हरमाइट बहुपद | 10+ महत्वपूर्ण उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण संबंध

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  हरमाइट बहुपद व्यापक रूप से एक ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन के रूप में अनुप्रयोगों में होता है। हरमाइट बहुपद, हरमाइट अंतर समीकरण का श्रृंखला समाधान है।

हरमाइट का समीकरण

    विशिष्ट गुणांकों के साथ द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण

\frac{d^{2} y}{dx^{2}}-2 x \frac{dy}{dx}+2 ny=0

हर्मिट समीकरण के रूप में जाना जाता है, इस अवकल समीकरण को हल करने पर हमें बहुपद प्राप्त होगा जो है हरमाइट बहुपद.

आइए समीकरण का हल खोजें

\frac{d^{2} y}{dx^{2}}-2 x \frac{dy}{dx}+2 ny=0

अवकल समीकरण के श्रेणी हल की सहायता से

\begin{array}{l} y=a_{0} x^{m}+a_{1} x^{m+1}+a_{2} x^{m+2}+a_{3} x^ {m+3}+\ldots \ldots .+a_{k} x^{m+k} \\ y=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{m+k} \\ \frac{dy}{dx}=\sum a_{k}(m+k) x^{m+k-1}\\ \frac{d^{2} y}{dx^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2} \end{array}

अब इन सभी मानों को हरमाइट के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमारे पास है

$\Rightarrow \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 x \sum a_{k}(m+k) x^{m +k-1}+2 n \sum a_{k} x^{m+k}=0$ $\Rightarrow \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{ m+k-2}-2 \sum a_{k}(m+k) x^{m+k}+2 n \sum a_{k} x^{m+k}=0$ $\Rightarrow \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 \sum a_{k}[(m+k)-n] x^{m+k }=0$

यह समीकरण k=0 के मान को संतुष्ट करता है और जैसा कि हमने माना कि k का मान ऋणात्मक नहीं होगा, अब निम्नतम घात पद x के लिएएम-2 पहले समीकरण में k=0 लें क्योंकि दूसरा ऋणात्मक मान देता है, इसलिए गुणांक xएम-2 is

a_{0} m(m-1)=0 \Rightarrow m=0, m=1

\quad a_{0} \neq 0 . के रूप में

अब इसी तरह x . के गुणांक की बराबरी करते हुएएम-1 दूसरे योग से

a_{1} m(m+1)=0 \Rightarrow\left[\begin{array} { l } { a _ { 1 } \text { शून्य हो सकता है या नहीं भी हो सकता है जब } m = 0 } \\ { a _ { 1 } = 0 , \text { जब } m = 1 } \end{array} \quad \left(\begin{array}{l} m+1 \neq 0 \text { as } \mathrm{m} \text { is } \\ \text { पहले से ही शून्य के बराबर } \end{array}\right)\right.

और x . के गुणांकों की बराबरी करनाएम+के शून्य करने के लिए,

a_{k+2}(m+k+2)(m+k+1)-2 a_{k}(m+k-n)=0

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

a_{k+2}=\frac{2(m+kn)}{(m+k+2)(m+k+1)} a_{k}

अगर एम = 0

\quad a_{k+2}=\frac{2(kn)}{(k+2)(k+1)} a_{k} \quad

अगर एम = 1

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

इन दो मामलों के लिए अब हम k . के मामलों पर चर्चा करते हैं

जब \quad $m=0, a_{k+2}=\frac{2(kn)}{(k+2)(k+1)} a_{k}$

अगर \quad $k=0, a_{2}=\frac{-2 n}{2} a_{0}=-n a_{0}$

अगर \quad $k=1, a_{3}=\frac{2(1-n)}{6} a_{1}=-2 \frac{(n-1)}{3 !} a_{1} $

अगर \quad $k=2, a_{4}=\frac{2(2-n)}{12} a_{2}=2 \frac{(2-n)}{12}\left(-n a_ {0}\right)=(2)^{2} \frac{n(n-2)}{4 !} a_{0}$

अगर \quad $k=3, a_{5}=\frac{2(3-n)}{20} a_{3}=\frac{2(3-n)}{20}\left(-\frac {2}(n-1)}{3 !} a_{1}\right)=(2)^{2} \frac{(n-1)(n-3)}{5 !} a_{1}$ \\ $a_{2 r}=\frac{(-2)^{r} n(n-2)(n-4) \ldots \ldots(n-2 r+2)}{(2 r) ! } a_{0}$\\ $a_{2 r+1}=\frac{(-2)^{r}(n-1)(n-3) \ldots \ldots(n-2 r+1) }{(2 r+1) !} a_{1}=0$

अब तक m=0 हमारे पास दो स्थितियां हैं जब a1= 0, फिर ए3=a5=a7=….=एक२आर+१=0 और जब a1 तो शून्य नहीं है

\begin{array}{c} y=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \\ y=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5}+\ldots \ldots \ldots \\ =a_{0}+ a_{2} x^{2}+a_{4} x^{4}+\ldots । .+a_{1} x+a_{3} x^{3}+a_{5} x^{5} \end{array}

