सतत यादृच्छिक चर, प्रकार और इसका वितरण
रैंडम वैरिएबल जो परिमित या अनगिनत अनंत मान लेता है, असतत रैंडम वैरिएबल के रूप में जाना जाता है और इसकी जोड़ी संभाव्यता के साथ असतत रैंडम वैरिएबल के लिए डिस्ट्रीब्यूशन बनाती है। अब यादृच्छिक चर के लिए, जो मूल्यों को बेशुमार के रूप में लेता है, क्या संभावना और शेष विशेषताएँ होंगी जिनके बारे में हम चर्चा करने जा रहे हैं। इस प्रकार संक्षेप में सतत यादृच्छिक चर यादृच्छिक चर है जिसका मान बेशुमार है। निरंतर यादृच्छिक चर के लिए वास्तविक जीवन उदाहरण विद्युत या इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों का जीवन काल और स्टॉप आदि पर विशिष्ट सार्वजनिक वाहन का आगमन है।
सतत यादृच्छिक चर और संभावना घनत्व फ़ंक्शन
अनियमित चर यदि x पर गैर-नकारात्मक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन f के लिए निरंतर यादृच्छिक चर होगा ∈ ℝ और बी ⊆ ℝ और
यह फ़ंक्शन f के रूप में जाना जाता है संभाव्यता घनत्व कार्य दिए गए यादृच्छिक चर X के।
RSI संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से निम्नलिखित संभाव्यता सिद्धांतों को संतुष्ट करता है
चूंकि प्रायिकता के स्वयंसिद्ध से हम जानते हैं कि कुल संभावना एक है
सतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता की गणना ऐसे फ़ंक्शन f के संदर्भ में की जाएगी, मान लीजिए कि हम निरंतर अंतराल के लिए प्रायिकता का पता लगाना चाहते हैं [a, b] तो यह होगा
जैसा कि हम जानते हैं कि एकीकरण वक्र के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है इसलिए यह संभावना जैसे संभावना के लिए ऐसे क्षेत्र को दर्शाता है
a = b के बराबर होने से मान होगा
और इसी तरह निम्नलिखित के द्वारा विशिष्ट मूल्य से कम या बराबर मूल्य के लिए संभाव्यता होगी
उदाहरण: इलेक्ट्रॉनिक घटक के निरंतर कार्य समय को निरंतर यादृच्छिक चर के रूप में व्यक्त किया जाता है और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के रूप में दिया जाता है
इस संभावना को ढूंढें कि घटक 50 से 150 घंटों के बीच प्रभावी ढंग से काम करेगा और 100 घंटे से कम की संभावना है।
चूंकि यादृच्छिक चर निरंतर यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करता है इसलिए प्रश्न में दिए गए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के रूप में कुल संभावना देता है
तो हमें इसका मूल्य मिलेगा λ
λ = 1/100
50 घंटे की संभावना के लिए हमारे पास 150hrs है
इसी तरह से 100 से कम संभावना होगी
उदाहरण: कंप्यूटर आधारित डिवाइस में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिए गए जीवनकाल के साथ चिपसेट की संख्या होती है
फिर 150 घंटों के बाद यह संभावना खोजें कि हमें कुल 2 चिप्स में से 5 चिपसेट को बदलना है।
हम मानते हैं Ei आई-वें चिपसेट को बदलने की घटना हो। इसलिए इस तरह के आयोजन की संभावना होगी
सभी चिप्स के स्वतंत्र होने के कारण 2 को बदलने की संभावना होगी
संचयी वितरण फलन
निरंतर यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन को प्रायिकता वितरण फ़ंक्शन की सहायता से परिभाषित किया गया है
दूसरे रूप में
हम वितरण फ़ंक्शन की सहायता से प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन प्राप्त कर सकते हैं
गणितीय प्रत्याशा और निरंतर यादृच्छिक चर की विविधता
उम्मीद
RSI गणितीय अपेक्षा या सतत यादृच्छिक चर का माध्य संभाव्यता घनत्व समारोह के साथ परिभाषित किया जा सकता है
- सतत यादृच्छिक चर एक्स अपेक्षा के किसी भी वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए होगा
जहाँ g वास्तविक मान है समारोह.
