गामा वितरण
सतत यादृच्छिक चर और निरंतर वितरण में से एक गामा वितरण है, जैसा कि हम जानते हैं कि निरंतर यादृच्छिक चर सौदे निरंतर मूल्यों या अंतराल के साथ होते हैं, इसलिए विशिष्ट संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ गामा वितरण, क्रमिक चर्चा में है। गामा यादृच्छिक चर और गामा वितरण के उदाहरणों के साथ अवधारणा, गुणों और परिणामों का विवरण।
गामा यादृच्छिक चर या गामा वितरण | गामा वितरण क्या है | परिभाषित गामा वितरण | गामा वितरण घनत्व समारोह | गामा वितरण संभाव्यता घनत्व कार्य | गामा वितरण प्रमाण
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ एक सतत यादृच्छिक चर
गामा यादृच्छिक चर या गामा वितरण के रूप में जाना जाता है जहां α> 0, λ> 0 और गामा फ़ंक्शन होता है
हमारे पास गामा फंक्शन की बहुत लगातार संपत्ति है जैसे कि भागों द्वारा एकीकरण
यदि हम n से शुरू होने वाली प्रक्रिया को जारी रखते हैं
और अंत में एक के गामा का मूल्य होगा
इस प्रकार मूल्य होगा
गामा वितरण का cdf | संचयी गामा वितरण | गामा वितरण का एकीकरण
RSI संचयी वितरण गामा यादृच्छिक चर का फ़ंक्शन (सीडीएफ) या गामा यादृच्छिक चर का वितरण कार्य निरंतर यादृच्छिक चर के समान है, बशर्ते संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन अलग है यानी
यहाँ संभावना घनत्व फ़ंक्शन गामा वितरण के लिए ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, संचयी वितरण फ़ंक्शन जिसे हम भी लिख सकते हैं
उपरोक्त दोनों स्वरूपों में pdf का मान इस प्रकार है
जहां α> 0, λ> 0 वास्तविक संख्या हैं।
गामा वितरण सूत्र | गामा वितरण के लिए सूत्र | गामा वितरण समीकरण | गामा वितरण व्युत्पत्ति
गामा यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के लिए प्रायिकता ज्ञात करने के लिए हमें विभिन्न दिए गए α> 0, λ> 0 का उपयोग करना होगा
और उपरोक्त पीडीएफ का उपयोग करके हम जिस गामा यादृच्छिक चर के लिए वितरण प्राप्त कर सकते हैं
इस प्रकार गामा वितरण सूत्र को पीडीएफ मूल्य और आवश्यकता के अनुसार गामा यादृच्छिक चर के लिए सीमा की आवश्यकता होती है।
गामा वितरण उदाहरण
दिखाएँ कि के लिए कुल संभावना गामा वितरण दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन के साथ एक है अर्थात्
λ> 0, α> 0 के लिए।
उपाय:
गामा वितरण के लिए सूत्र का उपयोग करना
चूंकि गामा वितरण के लिए प्रायिकता घनत्व कार्य है
जो शून्य से कम सभी मूल्य के लिए शून्य है, इसलिए संभावना अब होगी
गामा फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करना
और प्रतिस्थापन हमें मिलता है
इस प्रकार
गामा वितरण माध्य और विचरण | गामा वितरण की उम्मीद और विचरण | गामा वितरण के अपेक्षित मूल्य और परिवर्तन | गामा वितरण का मतलब | गामा वितरण का अपेक्षित मूल्य | गामा वितरण की उम्मीद
निम्नलिखित चर्चा में हम गामा वितरण के लिए माध्य और भिन्नता की अपेक्षा और निरंतर यादृच्छिक चर के विचरण की मानक परिभाषाओं की मदद से करेंगे।
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ निरंतर यादृच्छिक चर एक्स का अपेक्षित मूल्य या मतलब
या गामा यादृच्छिक चर एक्स होगा
गामा वितरण प्रमाण का मतलब | गामा वितरण प्रमाण का अपेक्षित मूल्य
गामा वितरण का अपेक्षित मान या माध्य प्राप्त करने के लिए हम गामा फ़ंक्शन की परिभाषा और संपत्ति का पालन करेंगे,
गामा रैंडम वैरिएबल के निरंतर रैंडम वैरिएबल और प्रायिकता डेंसिटी फंक्शन की अपेक्षा से सबसे पहले
