निरंतरता समीकरण: 7 महत्वपूर्ण अवधारणाएं

सामग्री की सूची

  • सातत्य समीकरण
  • निरंतरता समीकरण अंतर रूप
  • असंगत प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण
  • द्वि-आयामी कॉपलनार प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण
  • निरंतरता समीकरण उदाहरण
  • प्रश्न और उत्तर
  • MCQ
  • निष्कर्ष

सातत्य समीकरण

धारा ट्यूब के माध्यम से बहने वाले तरल को आदर्श द्रव माना जाता है। प्रवाह के पार कोई प्रवाह नहीं होता है। इसका मतलब है कि द्रव एक छोर पर प्रवेश करता है और दूसरे छोर पर छोड़ता है, बीच में कोई आउटलेट नहीं है। इनलेट क्रॉस-सेक्शन 1-1 के नीचे प्रवाह की स्थिति पर विचार करें,

स्ट्रीम ट्यूब
स्ट्रीम ट्यूब
पैरामीटर्सइनलेट सेक्शन 1-1आउटलेट सेक्शन 2-2
संकर अनुभागीय क्षेत्रAए + डीए
औसत तरल घनत्व??+डी?
मतलब प्रवाह वेगVवी + डी.वी.

द्रव द्रव्यमान जो इस दो माना वर्गों के बीच बहता है, निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है,

डीएम = (एवी? डीटी) - (ए + डीए) (वी + डीवी) (? + डी?) डीटी समीकरण ... 1

हमें प्राप्त समीकरण के ऊपर सरलीकरण करके,

डीएम/डीटी = - (एवी डी? + वी? डीए + ए? डीवी) समीकरण … 2

जैसा कि हम जानते हैं कि स्थिर प्रवाह का अर्थ है निरंतर द्रव्यमान प्रवाह दर, इसका मतलब यहाँ dm / dt = 0. अब Eq है। 2 नीचे के रूप में बदल गया,

(एवी डी? + वी? डीए + ए? डीवी) = 0 समीकरण ... 3

अब, समीकरण को विभाजित करें। 3 के साथ? AV, समीकरण इस प्रकार होगा,

(डी?/?) + (डीए/ए) + (डीवी/वी) = 0 समीकरण … 4

डी (? एवी) = 0 समीकरण … 5

? एवी = लगातार समीकरण … 6

यहाँ, Eq। 6 हमें पता चलता है कि धारा ट्यूब के माध्यम से तरल पदार्थ का द्रव्यमान हर खंड पर स्थिर है।

मान लीजिए कि तरल पदार्थ असंगत (तरल) है तो किसी भी बिंदु पर द्रव का घनत्व नहीं बदलेगा। इसका मतलब है कि द्रव घनत्व स्थिर है।

एवी = लगातार

A1 V1 = ए2 V2                                                                                                                           इक……

Eq। 7 स्ट्रीम ट्यूब के अंदर स्थिर अपूर्ण प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। निरंतरता समीकरण क्षेत्र और वेग की एक बुनियादी समझ देता है। क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र का परिवर्तन धारा ट्यूब, पाइप, खोखले चैनल, आदि के अंदर प्रवाह के वेग को प्रभावित करता है। यहां, रोमांचक चीज वेग और क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र का एक उत्पाद है। यह उत्पाद स्ट्रीम ट्यूब में किसी भी बिंदु पर स्थिर है। वेग धारा ट्यूब या पाइप के क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र के विपरीत अनुपात में है।

निरंतरता समीकरण अंतर रूप

निरंतरता समीकरण के अंतर रूप को प्राप्त करने के लिए, आकृति में दिखाए गए अनुसार एक वस्तु पर विचार करें। आयाम dx, डाई और dz हैं। इस गठन के लिए कुछ धारणाएं हैं। द्रव का द्रव्यमान नहीं बनता है या नष्ट नहीं होता है, तरल पदार्थ (निरंतर प्रवाह) में कोई गुहा या बुलबुले नहीं होता है। हम एक्स-दिशा में डीएक्स, वाई में डाई और व्युत्पत्ति में सुगमता के लिए जेड दिशाओं में डीजी पर विचार करते हैं।

