कुछ अतिरिक्त असतत यादृच्छिक चर और इसके पैरामीटर
असतत रैंडम वैरिएबल अपने प्रायवेसी मास फंक्शन के साथ डिसएबिलीटी के डिस्ट्रीब्यूशन को जोड़ती है और असतत रैंडम वैरिएबल के नेचर पर निर्भर करता है कि प्रॉबिलीबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन में अलग-अलग नाम हो सकते हैं जैसे कि बाइनोमियल डिस्ट्रीब्यूशन, पॉइसन डिस्ट्रीब्यूशन वगैरह, जैसा कि हमने पहले ही डिसक्रीट के प्रकार देख लिए हैं। यादृच्छिक चर, द्विपद यादृच्छिक चर और Poisson यादृच्छिक चर इन यादृच्छिक चर के लिए सांख्यिकीय मापदंडों के साथ। अधिकांश रैंडम वैरिएबल की संभावना प्रायवेट मास फंक्शन की प्रकृति के आधार पर की जाती है, अब हम कुछ और प्रकार के असतत रैंडम वैरिएबल और उसके सांख्यिकीय पैरामीटर देखेंगे।
ज्यामितीय यादृच्छिक चर और इसका वितरण
जियोमेट्रिक रैंडम वेरिएबल एक रैंडम वैरिएबल होता है, जो कि लगातार फेल होने के बाद सफल होने के लिए किए गए इंडिपेंडेंट ट्रायल्स के लिए असाइन किया जाता है, यानी अगर हम एक बार n प्रयोग करते हैं और शुरुआत में सभी असफलताएं n-1 बार मिलती हैं और फिर आखिरी में हमें सफलता मिलती है। इस तरह के असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता द्रव्यमान समारोह होगा
इस यादृच्छिक चर में स्वतंत्र परीक्षण के परिणाम के लिए आवश्यक स्थिति प्रारंभिक है सभी परिणाम सफलता से पहले असफल होना चाहिए।
इस प्रकार संक्षेप में यादृच्छिक चर जो संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के ऊपर होता है, ज्यामितीय यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।
यह आसानी से देखा जाता है कि इस तरह की संभावनाओं का योग संभावना के मामले में 1 होगा।
इस प्रकार इस तरह के प्रायिकता मास फ़ंक्शन के साथ ज्यामितीय यादृच्छिक चर है ज्यामितीय वितरण.
आगे जानिए सतत यादृच्छिक चर
ज्यामितीय यादृच्छिक चर की उम्मीद
चूंकि उम्मीद यादृच्छिक रैंडम के लिए एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है, इसलिए ज्यामितीय यादृच्छिक चर के लिए उम्मीद की जाएगी
ई [एक्स] = 1 / पी
जहां p सफलता की संभावना है।
के बाद से
विफलता की संभावना को q = 1-p होने दें
so
ई [एक्स] = क्यूई [एक्स] +1
(1-क्यू)ई [एक्स] = 1
पीई [एक्स] = 1
इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं
इस प्रकार दी गई जानकारी का अपेक्षित मान या माध्य हम ज्यामितीय यादृच्छिक चर में सफलता की प्रायिकता के व्युत्क्रम मूल्य से अनुसरण कर सकते हैं।
के बारे में विवरण प्राप्त करने के लिए सामान्य यादृच्छिक चर
ज्यामितीय यादृच्छिक चर का भिन्न और मानक विचलन
इसी तरह हम दूसरे को प्राप्त कर सकते हैं महत्वपूर्ण सांख्यिकीय पैरामीटर विचरण और ज्यामितीय यादृच्छिक चर के लिए मानक विचलन और यह होगा
और
इन मूल्यों को प्राप्त करने के लिए हम संबंध का उपयोग करते हैं
तो चलिए पहले गणना करते हैं
ई [एक्स2]
क्यू = 1-पी सेट करें
so
इस प्रकार हमारे पास है
नकारात्मक द्विपद रैंडम चर
यह एक और असतत रैंडम वैरिएबल में गिरता है क्योंकि इसकी संभाव्यता द्रव्यमान की प्रकृति के कारण, नकारात्मक द्विपद रैंडम वैरिएबल में और इसके वितरण में एक स्वतंत्र प्रयोग r n के परीक्षण से शुरू में प्राप्त करना होगा
दूसरे शब्दों में, प्रायिकता मास फ़ंक्शन के साथ एक यादृच्छिक चर, मापदंडों (आर, पी) के साथ नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर है, ध्यान दें कि यदि हम आर = 1 को सीमित करते हैं तो नकारात्मक द्विपद वितरण ज्यामितीय वितरण में बदल जाता है, हम विशेष रूप से जांच कर सकते हैं
नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर की अपेक्षा, विविधता और मानक विचलन
RSI नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर के लिए अपेक्षा और विचरण होगा
की मदद से जन समारोह की संभावना नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर और अपेक्षा की परिभाषा जिसे हम लिख सकते हैं
यहां Y कुछ भी नहीं है लेकिन नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर अब k = 1 डाल देगा
इस प्रकार विचरण के लिए
एग्ज़ाम्पल: यदि एक डाई मरने के चेहरे पर 5 प्राप्त करने के लिए फेंक दिया जाता है, जब तक कि हम इस मूल्य को 4 बार प्राप्त करते हैं, तो उम्मीद और भिन्नता पाते हैं। इस स्वतंत्र प्रयोग से जुड़े यादृच्छिक चर r = 4 के लिए नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर है और सफलता की संभावना p = 1/6 एक फेंक में 5 पाने के लिए
जैसा कि हम नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर के लिए जानते हैं
हाइपरजोमेट्रिक यादृच्छिक चर
यदि हम विशेष रूप से N और m दो प्रकार के N से दो प्रकार के आकार का एक नमूना चुनते हैं तो पहले के लिए यादृच्छिक चर का चयन किया गया था जिसमें प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन होता है।
उदाहरण के लिए मान लें कि हमारे पास एक बोरी है जिसमें से n n की किताबों के प्रतिस्थापन के बिना यादृच्छिक रूप से लिए गए आकार n पुस्तकों का एक नमूना है जिनमें से गणित और Nm भौतिक विज्ञान हैं, यदि हम चयनित गणित पुस्तकों की संख्या को निरूपित करने के लिए यादृच्छिक चर असाइन करते हैं तो प्रायिकता द्रव्यमान ऐसे चयन के लिए फ़ंक्शन प्रायिकता मास फ़ंक्शन के अनुसार होगा।
दूसरे शब्दों में, उपरोक्त संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ यादृच्छिक चर को हाइपरजोमेट्रिक यादृच्छिक चर कहा जाता है।
पर और अधिक पढ़ें संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर
उदाहरण: कुछ इलेक्ट्रॉनिक घटकों से यदि बहुत से 30% में चार दोषपूर्ण घटक होते हैं और 70% में एक दोषपूर्ण होता है, बशर्ते लॉट का आकार 10 हो और स्वीकार करने के लिए तीन यादृच्छिक घटकों को चुना जाएगा और जाँच की जाएगी कि सभी गैर-दोषपूर्ण हैं तो बहुत कुछ चुना जाएगा। गणना करें कि कुल लॉट में से कितने प्रतिशत को खारिज कर दिया जाता है।
यहाँ पर विचार करें कि बहुत को स्वीकार करने की घटना है
एन = 10, एम = 4, एन = 3
N=10, m=1, n=3 के लिए
इस प्रकार 46% लॉट को अस्वीकार कर दिया जाएगा।
हाइपरजोमेट्रिक रैंडम वैरिएबल की अपेक्षा, वेरिएंस और मानक विचलन
पैरामीटर्स n, m और N के साथ हाइपरजोमेट्रिक रैंडम वैरिएबल के लिए उम्मीद, विचरण और मानक विचलन होगा
या एन के बड़े मूल्य के लिए
और मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है।
हाइपरगोरोमेट्रिक फ़ंक्शन की संभाव्यता द्रव्यमान की परिभाषा और उम्मीद के अनुसार हम इसे लिख सकते हैं
यहाँ के संबंधों और पहचानों का उपयोग करके संयोजन हमारे पास है
यहाँ Y संबंधित मापदंडों के साथ अब हाइपरजोमेट्रिक रैंडम वैरिएबल की भूमिका निभाता है अगर हम k = 1 डालेंगे तो हमें मिलेगा
ई [एक्स] = एनएम / एन
और k = 2 के लिए
इतना विचरण होगा
पी के लिए = एम / एन और
हम मिल
एन के बहुत बड़े मूल्य के लिए यह स्पष्ट रूप से होगा
Zeta (Zipf) यादृच्छिक चर
A असतत यादृच्छिक चर जीटा कहा जाता है यदि इसकी संभाव्यता द्रव्यमान फलन द्वारा दिया जाता है
अल्फा के सकारात्मक मूल्यों के लिए।
इसी तरह हम अपेक्षा, भिन्नता और मानक विचलन के मूल्यों को पा सकते हैं।
समान रूप से प्रायिकता द्रव्यमान फलन की परिभाषा और गणितीय अपेक्षा का उपयोग करके हम असतत यादृच्छिक चर के प्रत्येक के लिए गुणों की संख्या को संक्षेप में बता सकते हैं उदाहरण के लिए यादृच्छिक चर के sums के अपेक्षित मान।
यादृच्छिक चर के लिए
$ एक्स1,X2, एक्स3…$
निष्कर्ष:
इस लेख में हमने मुख्य रूप से कुछ अतिरिक्त असतत यादृच्छिक चर, इसकी संभाव्यता द्रव्यमान कार्यों, वितरण और सांख्यिकीय मापदंडों का मतलब या अपेक्षा, मानक विचलन और विचरण, संक्षिप्त परिचय और सरल पर ध्यान केंद्रित किया है। उदाहरण हमने केवल विचार को विस्तार देने के लिए चर्चा की अध्ययन पर चर्चा करना बाकी है अगले लेखों में हम निरंतर यादृच्छिक चर और निरंतर यादृच्छिक चर से संबंधित अवधारणाओं पर आगे बढ़ेंगे, यदि आप आगे पढ़ना चाहते हैं तो नीचे दिए गए लिंक पर जाएं। गणित पर अधिक विषयों के लिए, कृपया इसे संपर्क.
Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।