एक पूर्ण गाइड कोऑर्डिनेट जियोमेट्री के लिए

निर्देशांक ज्यामिति

आज हम यहां इसके मूल से कोर्डिनेट ज्योमेट्री पर चर्चा कर रहे हैं। इसलिए, पूरा लेख समन्वित ज्यामिति क्या है, प्रासंगिक समस्याओं और यथासंभव उनके समाधानों के बारे में है।

(ए) परिचय

समन्वय ज्यामिति गणित का सबसे दिलचस्प और महत्वपूर्ण क्षेत्र है। इसका उपयोग फिजिक्स, इंजीनियरिंग और एविएशन, रॉकेटरी, स्पेस साइंस, स्पेसफ्लाइट आदि में भी किया जाता है।

कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री के बारे में जानने के लिए पहले हमें यह जानना होगा कि ज्योमेट्री क्या है।
ग्रीक में Geo जियो ’का अर्थ है पृथ्वी और ron मेट्रोन’ का अर्थ है मापन यानी अर्थ मेजरमेंट। यह गणित का सबसे प्राचीन हिस्सा है, जो अंतरिक्ष और आकृतियों के गुणों अर्थात पदों, आकारों, आकारों, कोणों और चीजों के आयामों से संबंधित है।

समन्वय ज्यामिति क्या है?

कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री को-ऑर्डिनेट सिस्टम के इस्तेमाल से ज्योमेट्री सीखने का तरीका है। यह ज्यामिति और बीजगणित के बीच संबंध का वर्णन करता है।
कई गणितज्ञों ने समन्वय ज्यामिति को विश्लेषणात्मक ज्यामिति या कार्टेशियन ज्यामिति भी कहा।

इसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति क्यों कहा जाता है?

गणित में ज्यामिति और बीजगणित दो अलग-अलग शाखाएँ हैं। बीजगणितीय प्रतीकों और विधियों का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों का विश्लेषण किया जा सकता है और इसके विपरीत अर्थात बीजगणितीय समीकरणों को ज्यामितीय रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसीलिए इसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी कहा जाता है।

इसे कार्टेशियन ज्यामिति क्यों कहा जाता है?

फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस के बाद कोआर्डिनेट ज्योमेट्री को कार्टेशियन ज्यामिति भी कहा गया था क्योंकि उन्होंने स्वतंत्र रूप से 17 वीं शताब्दी में कार्टेशियन समन्वय का आविष्कार किया था और इसका उपयोग करते हुए, बीजगणित और ज्यामिति को एक साथ रखा। ऐसे महान कार्य के लिए रेने डेसकार्टेस को समन्वित ज्यामिति के पिता के रूप में जाना जाता है।

(बी) समन्वय प्रणाली

एक समन्वय प्रणाली विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आधार है। इसका उपयोग दो आयामी और तीन आयामी क्षेत्रों में किया जाता है। सामान्य रूप से चार प्रकार की समन्वय प्रणाली है।

निर्देशांक ज्यामिति
निर्देशांक ज्यामिति

C. समन्वित ज्यामिति का पूरा विषय दो अध्यायों में विभाजित है।

  1. एक है 'कोऑर्डिनेट जियोमेट्री इन टू डाइमेंशन्स'।
  2. दूसरा है 'तीन आयामों में समन्वित ज्यामिति'।

दो आयामों (2 डी) में समन्वय ज्यामिति:

  1. यहां हम कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक दोनों पर एक-एक करके दो आयामों में चर्चा करने जा रहे हैं। हम एक स्पष्ट विचार प्राप्त करने के लिए कुछ समस्याओं का समाधान भी करेंगे, और बाद में हम उनके बीच के संबंध को भी समझेंगे।

2 डी में कार्टेशियन समन्वय:

सबसे पहले, हमें ग्राफ़ के माध्यम से निम्नलिखित शर्तों को सीखना होगा।
i) समन्वय अक्ष
ii) उत्पत्ति
iii) समन्वित विमान
iv) निर्देशांक
v) चतुर्भुज

एक साथ आंकड़े पढ़ें और उनका पालन करें।

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समन्वय ज्यामिति ग्राफ 1

मान लीजिए क्षैतिज रेखा XXand vertical line YY बिंदु O, XX पर समकोण पर एक दूसरे को परस्पर जोड़ने वाली दो लंबवत रेखाएं हैंand YY संख्या रेखाएँ हैं, XX का चौराहाand YY प्रपत्र XY-plane और P इस XY-plane का कोई बिंदु है।

2 डी में समन्वयित अक्ष

यहाँ XX and YY कोऑर्डिनेट एक्सिस के रूप में वर्णित किया गया है। XX is indicated by X-Axis and YY Y- एक्सिस द्वारा इंगित किया गया है। चूंकि XX and YY संख्या रेखाएँ हैं, OX और ओए के साथ मापी गई दूरी को सकारात्मक माना जाता है और OX के साथ मापी गई दूरी भी and OY नकारात्मक के रूप में लिया जाता है। (ऊपर देखें ग्राफ 1)

2 डी में उत्पत्ति क्या है?

बिंदु O को उत्पत्ति कहा जाता है। O को हमेशा शुरुआती बिंदु माना जाता है। समन्वय विमान पर किसी भी बिंदु की स्थिति जानने के लिए हमें हमेशा उत्पत्ति से यात्रा शुरू करनी होगी। इसलिए उत्पत्ति को शून्य बिंदु कहा जाता है। (कृपया उपरोक्त आलेख देखें। 1)

एक समन्वय विमान द्वारा हम क्या समझते हैं?

एक्सवाई विमान दो नंबर लाइनों XX द्वारा परिभाषित किया गया है and YY या X- अक्ष और Y- अक्ष कोऑर्डिनेट प्लेन या कार्टेशियन प्लेन कहा जाता है। यह विमान सभी दिशाओं में असीम रूप से फैला हुआ है। इसे दो-आयामी विमान के रूप में भी जाना जाता है। (ऊपर देखें ग्राफ 1)

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समन्वित विमान ग्राफ 2

* उपरोक्त आकृति में चर x> 0 और y> 0 मान लें।

2 डी में समन्वय क्या है?

समन्वय एक संख्या या अक्षरों की एक जोड़ी है जिसके द्वारा समन्वय विमान पर एक बिंदु की स्थिति स्थित है। यहाँ P समन्वित विमान XY का कोई बिंदु है। बिंदु P के निर्देशांक P (x, y) द्वारा दर्शाए गए हैं जहां X, X अक्ष के साथ Y अक्ष से P की दूरी है और Y क्रमशः X अक्ष से P की लंबवत दूरी है। यहाँ x को एब्सिस्सा या x-निर्देशांक कहा जाता है और y को निर्देशांक या y-निर्देशांक कहा जाता है (ग्राफ़ 2 से ऊपर देखें)

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2 डी ग्राफ 3 में समन्वय

समन्वय विमान पर एक बिंदु को कैसे प्लॉट करें?

हमेशा हमें मूल से शुरू करना होगा और पहले एक्स-कोऑर्डिनेट या एब्सिस्सा की दूरी को कवर करने के लिए एक्स अक्ष के साथ दाईं या बाईं ओर चलना होगा, फिर इकाइयों के साथ तालमेल की दूरी को कवर करने के लिए एक्स अक्ष के लिए दिशा को ऊपर या नीचे की ओर मोड़ना होगा और उनके संकेत तदनुसार। फिर हम आवश्यक बिंदु पर पहुंचते हैं।

यहाँ दिए गए बिंदु P (x, y) को रेखांकन या दिए गए XY विमान पर प्लॉट करने के लिए, पहले ओ से शुरू करें और X अक्ष (OX के साथ) के साथ दूरी x इकाइयों को कवर करें और फिर 90 डिग्री के कोण पर मुड़ें X अक्ष या समानांतर रूप से Y अक्ष (यहां ओए) और दूरी y इकाइयों को कवर करता है। (ग्राफ 3 से ऊपर देखें)

2D में दिए गए बिंदु के निर्देशांक कैसे खोजें?