इसका अनुसरण करके a . के मान डालें0,a1,a2,a3,a4 और एक5 हमारे पास है

\begin{array}{l} =a_{0}\left[1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+\frac{2^{2} n(n-2)}{ 4 !} x^{4}-\ldots+(-1)^{r} \frac{2}{(2 r) !} n(n-2) \ldots(n-2 r+2) x^{ 2 r}+\ldots\right] \\ +a_{1} x\बाएं[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2} (n-1)(n-3)}{5 !}-\ldots .\right. \\ \बाएं।+(-1)^{r} \frac{2^{r}}{(2 r+1) !}(n-1)(x-3) \ldots(n-2 r+ 1) x^{2 r}+\ldots\right] \\ =a_{0}\left[1+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(-1)^{r} 2 ^{r}}{(2 r) !} n(n-2) \ldots(n-2 r+2) x^{2 r}\right] \\ \left.+a_{0}\left[ x+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(-1)^{r} 2^{r}}{(2 r+1)}(n-1)(n-3) \ldots (n-2 r+2) x^{2 r+1}\right] \quad \text { (यदि } a_{1}=a_{0}\right) \end{array}

और एम = 1 ए . के लिए1=0 k=0,1,2,3,….. डालने से हमें प्राप्त होता है

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

\begin{array}{l} a_{2}=-\frac{2(n-1)}{3 !} a_{0} \\ a_{4}=\frac{2^{2}(n- 1)(n-3)}{5 !} a_{0} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{2 r }=(-1)^{r} \frac{2^{r}(n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+1)}{(2 r+1) !} a_{ 0} \अंत{सरणी}

तो समाधान होगा

=a_{0} x\बाएं[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)} {5 !} x^{4} \cdots+\frac{(-1)^{r} 2^{r}(n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+1)}{( 2 r+1) !} x^{2 r}+\ldots\right]

तो पूरा समाधान है

y=A\left[1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+\frac{2^{2} n(n-2)}{4 !} x^{4}-\ ldots\right]+B\left[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)} {5 !} x^{4} \ldots\right]

जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं

हरमाइट बहुपद

   हरमाइट का समीकरण समाधान y(x)=Ay . के रूप का है1(एक्स)+बाय2(एक्स) जहां वाई1(एक्स) और वाई2(x) जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, श्रृंखला शब्द हैं,

y_{1}(x)=1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+2^{2} n \frac{(n-2)}{4 !} x^{4} -\frac{2^{3} n(n-2)(n-4)}{6 !} x^{6}+\cdots

y_{2}(x)=x-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{3}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} x^{5}-\frac{2^{3}(n-1)(n-3)(n-5)}{7 !} x^{7}+\cdots

इनमें से एक श्रृंखला समाप्त होती है यदि n गैर ऋणात्मक पूर्णांक है यदि n सम y है1 अन्यथा समाप्त हो जाता है y2 यदि n विषम है, और हम आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि n=0,1,2,3,4…….. के लिए ये बहुपद हैं

1, x, 1-2 x^{2}, x-\frac{2}{3} x^{3}, 1-4 x^{2}+\frac{4}{3} x^{4 }, x-\frac{4}{3} x^{3}+\frac{4}{15} x^{5}

अतः हम यहाँ कह सकते हैं कि हर्मिट समीकरण का हल इन बहुपदों का अचर गुणज है और x की उच्चतम घात वाले पद 2 के रूप के हैंnxn H . द्वारा निरूपितn(एक्स) के रूप में जाना जाता है Hermite बहुपद

हर्मिट बहुपद का जनन फलन

हरमाइट बहुपद को आमतौर पर जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके संबंध की मदद से परिभाषित किया जाता है

\mathrm{e}^{\left(2 x tt^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{H}_{\mathrm{n}}(\mathbf {x}) \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{a}}}{\mathrm{n} !}, \quad

\शुरू {गठबंधन} \mathrm{e}^{\बाएं(2 x tt^{2}\दाएं)}=\mathrm{e}^{2 ut} \mathrm{e}^{-t^{2} } &=\बाएं[\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(2 \mathrm{xt})^{\mathrm{m}}}{\mathrm{m} !}\right]\ लेफ्ट [\sum_{\mathrm{k}=0}^{\infty} \frac{\left(-\mathrm{t}^{2}\right)^{\mathrm{k}}}{\mathrm{ के}!}\दाएं] \\ &=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \sum_{\mathrm{k}=0}^{[\mathrm{n} / 2]} \frac{(-1)^{\mathrm{k}}(2 \mathrm{x})^{\mathrm{n}-2 \mathrm{k}}}{\mathrm{k} !(\mathrm{ n}-2 \mathrm{k}) !} \mathrm{t}^{\mathrm{n}} \end{aligned}

[n/2] n/2 से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है, इसलिए यह के मान का अनुसरण करता है Hn(एक्स) as

