}

=\frac{1}{4\pi } e^{-\बाएं ( y_{1}^{2} + y_{2}^{2}\right )/4}

=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{1}^{2}/4} \frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{2}^{2}/4}

  • यदि X और Y दिए गए अनुसार स्वतंत्र मानक सामान्य चर हैं
सशर्त वितरण

संबंधित ध्रुवीय निर्देशांक के लिए संयुक्त वितरण की गणना करें।

हम सामान्य रूपांतरण X और Y को r और as . में परिवर्तित करेंगे

g_{1}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ \ और \ \ \theta =g_{2} (x,y)= tan^{-1}\ फ़्रेक{y}{x}

तो इन फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न होगा

\frac{\आंशिक g_{1}}{\आंशिक x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

\frac{\आंशिक g_{2}}{\आंशिक x}=\frac{1}{1+ (y/x)^{2}}\बाएं ( \frac{-y}{x^{2}} \right )^{2} =\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}

\frac{\आंशिक g_{1}}{\आंशिक y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

\frac{\आंशिक g_{2}}{\आंशिक y}=\frac{1}{x\बाएं [ 1+(y/x)^{2} \right ]}=\frac{x}{x^ {2}+y^{2}}

तो जैकोबियन इस फ़ंक्शन का उपयोग कर रहा है

J(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} + \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r}

यदि दोनों यादृच्छिक चर X और Y शून्य से अधिक हैं तो सशर्त संयुक्त घनत्व फलन है

f(x,y|X > 0, Y > 0)=\frac{f(x,y)}{P(X > 0, Y> 0)}=\frac{2}{\pi}e^{ -(x^{2}+y^{2})/2} \ \ x> 0, \ \ y> 0

अब कार्टेशियन का रूपांतरण ध्रुवीय समन्वय का उपयोग करके समन्वय करता है

r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ \ और \ \ \theta =tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )

तो सकारात्मक मूल्यों के लिए संभाव्यता घनत्व समारोह होगा

f(r,\theta|X > 0, Y> 0)=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 0< \theta < \frac{\pi }{2} , \ \ 0< आर< \infty

एक्स और वाई के विभिन्न संयोजनों के लिए घनत्व कार्य समान तरीके से हैं

f(r,\theta|X 0)=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ \pi /2 < \theta < \pi , \ \ 0< आर< \infty

f(r,\theta|X < 0, Y< 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ \pi < \theta < 3\pi/ 2 , \ \ 0< आर< \infty

f(r,\theta|X > 0, Y< 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 3\pi/2 < \theta < 2 \pi , \ \ 0< आर< \infty

अब उपरोक्त घनत्वों के औसत से हम घनत्व फलन को इस प्रकार बता सकते हैं

f(r,\theta)=\frac{1}{2\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 0 < \theta < 2\pi , \ \ 0< r< \infty

और अंतराल पर ध्रुवीय निर्देशांक के इस संयुक्त घनत्व से सीमांत घनत्व फलन (0, 2π)

f(r)=re^{-r^{2}/2} , \ \ 0< r< \infty

  • यादृच्छिक चरों के फलन के लिए संयुक्त घनत्व फलन ज्ञात कीजिए

यू=एक्स+वाई और वी=एक्स/(एक्स+वाई)

जहां एक्स और वाई क्रमशः पैरामीटर (α + ) और (β +λ) के साथ गामा वितरण हैं।

गामा वितरण और संयुक्त वितरण फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए यादृच्छिक चर X और Y के लिए घनत्व फलन होगा

f_{X,Y} (x,y)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )} \frac{\ लैम्ब्डा ई ^ {- \ लैम्ब्डा वाई} (\ लैम्ब्डा वाई) ^ {\ बीटा -1}} {\ गामा (\ बीटा)}

=\frac{\lambda ^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta )} e^{-\lambda (x+y)} x^{\alpha -1}y ^{\बीटा -1}

