सशर्त अपेक्षा | 5+ उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुण

सामग्री की तालिका

एक दूसरे पर निर्भर यादृच्छिक चर के लिए सशर्त संभावनाओं की गणना की आवश्यकता होती है, जिसकी हमने पहले ही चर्चा की थी, अब हम ऐसे यादृच्छिक चर या प्रयोगों जैसे सशर्त अपेक्षा और विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक चर के लिए सशर्त विचरण के लिए कुछ और मापदंडों पर चर्चा करेंगे।

सशर्त अपेक्षा

   असतत यादृच्छिक चर X दिए गए Y के सशर्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन की परिभाषा है

p_{X|Y}(x|y)=P \बाएं { X=x|Y=y \right}= \frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}

यहाँ pY(y)>0 , इसलिए असतत यादृच्छिक चर X के लिए सशर्त अपेक्षा Y दिया गया है जब pY (y)>0 is

E\बाएं [ X|Y=y \right ] =\sum_{x}^{} xP \बाएं \{ X=x|Y=y \right \}

=\sum_{x}^{} xp_{X|Y}(x|y)

उपरोक्त अपेक्षा में प्रायिकता सशर्त प्रायिकता है।

  इसी तरह यदि एक्स और वाई निरंतर हैं तो यादृच्छिक चर एक्स का सशर्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन दिया गया है

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}

जहां f(x,y) संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन है और सभी yf . के लिएY(y)>0 , तो y दिए गए यादृच्छिक चर X के लिए सशर्त अपेक्षा होगी

E\बाएं [ X|Y=y \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X|Y}(x|y)dx

सभी yf . के लिएY(वाई)> 0।

   जैसा कि हम जानते हैं कि संभाव्यता के सभी गुण सशर्त संभाव्यता पर लागू होते हैं, वही सशर्त अपेक्षा के मामले में होता है, गणितीय अपेक्षा के सभी गुण सशर्त अपेक्षा से संतुष्ट होते हैं, उदाहरण के लिए यादृच्छिक चर के कार्य की सशर्त अपेक्षा होगी

\शुरू {सरणी} {सी} ई [जी (एक्स) \ मध्य वाई = वाई] = \ बाएं \ {\ शुरू {सरणी} {एल} \ योग_ {एक्स} जी (एक्स) पी_ {एक्स \ मध्य वाई} x \mid y) \quad \text { असतत मामले में } \\ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_{X \mid} \gamma(x \mid y) dx \text {सतत मामले में} \end{सरणी} \end{सरणी}

और सशर्त अपेक्षा में यादृच्छिक चर का योग होगा

\शुरू {गठबंधन} E\बाएं[\sum_{i=1}^{n} X_{i} \mid Y=y\right]=\sum_{i=1}^{n} E\बाएं[X_{ i} \मध्य Y=y\दाएं] \अंत{गठबंधन}

द्विपद यादृच्छिक चर के योग के लिए सशर्त अपेक्षा

    पैरामीटर n और p के साथ द्विपद यादृच्छिक चर X और Y के योग की सशर्त अपेक्षा को खोजने के लिए, जो स्वतंत्र हैं, हम जानते हैं कि X+Y भी पैरामीटर 2n और p के साथ द्विपद यादृच्छिक चर होगा, इसलिए यादृच्छिक चर X के लिए X+ दिया गया है Y=m प्रायिकता की गणना करके सशर्त अपेक्षा प्राप्त की जाएगी

\शुरू {गठबंधन} P[X=k \mid X+Y=m] &=\frac{P[X=k, X+Y=m]}{P(X+Y=m)} \\ &= \frac{P[X=k, Y=mk]}{P[X+Y=m]} \\ &=\frac{P[X=k \mid P[Y=mk \mid}{P(X) +Y=m]} \\ &=\frac{\बाएं(\प्रारंभ {सरणी} {l} n \\ k \end{सरणी}\दाएं) p^{k}(1-p)^{nk} \बाएं (\ शुरू {सरणी} {सी} एन \\ एमके \ अंत {सरणी}\दाएं) पी ^ {एमके} (1-पी) ^ {एन-एम + के}} {\ बाएं (\ शुरू {सरणी }{l} 2 n \\ m \end{array}\right) p^{m}(1-p)^{2 nm}} \end{aligned}

जब से हम जानते हैं कि

E[X]=E\बाएं[X_{1}\दाएं]+\cdots+E\left[X_{m}\right]=\frac{mn}{N}

इस प्रकार X की सशर्त अपेक्षा X+Y=m दी गई है

ई[एक्स \मध्य एक्स+वाई=एम]=\frac{m}{2}

उदाहरण:

सशर्त अपेक्षा खोजें

ई [एक्स \ मध्य वाई = वाई]।

यदि निरंतर यादृच्छिक चर X और Y का संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन इस प्रकार दिया गया है:

f(x, y)=\frac{e^{-x / y} e^{-y}}{y} & 0

उपाय:

सशर्त अपेक्षा की गणना करने के लिए हमें सशर्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है, इसलिए

\शुरू {गठबंधन} f_{X \mid Y}(x \mid y) &=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \\ &=\frac{f(x, y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx} \\ &=\frac{(1 / y) e^{-x / y} e^{-y} }{\int_{0}^{\infty}(1 / y) e^{-x / y_{e}-y} dx} \\ &=\frac{(1 / y) e^{-x / y}}{\int_{0}^{\infty}(1 / y) e^{-x / y} dx} \\ &=\frac{1}{y} e^{-x / y} \ अंत {गठबंधन}

चूंकि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए सशर्त अपेक्षा है

E[X \mid Y=y]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{X \mid Y}(x \mid y) dx

इसलिए दिए गए घनत्व फ़ंक्शन के लिए सशर्त अपेक्षा होगी

E[X \mid Y=y]=\int_{0}^{\infty} \frac{x}{y} e^{-x / y} dx=y

कंडीशनिंग द्वारा अपेक्षा || सशर्त अपेक्षा से अपेक्षा

                हम दिए गए Y की सशर्त अपेक्षा की सहायता से गणितीय अपेक्षा की गणना कर सकते हैं:

ई [एक्स] = ई [ई [एक्स \ मध्य वाई]]

असतत यादृच्छिक चर के लिए यह होगा

E[X]=\sum_{y} E[X \mid Y=y] P\{Y=y\}

जिसे के रूप में प्राप्त किया जा सकता है

\शुरू{गठबंधन} \sum_{y} E[X \mid Y=y] P\{Y=y\} &=\sum_{y} \sum_{x} x P[X=x \mid Y=y \} P\{Y=y\} \\ &=\sum_{y} \sum_{x} x \frac{P\{X=x, Y=y\}}{P\{Y=y\} } P[Y=y\} \\ &=\sum_{y} \sum_{x} x P[X=x, Y=y\} \\ &=\sum_{x} x \sum_{y} P \{X=x, Y=y\} \\ &=\sum_{x} x P\{X=x\} \\ &=E[X] \end{aligned}

और निरंतर यादृच्छिक के लिए हम इसी तरह दिखा सकते हैं

E[X] =\int_{-\infty}^{\infty} E\left[X|Y=y| f_{Y}(y) डाई\राइट।

उदाहरण:

                एक व्यक्ति भूमिगत अपने भवन में फंस गया है क्योंकि कुछ भारी भार के कारण प्रवेश द्वार अवरुद्ध है सौभाग्य से तीन पाइपलाइन हैं जिनसे वह बाहर आ सकता है पहला पाइप उसे 3 घंटे के बाद सुरक्षित रूप से बाहर ले जाता है, दूसरा 5 घंटे के बाद और तीसरा पाइप लाइन के बाद 7 घंटे, यदि इनमें से कोई भी पाइपलाइन उसके द्वारा समान रूप से चुनी जाती है, तो वह कितने समय में सुरक्षित बाहर आ जाएगा।

उपाय:

मान लें कि X एक यादृच्छिक चर है जो व्यक्ति के सुरक्षित बाहर आने तक घंटों में समय को दर्शाता है और Y उस पाइप को दर्शाता है जिसे वह शुरू में चुनता है, इसलिए

E[X]=E[X \mid Y=1] P\{Y=1\}+E[X \mid Y=2] P\{Y=2\}+E[X \mid Y=3] P\{Y=3\}\\ =\frac{1}{3}(E[X \mid Y=1]+E[X \mid Y=2]+E[X \mid Y=3])

के बाद से

$E[X \mid Y=1]=3$\\ $E[X \mid Y=2]=5+E[X]$\\ $E[X \mid Y=3]=7+E[ एक्स]$

यदि व्यक्ति दूसरा पाइप चुनता है, तो वह उसमें 5 घंटे बिताता है लेकिन वह अपेक्षित समय के साथ बाहर आ जाता है

ई[एक्स \मध्य वाई=2]=5+ई[एक्स]

तो उम्मीद होगी

E[X]=\frac{1}{3}(3+5+E[X]+7+E[X]) \quad E[X]=15

सशर्त अपेक्षा का उपयोग करते हुए यादृच्छिक चर की यादृच्छिक संख्या के योग की अपेक्षा