\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{k}=0}^{[\mathrm{n}/2]} \frac{(-1 )^{\mathrm{k}} \mathrm{n} !}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-2 \mathrm{k})!}(2 \mathrm{x})^{\ Mathrm{n}-2 \mathrm{k}}

जहां \quad $\left[\frac{\mathrm{n}}{2}\right]=\left\{\ start{array}{ll}\frac{\mathrm{n}}{2}, और \ टेक्स्ट { अगर } \mathrm{n} \text { भी है } \\ \frac{\mathrm{n}-1}{2}, और \text { अगर } \mathrm{n} \text { विषम है }\ अंत {सरणी}\दाएं।$

यह दर्शाता है कि Hn(एक्स) x और . में घात n का एक बहुपद है

\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\pi_{\mathrm{ n}-2}(\mathrm{x})

जहां πN-2 (x) x में डिग्री n-2 का बहुपद है, और यह n के सम मान के लिए x का सम फलन और n के विषम मान के लिए x का विषम फलन होगा, इसलिए

\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(-\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm {एक्स})

कुछ प्रारंभिक हरमाइट बहुपद हैं

\begin{array}{l} \mathrm{H}_{0}(\mathrm{x})=1 \\ \mathrm{H}_{1}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x } \\ \mathrm{H}_{2}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^{2}-2 \\ \mathrm{H}_{3}(\mathrm{x}) =8 \mathrm{x}^{3}-12 \\ \mathrm{H}_{4}(\mathrm{x})=16 \mathrm{x}^{4}-48 \mathrm{x}^ {2}+12 \\ \mathrm{H}_{5}(\mathrm{x})=32 \mathrm{x}^{5}-160 \mathrm{x}^{3}+120 \mathrm{ x} \अंत{सरणी}

हर्मिट बहुपद का रोड्रिग सूत्र | रॉड्रिग फॉर्मूला द्वारा हर्माइट बहुपद का निर्माण कार्य

जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके रॉड्रिग फॉर्मूला की मदद से हरमाइट बहुपद को भी परिभाषित किया जा सकता है

\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{ 2}}\दाएं)

फ़ंक्शन उत्पन्न करने के संबंध के बाद से

\mathrm{e}^{2 \mathrm{tx}-\mathrm{t}^{2}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}-(\mathrm{t}-\ Mathrm{x})^{2}}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}) }{\mathrm{n} !} \mathrm{t}^{\mathrm{n}}

  मैकलॉरिन के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

\बाएं।\frac{\आंशिक^{\mathrm{n}}}{\आंशिक \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\बाएं(\mathrm{e}^{2 \mathrm{tx} -\mathrm{t}^{2}}\right)\right|_{\mathrm{t}=0}=\left.\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}} \frac {\आंशिक^{\mathrm{n}}}{\आंशिक \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\बाएं(\mathrm{e}^{-(t-\mathrm{x})^ {2}}\दाएं)\दाएं|_{\mathrm{t}=0}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})

or

\ बाएँ। }-\mathrm{x})^{2}}\right]\right|_{\mathrm{t}=0}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}} \mathrm {एच}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})

z=xt और . डालकर

\frac{\आंशिक}{\आंशिक \mathrm{t}}=-\frac{\आंशिक}{\आंशिक \mathrm{z}}

t=0 के लिए, तो z=x देता है

\शुरू {सरणी} {l} \बाएं।(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d} \mathrm{z }^{\mathrm{n}}}\बाएं(\mathrm{e}^{-z^{2}}\right)\right|_{\mathrm{z}=\mathrm{x}}=(- 1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}}\right) }{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\ Mathrm{x}) \\ \इसलिए \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\ Mathrm{x}^{2}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}}\बाएं(\ Mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}}\right) \end{array}

इसे हम दूसरे तरीके से दिखा सकते हैं जैसे

ई^{x^{2}} \frac{\आंशिक^{n}}{\आंशिक टी^{n}} ई^{\बाएं\{-(टीएक्स)^{2}\दाएं\}}=एच_ {n}(x)+H_{n+1}(x) t+H_{n+2}(x) । t^{2}+\ldots \ldots

फर्क

ई^{ \बाएं।-(टीएक्स)^{2}\दाएं\}

टी के संबंध में देता है

\frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=-2(tx) e^{\left\{-(tx)^{ 2}\दाएं\}}

सीमा टी लेना शून्य हो जाता है

\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=2 xe^{-x^{2 }}

अब x . के संबंध में अंतर करना

\frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=(-1)^{2}(tx) e^{\left\{ -(टीएक्स)^{2}\दाएं\}}

सीमा टी लेना शून्य हो जाता है

\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=-2 xe^{-x^{ 2}}

इन दो भावों से हम लिख सकते हैं

\बाएं। 0} \lim _{t \rightarrow 2} \frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{1}\right.}\right\}

उसी तरह हम लिख सकते हैं

\बाएं। }=(-0)^{2} \lim _{t \rightarrow 2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{1}} e^{\left\{-(tx)^ {2}\दाएं।}\दाएं\}

