हरमाइट बहुपद: 9 पूर्ण त्वरित तथ्य

  हर्मिट बहुपद एक ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन के रूप में अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से पाया जाता है। हर्माइट बहुपद, हर्माइट विभेदक समीकरण का श्रृंखला समाधान है।

हरमाइट का समीकरण

    विशिष्ट गुणांकों के साथ द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण

d2वाई/डीएक्स2 - 2x डाई/डीएक्स + 2xy = 0

हर्मिट समीकरण के रूप में जाना जाता है, इस अवकल समीकरण को हल करने पर हमें बहुपद प्राप्त होगा जो है हरमाइट बहुपद.

आइए समीकरण का हल खोजें

d2वाई/डीएक्स2 - 2x dy/dx + 2ny = 0

अवकल समीकरण के श्रेणी हल की सहायता से

 101 1

अब इन सभी मानों को हरमाइट के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमारे पास है

136 के चित्र

यह समीकरण k=0 के मान को संतुष्ट करता है और जैसा कि हमने माना कि k का मान ऋणात्मक नहीं होगा, अब निम्नतम घात पद x के लिएएम-2 पहले समीकरण में k=0 लें क्योंकि दूसरा नकारात्मक मान देता है, इसलिए गुणांक x हैएम-2 is

a0एम (एम -1) = 0 ⇒ एम = 0, एम = 1

एक के रूप में0 ≠ 0

अब इसी तरह x के गुणांक को बराबर करेंएम-1 दूसरे योग से

104

और x . के गुणांकों की बराबरी करनाएम+के शून्य करने के लिए,

a+ K 2(एम+के+2)(एम+के+1)-2एk(एम+केएन) = 0

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

a+ K 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak

अगर एम = 0

a+ K 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak

अगर एम = 1

a+ K 2 = 2(के+1-एन)/(के+3)(के+2) एk

इन दो मामलों के लिए अब हम k . के मामलों पर चर्चा करते हैं

जब $m=0, a+ K 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$

अगर, $k=0 ए2 =-2 एन/2 ए0=-ना0$

$k=1, ए3=2(1-एन)/6 ए1 =-2(n-1)/3 ! एक1$

अगर $k=2, a4 =2(2-एन)/12 ए2 =2 (2-एन)/12 (-na0) = 22 एन (एन -2) / 4! एक0$

108

अब तक m=0 हमारे पास दो स्थितियाँ हैं जब a1= 0, फिर ए3=a5=a7=….=एक२आर+१=0 और जब a1 तो शून्य नहीं है

140 के चित्र

इसका अनुसरण करके a . के मान डालें0,a1,a2,a3,a4 और एक5 हमारे पास है

141 के चित्र

और एम = 1 ए . के लिए1=0 k=0,1,2,3,….. डालने से हमें प्राप्त होता है

a+ K 2 = 2(के+1-एन)/(के+3)(के+2)एk

142 के चित्र

तो समाधान होगा

143 के चित्र

तो पूरा समाधान है

144 के चित्र

जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं

हरमाइट बहुपद

   हरमाइट का समीकरण समाधान y(x)=Ay . के रूप का है1(एक्स)+बाय2(x) जहां y1(एक्स) और वाई2(x) जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, श्रृंखला शब्द हैं,

145 के चित्र
146 के चित्र

इनमें से एक श्रृंखला समाप्त होती है यदि n गैर ऋणात्मक पूर्णांक है यदि n सम y है1 अन्यथा समाप्त हो जाता है y2 यदि n विषम है, और हम आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि n=0,1,2,3,4…….. के लिए ये बहुपद हैं

1, एक्स, 1-2x2, एक्स-2/3 एक्स3, 1-4x2+4/3x4, एक्स -4 / 3x3+ 4/15x5

इसलिए हम यहां कह सकते हैं कि हर्माइट के समीकरण का समाधान इन बहुपदों के अचर गुणज हैं और x की उच्चतम घात वाले पद 2 के रूप के हैंnxn H . द्वारा निरूपितn(एक्स) के रूप में जाना जाता है Hermite बहुपद

हर्मिट बहुपद का जनन फलन

हरमाइट बहुपद को आमतौर पर जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके संबंध की मदद से परिभाषित किया जाता है

