सशर्त अपेक्षा: 7 तथ्य जो आपको जानना चाहिए

एक दूसरे पर निर्भर यादृच्छिक चर के लिए सशर्त संभावनाओं की गणना की आवश्यकता होती है, जिसकी हमने पहले ही चर्चा की थी, अब हम ऐसे यादृच्छिक चर या प्रयोगों जैसे सशर्त अपेक्षा और विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक चर के लिए सशर्त विचरण के लिए कुछ और मापदंडों पर चर्चा करेंगे।

सशर्त अपेक्षा

   असतत यादृच्छिक चर X दिए गए Y के सशर्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन की परिभाषा है

यहाँ pY(y)>0 , तो सशर्त असतत यादृच्छिक चर के लिए अपेक्षा X ने Y दिया है जब pY (y)>0 is

उपरोक्त अपेक्षा में संभावना सशर्त है संभावना।

  इसी तरह यदि एक्स और वाई निरंतर हैं तो यादृच्छिक चर एक्स का सशर्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन दिया गया है

जहां f(x,y) संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन है और सभी yf . के लिए_Y(y)>0 , तो y दिए गए यादृच्छिक चर X के लिए सशर्त अपेक्षा होगी

सभी yf . के लिए_Y(वाई)> 0।

   जैसा कि हम जानते हैं कि सभी संभाव्यता के गुण सशर्त पर लागू होते हैं सशर्त अपेक्षा के मामले में संभाव्यता समान है, गणितीय अपेक्षा के सभी गुण सशर्त अपेक्षा से संतुष्ट हैं, उदाहरण के लिए यादृच्छिक चर के कार्य की सशर्त अपेक्षा होगी

और सशर्त अपेक्षा में यादृच्छिक चर का योग होगा

द्विपद यादृच्छिक चर के योग के लिए सशर्त अपेक्षा

    सशर्त खोजने के लिए द्विपद यादृच्छिक चर के योग की अपेक्षा एक्स और वाई पैरामीटर एन और पी के साथ जो स्वतंत्र हैं, हम जानते हैं कि एक्स + वाई भी पैरामीटर 2 एन और पी के साथ द्विपद यादृच्छिक चर होगा, इसलिए यादृच्छिक चर एक्स के लिए एक्स + वाई = एम दिए गए सशर्त अपेक्षा की गणना करके प्राप्त किया जाएगा संभावना

जब से हम जानते हैं कि

इस प्रकार X की सशर्त अपेक्षा X+Y=m दी गई है

उदाहरण:

सशर्त अपेक्षा खोजें

अगर जोड़ सतत यादृच्छिक चरों की संभाव्यता घनत्व फलन एक्स और वाई के रूप में दिया गया है

उपाय:

सशर्त अपेक्षा की गणना करने के लिए हमें सशर्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है, इसलिए

चूँकि सतत यादृच्छिक चर के लिए सशर्त उम्मीद है

इसलिए दिए गए घनत्व फ़ंक्शन के लिए सशर्त अपेक्षा होगी

कंडीशनिंग द्वारा अपेक्षा || सशर्त अपेक्षा से अपेक्षा

                हम गणना कर सकते हैं गणितीय अपेक्षा एक्स की सशर्त अपेक्षा की मदद से वाई को दिया गया है

असतत यादृच्छिक चर के लिए यह होगा

जिसे के रूप में प्राप्त किया जा सकता है

और निरंतर यादृच्छिक के लिए हम इसी तरह दिखा सकते हैं

उदाहरण:

                एक व्यक्ति भूमिगत अपने भवन में फंस गया है क्योंकि कुछ भारी भार के कारण प्रवेश द्वार अवरुद्ध है सौभाग्य से तीन पाइपलाइन हैं जिनसे वह बाहर आ सकता है पहला पाइप उसे 3 घंटे के बाद सुरक्षित रूप से बाहर ले जाता है, दूसरा 5 घंटे के बाद और तीसरा पाइप लाइन के बाद 7 घंटे, यदि इनमें से कोई भी पाइपलाइन उसके द्वारा समान रूप से चुनी जाती है, तो वह कितने समय में सुरक्षित बाहर आ जाएगा।

उपाय:

मान लें कि X एक यादृच्छिक चर है जो व्यक्ति के सुरक्षित बाहर आने तक घंटों में समय को दर्शाता है और Y उस पाइप को दर्शाता है जिसे वह शुरू में चुनता है, इसलिए

के बाद से

यदि व्यक्ति दूसरा पाइप चुनता है, तो वह उसमें 5 घंटे बिताता है लेकिन वह अपेक्षित समय के साथ बाहर आ जाता है

तो उम्मीद होगी

सशर्त अपेक्षा का उपयोग करते हुए यादृच्छिक चर की यादृच्छिक संख्या के योग की अपेक्षा

                मान लीजिए N यादृच्छिक चर की यादृच्छिक संख्या है और यादृच्छिक चर का योग है     फिर उम्मीद  