- किसी भी गैर-ऋणात्मक निरंतर के लिए अनियमित चर वाई उम्मीद होगी
- किसी भी स्थिरांक के लिए और बी
ई [एएक्स + बी] = एई [एक्स] + बी
झगड़ा
पैरामीटर मतलब या अपेक्षा के साथ निरंतर यादृच्छिक चर एक्स का विचरण उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे असतत यादृच्छिक चर है
उपरोक्त सभी का प्रमाण अपेक्षा और भिन्नता के गुण हम असतत यादृच्छिक चर में हमारे पास मौजूद चरणों का पालन करके और निरंतर यादृच्छिक चर के संदर्भ में अपेक्षा, विचरण और संभाव्यता की परिभाषाओं का पालन करके आसानी से प्राप्त कर सकते हैं।
उदाहरण: यदि निरंतर यादृच्छिक चर X की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दी गई है
फिर निरंतर रैंडम वैरिएबल X की अपेक्षा और विचरण खोजें।
उपाय: दिए गए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के लिए
परिभाषा द्वारा अपेक्षित मूल्य होगा
अब विचरण को खोजने के लिए हमें E [X की आवश्यकता है2]
जबसे
so
वर्दी यादृच्छिक चर
यदि निरंतर रैंडम वैरिएबल X में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन दिया गया है
अंतराल (0,1) से अधिक के बाद इस वितरण को समान वितरण के रूप में जाना जाता है और यादृच्छिक चर को समान यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।
- किसी भी स्थिरांक a और b के लिए ऐसा 0
यूनिफॉर्म रैंडम वैरिएबल की उम्मीद और वैरायटी
सामान्य अंतराल (α, the) पर समान रूप से निरंतर यादृच्छिक चर X के लिए परिभाषा द्वारा उम्मीद की जाएगी
और यदि हम पहले E [X2]
so
उदाहरण: किसी विशेष स्टेशन पर दिए गए गंतव्य के लिए ट्रेनें 15 मिनट की आवृत्ति के साथ आती हैं 7 एएम यात्री के लिए जो एक समय में 7 से 7.30 के बीच स्टेशन पर है, समान रूप से वितरित किया जाता है कि यात्री 5 मिनट के भीतर ट्रेन प्राप्त करने की संभावना क्या होगी और 10 मिनट से अधिक समय तक संभावना क्या होगी।
उपाय: चूंकि 7 से 7.30 तक का समय समान रूप से रेलवे स्टेशन पर यात्री के लिए समान रूप से वितरित किया जाता है, इसलिए इसे एकसमान रैंडम वेरिएबल X द्वारा निरूपित किया जाता है। इसलिए अंतराल (0, 30) होगा।
चूंकि 5 मिनट के भीतर ट्रेन को प्राप्त करने के लिए यात्री स्टेशन पर 7.10 से 7.15 या 7.25 से 7.30 के बीच होना चाहिए, इसलिए संभावना होगी
= 1 / 3
10 मिनट से अधिक की प्रतीक्षा के बाद ट्रेन प्राप्त करने के लिए इसी तरह से यात्री को 7 से 7.05 या 7.15 से 7.20 तक स्टेशन पर होना चाहिए, इसलिए संभावना होगी
उदाहरण: अंतराल (0,10) पर वितरित एकसमान यादृच्छिक चर X के लिए प्रायिकता ज्ञात करें
X <3, X> 6 और 3 के लिए
उपाय: चूंकि यादृच्छिक चर को समान रूप से वितरित के रूप में दिया जाता है, इसलिए संभावनाएं होंगी
उदाहरण: (बर्ट्रेंड्स पैराडॉक्स) एक सर्कल के किसी भी यादृच्छिक राग के लिए। इसकी क्या संभावना होगी कि एक ही वृत्त में उत्कीर्ण समबाहु त्रिभुज की भुजा से उस यादृच्छिक जीवा की लंबाई अधिक होगी।
इस समस्या को यादृच्छिक राग के बारे में मंजूरी नहीं है, इसलिए इस समस्या को व्यास या कोण के संदर्भ में सुधार किया गया था और फिर 1/3 के रूप में उत्तर दिए गए थे।
निष्कर्ष:
इस लेख में निरंतर यादृच्छिक चर की अवधारणा और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ इसके वितरण पर चर्चा की गई और सांख्यिकीय पैरामीटर का मतलब है, निरंतर यादृच्छिक चर के लिए विचरण दिया गया है। समान यादृच्छिक चर और उदाहरण के साथ इसका वितरण दिया गया है जो कि क्रमिक लेख में निरंतर यादृच्छिक चर का प्रकार है हम उपयुक्त उदाहरणों और गुणों के साथ निरंतर यादृच्छिक चर के कुछ महत्वपूर्ण प्रकारों पर ध्यान केंद्रित करेंगे। , अगर आप आगे पढ़ना चाहते हैं तो गुजरें:
Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
यदि आप गणित पर अधिक विषय पढ़ना चाहते हैं तो गुजरें गणित पेज.
