सशर्त विचरण और भविष्यवाणियां | 5+ उदाहरण के साथ इसके महत्वपूर्ण गुण

इस लेख में विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक चर के लिए सशर्त अपेक्षा का उपयोग करते हुए सशर्त भिन्नता और भविष्यवाणियां कुछ उदाहरणों के साथ हम चर्चा करेंगे।

सामग्री की तालिका

सशर्त विचरण

Y दिए गए यादृच्छिक चर X के सशर्त विचरण को उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे कि Y दिए गए यादृच्छिक चर X की सशर्त अपेक्षा

वार(X|Y)=E[(XE[X|Y])^{2}|Y]

यहाँ विचरण यादृच्छिक चर के बीच अंतर की सशर्त अपेक्षा है और Y का मान दिए जाने पर X दिए गए Y की सशर्त अपेक्षा का वर्ग है।

सशर्त विचरण और सशर्त अपेक्षा के बीच संबंध है

\operatorname{Var}(X \mid Y)=E\left[X^{2} \mid Y\right]-(E[X \mid Y])^{2} \\\ start{aligned} E[ \operatorname{Var}(X \mid Y)] &=E\left[E\left[X^{2} \mid Y\right]\right]-E\left[(E[X \mid Y]) ^{2}\दाएं] \\ और=ई\बाएं[एक्स^{2}\दाएं]-ई\बाएं[(ई[एक्स \मध्य वाई])^{2}\दाएं] \अंत{गठबंधन} \ \जबसे \; ई [ई [एक्स \ मध्य वाई]] = ई [एक्स], \; हम \; है \\\operatorname{Var}(E[X \mid Y])=E\left[(E[X \mid Y])^{2}\right]-(E[X])^{2}

यह किसी भी तरह बिना शर्त भिन्नता और अपेक्षा के संबंध से समान है जो था

\operatorname{Var}(X)=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}

और हम सशर्त विचरण की मदद से विचरण को पा सकते हैं:

\operatorname{Var}(X)=E[\operatorname{Var}(X \mid Y)]+\operatorname{Var}(E[X \mid Y])

सशर्त विचरण का उदाहरण

बस में प्रवेश करने वाले यात्रियों की संख्या का माध्य और विचरण ज्ञात कीजिए यदि बस डिपो में आने वाले लोगों को माध्य t के साथ पोइसन वितरित किया जाता है और बस डिपो में आने वाली प्रारंभिक बस लोगों से स्वतंत्र अंतराल (0,T) पर समान रूप से वितरित की जाती है पहुंचे या नहीं।

उपाय:

किसी भी समय t के लिए माध्य और विचरण ज्ञात करने के लिए, Y बस के आने के समय के लिए यादृच्छिक चर है और N(t) आगमन की संख्या है

ई [एन (वाई) \ मध्य वाई = टी] = ई [एन (टी) \ मध्य वाई = टी] \\ = ई [एन (टी)]

वाई और एन (टी) की स्वतंत्रता से

=\लैम्ब्डा टी

चूँकि N(t) माध्य के साथ पॉइसन है \lambda t
अत

ई [एन (वाई) \ मध्य वाई] = \ लैम्ब्डा वाई

तो उम्मीदें लेना देता है

E[N(Y)]=\lambda E[Y]=\frac{\lambda T}{2}

Var(N(Y)) प्राप्त करने के लिए, हम सशर्त विचरण सूत्र का उपयोग करते हैं

\operatorname{Var}(N(Y) \mid Y=t)=\operatorname{Var}(N(t) \mid Y=t) \\=\operatorname{Var}(N(t)) \quadby \ क्वाड इंडिपेंडेंस \quad\quad \\=\lambda t

इस प्रकार

\begin{aligned} \operatorname{Var}(N(Y) \mid Y) &=\lambda Y \\ E[N(Y) \mid Y] &=\lambda Y \end{aligned}

इसलिए, सशर्त विचरण सूत्र से,

\begin{aligned} \operatorname{Var}(N(Y)) &=E[\lambda Y]+\operatorname{Var}(\lambda Y) \\ &=\lambda \frac{T}{2}+ \lambda^{2} \frac{T^{2}}{12} \end{aligned}

जहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि Var(Y)=T2 / 12।

यादृच्छिक चर की एक यादृच्छिक संख्या के योग का प्रसरण

स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर विचार करें X1,X2,X3,………. और इस क्रम से स्वतंत्र एक अन्य यादृच्छिक चर N, हम इस अनुक्रम के योग का प्रसरण इस प्रकार पाएंगे

\operatorname{Var}\बाएं(\sum_{i=1}^{N} X_{i}\right)

का उपयोग

\शुरू {गठबंधन} ई\बाएं[\sum_{i=1}^{N} X_{i} \मध्य N\दाएं] और=NE[X] \\ \operatorname{Var}\बाएं(\sum_{i) =1}^{N} X_{i} \mid N\right) &=N \operatorname{Var}(X)\right] \end{aligned}

जो यादृच्छिक चर के अनुक्रम के योग के लिए अलग-अलग यादृच्छिक चर के लिए भिन्नता और सशर्त भिन्नता की परिभाषा के साथ स्पष्ट है

\\ \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{N} X_{i}\right)=E[N] \operatorname{Var}(X)+(E[X])^{ 2} \ऑपरेटरनाम{वार}(एन)

पूर्वानुमान

भविष्यवाणी में एक यादृच्छिक चर के मूल्य का अनुमान दूसरे यादृच्छिक चर के अवलोकन के आधार पर लगाया जा सकता है, यादृच्छिक चर Y की भविष्यवाणी के लिए यदि देखा गया यादृच्छिक चर X है तो हम फ़ंक्शन के रूप में g (X) का उपयोग करते हैं जो अनुमानित मूल्य बताता है, जाहिर है हम जी (एक्स) को वाई के लिए बंद करने का प्रयास करें इसके लिए सबसे अच्छा जी जी (एक्स) = ई (वाई | एक्स) है इसके लिए हमें असमानता का उपयोग करके जी के मूल्य को कम करना होगा

\\ E\बाएं[(Yg(X))^{2}\right] \geq E\left[(YE[Y \mid X])^{2}

यह असमानता हम इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं

\शुरू {गठबंधन} E\बाएं[(Yg(X))^{2} \मध्य X\दाएं]=& E\बाएं[(YE[Y \mid X]+E[Y \mid X]-g( एक्स)) ^ {2} \ मध्य एक्स \ दाएं] \\ = और ई \ बाएं [(वाईई [वाई \ मध्य एक्स]) ^ {2} \ मध्य एक्स \ दाएं] \\ और + ई \ बाएं [(ई [Y \mid X]-g(X))^{2} \mid X\right] \\ &+2 E[(YE[Y \mid X])(E[Y \mid X]-g(X) )) \मध्य एक्स] \अंत{गठबंधन}

हालांकि, दिया गया X, E[Y|X]-g(X), X का एक फलन है, जिसे एक स्थिरांक माना जा सकता है। इस प्रकार,

\ \begin{aligned} E[&(YE[Y \mid X])(E[Y \mid X]-g(X)) \mid X] \\ &=(E[Y \mid X]-g (एक्स)) ई [वाईई [वाई \ मिड एक्स] \ मिड एक्स] \\ और = (ई [वाई \ मिड एक्स]-जी (एक्स)) (ई [वाई \ मिड एक्स]-ई [वाई \ मिड एक्स ]) \\ &=0 \end{aligned}

जो आवश्यक असमानता देता है

\ E\left[(Yg(X))^{2}\right] \geq E\left[(YE[Y \mid X])^{2}

a

भविष्यवाणी पर उदाहरण

1. यह देखा गया है कि एक व्यक्ति की ऊंचाई छह फीट है, बड़े होने के बाद उसके बेटों की ऊंचाई की भविष्यवाणी क्या होगी यदि बेटे की ऊंचाई जो अब x इंच है, को सामान्य रूप से माध्य x+1 और विचरण 4 के साथ वितरित किया जाता है।