दिए गए कार्यों पर विचार करें

g1 (x,y) =x+y , g2 (एक्स, वाई) = एक्स/(एक्स+वाई),

तो इन फ़ंक्शन का विभेदन है

\frac{\आंशिक g_{1}}{\आंशिक x}=\frac{\आंशिक g_{1}}{\आंशिक y}=1

\frac{\आंशिक जी_{2}}{\आंशिक x}=\frac{y}{(x+y)^{2}}

\frac{\आंशिक g_{2}}{\आंशिक y}=-\frac{x}{(x+y)^{2}}

अब जैकोबियन is

J(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\\ \frac{y}{(x+y)^{2}} & \frac{-x}{(x+y)^{2 }} \end{vmatrix} = -\frac{1}{x+y}

दिए गए समीकरणों को सरल बनाने के बाद चर x=uv और y=u(1-v) प्रायिकता घनत्व फलन है

f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y} \left [ uv,u(1-v) \right]u

=\frac{\lambda e^{-\lambda u}(\lambda u)^{\alpha +\beta -1}}{\गामा (\alpha +\beta )} \frac{v^{\alpha - 1}(1-v)^{\beta -1}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}

हम संबंध का उपयोग कर सकते हैं

बी(\alpha ,\beta )=\int_{0}^{1}v^{\alpha -1}(1-v)^{\beta -1}dv

=\frac{\गामा (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}

  • के लिए संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना करें

Y1 =X1 +X2+ एक्स3 , वाई2 =X1- एक्स2 , वाई3 =X1 - एक्स3

जहां यादृच्छिक चर X1 , एक्स2, एक्स3 मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं।

आइए अब हम के आंशिक अवकलजों का उपयोग करके जैकोबियन की गणना करें

Y1 =X1 +X2+ एक्स3 , वाई2 =X1- एक्स2 , वाई3 =X1 - एक्स3

as

जे = \शुरू {vmatrix} 1 और 1 और 1 \ \\ 1 और -1 और 0 \\ \ 1 और 0 और -1 \end{vmatrix} =3

चर X . के लिए सरलीकरण1 , एक्स2 और एक्स3

X1 = (वाई1 + वाई2 + वाई3)/3 , एक्स2 = (वाई1 - 2Y2 + वाई3)/3 , एक्स3 = (वाई1 + वाई2 -2 वाई3) / 3

हम संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन को सामान्य कर सकते हैं:

f_{Y_{1} \cdot \cdot \cdot Y_{n}}(y_{1} \cdot \cdot \cdot y_{n})=f_{X_{1} \cdot \cdot \cdot X_{n} }(x_{1} \cdot \cdot \cdot x_{n})|J(x_{1} \cdot \cdot \cdot x_{n})|^{-1}

तो हमारे पास

f_{Y_{1}, Y_{2},Y_{3}}(y_{1}, y_{2},y_{3})=\frac{1}{3}f_{X_{1},X_{2},X_{3}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}-2y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2} -2y_{3}}{3} \right )

सामान्य चर के लिए संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है

f_{X_{1}, X_{2},X_{3}}(x_{1}, x_{2},x_{3})=\frac{1}{(2\pi )^{3/2}}e^{-\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}/2}

इसलिये

f_{Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}}(y_{1}, y_{2}, y_{3})=\frac{1}{3(2\pi )^{3/2}}e^{-Q(y_{1},y_{2},y_{3})/2}

जहां सूचकांक है

Q(y_{1},y_{2},y_{3})=\बाएं ( \frac{(y_{1}+y_{2}+y_{3})}{3} \right )^{2 } + \बाएं ( \frac{(y_{1}-2y_{2}+y_{3})}{3} \right )^{2} + \बाएं ( \frac{(y_{1}+y_{ 2}-2y_{3})}{3} \दाएं )^{2}

=\frac{y_{1}^{2}}{3} + \frac{2}{3} y_{2}^{2} +\frac{2}{3} y_{3}^{2} -\frac{2}{3}y_{2}y_{3}