\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{n}}{\आंशिक t^{n}} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=( -1)^{n} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{n}}{\आंशिक x^{n}} e^{\left\{-(tx)^{2} \right\}}=(-1)^{n} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2}}

 n बार डालने पर t=0, हम पाते हैं

\lim _{t \rightarrow 0} e^{x^{2}} \frac{\partial^{n}}{\आंशिक t^{n}} e^{\left\{-(tx)^{ 2}\दाएं\}}=H_{n}(x)

इन मूल्यों से हम लिख सकते हैं

\begin{array}{l} (-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2} }=H_{n}(x) \\ H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n }} ई^{-x^{2}} \\ n=0 \end{सरणी}

इनसे हम मान प्राप्त कर सकते हैं

\begin{array}{l} n=0\\ H_{0}(x)=(-1)^{0} e^{x^{2}} e^{-x^{2}}=1 \\ H_{0}(x)=1 \end{array}

\begin{array}{l} n=1\\ H_{1}(x)=(-1)^{1} e^{x^{2}} \frac{d}{dx} e^{- x^{2}}=-e^{x^{2}}(-2 x) e^{-x^{2}}=2 x \\ H_{1}(x)=2 x \\ n = 2 \ अंत {सरणी}

\begin{aligned} H_{2}(x) &=(-1)^{2} e^{x^{2}} \frac{d^{2}}{dx^{2}} e^{ -x^{2}}=e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2 xe^{-x^{2}}\right) \\ &=e^{ x^{2}}\बाएं[-2 e^{x^{2}}-2 x(-2 x) e^{-x^{2}}\right.\\ &=-2+4 x ^{2} \\ & H_{2}(x)=4 x^{2}-2 \\ n=3 \end{aligned}

\शुरू {गठबंधन} H_{3}(x) &=(-1)^{3} e^{x^{2}} \frac{d^{3}}{dx^{3}}\बाएं( e^{-x^{2}}\right)=-e^{x^{2}} \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(-2 xe^{-x ^{2}}\दाएं) \\ &=-e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2 e^{-x^{2}}+(-2 x )(-2 x) e^{-x^{2}}\right) \\ &=-e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2+4 x^ {2}\दाएं) ई^{-x^{2}}=-e^{x^{2}}\बाएं[8 xe^{-x^{2}}+\बाएं(4 x^{2 }-2\right)(-2 x) e^{-x^{2}}\right] \end{aligned}

\आरंभ {सरणी} {l} =-\बाएं[८ x+\बाएं(४ x^{8}-4\दाएं)(-2 x)\दाएं]=-2 x+2 x^{8}-8 x=3 x^{4}-8 x \\ H_{3}(x)=12 x^{3}-8 x \\ H_{3}(x)=12 x^{4}-16 x^ {4}+48 \end{सरणी}

\शुरू {सरणी} {एल} एच_{5}(x)=32 x^{5}-160 x^{3}+120 x \\ H_{6}(x)=64 x^{6}-480 x^{4}+720 x^{2}-120 \\ H_{7}(x)=128 x^{7}-1344 x^{5}+3360 x^{3}-1680 x \end{ सरणी}

हरमाइट बहुपद पर उदाहरण           

  1. का साधारण बहुपद ज्ञात कीजिए

2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0}

हल: हरमाइट बहुपद परिभाषा और हमारे बीच के संबंधों का उपयोग करना

\begin{array}{l} 2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0} \\ \quad=2\left[16 x^{4}-48 x^{2}+12\right]+3\left\{8 x^{3}-12 x\right\}-\बाएं(4 x ^{2}-2\दाएं)+5(2 x)+6(1) \\ \quad=32 x^{4}-96 x^{2}+24+24 x^{3}-36 x -4 x^{2}+2+10 x+6\\ =32 x^{4}+24 x^{3}-100 x^{2}-26 x+32 \end{array}

2. साधारण बहुपद का हरमाइट बहुपद ज्ञात कीजिए

64 x^{4}+8 x^{3}-32 x^{2}+40 x+10

हल: दिए गए समीकरण को हम हरमाइट में बदल सकते हैं:

\begin{aligned} 64 x^{4}+8 x^{3} &-32 x^{2}+40 x+10=\mathrm{AH}_{4}(x)+\mathrm{BH} _{3}(x)+\mathrm{CH}_{2}(x)+\mathrm{DH}_{1}(x)+\mathrm{EH}_{0}(x) \\ &= \mathrm{A}\left(16 x^{4}-48 x^{2}+12\right)+\mathrm{B}\left(8 x^{3}-12 x\right)+\mathrm {सी}\बाएं(4 x^{2}-2\दाएं)+\mathrm{D}(2 x)+\mathrm{E}(1) \\ &=16 \mathrm{~A} x^{ 4}+8 \mathrm{~B} x^{3}(-48 \mathrm{~A}+4 \mathrm{C}) x^{2}+(-12 \mathrm{~B}+2 \ Mathrm{D}) x+12 \mathrm{~A}-2 \mathrm{C}+\mathrm{E} \end{aligned}