                मान लीजिए N यादृच्छिक चर की यादृच्छिक संख्या है और यादृच्छिक चर का योग है  सशर्त अपेक्षा | 5+ उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुण   फिर उम्मीद  

E\बाएं[\sum_{1}^{N} X_{i}\right]=E\left[E\left[\sum_{1}^{N} X_{i} \mid N\right]\right ]

के बाद से

E\बाएं[\sum_{1}^{N} X_{i} \mid N=n\right]=E\left[\sum_{1}^{n} X_{i} \mid N=n\right ]\\ =E\बाएं[\sum_{1}^{n} X_{i}\right] \text{ }X_{i} \text{ और }N \\=n E[X की स्वतंत्रता से ] \पाठ{कहां} E[X]=E\बाएं[X_{i}\दाएं]

as

E\बाएं[\sum_{1}^{N} X_{i} \मध्य N\दाएं]=NE[X]

इस प्रकार

ई\बाएं[\sum_{i=1}^{N} X_{i}\right]=E[NE[X]]=E[N] E[X]

द्विचर वितरण का सहसंबंध

यदि द्विचर यादृच्छिक चर X और Y का प्रायिकता घनत्व फलन है

\begin{array}{c}f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{x} \sigma_{y} \sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \ बायां\{-\frac{1}{2\बाएं(1-\rho^{2}\दाएं)}\दाएं। और {\बाएं[\बाएं(\frac{x-\mu_{x}}{\sigma_{x}}\right)^{2}+\left(\frac{y-\mu_{y}}{\ सिग्मा_{y}}\दाएं)^{2}\दाएं।} और \बाएं। \बाएं.-2 \rho \frac{\बाएं(x-\mu_{x}\दाएं)\बाएं(y-\mu_{y}\दाएं)}{\sigma_{x} \sigma_{y}} दाएं]\दाएं\}\अंत{सरणी}

जहां

\mu_{x}=E[X], \sigma_{x}^{2}=\operatorname{Var}(X)$, और $\mu_{y}=E[Y], \sigma_{y}^ {2}=\operatorname{Var}(Y)$

तो घनत्व फलन के साथ द्विचर वितरण के लिए यादृच्छिक चर X और Y के बीच सहसंबंध है सशर्त अपेक्षा | 5+ उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुण

चूंकि सहसंबंध को के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname{Corr}(X, Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma_{x} \sigma_{y}}$\\ $=\frac{E[XY] -\mu_{x} \mu_{y}}{\sigma_{x} \sigma_{y}}$

चूंकि सशर्त अपेक्षा का उपयोग करने की अपेक्षा है

ई [एक्सवाई] = ई [ई [एक्सवाई \ मध्य वाई]]

सामान्य वितरण के लिए सशर्त वितरण X दिए गए Y का माध्य है

mu_{x}+\rho \frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\left(y-\mu_{y}\right)

अब XY द्वारा दिए गए Y की अपेक्षा है

सशर्त अपेक्षा
सामान्य वितरण

यह देता है

शुरू करें {गठबंधन} ई [एक्सवाई] और = ई \ बाएं [वाई \ mu_ {x} + \ rho \ frac {\ सिग्मा_ {x}} {\ सिग्मा_ {y}} \ बाएं (वाई ^ {2}- \ mu_ {y} Y\right)\right] \\ &=\mu_{x} E[Y]+\rho \frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}} E\left[Y^{2 }-\mu_{y} Y\right] \\ &=\mu_{x} \mu_{y}+\rho \frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\left(E\left) [Y^{2}\right]-\mu_{y}^{2}\right) \\ &=\mu_{x} \mu_{y}+\rho \frac{\sigma_{x}}{\ sigma_{y}} \operatorname{Var}(Y) \\ &=\mu_{x} \mu_{y}+\rho \sigma_{x} \sigma_{y} \end{aligned}

इसलिये

\operatorname{Corr}(X, Y)=\frac{\rho \sigma_{x} \sigma_{y}}{\sigma_{x} \sigma_{y}}=\rho

ज्यामितीय वितरण का प्रसरण

    ज्यामितीय वितरण में हम क्रमिक रूप से स्वतंत्र परीक्षण करते हैं जिसके परिणामस्वरूप प्रायिकता p के साथ सफलता मिलती है, यदि N इन उत्तराधिकार में पहली सफलता के समय का प्रतिनिधित्व करता है, तो परिभाषा के अनुसार N का विचरण होगा