के बाद से

as

इस प्रकार

द्विचर वितरण का सहसंबंध

यदि द्विचर यादृच्छिक चर X और Y का प्रायिकता घनत्व फलन है

जहां

तो घनत्व फलन के साथ द्विचर वितरण के लिए यादृच्छिक चर X और Y के बीच सहसंबंध है

चूंकि सहसंबंध को के रूप में परिभाषित किया गया है

चूंकि सशर्त अपेक्षा का उपयोग करने की अपेक्षा है

सामान्य वितरण के लिए सशर्त वितरण X दिए गए Y का माध्य है

अब XY द्वारा दिए गए Y की अपेक्षा है

यह देता है

इसलिये

ज्यामितीय वितरण का प्रसरण

    ज्यामितीय वितरण में हम क्रमिक रूप से स्वतंत्र परीक्षण करते हैं जिसके परिणामस्वरूप प्रायिकता p के साथ सफलता मिलती है, यदि N इन उत्तराधिकार में पहली सफलता के समय का प्रतिनिधित्व करता है, तो परिभाषा के अनुसार N का विचरण होगा

मान लें कि यादृच्छिक चर Y = 1 यदि पहले परीक्षण में सफलता मिलती है और Y = 0 यदि पहला परीक्षण विफल हो जाता है, तो अब गणितीय अपेक्षा को खोजने के लिए हम सशर्त अपेक्षा को लागू करते हैं

के बाद से

यदि सफलता पहले परीक्षण में है तो N=1 और N²= 1 यदि पहले परीक्षण में विफलता होती है, तो पहली सफलता प्राप्त करने के लिए परीक्षणों की कुल संख्या का वितरण 1 के समान होगा अर्थात पहला परीक्षण जिसके परिणामस्वरूप विफलता के साथ-साथ अतिरिक्त परीक्षणों की आवश्यक संख्या भी होगी, अर्थात

इस प्रकार उम्मीद होगी

चूंकि ज्यामितीय वितरण की अपेक्षा है so

इसलिये

और

E

तो ज्यामितीय वितरण का प्रसरण होगा

एकसमान यादृच्छिक चर के न्यूनतम अनुक्रम की अपेक्षा

   एकसमान यादृच्छिक चर का क्रम U₁, यू₂ … .. अंतराल (0, 1) पर और N को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

फिर N की अपेक्षा के लिए, किसी x ∈ [0, 1] के लिए N का मान

हम N की अपेक्षा को इस प्रकार निर्धारित करेंगे

उम्मीद को खोजने के लिए हम निरंतर यादृच्छिक चर पर सशर्त अपेक्षा की परिभाषा का उपयोग करते हैं

अब क्रम के पहले कार्यकाल के लिए कंडीशनिंग  हमारे पास है

यहाँ हमें मिलता है

एकसमान यादृच्छिक चर की शेष संख्या उस बिंदु पर समान होती है जहां पहला समान मान y है, शुरू में और फिर एक समान यादृच्छिक चर जोड़ने जा रहे थे जब तक कि उनका योग x - y से अधिक न हो जाए।

इसलिए अपेक्षा के इस मूल्य का उपयोग करके अभिन्न का मूल्य होगा

अगर हम इस समीकरण को अलग करते हैं

और

अब इसे एकीकृत करना देता है

इसलिये

k=1 का मान यदि x=0 , तो

m

और m(1) =e, अंतराल (0, 1) पर एकसमान यादृच्छिक चरों की अपेक्षित संख्या, जिन्हें तब तक जोड़ने की आवश्यकता है जब तक कि उनका योग 1 से अधिक न हो जाए, e के बराबर है

सशर्त अपेक्षा का उपयोग करने की प्रायिकता || कंडीशनिंग का उपयोग करने की संभावनाएं

   हम सशर्त अपेक्षा का उपयोग करके भी संभावना पा सकते हैं जैसे कि हमने सशर्त अपेक्षा के साथ पाया, इसे एक घटना और एक यादृच्छिक चर एक्स के रूप में प्राप्त करने के लिए

इस यादृच्छिक चर और अपेक्षा की परिभाषा से स्पष्ट रूप से

अब सशर्त अपेक्षा से किसी भी अर्थ में हमारे पास है

उदाहरण:

गणना करें जन समारोह की संभावना यादृच्छिक चर X का, यदि U अंतराल (0,1) पर एकसमान यादृच्छिक चर है, और दिए गए X के सशर्त वितरण पर विचार करें U=p पैरामीटर n और p के साथ द्विपद के रूप में।

उपाय:

U के मान के लिए कंडीशनिंग द्वारा प्रायिकता है

हमारे पास परिणाम है

तो हम प्राप्त करेंगे

उदाहरण:

X <Y की प्रायिकता क्या है, यदि X और Y प्रायिकता घनत्व फलन f with के साथ सतत यादृच्छिक चर हैं_X और च_Y क्रमशः.

उपाय:

सशर्त अपेक्षा और सशर्त संभावना का उपयोग करके

as

उदाहरण:

निरंतर स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के योग के वितरण की गणना करें।

उपाय:

X+Y का बंटन ज्ञात करने के लिए हमें निम्न प्रकार से कंडीशनिंग का उपयोग करके योग की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी

निष्कर्ष:

अलग-अलग उदाहरणों के साथ असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए सशर्त अपेक्षा, स्वतंत्र यादृच्छिक चर और विभिन्न स्थितियों में संयुक्त वितरण का उपयोग करके चर्चा किए गए इन यादृच्छिक चर के कुछ प्रकारों पर विचार करते हुए, साथ ही सशर्त अपेक्षा का उपयोग करके कैसे प्राप्त किया जाए, इसकी अपेक्षा और संभावना को समझाया गया है उदाहरण, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है, तो नीचे दी गई पुस्तकों को देखें या संभाव्यता पर अधिक लेख के लिए, कृपया हमारा अनुसरण करें गणित के पन्ने.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय

डॉ मोहम्मद माझर उल हक

मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।