हल: मान लीजिए कि X व्यक्ति की ऊंचाई को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है और Y पुत्र की ऊंचाई के लिए यादृच्छिक चर है, तो यादृच्छिक चर Y है

वाई=एक्स+ई+1

यहाँ e माध्य शून्य और प्रसरण चार के साथ यादृच्छिक चर X से स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करता है।

तो बेटों की ऊंचाई के लिए भविष्यवाणी है

E[Y \mid X=72]= E[X+1+e \mid X=72] \\ = 73+E[e \mid X=72] \\=73+E(e) \quad by \ क्वाड स्वतंत्रता \\=73

तो विकास के बाद बेटे की लंबाई 73 इंच होगी।

2. स्थान A और स्थान B से सिग्नल भेजने के एक उदाहरण पर विचार करें, यदि स्थान A से एक सिग्नल मान s भेजा जाता है, जो स्थान B पर माध्य s और विचरण 1 के साथ सामान्य वितरण द्वारा प्राप्त होता है, जबकि यदि A पर भेजा गया सिग्नल S सामान्य रूप से वितरित होता है माध्य \ mu और विचरण \ sigma ^ 2 के साथ, हम कैसे अनुमान लगा सकते हैं कि स्थान A से भेजा गया सिग्नल मान R प्राप्त होगा, स्थान B पर r है?

हल: सिग्नल मान एस और आर यहां सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर को दर्शाते हैं, पहले हम सशर्त घनत्व फ़ंक्शन एस को आर के रूप में पाते हैं

\ \शुरू {गठबंधन} f_{एस \मिड आर}(एस \मिड आर)&=\frac{f_{S, R}(s, r)}{f_{R}(r)} \\ &=\ फ़्रैक{f_{S}(s) f_{R \mid S}(r \mid s)}{f_{R}(r)} \\ &=K e^{-(s-\mu)^{2 } / 2 \sigma^{2}} e^{-(rs)^{2}/2} \end{aligned}

यह K, S से स्वतंत्र है, अब

\ \begin{aligned} \frac{(s-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}+\frac{(r-s)^{2}}{2}&=s^{2}\left(\frac{1}{2 \sigma^{2}}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{\mu}{\sigma^{2}}+r\right) s+C_{1}\\ &=\frac{1+\sigma^{2}}{2 \sigma^{2}}\left[s^{2}-2\left(\frac{\mu+r \sigma^{2}}{1+\sigma^{2}}\right) s\right]+C_{1} \\ &=\frac{1+\sigma^{2}}{2 \sigma^{2}}\left(s-\frac{\left(\mu+r \sigma^{2}\right)}{1+\sigma^{2}}\right)^{2}+C_{2} \end{aligned}

यहाँ भी C1 और सी2 S पर स्वतंत्र हैं, इसलिए सशर्त घनत्व फलन का मान है

\ f_S \mid R(s \mid r)=C e^{ \left\{\frac{-\left[s-\frac{\left(\mu+r \sigma^{2}\right)}{ 1+\sigma^{2}}\right]^{2}}{2\left(\frac{\sigma^{2}}{1+\sigma^{2}}\right)}\right\} }}

सी भी एस पर स्वतंत्र है, इस प्रकार स्थान ए से आर के रूप में भेजा गया और स्थान बी पर आर के रूप में प्राप्त सिग्नल माध्य और भिन्नता के साथ सामान्य है

\begin{array}{l}E[S \mid R=r]=\frac{\mu+r \sigma^{2}}{1+\sigma^{2}} \\ \operatorname{Var}( S \mid R=r)=\frac{\sigma^{2}}{1+\sigma^{2}}\end{array}