\operatorname{Var}(N)=E\left[N^{2}\right]-(E[N])^{2}

मान लें कि यादृच्छिक चर Y = 1 यदि पहले परीक्षण में सफलता मिलती है और Y = 0 यदि पहला परीक्षण विफल हो जाता है, तो अब गणितीय अपेक्षा को खोजने के लिए हम सशर्त अपेक्षा को लागू करते हैं

ई\बाएं[एन^{2}\दाएं]=ई\बाएं[ई\बाएं[एन^{2} \मध्य वाई\दाएं]\दाएं]

के बाद से

E\बाएं[N^{2} \mid Y=1\right]=1\\ E\left[N^{2} \mid Y=0\right]=E\left[(1+N)^{ 2}\दाएं]

यदि सफलता पहले परीक्षण में है तो N=1 और N2= 1 यदि पहले परीक्षण में विफलता होती है, तो पहली सफलता प्राप्त करने के लिए परीक्षणों की कुल संख्या का वितरण 1 के समान होगा अर्थात पहला परीक्षण जिसके परिणामस्वरूप विफलता के साथ-साथ अतिरिक्त परीक्षणों की आवश्यक संख्या भी होगी, अर्थात

ई\बाएं[एन^{2} \मध्य वाई=0\दाएं]=ई\बाएं[(1+एन)^{2}\दाएं]

इस प्रकार उम्मीद होगी

ई\बाएं[एन^{2}\दाएं]=ई\बाएं[एन^{2} \मध्य वाई=1\दाएं] पी\{Y=1\}+ई\बाएं[एन^{2} \मध्य Y=0\right] P\{Y=0\}\\ =p+(1-p) E\left[(1+N)^{2}\right]\\ =1+(1-p) E \बाएं[2 एन+एन^{2}\दाएं]

चूंकि ज्यामितीय वितरण की अपेक्षा हैसशर्त अपेक्षा | 5+ उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुण so

ई [एन] = 1 / पी

इसलिये

E\left[N^{2}\right]=1+\frac{2(1-p)}{p}+(1-p) E\left[N^{2}

और

ई\बाएं[एन^{2}\दाएं]=\frac{2-p}{p^{2}}

तो ज्यामितीय वितरण का प्रसरण होगा

\begin{aligned}\operatorname{Var}(N) & =E\left[N^{2}\right]-(E[N])^{2} \\ = & \frac{2-p}{ p^{2}}-\left(\frac{1}{p}\right)^{2} \\ = & \frac{1-p}{p^{2}}\end{aligned}

एकसमान यादृच्छिक चर के न्यूनतम अनुक्रम की अपेक्षा

   एकसमान यादृच्छिक चर का क्रम U1, यू2 ….. अंतराल पर (0, 1) और N को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

एन=\मिनट \बाएं\{n: \sum_{i=1}^{n} U_{i}>1\right\}

फिर N की अपेक्षा के लिए, किसी भी x [0, 1] के लिए N . का मान

N(x)=\मिनट \बाएं\{n: \sum_{i=1}^{n} U_{i}>x\right\}

हम N की अपेक्षा को इस प्रकार निर्धारित करेंगे

एम (एक्स) = ई [एन (एक्स)]

उम्मीद को खोजने के लिए हम निरंतर यादृच्छिक चर पर सशर्त अपेक्षा की परिभाषा का उपयोग करते हैं

E[X \mid Y=y]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{X \mid Y}(x \mid y) dx

अब क्रम के पहले कार्यकाल के लिए कंडीशनिंग सशर्त अपेक्षा | 5+ उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुण हमारे पास है

m(x)=\int_{0}^{1} E\left[N(x) \mid U_{1}=y\right] dy

यहाँ हमें मिलता है

E\बाएं[N(x) \mid U_{1}=y\right]=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { if } y>x \\ 1+m(xy) और \पाठ {अगर} y \leq x\end{सरणी}\दाएं।

एकसमान यादृच्छिक चर की शेष संख्या उस बिंदु पर समान होती है जहां पहला समान मान y है, शुरू में और फिर एक समान यादृच्छिक चर जोड़ने जा रहे थे जब तक कि उनका योग x - y से अधिक न हो जाए।

इसलिए अपेक्षा के इस मूल्य का उपयोग करके अभिन्न का मूल्य होगा

m(x)=1+\int_{0}^{x} m(xy) dy\\ =1+\int_{0}^{x} m(u) du \text{ दे कर }u=xy

अगर हम इस समीकरण को अलग करते हैं

एम ^ {\ प्राइम} (एक्स) = एम (एक्स)

और

\frac{m^{\prime}(x)}{m(x)}=1

अब इसे एकीकृत करना देता है

\लॉग [एम(एक्स)]=x+c

इसलिये

एम (एक्स) = के ^ {एक्स}

k=1 का मान यदि x=0 , तो

एम (एक्स) = ई ^ {एक्स}

और m(1) =e, अंतराल (0, 1) पर एकसमान यादृच्छिक चरों की अपेक्षित संख्या, जिन्हें तब तक जोड़ने की आवश्यकता है जब तक कि उनका योग 1 से अधिक न हो जाए, e के बराबर है

सशर्त अपेक्षा का उपयोग करने की प्रायिकता || कंडीशनिंग का उपयोग करने की संभावनाएं

   हम सशर्त अपेक्षा का उपयोग करके भी संभावना पा सकते हैं जैसे कि हमने सशर्त अपेक्षा के साथ पाया, इसे एक घटना और एक यादृच्छिक चर एक्स के रूप में प्राप्त करने के लिए

एक्स = \ बाएं \ {\ शुरू {सरणी} {ll} 1 और \ टेक्स्ट { अगर } ई \ टेक्स्ट { होता है } \\ 0 और \ टेक्स्ट { अगर } ई \ टेक्स्ट { नहीं होता है } \ अंत {सरणी} \ सही।

इस यादृच्छिक चर और अपेक्षा की परिभाषा से स्पष्ट रूप से

E[X]=P(E)\\ E[X \mid Y=y]=P(E \mid Y=y)$ किसी भी यादृच्छिक चर $Y$ के लिए

अब सशर्त अपेक्षा से किसी भी अर्थ में हमारे पास है

P(E)=\sum_{y} P(E \mid Y=y) P(Y=y) \quad$ अगर $Y$ असतत है\\ $=\int_{-\infty}^{\infty} P(E \mid Y=y) f_{Y}(y) dy \quad$ अगर $Y$ निरंतर है

उदाहरण:

यादृच्छिक चर X के संभाव्यता द्रव्यमान फलन की गणना करें, यदि U अंतराल (0,1) पर एकसमान यादृच्छिक चर है, और दिए गए X के सशर्त वितरण पर विचार करें U=p पैरामीटर n और p के साथ द्विपद के रूप में।

उपाय:

U के मान के लिए कंडीशनिंग द्वारा प्रायिकता है

\begin{aligned} P[X=i] ​​&=\int_{0}^{1} P\left[X=i \mid U=pl f_{U}(p) dp\right.\\ &=\ int_{0}^{1} P[X=i \mid U=p\} dp \\ &=\frac{n !}{i !(ni) !} \int_{0}^{1} p^ {i}(1-p)^{ni} डीपी \end{संरेखित}

हमारे पास परिणाम है

\int_{0}^{1} p^{i}(1-p)^{ni} dp=\frac{i !(ni) !}{(n+1) !}

तो हम प्राप्त करेंगे

P[X=i]=\frac{1}{n+1} \quad i=0, \ldots, n

उदाहरण:

X <Y की प्रायिकता क्या है, यदि X और Y प्रायिकता घनत्व फलन f with के साथ सतत यादृच्छिक चर हैंX और चY क्रमशः.

उपाय:

सशर्त अपेक्षा और सशर्त संभावना का उपयोग करके

\शुरू{गठबंधन} पी\{X

as

FX(y)=\int_{-\infty}^{y} f_{X}(x) dx

उदाहरण:

निरंतर स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के योग के वितरण की गणना करें।

उपाय:

X+Y का बंटन ज्ञात करने के लिए हमें निम्न प्रकार से कंडीशनिंग का उपयोग करके योग की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी

\शुरू {गठबंधन}पी(एक्स+वाई

निष्कर्ष:

अलग-अलग उदाहरणों के साथ असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए सशर्त अपेक्षा, स्वतंत्र यादृच्छिक चर और विभिन्न स्थितियों में संयुक्त वितरण का उपयोग करके चर्चा किए गए इन यादृच्छिक चर के कुछ प्रकारों पर विचार करते हुए, साथ ही सशर्त अपेक्षा का उपयोग करके कैसे प्राप्त किया जाए, इसकी अपेक्षा और संभावना को समझाया गया है उदाहरण, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है, तो नीचे दी गई पुस्तकों को देखें या संभाव्यता पर अधिक लेख के लिए, कृपया हमारा अनुसरण करें गणित के पन्ने.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

सशर्त अपेक्षा | 5+ उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण गुणमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, दिलचस्प और आत्म व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजेक्स में योगदान करना मुझे अच्छा लगता है।
आइए लिंक्डइन के माध्यम से जुड़ें - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

en English
X