Y के संयुक्त घनत्व फलन की गणना कीजिए1 …… हाँn और Y . के लिए सीमांत घनत्व फलनn जहां

Y_{i}= X_{1}+ \cdot \cdot \cdot.+X_{i} \ \ i=1, \cdot \cdot \cdot..,n

और एक्सi पैरामीटर के साथ स्वतंत्र समान रूप से वितरित घातीय यादृच्छिक चर हैं।

फॉर्म के यादृच्छिक चर के लिए

Y1 =X1 , वाई2 =X1 + एक्स2 , ……, यूn =X1 + ……+ एक्सn

जैकोबियन फॉर्म का होगा

सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुण

और इसलिए इसका मान एक है, और घातीय यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन

f_{X_{1} \cdot \cdot \cdot X_{n}}(x_{1}, \cdot \cdot \cdot,x_{n})=\prod_{i=1}^{n}\lambda e ^{-\lambda x_{i}} \ \ 0< x_{i}< \infty , \ \ i=1, \cdot \cdot \cdot ,n

और चर X . के मानi की होगी

X_{1}=Y_{1} , X_{2}=Y_{2} -Y_{1} ,\cdot \cdot \cdot , X_{i}=Y_{i} -Y_{i-1}, \ cdot \cdot \cdot, X_{n}=Y_{n} -Y_{n-1}

तो संयुक्त घनत्व समारोह है

f_{Y_{1}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}}(y_{1},y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})=f_{X_{1 },\cdot \cdot \cdot \cdot ,X_{n}}(y_{1},y_{2} -y_{1},\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,y_{i}-y_{ i-1},\cdot \cdot \cdot ,y_{n}-y_{n-1} )

=\लैम्ब्डा ^{n} expक्स्प\बाएं {-\लैम्ब्डा \बाएं [ y_{1} + \sum_{i=2}^{n}(y_{i}-y_{i-1}) \right ] \ सही }

=\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{1}, 0< y_{i}-y_{i-1} , i=2, \cdot \cdot \ सीडीओटी, एन

=\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{1} < y_{2} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}

अब Y . का सीमांत घनत्व फलन ज्ञात कीजिएn हम एक के बाद एक एकीकृत करेंगे

f_{Y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})= \int_{0}^{y_{2 }}\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}}dy_{1}

=\lambda ^{n} y_{2} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{2} < y_{3} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}

और

f_{Y_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})= \int_{0}^{y_{3 }}\lambda ^{n} y_{2} e^{-\lambda y_{n}}dy_{2}

=\frac{\lambda ^{n}}{2} y_{3}^{2} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{3} < y_{4} < \cdot \ cdot \cdot < y_{n}

बुद्धिमान की तरह

f_{Y_{4}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{4}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n}) =\frac{\lambda ^{n}} {3!} y_{4}^{3} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0 < y_{4} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}

यदि हम इस प्रक्रिया को जारी रखते हैं तो हमें प्राप्त होगा

f_{Y_{n}}(y_{n})=\lambda ^{n}\frac{y_{n}^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda y_{ n}} \ \ 0< y_{n}

जो सीमांत घनत्व फलन है।

निष्कर्ष:

RSI सशर्त वितरण असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए विभिन्न उदाहरणों के साथ चर्चा की गई इन यादृच्छिक चर के कुछ प्रकारों पर विचार करते हुए, जहां स्वतंत्र यादृच्छिक चर महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके अलावा संयुक्त निरंतर यादृच्छिक चर के कार्य के लिए संयुक्त वितरण को भी उपयुक्त उदाहरणों के साथ समझाया गया है, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है तो नीचे दिए गए लिंक पर जाएं।

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ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

सशर्त वितरण | इसके 5 महत्वपूर्ण गुणमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, दिलचस्प और आत्म व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजेक्स में योगदान करना मुझे अच्छा लगता है।
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