हर्मिट बहुपद एक ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन के रूप में अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से पाया जाता है। हर्माइट बहुपद, हर्माइट विभेदक समीकरण का श्रृंखला समाधान है।
हरमाइट का समीकरण
विशिष्ट गुणांकों के साथ द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण
d2वाई/डीएक्स2 - 2x डाई/डीएक्स + 2xy = 0
हर्मिट समीकरण के रूप में जाना जाता है, इस अवकल समीकरण को हल करने पर हमें बहुपद प्राप्त होगा जो है हरमाइट बहुपद.
आइए समीकरण का हल खोजें
d2वाई/डीएक्स2 - 2x dy/dx + 2ny = 0
अवकल समीकरण के श्रेणी हल की सहायता से
अब इन सभी मानों को हरमाइट के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमारे पास है
यह समीकरण k=0 के मान को संतुष्ट करता है और जैसा कि हमने माना कि k का मान ऋणात्मक नहीं होगा, अब निम्नतम घात पद x के लिएएम-2 पहले समीकरण में k=0 लें क्योंकि दूसरा नकारात्मक मान देता है, इसलिए गुणांक x हैएम-2 is
a0एम (एम -1) = 0 ⇒ एम = 0, एम = 1
एक के रूप में0 ≠ 0
अब इसी तरह x के गुणांक को बराबर करेंएम-1 दूसरे योग से
और x . के गुणांकों की बराबरी करनाएम+के शून्य करने के लिए,
a+ K 2(एम+के+2)(एम+के+1)-2एk(एम+केएन) = 0
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
a+ K 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak
अगर एम = 0
a+ K 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak
अगर एम = 1
a+ K 2 = 2(के+1-एन)/(के+3)(के+2) एk
इन दो मामलों के लिए अब हम k . के मामलों पर चर्चा करते हैं
जब $m=0, a+ K 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$
अगर, $k=0 ए2 =-2 एन/2 ए0=-ना0$
$k=1, ए3=2(1-एन)/6 ए1 =-2(n-1)/3 ! एक1$
अगर $k=2, a4 =2(2-एन)/12 ए2 =2 (2-एन)/12 (-na0) = 22 एन (एन -2) / 4! एक0$
अब तक m=0 हमारे पास दो स्थितियाँ हैं जब a1= 0, फिर ए3=a5=a7=….=एक२आर+१=0 और जब a1 तो शून्य नहीं है
इसका अनुसरण करके a . के मान डालें0,a1,a2,a3,a4 और एक5 हमारे पास है
और एम = 1 ए . के लिए1=0 k=0,1,2,3,….. डालने से हमें प्राप्त होता है
a+ K 2 = 2(के+1-एन)/(के+3)(के+2)एk
तो समाधान होगा
तो पूरा समाधान है
जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं
हरमाइट बहुपद
हरमाइट का समीकरण समाधान y(x)=Ay . के रूप का है1(एक्स)+बाय2(x) जहां y1(एक्स) और वाई2(x) जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, श्रृंखला शब्द हैं,
इनमें से एक श्रृंखला समाप्त होती है यदि n गैर ऋणात्मक पूर्णांक है यदि n सम y है1 अन्यथा समाप्त हो जाता है y2 यदि n विषम है, और हम आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि n=0,1,2,3,4…….. के लिए ये बहुपद हैं
1, एक्स, 1-2x2, एक्स-2/3 एक्स3, 1-4x2+4/3x4, एक्स -4 / 3x3+ 4/15x5
इसलिए हम यहां कह सकते हैं कि हर्माइट के समीकरण का समाधान इन बहुपदों के अचर गुणज हैं और x की उच्चतम घात वाले पद 2 के रूप के हैंnxn H . द्वारा निरूपितn(एक्स) के रूप में जाना जाता है Hermite बहुपद
हर्मिट बहुपद का जनन फलन
हरमाइट बहुपद को आमतौर पर जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके संबंध की मदद से परिभाषित किया जाता है
[n/2] n/2 से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है, इसलिए यह के मान का अनुसरण करता है Hn(एक्स) as
यह दर्शाता है कि Hn(एक्स) x और . में घात n का एक बहुपद है
Hn(एक्स) = 2nxn +N-2 (एक्स)
जहां πN-2 (x) x में डिग्री n-2 का बहुपद है, और यह n के सम मान के लिए x का सम फलन और n के विषम मान के लिए x का विषम फलन होगा, इसलिए
Hn(-एक्स) = (-1)n Hn(एक्स)
कुछ प्रारंभिक हरमाइट बहुपद हैं
H0(एक्स) = 1
H1(एक्स) = 2x
H2(एक्स) = 4x2 - 2
H3(एक्स) = 8x3-12
H4(एक्स) = 16x4 - 48x2+12
H5(एक्स) = 32x2 - 160x3+ 120x
रोड्रिग फॉर्मूला द्वारा हर्मिट बहुपद का सृजन कार्य
जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके रॉड्रिग फॉर्मूला की मदद से हरमाइट बहुपद को भी परिभाषित किया जा सकता है
फ़ंक्शन उत्पन्न करने के संबंध के बाद से
मैकलॉरिन के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है
or
z=xt और . डालकर
t=0 के लिए, तो z=x देता है
इसे हम दूसरे तरीके से दिखा सकते हैं जैसे
फर्क
टी के संबंध में देता है
सीमा टी लेना शून्य हो जाता है
अब x . के संबंध में अंतर करना
सीमा टी लेना शून्य हो जाता है
इन दो भावों से हम लिख सकते हैं
उसी तरह हम लिख सकते हैं
n बार डालने पर t=0, हम पाते हैं
इन मूल्यों से हम लिख सकते हैं
इनसे हम मान प्राप्त कर सकते हैं
हरमाइट बहुपद पर उदाहरण
- का साधारण बहुपद ज्ञात कीजिए
हल: हरमाइट बहुपद परिभाषा और हमारे बीच के संबंधों का उपयोग करना
