गामा वितरण घातीय परिवार: 21 महत्वपूर्ण तथ्य

सामग्री

1. गामा वितरण का विशेष रूप और गामा वितरण के संबंध
2. गामा वितरण घातीय परिवार
3. गामा और सामान्य वितरण के बीच संबंध
4. पॉसों गामा वितरण | पॉइसन गामा वितरण ऋणात्मक द्विपद
5. वीबुल गामा वितरण
6. वास्तविक जीवन में गामा वितरण का अनुप्रयोग | गामा वितरण उपयोग | सांख्यिकी में गामा वितरण का अनुप्रयोग distribution 
7. बीटा गामा वितरण | गामा और बीटा वितरण के बीच संबंध
8. द्विचर गामा वितरण
9. दोहरा गामा वितरण
10. गामा और घातीय वितरण के बीच संबंध | घातीय और गामा वितरण | गामा घातीय वितरण
11. फ़िट गामा वितरण
12. स्थानांतरित गामा वितरण
13. छोटा गामा वितरण
14. गामा वितरण का उत्तरजीविता कार्य
15. गामा वितरण के एमएलई | अधिकतम संभावना गामा वितरण | गामा वितरण की संभावना समारोह
16. क्षणों की गामा वितरण पैरामीटर आकलन विधि | क्षणों की विधि अनुमानक गामा वितरण
17. गामा वितरण के लिए विश्वास अंतराल
18. घातीय वितरण से पहले गामा वितरण संयुग्मित | गामा पूर्व वितरण | पश्च वितरण पोइसन गामा
19. गामा वितरण क्वांटाइल फ़ंक्शन
20. सामान्यीकृत गामा वितरण
21. बीटा सामान्यीकृत गामा वितरण

गामा वितरण का विशेष रूप और गामा वितरण के संबंध

  इस लेख में हम गामा वितरण के विशेष रूपों और विभिन्न निरंतर और असतत यादृच्छिक चर के साथ गामा वितरण के संबंधों पर चर्चा करेंगे, साथ ही गामा वितरण का उपयोग करके जनसंख्या के नमूने में कुछ अनुमान विधियों पर संक्षेप में चर्चा की गई है।

गामा वितरण घातीय परिवार

  गामा वितरण घातीय परिवार और यह दो पैरामीटर घातीय परिवार है जो वितरण के बड़े पैमाने पर और लागू परिवार है क्योंकि अधिकांश वास्तविक जीवन समस्याओं को गामा वितरण घातीय परिवार में मॉडल किया जा सकता है और घातीय परिवार के भीतर त्वरित और उपयोगी गणना आसानी से की जा सकती है, दो पैरामीटर में यदि हम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन लेते हैं

यदि हम α (अल्फा) के ज्ञात मान को प्रतिबंधित करते हैं तो यह दो पैरामीटर परिवार एक पैरामीटर घातीय परिवार में कम हो जाएगा

और (लैम्ब्डा) के लिए

गामा और सामान्य वितरण के बीच संबंध

  गामा बंटन के प्रायिकता घनत्व फलन में यदि हम अल्फा को ५० के करीब लेते हैं तो हमें घनत्व फलन की प्रकृति इस प्रकार मिलेगी

यहां तक ​​​​कि गामा वितरण में आकार पैरामीटर भी हम बढ़ रहे हैं जिसके परिणामस्वरूप सामान्य वितरण सामान्य वक्र की समानता होती है, अगर हम आकार पैरामीटर अल्फा को अनंत तक ले जाते हैं तो गामा वितरण अधिक सममित और सामान्य होगा लेकिन अल्फा गामा में एक्स के अनंत मूल्य के लिए जाता है वितरण शून्य से अनंत तक जाता है जिसके परिणामस्वरूप गामा वितरण का अर्ध अनंत समर्थन अनंत होता है इसलिए गामा वितरण भी सममित हो जाता है लेकिन सामान्य वितरण के साथ समान नहीं होता है।