यदि u चित्र में दिखाए गए चेहरे के अनुसार द्रव प्रवाह का वेग है। यह माना जाता है कि पूरे चेहरे के अनुभागीय क्षेत्र में वेग समान है। सतह पर द्रव का वेग 1-2-3-4 u होता है। अब; सतह 5-6-7-8 1-2-3-4 से एक dx दूरी है। तो, 5-6-7-8 पर वेग के रूप में दिया गया है

u + /u / ∂x dx
निरंतरता समीकरण का भिन्न रूप
निरंतरता समीकरण का भिन्न रूप

जैसा कि हम जानते हैं कि संपीड़ित तरल पदार्थ का उपयोग करके घनत्व में परिवर्तन होता है। यदि संपीड़ित द्रव एक वस्तु से गुजरता है, तो घनत्व बदल जाएगा।

वस्तु में प्रवेश करने वाला द्रव्यमान प्रवाह के रूप में दिया गया है

द्रव्यमान प्रवाह = ? ए वी

द्रव्यमान प्रवाह दर = ? एवी डीटी

द्रव 1-2-3-4 पर प्रवेश कर रहा है

इनलेट द्रव = घनत्व (क्षेत्र * वेग) dt

इनलेट द्रव = ρ u dy dz dt

इक……

5-6-7-8 से तरल पदार्थ निकल रहा है

आउटलेट तरल पदार्थ

आउटलेट द्रव= [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dtt

इक……

अब, इनलेट फ्लुइड और आउटलेट फ्लुइड के बीच अंतर x दिशा के प्रवाह में द्रव्यमान रहता है।

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / (x (ρu) dx] डाई डीज़ dt
= - ∂ / ∂x (ρu) dx डाई dz dt

इक……

इसी तरह, हम द्रव्यमान को y और z दिशा में नीचे की तरह मानते हैं,

= -) / ∂y (ρv) dx dy dz dt

इक……

= -) / ∂z (ρw) dx dy dz dt

इक……

यहाँ, v और w क्रमशः y और z दिशाओं में द्रव के वेग हैं।

तीनों दिशाओं में द्रव के द्रव्यमान प्रवाह के लिए, कुल्हाड़ियों को Eq के अतिरिक्त द्वारा दिया जाता है। 3, 4, और 5. यह कुल द्रव द्रव्यमान के नीचे दिया गया है,

= - [) / ∂x (ρu) + ∂ / (y (ρv) + ∂ / ρz (ρw)] dx डाई dz dt

इक……

वस्तु के भीतर द्रव्यमान के परिवर्तन की दर किसके द्वारा दी गई है,

∂m / ∂t dt = ∂ / (t (ρ × मात्रा) dt = ∂ρ / dyt dx डाई dz dt

इक……

बड़े पैमाने पर संरक्षण Eq की समझ के अनुसार। 6 Eq के बराबर। ।

- [) / ∂x (ρu) + ∂ / (y (ρv) + ∂ / ρz (ρw)] dx डाई dz dt = /ρ / dt dx डाई dz dt

उपरोक्त समीकरण को हल करना और इसे सरल बनाना, हम प्राप्त करते हैं,

∂ρ / ∂t + ∂ / (x (ρu) + / / ∂y (ρv) + v / ∂z (ρw) = ०

इक……

Eq। 8 है। सामान्य प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण। यह स्थिर या अस्थिर, संकुचित या असंगत हो सकता है।

असंगत प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण

यदि हम विचार करें कि प्रवाह स्थिर और असंपीड्य है। हम जानते हैं कि स्थिर प्रवाह की स्थिति में ??/?t = 0. यदि प्रवाह असंपीड्य है, तो घनत्व ? स्थिर रहता है। तो, इस शर्त पर विचार करके, समीकरण। 8 के रूप में लिखा जा सकता है,

∂u / ∂x + /v / +y + /w / =z = 0

द्वि-आयामी कॉपलनार प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण

द्वि-आयामी प्रवाह में, दो दिशाएं हैं x और y। इसलिए, u x- दिशा में वेग और v y- दिशा में वेग। कोई z- दिशा नहीं है, इसलिए z- दिशा में वेग शून्य है। इन स्थितियों पर विचार करके, Eq। 8 नीचे के रूप में बदल गया,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / (y (ρv) = ०

संपीड़ित प्रवाह

∂u / ∂x + /v / =y = 0 

असंगत प्रवाह, घनत्व शून्य है

निरंतरता समीकरण उदाहरण

0.25 बार और 2.25 K के तापमान के निरपेक्ष दबाव पर 300 kg / s की दर से पाइप के माध्यम से प्रवाह हवा है। यदि प्रवाह वेग 7.5 m / s है, तो पाइप का न्यूनतम व्यास क्या होगा?