सामान्य कारक को रद्द करने और गामा फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके
अब चूंकि हमारे पास गामा फ़ंक्शन का गुण है
अपेक्षा का मूल्य होगा
इस प्रकार गामा यादृच्छिक चर या गामा वितरण का माध्य या प्रत्याशित मान हमें मिलता है
गामा वितरण का विचरण | एक गामा वितरण का विचरण
दिए गए संभावना घनत्व फ़ंक्शन के साथ गामा यादृच्छिक चर के लिए विचरण
या गामा वितरण का विचरण होगा
गामा वितरण प्रमाण का विचरण
जैसा कि हम जानते हैं कि विचरण अपेक्षित मूल्यों का अंतर है
गामा वितरण के लिए हमारे पास पहले से ही माध्य का मूल्य है
अब पहले हमें E [X के मान की गणना करते हैं2], इसलिए हमारे पास निरंतर यादृच्छिक चर के लिए अपेक्षा की परिभाषा है
चूंकि फ़ंक्शन च (x) गामा वितरण की संभाव्यता वितरण कार्य है
इसलिए अभिन्न शून्य से अनंत तक ही होगा
इसलिए गामा फ़ंक्शन की परिभाषा से हम लिख सकते हैं
इस प्रकार गामा फ़ंक्शन की संपत्ति का उपयोग करके हमें मान मिला
अब इन अपेक्षाओं का मूल्य डालें
इस प्रकार, गामा वितरण या गामा यादृच्छिक चर के विचरण का मूल्य है
गामा वितरण मापदंडों | दो पैरामीटर गामा वितरण | 2 चर गामा वितरण
मापदंडों के साथ गामा वितरण λ> 0, α> 0 और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन
सांख्यिकीय मापदंडों का मतलब और भिन्नता है
तथा
चूंकि λ पॉजिटिव रियल नंबर है, सरल और आसान तरीके से हैंडल करना λ = 1 / real सेट करना है, ताकि यह फॉर्म में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन दे सके
इस घनत्व के लिए वितरण समारोह या संचयी वितरण समारोह को संक्षिप्त रूप में हम व्यक्त कर सकते हैं
इस गामा घनत्व समारोह के रूप में माध्य और विचरण देता है
और
जो प्रतिस्थापन द्वारा स्पष्ट है।
दोनों तरह से आमतौर पर गामा वितरण या तो पैरामीटर α और λ द्वारा चिह्नित किया जाता है गामा (α, λ) या मापदंडों गामा वितरण के साथ और λ द्वारा चिह्नित गामा ((, λ) संबंधित सांख्यिकीय मापदंडों का अर्थ है और प्रत्येक रूप में विचरण।
दोनों ही एक समान हैं।
गामा वितरण भूखंड | गामा वितरण ग्राफ | गामा वितरण हिस्टोग्राम
गामा वितरण की प्रकृति हम आसानी से मापदंडों के कुछ विशिष्ट मूल्यों के लिए ग्राफ की मदद से कल्पना कर सकते हैं, यहां हम मापदंडों के कुछ मूल्यों के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संचयी घनत्व फ़ंक्शन के लिए भूखंडों को आकर्षित करते हैं।
आइए हम संभावना घनत्व समारोह को लेते हैं
फिर संचयी वितरण समारोह होगा
विवरण: संभावना घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए रेखांकन अल्फा के मूल्य को 1 के रूप में तय करके और बीटा के मूल्य को अलग करके।
विवरण: संभावना घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए रेखांकन अल्फा के मान को 2 के रूप में तय करके और बीटा के मान को अलग करके
विवरण: संभावना घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए रेखांकन अल्फा के मान को 3 के रूप में तय करके और बीटा के मान को अलग करके
विवरण: संभाव्यता घनत्व समारोह के लिए रेखांकन और बीटा के मान को 1 के रूप में तय करके और अल्फा के मान को बदलकर संचयी वितरण कार्य करता है
विवरण: 2 के रूप में बीटा के मान को ठीक करके और अल्फा के मान को अलग करके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए ग्राफ़
विवरण: बीटा के मान को 3 और अल्फा के मान को अलग करके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए ग्राफ़।
अल्फा अलग-अलग के रूप में सामान्य रूप से अलग-अलग घटता है