और इस समीकरण से समान घात गुणांक

\शुरू {गठबंधन} 16 \mathrm{~A}=64 और \Rightarrow \mathrm{A}=4 \\ 8 \mathrm{~B}=8 और \Rightarrow \mathrm{B}=1 \\ -48 \ Mathrm{~A}+4 \mathrm{C}=-32 और \Rightarrow 4 \mathrm{C}=-32+192 \Rightarrow \mathrm{C}=40 \\ -12 \mathrm{~B}+2 \mathrm{D}=40 और \Rightarrow-12+2 \mathrm{D}=40 \Rightarrow 2 \mathrm{D}=52 \Rightarrow \mathrm{D}=26 \\ 12 \mathrm{~A}- 2 \mathrm{C}+\mathrm{E}=10 और \Rightarrow 12 \बार 4-2(40)+\mathrm{E}=10 \Rightarrow \mathrm{E}=42 \end{aligned}

अत: हरमाइट बहुपद होगा

4 \mathrm{H}_{4}(x)+\mathrm{H}_{3}(x)+40 \mathrm{H}_{2}(x)+26 \mathrm{H}_{1}(x)+42 \mathrm{H}_{0}(x)

हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी | हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनल संपत्ति

हरमाइट बहुपद के लिए महत्वपूर्ण विशेषता इसकी ऑर्थोगोनैलिटी है जो बताती है कि

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) dx=\left\{\start{array}{ll} 0, और एम \neq n \\ 2^{n} n! \sqrt{\pi}, और m=n \end{array}\right.

इस ऑर्थोगोनैलिटी को साबित करने के लिए आइए हम याद करें कि

e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right)^{2}\right\}}=\sum \frac{H_{n}(x)}{n !} t_{1}^{n}

जो हरमाइट बहुपद के लिए जनक फलन है और हम जानते हैं

ई^{\बाएं\{x^{2}-\बाएं(t_{2}-x\दाएं)^{2}\दाएं\}}=\योग \frac{H_{m}(x)}{m !} t_{2}^{m}

अतः इन दो समीकरणों को गुणा करने पर हमें प्राप्त होगा

\शुरू {गठबंधन} e^{\बाएं\{x^{2}-\बाएं(t_{1}-x\दाएं)^{2}\दाएं\}} \cdot e^{\बाएं\{x^ {2}-\बाएं(t_{2}-x\दाएं)^{2}\दाएं\}} और=\बाएं[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}( x)}{n !} t_{1}^{n}\दाएं]\बाएं[\sum_{m=0}^{\infty} \frac{H_{m}(x)}{m !} t_{ 2}^{m}\दाएं] \\ और=\sum_{n=0}^{\infty}\बाएं[H_{n}(x)\बाएं|H_{m}(x)\right|\right ] \frac{t_{1}^{n} \cdot t_{2}^{m}}{n ! मी!} \अंत{गठबंधन}

अनंत सीमाओं के भीतर गुणा और एकीकृत करना

\शुरू {सरणी} {l} \बाएं।\बाएं। ) H_{m}(x) dx\right] \frac{t_{2}^{n} t_{1}^{m}}{n ! मी !}=e^{-x^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{2}-x\right )^{1}\right.}\right\}_{.} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{2}-x\right)^{2}\right.} \right\}_{dx} \\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{2}-x\right)^{ 1}\दाएं\}-\बाएं(t_{2}-x\दाएं)^{2}} dx \\ =e^{\बाएं(-\बाएं(t_{2}^{1}+t_{2 }^{2}\right)\right\}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{-x^{2}+2 x\left(t_{2}+t_ {1}\दाएं)\दाएं\}} dx \end{सरणी}

और तब से

\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{-ax^{2}+2 bx\right\}} dx=\sqrt{\frac{\pi}{2} e^{ \frac{b^{2}}{a}}} \quad

so

\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{-x^{2}+2 x\left(t_{1}+t_{2}\right)\right\}} dx= \sqrt{\pi} e^{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}}

उपरोक्त अभिव्यक्ति में इस मान का उपयोग करते हुए हमारे पास है

\शुरू {गठबंधन} ई^{\बाएं\{-\बाएं(i+1+r_{2}\दाएं)^{2}\दाएं\}} \cdot \sqrt{\pi} ई^{\बाएं( t_{1}+t_{2}\right)^{2}} &=\sqrt{\pi} e^{-t^{2}-t_{2}^{2}+t_{1}^{ 2}+t_{2}^{2}+2 \uparrow r_{2}}=\sqrt{\pi} e^{2 l_{1} l_{2}} \\ &=\sqrt{\pi} \बाएं[1+2 t_{1} t_{2}+\frac{\बाएं(2 t_{1} t_{2}\दाएं)^{2}}{2 !}+\frac{\बाएं(२ t_{2} t_{1}\right)^{2}}{3 !}+\ldots \ldots .\right]=\sqrt{\pi} \sum \frac{\left(3 t_{2} t_ {1}\दाएं)^{n}}{n!} \\ &=\sqrt{\pi} \sum \frac{2^{n} t_{2}^{n} t_{1}^{n }}{n !}=\sqrt{\pi} \sum_{m=2 \atop n=0}^{\infty} 0^{n} t_{2}^{n} t_{1}^{m } \delta_{m, n} \quad\left[t_{2}^{n}=t_{2}^{m} \delta_{n, m}\right] \end{aligned}