पोइसन गामा वितरण | पॉइसन गामा वितरण ऋणात्मक द्विपद

   पोइसन गामा वितरण और द्विपद वितरण असतत यादृच्छिक चर हैं, जिसका यादृच्छिक चर असतत मूल्यों से संबंधित है, विशेष रूप से बर्नौली परीक्षणों के रूप में सफलता और विफलता जो केवल परिणाम के रूप में यादृच्छिक सफलता या विफलता देता है, अब पॉइसन और गामा वितरण का मिश्रण भी नकारात्मक द्विपद वितरण के रूप में जाना जाता है, बर्नौली के परीक्षण के बार-बार परीक्षण का परिणाम है, इसे अलग-अलग तरीके से पैरामीटर किया जा सकता है जैसे कि परीक्षणों की संख्या में r-th सफलता होती है, तो इसे पैरामीटर किया जा सकता है

और यदि आर-वें सफलता से पहले विफलताओं की संख्या है तो इसे पैरामीटर के रूप में किया जा सकता है

और r और p . के मानों पर विचार करते हुए

नकारात्मक द्विपद या पॉइसन गामा वितरण के लिए मानकीकरण का सामान्य रूप है

और वैकल्पिक एक है

इस द्विपद बंटन को गुणांक के कारण ऋणात्मक कहा जाता है

और यह नकारात्मक द्विपद या पॉइसन गामा वितरण अच्छी तरह से परिभाषित है कि हम इस वितरण के लिए एक के रूप में प्राप्त होने वाली कुल संभावना के रूप में परिभाषित हैं

इस ऋणात्मक द्विपद या पॉइसन गामा बंटन का माध्य और प्रसरण है

पॉइसन और गामा संबंध हम निम्नलिखित गणना से प्राप्त कर सकते हैं

इस प्रकार ऋणात्मक द्विपद पॉइसन और गामा वितरण का मिश्रण है और इस वितरण का उपयोग दिन-प्रतिदिन की समस्याओं के मॉडलिंग में किया जाता है जहाँ हमें असतत और निरंतर मिश्रण की आवश्यकता होती है।

वीबुल गामा वितरण

   घातीय वितरण का सामान्यीकरण होता है जिसमें वेइबुल के साथ-साथ गामा वितरण भी शामिल होता है क्योंकि वेइबुल वितरण में संभाव्यता घनत्व कार्य होता है

और संचयी वितरण समारोह के रूप में

जहां गामा वितरण की पीडीएफ और सीडीएफ पहले से ही हमने वीबुल और गामा वितरण के बीच मुख्य संबंध के ऊपर चर्चा की है, दोनों घातीय वितरण के सामान्यीकरण हैं, उनके बीच अंतर यह है कि जब चर की शक्ति एक से अधिक होती है तो वीबुल वितरण कम परिणाम देता है जबकि कम के लिए 1 से अधिक गामा त्वरित परिणाम देता है।

     हम यहां सामान्यीकृत वीबुल गामा वितरण पर चर्चा नहीं करेंगे जिसके लिए अलग चर्चा की आवश्यकता है।

वास्तविक जीवन में गामा वितरण का अनुप्रयोग | गामा वितरण उपयोग | सांख्यिकी में गामा वितरण का अनुप्रयोग distribution 

  ऐसे कई अनुप्रयोग हैं जहां गामा वितरण का उपयोग स्थिति को मॉडल करने के लिए किया जाता है जैसे कि कुल बीमा दावा, वर्षा राशि संचय, किसी भी उत्पाद के निर्माण और वितरण के लिए, विशिष्ट वेब पर भीड़, और दूरसंचार एक्सचेंज आदि में वास्तव में गामा वितरण देता है। प्रतीक्षा समय भविष्यवाणी nth इवेंट के लिए अगले इवेंट तक। वास्तविक जीवन में गामा वितरण के अनेक अनुप्रयोग हैं।