गामा वितरण तालिका | मानक गामा वितरण तालिका
गामा फ़ंक्शन का संख्यात्मक मान
अपूर्ण गामा फ़ंक्शन संख्यात्मक मानों के रूप में जाना जाता है
कुछ प्रारंभिक मानों के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए भूखंड को स्केच करने के लिए गामा वितरण संख्यात्मक मूल्य इस प्रकार हैं:
| 1x | f (x), α = 1, x = 1 | f (x), α = 2, x = 2 | f (x), α = 3, x = 3 | पी (एक्स), α = 1, x = 1 | पी (एक्स), α = 2, x = 2 | पी (एक्स), α = 3, x = 3 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0.1 | 0.904837418 | 0.02378073561 | 1.791140927E - 4 | 0.09516258196 | 0.001209104274 | 6.020557215E - 6 |
| 0.2 | 0.8187307531 | 0.0452418709 | 6.929681371E - 4 | 0.1812692469 | 0.00467884016 | 4.697822176E - 5 |
| 0.3 | 0.7408182207 | 0.06455309823 | 0.001508062363 | 0.2591817793 | 0.01018582711 | 1.546530703E - 4 |
| 0.4 | 0.670320046 | 0.08187307531 | 0.00259310613 | 0.329679954 | 0.01752309631 | 3.575866931E - 4 |
| 0.5 | 0.6065306597 | 0.09735009788 | 0.003918896875 | 0.3934693403 | 0.02649902116 | 6.812970042E - 4 |
| 0.6 | 0.5488116361 | 0.1111227331 | 0.005458205021 | 0.4511883639 | 0.03693631311 | 0.001148481245 |
| 0.7 | 0.4965853038 | 0.1233204157 | 0.007185664583 | 0.5034146962 | 0.04867107888 | 0.001779207768 |
| 0.8 | 0.4493289641 | 0.1340640092 | 0.009077669195 | 0.5506710359 | 0.06155193555 | 0.002591097152 |
| 0.9 | 0.4065696597 | 0.1434663341 | 0.01111227331 | 0.5934303403 | 0.07543918015 | 0.003599493183 |
| 1 | 0.3678794412 | 0.1516326649 | 0.01326909834 | 0.6321205588 | 0.09020401043 | 0.004817624203 |
| 1.1 | 0.3328710837 | 0.1586611979 | 0.01552924352 | 0.6671289163 | 0.1057277939 | 0.006256755309 |
| 1.2 | 0.3011942119 | 0.1646434908 | 0.01787520123 | 0.6988057881 | 0.1219013822 | 0.007926331867 |
| 1.3 | 0.272531793 | 0.1696648775 | 0.0202907766 | 0.727468207 | 0.1386244683 | 0.00983411477 |
| 1.4 | 0.2465969639 | 0.1738048563 | 0.02276101124 | 0.7534030361 | 0.1558049836 | 0.01198630787 |
| 1.5 | 0.2231301601 | 0.1771374573 | 0.02527211082 | 0.7768698399 | 0.1733585327 | 0.01438767797 |
| 1.6 | 0.201896518 | 0.1797315857 | 0.02781137633 | 0.798103482 | 0.1912078646 | 0.01704166775 |
| 1.7 | 0.1826835241 | 0.1816513461 | 0.03036713894 | 0.8173164759 | 0.2092823759 | 0.01995050206 |
| 1.8 | 0.1652988882 | 0.1829563469 | 0.03292869817 | 0.8347011118 | 0.2275176465 | 0.02311528775 |
| 1.9 | 0.1495686192 | 0.1837019861 | 0.03548626327 | 0.8504313808 | 0.2458550043 | 0.02653610761 |
| 2 | 0.1353352832 | 0.1839397206 | 0.03803089771 | 0.8646647168 | 0.2642411177 | 0.03021210849 |
| 2.1 | 0.1224564283 | 0.1837173183 | 0.04055446648 | 0.8775435717 | 0.2826276143 | 0.03414158413 |
| 2.2 | 0.1108031584 | 0.183079096 | 0.04304958625 | 0.8891968416 | 0.3009707242 | 0.03832205271 |
| 2.3 | 0.1002588437 | 0.1820661424 | 0.04550957811 | 0.8997411563 | 0.3192309458 | 0.04275032971 |
| 2.4 | 0.09071795329 | 0.1807165272 | 0.04792842284 | 0.9092820467 | 0.3373727338 | 0.04742259607 |
| 2.5 | 0.08208499862 | 0.179065498 | 0.05030071858 | 0.9179150014 | 0.3553642071 | 0.052334462 |