जो देता है

\sum_{nm}\बाएं[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\right] \frac {t_{1}^{n} t_{2}^{m}}{n! मी !}=\sqrt{\pi} \sum_{nm} \frac{2^{n}}{n !} e^{n} t_{2}^{m} \delta_{n, m}

अब दोनों पक्षों के गुणांकों की बराबरी करें

\शुरू {सरणी} {ll} और \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{H_{n}(x) H_{m}(x)}{ एन ! मी !} dx=\frac{\sqrt{\pi} 2^{n}}{n !} \delta_{n, m} \\ \Rightarrow और \int_{-\infty}^{\infty} e^ {-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\sqrt{\pi} 2^{n} m \mid \delta_{n, m} \\ \Rightarrow & \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) dx=\left\{\start{array}{ll} 0 और मी \neq n\बाएं[\delta_{n, m}=0, \text { अगर } m \neq n\right. \\ 2^{n} एन! \sqrt{\pi}, & m=n \end{array}\left[\ start{array}{l} =1, \text { if } m=n \end{array}\right]\right. \अंत{सरणी}

जो हरमाइट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण को दर्शाता है।

  हर्मिट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण का परिणाम एक अन्य तरीके से पुनरावृत्ति संबंध पर विचार करके दिखाया जा सकता है

हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी पर उदाहरण

1. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{2}(x) H_{3}(x) dx

हल: हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी की संपत्ति का उपयोग करके

\शुरू {सरणी}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x)=0 \text { अगर } एम \neq n \end{सरणी}

चूँकि यहाँ मान m=3 और n=2 हैं इसलिए

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{2}(x) H_{3}(x)=0

2. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{2}(x)\right]^{2} dx

हल: हरमाइट बहुपद के लंबकोणीय गुण का उपयोग करके हम लिख सकते हैं

\शुरू {सरणी} {l} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\बाएं[H_{n}(x)\right]^{2} dx=2 ^{एन}(एन) ! \sqrt{\pi} \\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{2}(x)\right]^{2} dx=2 ^{2}(२!) \sqrt{\pi}=2 \sqrt{\pi} \end{array}

हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंध

हर्मिट बहुपद का मान पुनरावर्तन संबंधों द्वारा आसानी से ज्ञात किया जा सकता है

Hermite बहुपद
हरमाइट बहुपद पुनरावृत्ति संबंध

इन संबंधों को परिभाषा और गुणों की सहायता से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

सबूत: १। हम हरमाइट समीकरण जानते हैं

y^{\prime \prime}-2 xy^{\prime}+2 ny=0

और संबंध

e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}

आंशिक रूप से x के संबंध में विभेदन लेकर हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

2 ते^{2t xt^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}^{'}(x) \frac{r^{m}}{n !}

इन दो समीकरणों से

\quad 2 t \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty} H_ {n}^{'}(x) \frac{t^{n}}{n!}

\quad 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n+1}}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}^{\prime}(x) \frac{t^{n}}{n !}

अब n को n-1 . से बदलें

2 \frac{H_{\mathrm{m}-1}(\mathrm{x}) t^{n}}{(n-1) !}=H_{n}^{'}(x) \frac{ टी^{एन}}{एन!}

\quad \frac{2 n H_{n-1}(x) t^{n}}{n !}=H_{n}^{\prime}(x) \frac{t^{n}}{n !}

t . के गुणांक की तुलना करकेn

2 \frac{n !}{(n-1) !} H_{n-1}(x)=H^{\prime}{ }_{n}(x)

\quad 2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)

तो आवश्यक परिणाम है

\mathbf{2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)}

2. इसी प्रकार t समीकरण के संबंध में आंशिक रूप से अवकलन करना

e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}

हम मिल

2(xt) e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{nt^{n-1}}{(n -1)!}

2(xt) e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n-1}}{(n- १) !}

n=0 गायब हो जाएगा इसलिए e . का यह मान डालने पर

2(xt) \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n !}=\sum_{n=1}^{\infty} H_ {n}(x) \frac{t^{n-1}}{(n-1) !}

\quad 2 x \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n !}-2 \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n+1}}{n !}=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n}(x) \frac{r^{n- 1}}{(एन-1) !}

अब t . के गुणांकों की बराबरी कर रहे हैंn

2 x \frac{H_{n}(x)}{n !}-2 \frac{H_{n-1}(x)}{(n-1) !}=\frac{H_{n+1} (एक्स)}{एन!} \quad