बीटा गामा वितरण | गामा और बीटा वितरण के बीच संबंध

    बीटा वितरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ यादृच्छिक चर है

जहां

जिसका गामा फ़ंक्शन के साथ संबंध है:

और गामा वितरण से संबंधित बीटा वितरण जैसे कि एक्स पैरामीटर अल्फा और बीटा के साथ गामा वितरण हो और वाई पैरामीटर अल्फा के साथ एक और बीटा के साथ गामा वितरण हो तो यादृच्छिक चर एक्स/(एक्स + वाई) बीटा वितरण है।

या यदि X गामा(α,1) है और Y गामा (1, β) है तो यादृच्छिक चर X/(X+Y) बीटा (α, β) है 

और भी

द्विचर गामा वितरण

     एक दो आयामी या द्विचर यादृच्छिक चर निरंतर है यदि कोई फ़ंक्शन f(x,y) मौजूद है जैसे कि संयुक्त वितरण कार्य

जहां

और संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त किया गया

द्विचर गामा वितरण की संख्या है उनमें से एक है द्विचर गामा वितरण संभाव्यता घनत्व फलन के साथ

दोहरा गामा वितरण

  दोहरा गामा वितरण द्विचर वितरण में से एक है जिसमें गामा यादृच्छिक चर के साथ पैरामीटर अल्फा और एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ होता है

यह घनत्व संबंधित यादृच्छिक चर के साथ डबल गामा वितरण बनाता है और डबल गामा वितरण के लिए पल उत्पन्न करने वाला कार्य है

गामा और घातीय वितरण के बीच संबंध | घातीय और गामा वितरण | गामा घातीय वितरण

   चूंकि घातीय वितरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ वितरण है

और गामा वितरण में संभाव्यता घनत्व कार्य होता है

स्पष्ट रूप से अल्फा का मूल्य यदि हम एक के रूप में रखते हैं तो हमें घातीय वितरण मिलेगा, अर्थात गामा वितरण और कुछ नहीं बल्कि घातीय वितरण का सामान्यीकरण है, जो अगले nth घटना की घटना तक प्रतीक्षा समय की भविष्यवाणी करता है जबकि घातीय वितरण प्रतीक्षा की भविष्यवाणी करता है अगली घटना के घटित होने तक का समय।

फिट गामा वितरण

   जहां तक ​​गामा वितरण के रूप में दिए गए डेटा को फिट करने का अर्थ है दो पैरामीटर संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन ढूंढना जिसमें आकार, स्थान और स्केल पैरामीटर शामिल हैं, इसलिए इन पैरामीटर को अलग-अलग अनुप्रयोगों के साथ ढूंढना और माध्य, भिन्नता, मानक विचलन की गणना करना और पल पैदा करने वाला कार्य गामा वितरण की फिटिंग हैचूंकि विभिन्न वास्तविक जीवन की समस्याओं को गामा वितरण में मॉडल किया जाएगा, इसलिए स्थिति के अनुसार जानकारी गामा वितरण में फिट होनी चाहिए, इस उद्देश्य के लिए विभिन्न वातावरण में विभिन्न तकनीकें पहले से ही मौजूद हैं जैसे आर, मैटलैब, एक्सेल आदि।

स्थानांतरित गामा वितरण

     आवेदन और आवश्यकता के अनुसार जब भी दो पैरामीटर गामा वितरण से आवश्यक वितरण को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है तो नया सामान्यीकृत तीन पैरामीटर या कोई अन्य सामान्यीकृत गामा वितरण आकार स्थान और पैमाने को बदलता है, ऐसे गामा वितरण को स्थानांतरित गामा वितरण के रूप में जाना जाता है

छोटा गामा वितरण

     यदि हम आकार पैमाने और स्थान मापदंडों के लिए गामा वितरण की सीमा या डोमेन को प्रतिबंधित करते हैं तो प्रतिबंधित गामा वितरण को शर्तों के आधार पर छोटा गामा वितरण के रूप में जाना जाता है।

गामा वितरण का उत्तरजीविता कार्य

                गामा वितरण के लिए उत्तरजीविता फलन को फलन s(x) इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

गामा वितरण के एमएल | अधिकतम संभावना गामा वितरण | गामा वितरण की संभावना समारोह

हम जानते हैं कि अधिकतम संभावना जनसंख्या से एक प्रतिनिधि के रूप में नमूना लेती है और यह नमूना घनत्व फ़ंक्शन के मापदंडों के लिए अधिकतम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के लिए एक अनुमानक के रूप में माना जाता है, गामा वितरण पर जाने से पहले यादृच्छिक चर एक्स के लिए कुछ मूल बातें याद करें पैरामीटर के रूप में थीटा के साथ संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के रूप में संभावना कार्य है

इसे हम इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं

और इस संभावना समारोह को अधिकतम करने की विधि हो सकती है

यदि ऐसी थीटा इस समीकरण को संतुष्ट करती है, और लॉग मोनोटोन फ़ंक्शन है तो हम लॉग के संदर्भ में लिख सकते हैं

और ऐसा सर्वोच्च मौजूद है यदि

अब हम गामा वितरण फलन के लिए अधिकतम संभावना को इस प्रकार लागू करते हैं:

फ़ंक्शन की लॉग संभावना होगी

तो है

और इसलिए

इसे इस प्रकार भी प्राप्त किया जा सकता है

by

और पैरामीटर को विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है

क्षणों की गामा वितरण पैरामीटर आकलन विधि | क्षणों की विधि अनुमानक गामा वितरण

   हम क्रमशः n वें क्रम की अपेक्षा की सहायता से जनसंख्या और नमूने के क्षणों की गणना कर सकते हैं, क्षण की विधि वितरण के इन क्षणों और मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए नमूने के बराबर है, मान लीजिए कि हमारे पास संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ गामा यादृच्छिक चर का नमूना है

हम जानते हैं कि इस संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के लिए पहला टो क्षण है

so

हम दूसरे क्षण से प्राप्त करेंगे यदि हम लैम्ब्डा को प्रतिस्थापित करते हैं

और अल्फा के इस मान से है

और अब लैम्ब्डा होगा

और नमूने का उपयोग करने वाला क्षण अनुमानक होगा

गामा वितरण के लिए विश्वास अंतराल

   गामा वितरण के लिए आत्मविश्वास अंतराल जानकारी का अनुमान लगाने का तरीका है और इसकी अनिश्चितता जो बताती है कि अंतराल का पैरामीटर का सही मान कितने प्रतिशत पर होने की उम्मीद है, यह आत्मविश्वास अंतराल यादृच्छिक चर के अवलोकन से प्राप्त होता है, क्योंकि यह से प्राप्त होता है यादृच्छिक गामा वितरण के लिए आत्मविश्वास अंतराल प्राप्त करना यादृच्छिक है, विभिन्न अनुप्रयोगों में अलग-अलग तकनीकें हैं जिनका हमें पालन करना है।

घातीय वितरण से पहले गामा वितरण संयुग्मित | गामा पूर्व वितरण | पश्च वितरण पोइसन गामा

     पश्च और पूर्व वितरण बायेसियन की शब्दावली हैं सिद्धांत संभावना और वे एक दूसरे के साथ संयुग्मित होते हैं, कोई भी दो वितरण संयुग्मित होते हैं यदि एक वितरण का पिछला भाग दूसरा वितरण है, थीटा के संदर्भ में आइए हम दिखाते हैं कि घातीय वितरण से पहले गामा वितरण संयुग्मित है

यदि प्रायिकता घनत्व फलन गामा वितरण थीटा के संदर्भ में इस प्रकार है

मान लें कि थीटा के लिए वितरण फ़ंक्शन दिए गए डेटा से घातीय है

तो संयुक्त वितरण होगा

और संबंध का उपयोग करना

हमारे पास है

जो है

इसलिए गामा वितरण घातीय वितरण से पहले संयुग्मित होता है क्योंकि पश्चगामी गामा वितरण होता है।