और इस स्थिति के लिए माध्य वर्ग त्रुटि है

E[S \mid R=r]=\frac{1}{1+\sigma^{2}} \mu+\frac{\sigma^{2}}{1+\sigma^{2}} r

रैखिक भविष्यवक्ता

हर बार जब हम संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन नहीं पाते हैं, यहां तक ​​​​कि दो यादृच्छिक चर के बीच का मतलब, विचरण और सहसंबंध भी जाना जाता है, ऐसी स्थिति में एक यादृच्छिक चर का दूसरे यादृच्छिक चर के संबंध में रैखिक भविष्यवक्ता बहुत मददगार होता है जो न्यूनतम भविष्यवाणी कर सकता है , इसलिए यादृच्छिक चर X के संबंध में यादृच्छिक चर Y के रैखिक भविष्यवक्ता के लिए हम a और b को न्यूनतम करने के लिए लेते हैं

\begin{aligned} E\left[(Y-(a+b X))^{2}\right]=& E\left[Y^{2}-2 a Y-2 b X Y+a^{ 2}+2 ab X+b^{2} X^{2}\right] \\ =& E\left[Y^{2}\right]-2 a E[Y]-2 b E[XY] +a^{2} +2 ab E[X]+b^{2} E\left[X^{2}\right] \end{aligned}

अब a और b के सन्दर्भ में आंशिक रूप से अंतर करें, हम प्राप्त करेंगे

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial a} E\left[(Yab X)^{2}\right]&=-2 E[Y]+2 a+2 b E[X] \ \ \frac{\partial}{\partial b} E\left[(Yab X)^{2}\right]&=-2 E[XY]+2 a E[X]+2 b E\left[X ^{2}\दाएं] \\ \अंत{गठबंधन}

a और b के लिए इन दो समीकरणों को हल करने पर हम प्राप्त करेंगे

\begin{aligned} b&=\frac{E[XY]-E[X] E[Y]}{E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}}= \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma_{x}^{2}}=\rho \frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}} \\ a&=E[ Y]-b E[X]=E[Y]-\frac{\rho \sigma_{y} E[X]}{\sigma_{x}} \end{aligned}

इस प्रकार इस अपेक्षा को कम करने से रैखिक भविष्यवक्ता मिलता है

\mu_{y}+\frac{\rho \sigma_{y}}{\sigma_{x}}\left(X-\mu_{x}\right)

जहां साधन यादृच्छिक चर X और Y के संबंधित साधन हैं, रैखिक भविष्यवक्ता के लिए त्रुटि की अपेक्षा के साथ प्राप्त की जाएगी

\शुरू {सरणी}} ई\बाएं[\बाएं(Y-\mu_{y}-\rho \frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}}\left(X-\mu_{x) }\दाएं)\दाएं)^{2}\दाएं] \\ \quad=E\बाएं[\बाएं(Y-\mu_{y}\दाएं)^{2}\दाएं]+\rho^{2} \frac{\sigma_{y}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} E\left[\left(X-\mu_{x}\right)^{2}\right]-2 \rho \frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}} E\left[\left(Y-\mu_{y}\right)\left(X-\mu_{x}\right)\right ] \\ \quad=\sigma_{y}^{2}+\rho^{2} \sigma_{y}^{2}-2 \rho^{2} \sigma_{y}^{2} \\ \quad=\sigma_{y}^{2}\left(1-\rho^{2}\right) \end{array}

सशर्त विचरण
सशर्त विचरण: भविष्यवाणी में त्रुटि

यह त्रुटि शून्य के करीब होगी यदि सहसंबंध पूरी तरह से सकारात्मक या पूरी तरह से नकारात्मक है जो सहसंबंध का गुणांक या तो +1 या -1 है।

निष्कर्ष

अलग-अलग उदाहरणों के साथ असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए सशर्त विचरण पर चर्चा की गई, भविष्यवाणी में सशर्त अपेक्षा के महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक को उपयुक्त उदाहरणों के साथ और सर्वोत्तम रैखिक भविष्यवक्ता के साथ भी समझाया गया है, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है तो नीचे दिए गए लिंक पर जाएं।

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सशर्त विचरण और भविष्यवाणियां | 5+ उदाहरण के साथ इसके महत्वपूर्ण गुणमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
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