150 के चित्र
149 के चित्र

[n/2] n/2 से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है, इसलिए यह के मान का अनुसरण करता है Hn(एक्स) as

151 के चित्र
152 के चित्र

यह दर्शाता है कि Hn(एक्स) x और . में घात n का एक बहुपद है

Hn(एक्स) = 2nxn +N-2 (एक्स)

जहां πN-2 (x) x में डिग्री n-2 का बहुपद है, और यह n के सम मान के लिए x का सम फलन और n के विषम मान के लिए x का विषम फलन होगा, इसलिए

Hn(-एक्स) = (-1)n Hn(एक्स)

कुछ प्रारंभिक हरमाइट बहुपद हैं

H0(एक्स) = 1

H1(एक्स) = 2x

H2(एक्स) = 4x2 - 2

H3(एक्स) = 8x3-12

H4(एक्स) = 16x4 - 48x2+12

H5(एक्स) = 32x2 - 160x3+ 120x

रोड्रिग फॉर्मूला द्वारा हर्मिट बहुपद का सृजन कार्य

जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके रॉड्रिग फॉर्मूला की मदद से हरमाइट बहुपद को भी परिभाषित किया जा सकता है

153 के चित्र

फ़ंक्शन उत्पन्न करने के संबंध के बाद से

154 के चित्र

  मैकलॉरिन के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

155 के चित्र

or

z=xt और . डालकर

t=0 के लिए, तो z=x देता है

इसे हम दूसरे तरीके से दिखा सकते हैं जैसे

फर्क

टी के संबंध में देता है

सीमा टी लेना शून्य हो जाता है

अब x . के संबंध में अंतर करना

सीमा टी लेना शून्य हो जाता है

इन दो भावों से हम लिख सकते हैं

उसी तरह हम लिख सकते हैं

 n बार डालने पर t=0, हम पाते हैं

इन मूल्यों से हम लिख सकते हैं

इनसे हम मान प्राप्त कर सकते हैं

हरमाइट बहुपद पर उदाहरण           

  1. का साधारण बहुपद ज्ञात कीजिए

हल: हरमाइट बहुपद परिभाषा और हमारे बीच के संबंधों का उपयोग करना

2. साधारण बहुपद का हरमाइट बहुपद ज्ञात कीजिए

हल: दिए गए समीकरण को हम हरमाइट में बदल सकते हैं:

और इस समीकरण से समान घात गुणांक

अत: हरमाइट बहुपद होगा

हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी | हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनल संपत्ति

हरमाइट बहुपद के लिए महत्वपूर्ण विशेषता इसकी ऑर्थोगोनैलिटी है जो बताती है कि

इस ऑर्थोगोनैलिटी को साबित करने के लिए आइए हम याद करें कि

जो हरमाइट बहुपद के लिए जनक फलन है और हम जानते हैं

अतः इन दो समीकरणों को गुणा करने पर हमें प्राप्त होगा

अनंत सीमाओं के भीतर गुणा और एकीकृत करना

और तब से

so

उपरोक्त अभिव्यक्ति में इस मान का उपयोग करते हुए हमारे पास है

जो देता है

अब दोनों पक्षों के गुणांकों की बराबरी करें

जो हरमाइट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण को दर्शाता है।

  हर्मिट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण का परिणाम एक अन्य तरीके से पुनरावृत्ति संबंध पर विचार करके दिखाया जा सकता है

हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी पर उदाहरण

1. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें

हल: हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी की संपत्ति का उपयोग करके

चूँकि यहाँ मान m=3 और n=2 हैं इसलिए

2. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें

हल: हरमाइट बहुपद के लंबकोणीय गुण का उपयोग करके हम लिख सकते हैं

हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंध

हर्मिट बहुपद का मान पुनरावर्तन संबंधों द्वारा आसानी से ज्ञात किया जा सकता है

Hermite बहुपद
हरमाइट बहुपद पुनरावृत्ति संबंध

इन संबंधों को परिभाषा और गुणों की सहायता से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

सबूत: १। हम हरमाइट समीकरण जानते हैं

y”-2xy'+2ny = 0

और संबंध

174 के चित्र

आंशिक रूप से x के संबंध में विभेदन लेकर हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