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समन्वय ज्यामिति ग्राफ 4

XY को दिए गए समतल होने दें, O का उद्गम स्थल हो और P को दिए गए बिंदु हो।
पहले बिंदु A पर बिंदु P से X अक्ष पर लंबवत बिंदु बनाएं। मान लीजिए OA = x इकाइयाँ और AP = y इकाइयाँ, तो बिंदु P के समन्वयक (OA, AP) अर्थात (x, y) हो जाते हैं।

इसी प्रकार यदि हम बिंदु B पर Y अक्ष पर बिंदु P से एक और लंबवत खींचते हैं, तो BP = x और OB = y।
अब चूंकि X अक्ष पर बिंदु है, X अक्ष के साथ Y अक्ष से A की दूरी OA = x है और X अक्ष से लंबवत दूरी शून्य है, इसलिए A का निर्देशांक (x, 0) हो जाता है।
इसी तरह, Y अक्ष पर बिंदु B के निर्देशांक (0, y) और उत्पत्ति O के निर्देशांक (0,0) हैं।

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निर्देशांक ज्यामिति- ग्राफ 5

ग्राफ 5 * रंग हरा शुरुआत दर्शाता है

2D में Quadrant क्या है?

समन्वय अक्षों द्वारा समन्वित विमान को चार समान वर्गों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक अनुभाग को क्वाड्रेंट कहा जाता है। ऊपरी दाएं से वामावर्त या एंटिक्लॉकवाइज के चारों ओर घूमते हुए, वर्गों को क्रम में I, चतुर्थांश II, चतुर्थांश III और चतुर्थांश iv के रूप में नामित किया गया है।

यहां हम X और Y कुल्हाड़ियों को XY विमान को XOY, YOX चार खंडों में विभाजित करते हुए देख सकते हैं, XOY and Yतदनुसार ओएक्स। इसलिए, XOY का क्षेत्र क्वाड्रंट I या पहला क्वाड्रेंट, YOX है is the Quadrant II or second quadrant, XOY is the Quadrant III or third quadrant and YOX चतुर्थांश चतुर्थ या चतुर्थांश है। (कृपया ग्राफ 5 देखें)

निर्देशांक ज्यामिति
ग्राफ 6

समन्वय विमान के विभिन्न चतुर्थांश में अंक:

चूंकि OX + ve और OX है is -ve side of X axis and OY is +ve and OY Y अक्ष की ओर, अलग-अलग चतुष्कोणों में बिंदुओं के निर्देशांक के संकेत हैं-
चतुर्थांश I: (+, +)
चतुर्थांश II: (-, +)
चतुर्थांश III: (-, -)
चतुर्थांश IV: (+, -)

उदाहरण के लिए, यदि हम O से OX के साथ जाते हैं और बिंदु A पर X अक्ष (OX) पर चतुर्थांश I में किसी बिंदु P से लंबवत आकर्षित करते हैं ताकि OA = x और AP = y तब P के समन्वय को परिभाषित किया जाए। x, y) जैसा कि लेख में वर्णित है (किसी दिए गए बिंदु के समन्वय को कैसे खोजें?)।


फिर अगर हम OX के साथ जाते हैं from O and draw a perpendicular from any point Q in the Quadrant II on the X axis (on OX) बिंदु C पर ताकि OC = x और CQ = y तब Q के निर्देशांक को (-x, y) के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसी प्रकार चतुर्थांश III में किसी भी बिंदु R के निर्देशांक को (-x -y) के रूप में परिभाषित किया गया है और चतुर्थांश IV में किसी बिंदु के निर्देशांक को (x -y) के रूप में परिभाषित किया गया है। (ग्राफ 6 देखें)

निष्कर्ष

 के बारे में संक्षिप्त जानकारी निर्देशांक ज्यामिति विषय शुरू करने के लिए एक स्पष्ट विचार प्राप्त करने के लिए बुनियादी अवधारणाओं के साथ प्रदान किया गया है। हम आगामी पोस्ट में 2D और 3D के बारे में विवरणों पर चर्चा करेंगे। यदि आप आगे के अध्ययन से गुजरना चाहते हैं:

संदर्भ

  1. 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_geometry
  2. 2. https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry

गणित पर अधिक विषयों के लिए, कृपया इसका अनुसरण करें संपर्क .

NASRINA PARVIN के बारे में

एक पूर्ण गाइड कोऑर्डिनेट जियोमेट्री के लिएमैं नसरीना परवीन हूं, भारत के संचार और सूचना प्रौद्योगिकी मंत्रालय में काम करने का 10 साल का अनुभव है। मैंने गणित में ग्रेजुएशन किया है। अपने खाली समय में मुझे गणित के प्रश्न पढ़ाना, हल करना पसंद है। बचपन से ही गणित ही एक ऐसा विषय है जिसने मुझे सबसे ज्यादा आकर्षित किया।

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