2. साधारण बहुपद का हरमाइट बहुपद ज्ञात कीजिए
हल: दिए गए समीकरण को हम हरमाइट में बदल सकते हैं:
और इस समीकरण से समान घात गुणांक
अत: हरमाइट बहुपद होगा
हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी | हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनल संपत्ति
हरमाइट बहुपद के लिए महत्वपूर्ण विशेषता इसकी ऑर्थोगोनैलिटी है जो बताती है कि
इस ऑर्थोगोनैलिटी को साबित करने के लिए आइए हम याद करें कि
जो हरमाइट बहुपद के लिए जनक फलन है और हम जानते हैं
अतः इन दो समीकरणों को गुणा करने पर हमें प्राप्त होगा
अनंत सीमाओं के भीतर गुणा और एकीकृत करना
और तब से
so
उपरोक्त अभिव्यक्ति में इस मान का उपयोग करते हुए हमारे पास है
जो देता है
अब दोनों पक्षों के गुणांकों की बराबरी करें
जो हरमाइट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण को दर्शाता है।
हर्मिट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण का परिणाम एक अन्य तरीके से पुनरावृत्ति संबंध पर विचार करके दिखाया जा सकता है
हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी पर उदाहरण
1. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें
हल: हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी की संपत्ति का उपयोग करके
चूँकि यहाँ मान m=3 और n=2 हैं इसलिए
2. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें
हल: हरमाइट बहुपद के लंबकोणीय गुण का उपयोग करके हम लिख सकते हैं
हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंध
हर्मिट बहुपद का मान पुनरावर्तन संबंधों द्वारा आसानी से ज्ञात किया जा सकता है
इन संबंधों को परिभाषा और गुणों की सहायता से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
सबूत: १। हम हरमाइट समीकरण जानते हैं
y”-2xy'+2ny = 0
और संबंध
आंशिक रूप से x के संबंध में विभेदन लेकर हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
इन दो समीकरणों से
अब n को n-1 . से बदलें
t . के गुणांक की तुलना करकेn
तो आवश्यक परिणाम है
2. इसी प्रकार t समीकरण के संबंध में आंशिक रूप से अवकलन करना
हम मिल
n=0 गायब हो जाएगा इसलिए e . का यह मान डालने पर
अब t . के गुणांकों की बराबरी कर रहे हैंn
इस प्रकार
3. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम H . को हटा देंगेN-1 से
और
तो हमें मिलता है
इस प्रकार हम परिणाम लिख सकते हैं
4. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम अंतर करते हैं
हमें रिश्ता मिलता है
मूल्य को प्रतिस्थापित करना
और n के स्थान पर n+1
जो देता है
हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंधों के उदाहरण
1.दिखाओ कि
H2n(0) = (-1)n. 22n (/ 1 2)n
उपाय:
हमारे पास परिणाम दिखाने के लिए
एच2एन (एक्स) =
x = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है
2. दिखाओ कि
एच'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (/ 3 2)2
उपाय:
चूंकि पुनरावृत्ति संबंध से
एच'n(एक्स) = 2एनएचN-1(एक्स)
यहाँ n को 2n+1 से बदलें
एच'2n-1(एक्स) = 2(2n+1) एच2n(एक्स)
x = 0 . लेना
3. का मान ज्ञात कीजिए
H2n + 1(0)
उपाय
चूंकि हम जानते हैं
यहां x=0 का उपयोग करें
H2n-1(0) = 0
4. H' का मान ज्ञात कीजिए।2n(0).
उपाय :
हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध है
एच'n(एक्स) = 2एनएचN-1(एक्स)
यहाँ n को 2n . से बदलें
एच'2n(एक्स) = = 2(2एन)एच2n-1(एक्स)
एक्स = 0 . डालें
एच'2n(0) = (4एन)एच2n-1(0) = 4एन * 0 = 0
5. निम्नलिखित परिणाम दिखाएं
उपाय :
पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना
एच'n(एक्स) = 2एनएचN-1 (एक्स)
so
और
d3/डीएक्स3 {Hn(एक्स)} = 23एन (एन -1) (एन -2) एचN-3(एक्स)
इस m बार अंतर करना
जो देता है
6. दिखाओ कि
Hn(-एक्स) = (-1)n Hn(एक्स)
उपाय :
हम लिख सकते है
t . के गुणांक सेn हमारे पास है
और -x . के लिए
7. समाकल का मूल्यांकन कीजिए और दिखाइए
उपाय : इस अभिन्न को हल करने के लिए एकीकरण भागों का उपयोग करें
अब इंटीग्रल साइन के तहत भेदभाव के साथ अंतर करें
x . का सम्मान
का उपयोग
एच'n(एक्स) = 2nHN-1 (एक्स)
और
एच'm(एक्स) = 2 एमएचएम-1 (एक्स)
हमारे पास है
और तब से
𝝳 एन, एम-1 =एन+1, एम
अत: समाकलन का मान होगा
निष्कर्ष:
विशिष्ट बहुपद जो अनुप्रयोग में बार-बार आता है वह हर्माइट बहुपद है, इसलिए मूल परिभाषा, जनरेटिंग फ़ंक्शन, पुनरावृत्ति संबंध और हर्माइट बहुपद से संबंधित उदाहरणों पर यहां संक्षेप में चर्चा की गई है, यदि आपको और पढ़ने की आवश्यकता है तो पढ़ें
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
गणित पर अधिक पोस्ट के लिए, कृपया हमारा अनुसरण करें गणित पेज
मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।