डेटा,

एम = 0.25 किग्रा / एस,

पी = 2.25 बार,

टी = 300 के,

वी = 7.5 मीटर / सेकंड,

हवा के घनत्व की गणना करें,

पी =? आर टी

? = पी / आरटी

? = (2.25 * 105 ) / (287 * 300) = 2.61 किग्रा / मी3

हवा का द्रव्यमान प्रवाह दर,

एम =? ए वी

ए = एम /? वी

ए = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 मीटर2

जैसा कि हम उस क्षेत्र को जानते हैं,

ए = π डी2 / 4

डी = (((ए * 4) / √)
डी = 0.012 ((4 * 3.14) / XNUMX)

डी = 0.127 मीटर = 12.7 सेमी

ऊपर की दिशा में पानी का एक जेट 15 m / s के वेग पर नोजल टिप छोड़ता है। नोजल का व्यास 20 मिमी है। मान लीजिए कि ऑपरेशन के दौरान कोई ऊर्जा हानि नहीं हुई है। नोजल टिप से 5 मीटर ऊपर पानी के जेट का व्यास क्या होगा।

उत्तर:

सबसे पहले, सिस्टम की कल्पना करें; प्रवाह एक ऊर्ध्वाधर दिशा में है।

डेटा,

V1 = नोजल टिप पर जेट का वेग

V2 = जेट का वेग नोजल टिप से 5 मीटर ऊपर

इसी तरह, A1 और A2 के क्षेत्र।

हम नीचे के रूप में गति का सामान्य समीकरण है,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s
〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

अब, निरंतरता समीकरण लागू करें,

ए 1 वी 1 = ए 2 वी 2

ए 2 = (ए 1 वी 1) / वी 2

A2 = ((= / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) / 11.26=4.18* 10 ^ -4 -2 ^ XNUMX
π / 4 * 〖d2 π ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

व्यास = 0.023 मीटर = 23 मिमी

प्रश्न और उत्तर

निरंतरता समीकरण और नवियर स्टोक्स समीकरण के बीच अंतर क्या है?

परिभाषा के अनुसार, तरल पदार्थ प्रवाह कर सकते हैं लेकिन यह प्रकृति में मूलभूत रूप से अक्षम है।  सातत्य समीकरण इस तथ्य का एक परिणाम है कि पाइप / नली ​​में क्या जाता है, इसे भी छोड़ना चाहिए। तो, अंत में, पाइप / नली ​​के अंत में क्षेत्र का वेग स्थिर रहना चाहिए।

एक आवश्यक परिणाम में यदि पाइप / नली ​​का क्षेत्र कम हो जाता है, तो प्रवाह को स्थिर रखने के लिए द्रव का वेग भी बढ़ना चाहिए।

जब नवियर-स्टोक्स समीकरण एक गतिमान तरल पदार्थ के वेग, दबाव, तापमान और घनत्व के बीच संबंधों का वर्णन करता है। यह समीकरण आमतौर पर विभिन्न विभेदक समीकरण रूपों के साथ युग्मित होता है। आमतौर पर, यह विश्लेषणात्मक रूप से हल करने के लिए बहुत जटिल है।

निरंतरता समीकरण किस पर आधारित है?

निरंतरता का समीकरण कहता है कि किसी भी क्रॉस-सेक्शन के पाइप में प्रवेश करने वाले द्रव की मात्रा क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के दूसरी तरफ छोड़ने वाले तरल पदार्थ की मात्रा के बराबर होनी चाहिए, जिसका मतलब है कि प्रवाह दर की दर स्थिर होनी चाहिए और होनी चाहिए रिलेशन को फॉलो करें-

मान लीजिए कि तरल पदार्थ असंगत (तरल) है, तो किसी भी बिंदु पर द्रव घनत्व नहीं बदलेगा। इसका मतलब है कि द्रव घनत्व स्थिर है।

एवी = लगातार

प्रवाह दर = ए1 V1 = ए2 V2

निरंतरता समीकरण किसके लिए उपयोग किया जाता है?