इस प्रकार

\quad \mathbf{2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{n+1}(x)}

3. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम H . को हटा देंगेN-1 से

2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{n+1}(x)

और

2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)

तो हमें मिलता है

\शुरू {गठबंधन} 2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{m+1}(x) &(x) \\ 2 x H_{n}(x )=H_{n}^{r}(x)+H_{n+1}(x) \\\ldots \ldots\end{aligned}

इस प्रकार हम परिणाम लिख सकते हैं

\mathbf{H_{n}^{\prime}(x)=2 x H_{n}(x)-H_{n+1}(x)}

4. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम अंतर करते हैं

H_{n}^{\prime}(x)=2 x H_{n}(x)-H_{n+1}(x)

हमें रिश्ता मिलता है

H_{n}^{\prime \prime}(x)=2 x H_{n}^{'}(x)+2 H_{n}(x)-H_{n+1}^{\prime}( एक्स)

मूल्य को प्रतिस्थापित करना

H_{n+1}^{'}(x)=2(n+1) H_{n}(x)

और n के स्थान पर n+1

H_{n}^{'}(x)=2 \mathrm{x} H_{n}^{\prime}(x)+2 H_{n}(x)-2(n+1) H_{n} (एक्स)

\quad H_{n}^{'}(x)-2 x H_{n}^{\prime}(x)+2 n H_{n}(x)=0

जो देता है

\mathbf{H_{n}^{\prime \prime}(x)-2 x H_{n}^{1}(x)+2 n H_{n}(x)=0]}

हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंधों के उदाहरण

1.दिखाओ कि

H_{2 n}(0)=(-1)^{n} \cdot 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

उपाय:

हमारे पास परिणाम दिखाने के लिए

H_{2 n}(x)=\sum\frac{(-1)^{n}(2m)!(2x)^{2n+2x}}{x!(2n-2x)!}

x = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है

\शुरू {गठबंधन} H_{2 n}(0) &=\frac{(-1)^{n}(2 n) !}{(n) !}=(-1)^{n} \frac{ (2 n)(2 n-1)(2 n-2) \cdot \ldots}{n(n-1)(n-2) \ldots \ldots 1} \\ &=(-1)^{n } \frac{2(2 n-1) 2(2 n-3) 2(2 n-5) 2 \cdot \ldots 2.1}{n!} n! \\ &=(-1)^{n} 2^{n} \cdot 2^{n} \frac{(2 n-1)}{2} \frac{(2 n-3)}{2} \frac{(2 n-5)}{2} \\ &=(-1)^{n} 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac) {3}{2}\दाएं)\बाएं(\frac{5}{2}\दाएं)\बाएं(\frac{7}{2}\दाएं) \ldots \ldots\left(\frac{2 n- 3}{2}\दाएं)\बाएं(\frac{2 n-1}{2}\दाएं) \\&=(-1)^{n} 2^{2 n}\बाएं(\frac{1 }{2}\दाएं)^{एम} \अंत{गठबंधन}

2. दिखाओ कि

H^{\prime}{ }_{2 n+1}(0)=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}

उपाय:

चूंकि पुनरावृत्ति संबंध से

H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)

यहाँ n को 2n+1 से बदलें

H_{2 n+1}^{\prime}(x)=2(2 n+1) H_{2 n}(x)

x = 0 . लेना

\शुरू {गठबंधन} H_{2 n+1}^{\prime}(0) &=2(2 n+1) H_{2 n}(0) \\ &=2(2 n+1)(- 1)^{n} 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ &=(2 n+1)(-1)^{n} 2^ {2 n+1}\बाएं[\frac{(2 n-1)(2 n-3) \ldots \ldots 3.1}{2^{n}}\right]\\ &=(-1)^{ n} 2^{2 n+1}\बाएं[\frac{3}{2}\बाएं(\frac{3}{2}+1\दाएं) \ldots \ldots\left(\frac{3}{ 2}+n-1\right)\right] \\ &=(-1)^{n} \cdot 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{ n} \अंत{गठबंधन}

3. का मान ज्ञात कीजिए

एच_{2 एन+1}(0)

उपाय

चूंकि हम जानते हैं

H_{2 n+1}(x)=\sum_{k=0}^{2 n+1/2} \frac{(-1)^{k}(2 n+1)!(2 x)^ {२ एन+१-२ के}} {के !(२ एन+१-२ के)}

यहां x=0 का उपयोग करें

\इसलिए एच_{2 n+1}(0)=0

4. H' का मान ज्ञात कीजिए।2n(0).

उपाय :

हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध है

H^{\prime}{ }_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)

यहाँ n को 2n . से बदलें

H^{\prime}_{2 n}(x)=2(2 n) H_{2 n-1}(x)

एक्स = 0 . डालें

H^{\prime}_{2 n}(0)=(4 n) H_{2 n-1}(0)=4n*0=0

5. निम्नलिखित परिणाम दिखाएं

\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left\{H_{n}(x)\right\}=\frac{2^{n}(n) !}{(nm) ! } एच_{एनएम} \क्वाड एम<n

उपाय :

पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना

H^{\prime}{ }_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)

so

\शुरू {गठबंधन} \quad \frac{d}{dx}\बाएं\{H_{n}(x)\right\} &=2 m H_{n-1}(x) \\ \quad \frac{ d^{2}}{dx^{2}}\बाएं\{H_{n}(x)\right\} &=2 n \frac{d}{dx}\left[H_{n-1}( x)\दाएं] \\ &=2 n एच^{\प्राइम} n-1 \atop(x) \\ &=2 n\left[2(n-1) H_{n-2}(x)\ दाएँ] \\ &=2^{2} n(n-1) H_{n-2}(x) \end{aligned}

और

\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{3} n(n-1)(n-2) H_{n-3}(x)

इस m बार अंतर करना

\frac{d^{m}}{d^{m}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{m} n(n-1) \ldots \ldots(n- m+1) H_{nm}(x)\\=\frac{2^{\prime m}}{(nm) !} H_{nw}(x), m<n

जो देता है

\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left{H_{n}(x)\right}=\frac{2^{n}(n) !}{(nm) !} H_ {एनएम} \क्वाड एम<एन

6. दिखाओ कि

H_{n}(-x)=(-1)^{n} H_{n}(x)

उपाय :

हम लिख सकते है

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n!}=e^{2 nt^{2}}=e^{2 \pi } ई^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 x)^{n} t^{n}}{n !} \times \sum_{ n=0}^{\infty} \frac{(-1) t^{2 n}}{n !}

=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n/2} \frac{(-1)^{k}(2 x)^{n-2 k}}{ के (एन-2 के)!}

t . के गुणांक सेn हमारे पास है

H_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n/2} \frac{(-1)^{k} n !(2 x)^{n-2 k}}{k !( एन-2 के) !}

और -x . के लिए

\शुरू {गठबंधन} H_{n}(-x) &=\sum_{k=0}^{\pi / 2} \frac{(-1)^{k} n !(-2 x)^{n -2 k}}{k(n-2 k) !} \\ &=\sum_{k=0}^{n/2} \frac{(-1)^{k}(-1)^{n -2 k} n !(2 x)^{n-2 k}}{k(n-2 k) !} \\ &=(-1)^{n} \sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k} n !(2 x)^{n-2 k}}{k(n-2 k) !}=(-1)^{n} H_{n }(x) \end{संरेखित}

7. समाकल का मूल्यांकन कीजिए और दिखाइए

\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\sqrt{x}\left[2^{n -1} मी \मध्य 8_{एम, एन-1}+2^{n}(n+1) \delta_{n * 1,m}\right] ।

उपाय : इस अभिन्न उपयोग एकीकरण भागों को हल करने के लिए

\शुरू {सरणी} {l} \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\बाएं[- \frac{1}{2} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\right]_{-\infty}^{\infty} \\ \ क्वाड+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{d}{dx}\left\{H_{n}(x) H_{m}(x)\right\} dx \\ =0+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{ d}{dx}\बाएं\{H_{n}(x) H_{m}(x)\right\} dx \text { (ऑर्थोगोनैलिटी प्रॉपर्टी) } \end{सरणी}

अब इंटीग्रल साइन के तहत भेदभाव x . के संबंध में अंतर करता है

=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left\{H_{n}^{\prime}(x) H_{m }(x)+H_{n}(x) H_{m}^{\prime}(x)\right\} dx

का उपयोग

H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)

और

H_{m}^{\prime}(x)=2 m H_{m-1}(x)

हमारे पास है

\begin{array}{l} =\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[2 n H_{n-1} (x) H_{m}(x)+2 m H_{n}(x) H_{m-1}(x)\right] dx \\ =n \int_{-\infty}^{\infty} e ^{-x^{2}} H_{n-1}(x) H_{m}(x) d x+m \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2} } H_{n}(x) H_{m-1}(x) dx \\ =n \sqrt{\pi} 2^{n-1}(n-1) ! \delta_{m, n-1}+m \sqrt{\pi} 2^{n} n! \delta_{n, m-1} \end{सरणी}

और तब से

\delta_{n, m-1}=\delta_{n+1, m}

अत: समाकलन का मान होगा

=\sqrt{\pi}\बाएं[2^{n-1} n! \delta_{m, n-1}+2^{n}(n+1)! \delta_{n+1, m}\दाएं]

निष्कर्ष:

विशिष्ट बहुपद जो अक्सर अनुप्रयोग में होता है, वह हर्मिट बहुपद है, इसलिए मूल परिभाषा, जनक कार्य, पुनरावृत्ति संबंध और हर्मिट बहुपद से संबंधित उदाहरणों पर यहां संक्षेप में चर्चा की गई थी, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

हरमाइट बहुपद | 10+ महत्वपूर्ण उदाहरणों के साथ इसके महत्वपूर्ण संबंधमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
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