175 के चित्र

इन दो समीकरणों से

176 के चित्र
177 के चित्र

अब n को n-1 . से बदलें

178 के चित्र
179 के चित्र

t . के गुणांक की तुलना करकेn

180 के चित्र
181 के चित्र

तो आवश्यक परिणाम है

182 के चित्र

2. इसी प्रकार t समीकरण के संबंध में आंशिक रूप से अवकलन करना

183 के चित्र

हम मिल

184 के चित्र
185 के चित्र

n=0 गायब हो जाएगा इसलिए e . का यह मान डालने पर

186 के चित्र
187 के चित्र

अब t . के गुणांकों की बराबरी कर रहे हैंn

188 के चित्र

इस प्रकार

189 के चित्र

3. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम H . को हटा देंगेN-1 से

190 के चित्र

और

191 के चित्र

तो हमें मिलता है

192 के चित्र

इस प्रकार हम परिणाम लिख सकते हैं

193 के चित्र

4. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम अंतर करते हैं

194 के चित्र

हमें रिश्ता मिलता है

195 के चित्र

मूल्य को प्रतिस्थापित करना

196 के चित्र

और n के स्थान पर n+1

197 के चित्र

जो देता है

173 के चित्र

हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंधों के उदाहरण

1.दिखाओ कि

H2n(0) = (-1)n. 22n (/ 1 2)n

उपाय:

हमारे पास परिणाम दिखाने के लिए

172 के चित्र

एच2एन (एक्स) =

x = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है

171 के चित्र

2. दिखाओ कि

एच'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (/ 3 2)2

उपाय:

चूंकि पुनरावृत्ति संबंध से

एच'n(एक्स) = 2एनएचN-1(एक्स)

यहाँ n को 2n+1 से बदलें

एच'2n-1(एक्स) = 2(2n+1) एच2n(एक्स)

x = 0 . लेना

170 के चित्र

3. का मान ज्ञात कीजिए

H2n + 1(0)

उपाय

चूंकि हम जानते हैं

169 के चित्र

यहां x=0 का उपयोग करें

H2n-1(0) = 0

4. H' का मान ज्ञात कीजिए।2n(0).

उपाय :

हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध है

एच'n(एक्स) = 2एनएचN-1(एक्स)

यहाँ n को 2n . से बदलें

एच'2n(एक्स) = = 2(2एन)एच2n-1(एक्स)

एक्स = 0 . डालें

एच'2n(0) = (4एन)एच2n-1(0) = 4एन * 0 = 0

5. निम्नलिखित परिणाम दिखाएं

168 के चित्र

उपाय :

पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना

एच'n(एक्स) = 2एनएचN-1 (एक्स)

so

167 के चित्र

और

d3/डीएक्स3 {Hn(एक्स)} = 23एन (एन -1) (एन -2) एचN-3(एक्स)

इस m बार अंतर करना

166 के चित्र

जो देता है

165 के चित्र

6. दिखाओ कि

Hn(-एक्स) = (-1)n Hn(एक्स)

उपाय :

हम लिख सकते है

163 के चित्र
164 के चित्र

t . के गुणांक सेn हमारे पास है

162 के चित्र

और -x . के लिए

161 के चित्र

7. समाकल का मूल्यांकन कीजिए और दिखाइए

उपाय : इस अभिन्न को हल करने के लिए एकीकरण भागों का उपयोग करें

160 के चित्र

अब इंटीग्रल साइन के तहत भेदभाव के साथ अंतर करें

x . का सम्मान

159 के चित्र

का उपयोग

एच'n(एक्स) = 2nHN-1 (एक्स)

और

एच'm(एक्स) = 2 एमएचएम-1 (एक्स)

हमारे पास है

157 के चित्र

और तब से

𝝳 एन, एम-1 =एन+1, एम

अत: समाकलन का मान होगा

156 के चित्र

निष्कर्ष:

विशिष्ट बहुपद जो अनुप्रयोग में बार-बार आता है वह हर्माइट बहुपद है, इसलिए मूल परिभाषा, जनरेटिंग फ़ंक्शन, पुनरावृत्ति संबंध और हर्माइट बहुपद से संबंधित उदाहरणों पर यहां संक्षेप में चर्चा की गई है, यदि आपको और पढ़ने की आवश्यकता है तो पढ़ें

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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