गामा वितरण मात्रात्मक समारोहile

   गामा वितरण का क्वांटाइल फ़ंक्शन वह फ़ंक्शन होगा जो गामा वितरण में अंक देता है जो गामा वितरण में मूल्यों के रैंक क्रम से संबंधित होता है, इसके लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है और विभिन्न भाषा के लिए अलग-अलग एल्गोरिदम और गामा वितरण की मात्रा के लिए कार्य करते हैं।

सामान्यीकृत गामा वितरण

    चूंकि गामा वितरण स्वयं वितरण के घातीय परिवार का सामान्यीकरण है, इस वितरण में अधिक पैरामीटर जोड़ने से हमें सामान्यीकृत गामा वितरण मिलता है जो इस वितरण परिवार का और सामान्यीकरण है, भौतिक आवश्यकताएं अलग-अलग सामान्यीकरण देती हैं, जिनमें से एक अक्सर संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग कर रहा है जैसा

ऐसे सामान्यीकृत गामा वितरण के लिए संचयी वितरण फलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है

जहाँ अंश अधूरे गामा फलन का प्रतिनिधित्व करता है:

इस अपूर्ण गामा फलन का उपयोग करके सामान्यीकृत गामा वितरण के लिए उत्तरजीविता फलन इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन वाले इस तीन पैरामीटर सामान्यीकृत गामा वितरण का एक और संस्करण है

जहां के, β, शून्य से अधिक पैरामीटर हैं, इन सामान्यीकरण में वेइबुल पैरामीटर की जगह को दूर करने के लिए अभिसरण मुद्दे हैं

इस पैरामीटराइजेशन का उपयोग करके प्राप्त घनत्व फ़ंक्शन का अभिसरण इसलिए अभिसरण के साथ गामा वितरण के लिए अधिक सामान्यीकरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ वितरण है

बीटा सामान्यीकृत गामा वितरण

   घनत्व फ़ंक्शन में पैरामीटर बीटा शामिल गामा वितरण जिसके कारण कभी-कभी गामा वितरण को घनत्व फ़ंक्शन के साथ बीटा सामान्यीकृत गामा वितरण के रूप में जाना जाता है

संचयी बंटन फलन के साथ

गामा वितरण की चर्चा में पहले से ही विस्तार से चर्चा की गई है, आगे बीटा सामान्यीकृत गामा वितरण को सीडीएफ के साथ परिभाषित किया गया है

जहां बी (ए, बी) बीटा फ़ंक्शन है, और इसके लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन भेदभाव द्वारा प्राप्त किया जा सकता है और घनत्व फ़ंक्शन होगा

यहाँ G(x) उपरोक्त परिभाषित संचयी वितरण है समारोह गामा वितरण का, यदि हम यह मान रखते हैं तो बीटा सामान्यीकृत गामा वितरण का संचयी वितरण कार्य है

और संभाव्यता घनत्व समारोह

बचा हुआ इस बीटा सामान्यीकृत गामा वितरण के लिए गुणों को बढ़ाया जा सकता है सामान्य परिभाषाओं के साथ।

निष्कर्ष:

के विभिन्न रूप और सामान्यीकरण हैं गामा वितरण और गामा वितरण घातीय परिवार वास्तविक जीवन स्थितियों के अनुसार संभव है इसलिए ऐसे रूपों और सामान्यीकरणों को सूचना के जनसंख्या नमूने में गामा वितरण के अनुमान विधियों के अलावा कवर किया गया था, यदि आपको गामा वितरण घातीय परिवार पर आगे पढ़ने की आवश्यकता है, तो कृपया नीचे दिए गए लिंक पर जाएं और किताबें। गणित पर अधिक विषयों के लिए कृपया देखें हमारा पेज.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय