बीम का विक्षेपण | पूरा अवलोकन और महत्वपूर्ण संबंध

सामग्री: बीम का विक्षेपण

  • विक्षेप वक्र परिभाषा;
  • विक्षेपण कोण परिभाषा
  • विक्षेपण परिभाषा
  • बीम विक्षेपण सीमा की स्थिति
  • लोडिंग फोर्स, कतरनी बल, झुकने का क्षण, ढलान और विक्षेपण के बीच संबंध
  • बीम झुका समीकरण और संबंध
  • बीम विक्षेपण तालिका और मानक भार मामलों के लिए सूत्र
  • बीम का विक्षेपण और उदाहरण के साथ ढलान केस I: ओवरहैंगिंग बीम
  • केस II: केंद्र में बिंदु भार के साथ बस समर्थित बीम का अधिकतम विक्षेपण निर्धारित करें
  • केस III: समर्थन ए से दूरी 'ए' पर केंद्रित बिंदु भार के साथ बस समर्थित बीम के अधिकतम विक्षेपण को निर्धारित करें
  • डबल एकीकरण विधि
  • डबल एकीकरण विधि के लिए प्रक्रिया
  • a . के उदाहरण का उपयोग करके बीम विक्षेपण खोजने के लिए दोहरा एकीकरण विधि कन्टीलीवर बीम समान रूप से वितरित भार के साथ
  • त्रिकोणीय लोड करने के लिए डबल एकीकरण विधि

In अभियांत्रिकी, नीचे को झुकाव वह डिग्री है जिस पर एक संरचनात्मक तत्व एक लोड के तहत विस्थापित हो जाता है (इसके विरूपण के कारण)। यह एक कोण या एक दूरी को संदर्भित कर सकता है। एक लोड के तहत एक सदस्य के विक्षेपण दूरी की गणना उस फ़ंक्शन को एकीकृत करके की जा सकती है जो गणितीय रूप से उस लोड के तहत सदस्य के विक्षेपित आकार के ढलान का वर्णन करता है। असतत स्थानों पर सामान्य बीम विन्यास और भार मामलों के विक्षेपण के लिए मानक सूत्र मौजूद हैं। अन्यथा वर्चुअल वर्क, डायरेक्ट इंटीग्रेशन, कास्टिग्लिआनो का मेथड, मैकाले का तरीका या डायरेक्ट स्टर्नेस मेथड जैसे तरीकों का इस्तेमाल किया जाता है।

विक्षेप वक्र

जब बीम पार्श्व या अनुदैर्ध्य भार से लोड होते हैं, तो प्रारंभिक सीधी अनुदैर्ध्य अक्ष को एक वक्र में बीम के लोचदार वक्र या विक्षेप वक्र के रूप में जाना जाता है। विक्षेपण वक्र चयनित बीम का विकृत अक्ष है।

अवक्षेपण कोण

ढलान को बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के बीच के कोण और किसी भी वांछित स्थान पर बीम के विरूपण वक्र के लिए निर्मित स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह बीम के तटस्थ अक्ष के रोटेशन का कोण है। इसे रेडियंस में मापा जाता है।

नीचे को झुकाव

विक्षेपण बीम के अक्ष पर किसी भी बिंदु का अनुवाद या विस्थापन है, प्रारंभिक सीधी अनुदैर्ध्य अक्ष से बिंदु तक बीम के विक्षेपण वक्र पर बिंदु तक मापा जाता है। इसे मिमी में मापा जाता है। विक्षेपण अनुप्रस्थ लोडिंग के कारण सीधे अनुदैर्ध्य अक्ष के विचलन का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत, बीम का बकलिंग अक्षीय संपीड़ित भार के कारण प्रारंभिक सीधी अनुदैर्ध्य अक्ष के विचलन का प्रतिनिधित्व करता है। यह आमतौर पर 'द्वारा दर्शाया जाता हैवाई '

