असतत रैंडम वेरिएबल और गणितीय अपेक्षा

आमतौर पर हम किसी भी यादृच्छिक या गैर-यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों में रुचि नहीं रखते हैं, इसके बजाय हम अनुकूल घटनाओं के लिए कुछ संभाव्यता या संख्यात्मक मान में रुचि रखते हैं, उदाहरण के लिए मान लें कि हम 8 के रूप में राशि के लिए दो पासा फेंक रहे हैं तो हम नहीं हैं पहले पासा के रूप में 2 या (6), (3,5), (5,3), (4,4), आदि के रूप में परिणाम में रुचि। इसी तरह दैनिक जीवन में जलाशय के यादृच्छिक प्रयोग के लिए हम जल स्तर की दैनिक वृद्धि या कमी में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि केवल बरसात के बाद जल स्तर में रुचि रखते हैं।

इसलिए ऐसी संख्यात्मक मात्राएँ जिनमें हम रुचि रखते हैं, संबंधित यादृच्छिक प्रयोग के यादृच्छिक चर के रूप में मानी जाती हैं। इस उद्देश्य के लिए हम यादृच्छिक प्रयोग के परिणामों के लिए संभावित वास्तविक मूल्यों को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करते हैं। परिणाम को संख्यात्मक मान प्रदान करने के उदाहरण के लिए, सिक्के को उछालने के प्रयोग पर विचार करें, हम यादृच्छिक प्रयोग के नमूना स्थान में क्रमशः सिर और निशान के लिए संख्यात्मक मान 0 और 1 प्रदान करते हैं। 

असतत यादृच्छिक चर

असतत यादृच्छिक चर यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो परिमित या संख्या में अनंत रूप से अनंत हैं और जो परिमित या गणना के आधार पर अनंत नहीं हैं वे गैर-असतत यादृच्छिक चर हैं। नमूना स्थान के प्रत्येक तत्व के लिए हम एक वास्तविक संख्या प्रदान कर रहे हैं, यह एक्स यानी एक्स: एस → आर द्वारा निरूपित वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के संदर्भ में व्याख्या की जा सकती है। हम इस फ़ंक्शन को एक यादृच्छिक चर या स्टोचैस्टिक फ़ंक्शन कहते हैं, जिसमें कुछ भौतिक, ज्यामितीय या कोई अन्य महत्व है।

उदाहरण: दो पासा फेंकने के प्रयोग पर विचार करें और फिर यादृच्छिक चर मानें या स्टोकेस्टिक समारोह बिंदुओं के योग का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो नमूना स्थान के लिए संभावित मान

एस={(1,1), (1), (2), (1,3), (1,4) , (1,5) ,

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

X (2) होगा, (1,1)

निम्नलिखित से एक्स = 3 के लिए (1,2), (2,1) आदि हम आसानी से समझ सकते हैं

उपरोक्त तालिका में दाएं से बाएं बाएं विकर्ण तत्व यादृच्छिक चर या स्टोचस्टिक फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त राशि देंगे।

संबंधित यादृच्छिक चर के लिए संभावना निम्नानुसार व्यक्त की जा सकती है

असतत संभावना वितरण

असतत वितरण वितरण यादृच्छिक चर की संभावना है जो प्रकृति में असतत हैं, विशेष रूप से अगर x₁, एक्स₂, एक्स₃, एक्स₄, ………।, एक्स_k के मान हैं असतत यादृच्छिक चर एक्स फिर पी (एक्स₁), पी (एक्स₂), पी (एक्स₃), पी (एक्स₄), ……… .P (x)_k) इसी संभावनाएं हैं।

संभाव्यता फ़ंक्शन / प्रायिकता वितरण जिसे हम निरूपित कर सकते हैं 

P (X = x) = f (x)

और संभाव्यता की परिभाषा के बाद यह फ़ंक्शन निम्न स्थितियों को पूरा करता है।

1. च (x) ≥0
2. Σ f (x) = 1, जहां यह योग x के लिए कुल योग है।

उदाहरण: यदि एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, तो यदि हम व्यक्त करते हैं कि ट्रेल्स की संख्या यादृच्छिक चर एक्स के रूप में आती है, तो यह होगा 

यदि हम निष्पक्ष सिक्का लेते हैं तो उपरोक्त दो बार टॉस करने के लिए परिणाम होगा और इस तरह के यादृच्छिक चर के लिए संभावना होगी

पी (एक्स = 0) = पी (एच, एच) = 1/4

पी (एक्स=1) = पी (टीएच या एचटी) = पी (टीएच ∪ एचटी) = पी (टीएच) + पी (एचटी)=1/4+1/4=1/2

और पी (एक्स=2) = पी (टीटी) =1/4

यह संभावना वितरण हम निम्नानुसार सारणीबद्ध कर सकते हैं

संचयी वितरण समारोह (cdf) / वितरण समारोह

हम परिभाषित करेंगे वितरण समारोह or संचयी वितरण फलन (cdf) असतत रैंडम वेरिएबल X के लिए F (x), जिसे )x≤∞ के रूप में दर्शाया गया है

F (x) = P (X≤x)

बशर्ते उसका पालन हो

1. किसी भी x,y , x≤y, F(x) ≤ F(y) के लिए यानी संचयी वितरण फ़ंक्शन F(x) गैर-घटता नहीं है।
2. एफ (एक्स) = 0 और एफ (एक्स) = 1
3. F (x + h) = F (x), + x अर्थात। संचयी वितरण फ़ंक्शन F (x) सही निरंतर है।

चूँकि असतत यादृच्छिक चर X के लिए X = x की संभावना P (X = x) है₁<X<x₂ P होगा (x)₁<X<x₂) और X .x के लिए P (X≤x) है।

हम वितरण समारोह को असतत वितरण फ़ंक्शन के लिए निम्नानुसार लिख सकते हैं

हम वितरण फ़ंक्शन के रूप में प्रायिकता फ़ंक्शन प्राप्त कर सकते हैं

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

उदाहरण: RSI संभावना असतत यादृच्छिक चर के लिए निम्नानुसार दिया गया है

F2, F5, F (7) का पता लगाएं?

उपाय:

गणितीय अपेक्षा 

   गणितीय अपेक्षा के लिए बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा है सिद्धांत संभावना आंकड़ों के साथ-साथ इसे अपेक्षा या अपेक्षित मूल्य के रूप में भी जाना जाता है, इसे यादृच्छिक चर और गुणा में इसकी संभावनाओं के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यानी यदि x₁, एक्स₂, एक्स₃, एक्स₄, ………।एक्स_n असतत यादृच्छिक चर X के मान हैं तो P (x)₁), पी (एक्स₂), पी (एक्स₃), पी (एक्स₄),……….P(xn) तब संगत प्रायिकताएँ हैं यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा X को E(x) द्वारा निरूपित किया जाता है

उदाहरण: एक बार में 72 कार्ड से 1 कार्डों की संख्या 72 से 8 कार्ड निकाले जाते हैं, ड्रा किए गए टिकटों पर संख्याओं के योग का अपेक्षित मान ज्ञात करें।

उपाय:। यादृच्छिक चर x पर विचार करें₁, एक्स₂, एक्स₃, एक्स₄,………।एक्स_n 1, 2, 3, 4, ………, 72 गिने कार्डों का प्रतिनिधित्व करते हैं

इसलिए 72 कार्ड में से किसी भी x की संभावना है 

P (x)_i) = 1 / एन = 1/72

तब से अपेक्षा रहेगी

ई (एक्स) = एक्स₁। (1 / n) + x₂। (1 / n) + x₃। (1 / n) + …………… + x_n। (1 / एन)।

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

अब ऐसे 8 कार्डों के लिए अपेक्षित मूल्य होगा 

ई (एक्स) = एक्स₁। (1 / n) + x₂। (1 / n) + x₃। (1 / n) + …………… + x₈। (1 / एन)।

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

झगड़ा, मानक विचलन और औसत झुकाव गणितीय अपेक्षा द्वारा

RSI आँकड़ों की महत्वपूर्ण अवधारणाएँ मानक विचलन और झगड़ा हम गणितीय अपेक्षा के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं, इसलिए यदि यादृच्छिक चर x₁, एक्स₂, एक्स₃, एक्स₄, ………।एक्स_n इसी संभावनाओं के साथ P (x)₁), पी (एक्स₂), पी (एक्स₃), पी (एक्स₄), ……… .P (x)_n) तब विचरण होगा

उदाहरण: एक खेल में यदि एक उचित पासा का उपयोग किया जाता है और खिलाड़ी जीतता है यदि पासा पर कोई विषम मूल्य आता है और पुरस्कार राशि 20 रुपये दी जाएगी यदि 1 आते हैं, तो 40 के लिए 3 रुपये, और 60 के लिए 5 रुपये और यदि पासा का कोई अन्य चेहरा है। खिलाड़ी के लिए 10 रुपये का नुकसान हुआ अपेक्षित धन प्राप्त करें जिसे विचरण और मानक विचलन के साथ जीता जा सकता है।

उपाय:

उचित पासा के लिए हम संभावनाओं के वितरण को जानते हैं,

X को खेल की आवश्यकता के अनुसार डाइस कन्वर्ट के लिए रैंडम वैरिएबल होने दें, जब चेहरा इस प्रकार आए, तो नुकसान हो सकता है।

इसलिए किसी भी खिलाड़ी द्वारा जीती गई अपेक्षित राशि होगी

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

इसलिए किसी भी खिलाड़ी द्वारा जीती गई अपेक्षित राशि μ = 15 होगी

गणितीय अपेक्षा के साथ-साथ विचरण के परिणाम को आवश्यकता के अनुसार दो से अधिक चर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

निष्कर्ष:

   इस लेख में हमने मुख्य रूप से असतत यादृच्छिक चर, संभाव्यता वितरण और वितरण फ़ंक्शन पर चर्चा की जिसे cdf संचयी वितरण फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, साथ ही इसकी अवधारणा असतत यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षा और इस तरह के असतत यादृच्छिक चर के लिए औसत विचलन, भिन्नता और मानक विचलन क्या होगा, अगले लेख में उपयुक्त उदाहरणों की सहायता से समझाया गया है, हम निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उसी पर चर्चा करेंगे, यदि आप आगे पढ़ना चाहते हैं तो इसे देखें:

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Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

डॉ मोहम्मद माझर उल हक

मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।