सातत्य समीकरण Hydrodynamics, Aerodynamics, Electromagnetism, Quantum यांत्रिकी के क्षेत्र में कई अनुप्रयोग हैं। यह बर्नौली के सिद्धांत के मूल नियम के लिए एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, यह अप्रत्यक्ष रूप से एरोडायनामिक्स सिद्धांत और अनुप्रयोगों में शामिल है।

निरंतरता का समीकरण संदर्भ के आधार पर स्थानीय संरक्षण कानून को व्यक्त करता है। यह केवल एक गणितीय कथन है जो विशिष्ट मात्रा के स्थानीय संरक्षण के विषय में अभी तक बहुत शक्तिशाली है।

क्या निरंतरता का समीकरण सुपरसोनिक प्रवाह के लिए है?

हां, इसका उपयोग सुपरसोनिक प्रवाह के लिए किया जा सकता है। इसका उपयोग अन्य प्रवाह जैसे कि हाइपरसोनिक, सुपरसोनिक और सबसोनिक के लिए किया जा सकता है। अंतर यह है कि आपको समीकरण के रूढ़िवादी रूप का उपयोग करना होगा।

स्थिर अपरिवर्तनीय प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण का त्रि-आयामी रूप क्या है?

यदि हम विचार करें कि प्रवाह स्थिर और असंपीड्य है। हम जानते हैं कि स्थिर प्रवाह की स्थिति में ??/?t = 0. यदि प्रवाह असंपीड्य है, तो घनत्व ? स्थिर रहता है। तो, इस शर्त पर विचार करके, समीकरण। 8 के रूप में लिखा जा सकता है,

 ∂u / ∂x + /v / +y + /w / =z = 0

स्थिर संपीड़ित और असंगत प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण का 3 डी रूप क्या है?

द्वि-आयामी प्रवाह में, दो दिशाएं हैं x और y। तो, x- दिशा में u वेग और y- दिशा में v वेग। कोई z- दिशा नहीं है, इसलिए z- दिशा में वेग शून्य है। इन स्थितियों पर विचार करके, Eq। 8 नीचे के रूप में बदल गया,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / (y (ρv) = ०
 ∂u / ∂x + /v / =y = 0

बहुविकल्पी प्रश्न

निम्नलिखित में से कौन सा निरंतरता समीकरण का एक रूप है?

  1. v1 A1 = वी2 A2
  2. v1 t1 = वी2 t2
  3. Tवी / टी
  4. v1 / ए1 = वी2 / ए2

एक आदर्श तरल पदार्थ की गति के बारे में निरंतरता समीकरण क्या अवधारणा देता है?

  1. जैसे-जैसे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र बढ़ता है, गति बढ़ जाती है।
  2. जैसे ही क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र घटता है, गति बढ़ जाती है।
  3. जैसे-जैसे पार-अनुभागीय क्षेत्र घटता है, गति कम होती जाती है।
  4. जैसे ही क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र बढ़ता है, वॉल्यूम कम हो जाता है।
  5. जैसे ही वॉल्यूम बढ़ता है, गति कम हो जाती है।

निरंतरता के समीकरण के सिद्धांत पर आधारित है

a) संरक्षण का मास

ख) संवेग का संरक्षण

c) ऊर्जा का संरक्षण

d) बल का संरक्षण

डी के दो समान पाइप व्यास व्यास के एक पाइप को प्राप्त करने के लिए अभिसरण करते हैं। डी और डी के बीच क्या अवलोकन हो सकता है ?। नए पाइप में प्रवाह का वेग दो पाइपों में से प्रत्येक में दोगुना होगा?

a) डी = डी

बी) डी = २ डी

c) D = 3 डी

d) D = 4 डी

विभिन्न व्यास d1 और d2 के पाइप व्यास 2d के एक पाइप को प्राप्त करने के लिए अभिसरण करते हैं। यदि दोनों पाइपों में तरल वेग v1 और v2 है, तो नए पाइप में प्रवाह वेग क्या होगा?

क) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + वी 2/4

d) 2 (v1 + v2)

निष्कर्ष

इस लेख में उनके विभिन्न रूप और शर्तों के साथ निरंतरता समीकरण व्युत्पन्न शामिल हैं। निरंतरता समीकरण की अवधारणा की बेहतर समझ के लिए बुनियादी उदाहरण और प्रश्न दिए गए हैं।

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