यदि बीम एक सर्कल के चाप की तरह झुकता है, तो इसे परिपत्र झुकने कहा जाता है; अन्यथा, इसे गैर-परिपत्र झुकने कहा जाता है। मान लीजिए कि एक प्रिज्मीय बीम एक चर झुकने वाले क्षण के अधीन है। उस स्थिति में, यह एक गैर-परिपत्र प्रकार में झुकता है, और यदि इसे निरंतर झुकने वाले क्षणों के अधीन किया जाता है, तो बीम के परिपत्र झुकने में परिणाम होता है।

बीम विक्षेपण सीमा की स्थिति

  1. y पिन या रोलर सपोर्ट पर शून्य है।
  2. y एक अंतर्निहित या ब्रैकट समर्थन पर शून्य है।
  3. मान लीजिए कि झुकने का क्षण और फ्लेक्सुरल कठोरता एक्स के असंतत कार्य हैं। उस स्थिति में, पूरे बीम के लिए एक एकल अंतर समीकरण नहीं लिखा जा सकता है; दो आसन्न खंडों के लिए वक्र के समीकरणों को खंडों के बीच जंक्शन पर दिए गए दो शर्तों को पूरा करना चाहिए:
  • 1. बाएं हाथ के अनुभाग के लिए y दाएं हाथ के अनुभाग के लिए y के बराबर होना चाहिए।
  • 2. बाएं हाथ के खंड के लिए ढलान दाएं हाथ के खंड के लिए ढलान के बराबर होना चाहिए।

लोडिंग फोर्स, कतरनी बल, झुकने का क्षण, ढलान और विक्षेपण के बीच संबंध

अनलोड स्थिति में एक क्षैतिज बीम एबी पर विचार करें। यदि AB भार के नीचे विक्षेप करता है, तो नई स्थिति A'B होगी। किसी भी बिंदु C पर ढलान होगा

i=\\frac{dy}{dx}

आमतौर पर, विक्षेपन न्यूनतम होता है, और वक्रता के एक छोटे दायरे के लिए,

ds=dx=Rdi \\\\\frac{di}{dx}=1/R
परंतु\\;i=\\frac{dy}{dx}

इस प्रकार,

\\frac{d^2 y}{ dx^2}=1/R  

साधारण झुकने वाले क्षण सिद्धांत के अनुसार

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}
\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

इस प्रकार,

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

कहा पे,

ई = सामग्री का यंग मापांक

मैं = जड़ता का क्षेत्र क्षण

एम = अधिकतम पल

आर = बीम की वक्रता का त्रिज्या

यह बीम के विक्षेपण के लिए मूल अंतर समीकरण है।

बीम झुका समीकरण और संबंध

विक्षेप = y
ढलान = \\frac{dy}{dx}
झुकने\\;क्षण =EI\\frac{d^2y}{dx^2}
कतरनी\\; बल = EI\\frac{d^3y}{dx^3}
लोड \\;वितरण =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

बीम विक्षेपण तालिका और मानक भार मामलों के लिए सूत्र:

  • एक ब्रैकट बीम में अधिकतम ढलान और विक्षेपण बीम के मुक्त छोर पर होते हैं, जबकि कैंटिलीवर बीम के क्लैंप किए गए छोर पर कोई ढलान या विक्षेपण नहीं देखा जाता है।
  •  सममित लोडिंग स्थितियों के साथ बस समर्थित बीम के लिए, सबसे अधिक विक्षेपण मिडस्पैन में पाया जा सकता है। बीम के समर्थन पर अधिकतम ढलान देखा जा सकता है। अधिकतम विक्षेपण वहां होता है जहां ढलान शून्य होता है।

उदाहरणों के साथ बीम की कमी और ढलान

केस I: ओवरहींगिंग बीम

सी पर केंद्रित भार P = 50 kN ले जाने वाले एक ओवरहैजिंग स्टील बीम पर विचार करें।

ओवरहैजिंग बीम के लिए, (ए) ढलान और अधिकतम विक्षेपण का निर्धारण करते हैं, (बी) ए से 7 मी पर ढलान का मूल्यांकन करते हैं और दिए गए डेटा से अधिकतम विक्षेपण करते हैं। म = ६ cm2 , ई = 210 GPa।

33 के चित्र

समाधान: दिए गए बीम के लिए मुक्त शरीर आरेख है

ओवरहैंगिंग बीम का विक्षेपण

ए और बी पर प्रतिक्रिया के मूल्य की गणना संतुलन की शर्तों को लागू करके की जा सकती है

\\sum F_y=0\\;\\sum M_A=0

ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए, Fy = 0

R_A + R_B = P

A के बारे में एक पल लेना, दक्षिणावर्त क्षण सकारात्मक और काउंटर दक्षिणावर्त क्षण नकारात्मक लिया जाता है।

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

इस प्रकार,

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P
R_A= \\frac{-Pa}{L}

समर्थन ए से दूरी x पर किसी भी अनुभाग AD पर विचार करें

बिंदु D पर क्षण है

एम= \\frac{-Pa}{L x}

वक्र के अंतर समीकरण का उपयोग करना,

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

दो बार एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1…………..[1]
EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2……………..[2]

हम हमारे लिए उपलब्ध सीमा स्थितियों का उपयोग करके एकीकरण के स्थिरांक पाते हैं

X = 0 पर, y = 0; समीकरण से [2] हमें मिलता है,

C_2 = 0

X = L, y = 0 पर; समीकरण से [2] हमें मिलता है,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0
C_1= \\frac{PaL}{6}

इस प्रकार, C के मानों को प्रतिस्थापित करके ढलान का समीकरण प्राप्त किया जाता है1 और सी2 पहले में]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}………….. [3]

इस प्रकार, विक्षेपण का समीकरण C के मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया1 और सी2 पहले में]

EIy=\\frac{-1}

ढलान शून्य होने पर अधिकतम विक्षेपण होता है। इस प्रकार, अधिकतम विक्षेपण के बिंदु का स्थान [3] से पाया जा सकता है:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}
 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}
x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}
x_m = 0.577 एल

समीकरण में x का मान रखना [4]

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m
EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L
y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

दिए गए डेटा से A से 7 मी पर ढलान का मूल्यांकन करें:

 I = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4 , E = 210\\; जीपीए = 210*10^9\\; देहात

समीकरण का उपयोग करना [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}
\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;रेडियन

बीम में अधिकतम विक्षेपण द्वारा दिया जा सकता है

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}
y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}
y_{max}=1.89 \\;m

केस II: केंद्र में बिंदु भार के साथ बस समर्थित बीम का अधिकतम विक्षेपण निर्धारित करें।

साधारण सी समर्थित बीम के लिए एक केंद्रित भार F = 50 kN पर ले जाने के लिए बस एक समर्थित स्टील बीम पर विचार करें। साधारण रूप से समर्थित बीम के लिए, (a) दिए गए डेटा पर ढलान और अधिकतम विक्षेपण का मूल्यांकन करें: I = 722 सेमी4 , ई = 210 जीपीए, एल = 15 मीटर

नीचे दिया गया चित्र FBD को उस पर प्वाइंट लोड के साथ बस समर्थित बीम के लिए दिखाता है।

36 के चित्र

मानक संबंधों और सूत्र के अनुसार

बीम के अंत में ढलान द्वारा दिया जा सकता है

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}
\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}
\\frac{dy}{dx}=0.463

केंद्र में बिंदु भार अभिनय के साथ बस समर्थित बीम के लिए, अधिकतम विक्षेपण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

y_{max}=\\frac{FL^3}{48EI }
y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }
y_{max}=2.31 \\;m

केस III: समर्थन ए से दूरी पर एक केंद्रित बिंदु भार के साथ बस समर्थित बीम के लिए

बस समर्थित बीम पर केंद्रित भार F = 50 kN ले जाने के लिए एक साधारण समर्थित स्टील बीम पर विचार करें। बस समर्थित बीम के लिए, ए और बी में ढलान का मूल्यांकन करें और दिए गए डेटा से अधिकतम विक्षेपण करें: I = 722 सेमी4 , ई = 210 जीपीए, एल = 15 मीटर, a = 7 मीटर, बी = 13 मीटर

नीचे दिया गया चित्र FBD को उस पर प्वाइंट लोड के साथ बस समर्थित बीम के लिए दिखाता है।

38 के चित्र

मानक संबंधों और सूत्र के अनुसार

बीम के समर्थन पर ढलान द्वारा दिया जा सकता है

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}
\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\\theta_1=0.825 \\;रेडियन 

बीम के समर्थन बी पर ढलान द्वारा दिया जा सकता है

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}
\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\\theta_2=0.675 \\;रेडियन

केंद्र में बिंदु भार अभिनय के साथ बस समर्थित बीम के लिए, अधिकतम विक्षेपण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)
y_{max}=-8.93*10^{-3}\\; एम=-8.93\\;मिमी

डबल एकीकरण विधि

यदि लचीली कठोरता ईआई स्थिर है और पल दूरी x का कार्य है, तो EI का एकीकरण (d)2 y) / (dx)2 ) = M ढलान की उपज देगा

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1
EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

जहां सी1 और सी2 निरंतर हैं। वे बीम पर सीमा की स्थिति या अन्य स्थितियों का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं। उपरोक्त समीकरण x के एक फ़ंक्शन के रूप में विक्षेपण y देता है; इसे इलास्टिक या विरूपण वक्र समीकरण कहा जाता है।

बीम के विक्षेपण और ढलान की उपरोक्त विश्लेषण विधि को बीम के विक्षेपण की गणना के लिए दोहरे एकीकरण विधि के रूप में जाना जाता है। यदि झुकने का क्षण और फ्लेक्सुरल कठोरता एक्स के निरंतर कार्य हैं, तो पूरे बीम के लिए एक एकल अंतर समीकरण को नोट किया जा सकता है। सांख्यिकीय रूप से निर्धारित बीम के लिए, दो समर्थन प्रतिक्रियाएं हैं; प्रत्येक लोचदार वक्र के ढलान पर अवरोधों के दिए गए सेट को लगाता है। इन बाधाओं को सीमा की स्थिति कहा जाता है और एकीकरण के दो स्थिरांक निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

डबल एकीकरण विधि सीमा की स्थिति

  1. y पिन या रोलर सपोर्ट पर शून्य है।
  2. y एक अंतर्निहित या ब्रैकट समर्थन पर शून्य है।
  3. मान लीजिए कि झुकने का क्षण और फ्लेक्सुरल कठोरता एक्स के असंतत कार्य हैं। उस स्थिति में, पूरे बीम के लिए एक एकल अंतर समीकरण नहीं लिखा जा सकता है; दो आसन्न खंडों के लिए वक्र के समीकरणों को खंडों के बीच जंक्शन पर दिए गए दो शर्तों को पूरा करना चाहिए:
  • 1. बाएं हाथ के अनुभाग के लिए y दाएं हाथ के अनुभाग के लिए y के बराबर होना चाहिए।
  • 2. बाएं हाथ के खंड के लिए ढलान दाएं हाथ के खंड के लिए ढलान के बराबर होना चाहिए।

डबल एकीकरण विधि के लिए प्रक्रिया

  • बीम के लिए लोचदार वक्र खींचें और सभी आवश्यक सीमा शर्तों पर विचार करें, जैसे कि y एक पिन या रोलर समर्थन पर शून्य है और y एक अंतर्निहित या ब्रैकट समर्थन पर शून्य है।
  • वर्गों की विधि का उपयोग करके समर्थन से एक मनमाना दूरी x पर झुकने वाले क्षण को निर्धारित करें। बंद पल के लिए मोमेंट एम को खोजने के दौरान उचित झुकने के नियमों का उपयोग करें। दो आसन्न खंडों के लिए वक्र के समीकरणों को खंडों के बीच जंक्शन पर दिए गए दो शर्तों को पूरा करना चाहिए: 1. y बाएं हाथ के अनुभाग के बराबर होना चाहिए y दाहिने हाथ के खंड के लिए। 2. बाएं हाथ के खंड के लिए ढलान दाएं हाथ के खंड के लिए ढलान के बराबर होना चाहिए।
  • ढलान और विक्षेपन प्राप्त करने के लिए दो बार समीकरण को एकीकृत करें, और सीमा की स्थिति का उपयोग करके हर अनुभाग के लिए निरंतर एकीकरण खोजने के लिए मत भूलना।

बीम विक्षेपण खोजने के लिए दोहरे एकीकरण विधि के उदाहरण

यूनिफ़ॉर्मली वितरित भार के साथ नीचे चित्रा में दिखाए गए लंबाई एल के ब्रैकट बीम पर विचार करें। एक कैंटिलीवर बीम में, एक छोर फिक्स्ड होता है जबकि दूसरा छोर हिलने के लिए स्वतंत्र होता है। हम डबल एकीकरण विधि का उपयोग करके इस बीम के लिए ढलान और झुकने के क्षण के लिए समीकरण प्राप्त करेंगे।

40 के चित्र

बाएं छोर से x की दूरी पर झुकने वाला क्षण इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

M=-wx* \\frac{x}{2}

वक्र के अंतर समीकरण का उपयोग करना,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

एक बार मिल जाने के बाद,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

समेकित समीकरण [1] हमें मिलता है,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

सीमा की स्थितियों का उपयोग करके एकीकरण के स्थिरांक प्राप्त किए जा सकते हैं,

एक्स = एल पर, डाई / डीएक्स = 0; ए के समर्थन के बाद से गति को रोकता है। इस प्रकार, समीकरण [1] से, हम प्राप्त करते हैं,

C_1=\\frac{wL^3}{6}

X = L, y = 0 पर, समर्थन में कोई विक्षेप या निश्चित अंत A नहीं। इस प्रकार, समीकरण [2] से, हम प्राप्त करते हैं,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2= \\frac{-wL^4}{8}

 [1] और [2] में निरंतर मान को प्रतिस्थापित करते हुए हमें समीकरण के नए सेट मिलते हैं

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

दिए गए डेटा से x = 12 मीटर और अधिकतम विक्षेपण पर ढलान का मूल्यांकन करें: I = 722 सेमी4 , ई = 210 जीपीए, एल = 20 मीटर, डब्ल्यू = २० एनएम

उपरोक्त समीकरणों से: x = 12 मीटर पर,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}
\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;रेडियन

समीकरण [4] से

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}
y=-0.064 \\;m

त्रिकोणीय लोड करने के लिए डबल एकीकरण विधि

त्रिकोणीय लोडिंग के साथ नीचे चित्र में दिखाए गए लंबाई एल के बस समर्थित बीम पर विचार करें। हम डबल एकीकरण विधि का उपयोग करके इस बीम के लिए ढलान और झुकने के क्षण के लिए समीकरण प्राप्त करेंगे।

41 के चित्र

चूंकि लोडिंग सममित है, इसलिए प्रत्येक समर्थन प्रतिक्रिया कुल लोडिंग का आधा हिस्सा होगी। A और B पर प्रतिक्रिया wL / 4 की पाई जाती है।

किसी भी बिंदु पर R से दूरी x पर क्षणA is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2} ^3 ) 
 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3 ) 

दो बार एकीकरण करने से हमें समीकरण मिलेंगे,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]
EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

X = 0 पर, y = 0; समीकरण से [2] हमें मिलता है,

C_2 = 0

लोड के समरूपता के कारण, मिडस्पैन में ढलान शून्य है। इस प्रकार, डाई / डीएक्स = 0 पर एक्स = एल / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1
C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

[1] और [२] में स्थिरांक मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हम

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]
EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

बीम के केंद्र में अधिकतम विक्षेपण देखा जाएगा। यानी, एल / 2 पर

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)
EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}
EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

दिए गए डेटा से x = 12 मीटर और y के अधिकतम मूल्य पर ढलान का मूल्यांकन करें: I = 722 सेमी4 , ई = 210 जीपीए, एल = 20 मीटर, डब्ल्यू = २० एनएम

उपरोक्त समीकरणों से: x = 12 मीटर पर,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}
\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;रेडियन

समीकरण [4] से

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}
210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}
y=-0.01758\\;m

सामग्री की ताकत के बारे में जानने के लिए (यहां क्लिक करे)और पल क्षेत्र विधि यहां क्लिक करें.

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