| 2.6 | 0.07427357821 | 0.1771456655 | 0.05262164073 | 0.9257264218 | 0.373176876 | 0.05748102674 |
| 2.7 | 0.06720551274 | 0.1749871759 | 0.05488690407 | 0.9327944873 | 0.3907853875 | 0.0628569343 |
| 2.8 | 0.06081006263 | 0.1726178748 | 0.05709272688 | 0.9391899374 | 0.4081672865 | 0.06845642568 |
| 2.9 | 0.05502322006 | 0.1700634589 | 0.05923579709 | 0.9449767799 | 0.4253027942 | 0.07427338744 |
| 3 | 0.04978706837 | 0.1673476201 | 0.0613132402 | 0.9502129316 | 0.4421745996 | 0.08030139707 |
गामा वितरण के लिए अल्फा और बीटा ढूँढना | गामा वितरण के लिए अल्फा और बीटा की गणना कैसे करें | गामा वितरण पैरामीटर अनुमान
गामा वितरण अल्फ़ा और बीटा खोजने के लिए हम गामा वितरण के माध्य और विचरण करेंगे
और
अब हमें बीटा का मान मिलेगा
so
और
इस प्रकार
केवल गामा वितरण से कुछ अंश लेने से हमें अल्फा और बीटा का मूल्य मिलेगा।
गामा वितरण समस्याओं और समाधान | गामा वितरण उदाहरण समस्याओं | गामा वितरण ट्यूटोरियल | गामा वितरण प्रश्न
1. एक ग्राहक के लिए समस्या को हल करने के लिए आवश्यक समय पर विचार करें कि गामा को घंटों में 1.5 और विचरण 0.75 के साथ वितरित किया जाता है, क्या होगा संभावना है कि समस्या समाधान का समय 2 घंटे से अधिक है, यदि समय 2 घंटे से अधिक है, तो कम से कम 5 घंटे में समस्या का समाधान होने की क्या प्रायिकता होगी।
समाधान: चूँकि रैंडम वैरिएबल गामा का अर्थ 1.5 और भिन्नता 0.75 है, इसलिए हम अल्फा और बीटा के मान ज्ञात कर सकते हैं और इन मानों की सहायता से प्रायिकता होगी
P (X> 2) = 13e-4= 0.2381
और
पी (एक्स> 5 | एक्स> 2) = (61/13) ई-6= 0.011631
2. अगर उपयोगकर्ताओं से सप्ताह में नकारात्मक प्रतिक्रिया को पैरामीटर अल्फा 2 और बीटा के साथ गामा वितरण में मॉडल किया गया है, तो गुणवत्ता के पुनर्गठन के बाद 4 सप्ताह की नकारात्मक प्रतिक्रिया आई, इस जानकारी से पुनर्गठन प्रदर्शन में सुधार कर सकता है?
समाधान: चूंकि यह α = 2,। = 4 के साथ गामा वितरण में मॉडलिंग की जाती है
हमें find = E (x) = α * 4 = 2 * 8 = XNUMX के रूप में माध्य और मानक विचलन मिलेगा
चूँकि मूल्य X = 12 इस अर्थ से मानक विचलन के भीतर है, इसलिए हम यह नहीं कह सकते हैं कि यह पुनर्गठन के द्वारा गुणवत्ता में सुधार है या नहीं, यह साबित करने के लिए कि दी गई पुनर्गठन जानकारी के कारण सुधार अपर्याप्त है।
3. मान लीजिए X है गामा वितरण मापदंडों के साथ α=1/2, λ=1/2 , फ़ंक्शन के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन खोजें Y=X का वर्गमूल
उपाय: हम Y के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन की गणना करते हैं
अब इसे y के संबंध में विभेदित करने से Y के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य होता है
और y के लिए सीमा 0 से अनंत तक होगी
निष्कर्ष:
संभाव्यता और सांख्यिकी में गामा वितरण की अवधारणा, घातीय परिवार के दिन के वितरण के लिए महत्वपूर्ण दिन है, सभी बुनियादी से उच्च स्तर की अवधारणा पर अब तक चर्चा की गई थी गामा वितरण, अगर आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है, तो कृपया उल्लेखित पुस्तकों से गुजरें। आप बाहर भी जा सकते हैं गणित अधिक विषय के लिए पेज
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स
Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा
ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय
