हरमाइट बहुपद: 9 पूर्ण त्वरित तथ्य

  हरमाइट बहुपद व्यापक रूप से एक ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन के रूप में अनुप्रयोगों में होता है। हरमाइट बहुपद, हरमाइट अंतर समीकरण का श्रृंखला समाधान है।

हरमाइट का समीकरण

    विशिष्ट गुणांकों के साथ द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण

d²वाई/डीएक्स² - 2x डाई/डीएक्स + 2xy = 0

हर्मिट समीकरण के रूप में जाना जाता है, इस अवकल समीकरण को हल करने पर हमें बहुपद प्राप्त होगा जो है हरमाइट बहुपद.

आइए समीकरण का हल खोजें

d²वाई/डीएक्स² - 2x dy/dx + 2ny = 0

अवकल समीकरण के श्रेणी हल की सहायता से

अब इन सभी मानों को हरमाइट के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमारे पास है

यह समीकरण k=0 के मान को संतुष्ट करता है और जैसा कि हमने माना कि k का मान ऋणात्मक नहीं होगा, अब निम्नतम घात पद x के लिए^एम-2 पहले समीकरण में k=0 लें क्योंकि दूसरा ऋणात्मक मान देता है, इसलिए गुणांक x^एम-2 is

a₀एम (एम -1) = 0 ⇒ एम = 0, एम = 1

एक के रूप में₀ ≠ 0

अब इसी तरह x . के गुणांक की बराबरी करते हुए^एम-1 दूसरे योग से

और x . के गुणांकों की बराबरी करना^{एम+के} शून्य करने के लिए,

a_{+ K 2}(एम+के+2)(एम+के+1)-2ए_k(एम+केएन) = 0

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

a_{+ K 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

अगर एम = 0

a_{+ K 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

अगर एम = 1

a_{+ K 2} = 2(के+1-एन)/(के+3)(के+2) ए_k

इन दो मामलों के लिए अब हम k . के मामलों पर चर्चा करते हैं

जब $m=0, a_{+ K 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

अगर, $k=0 ए₂ =-2 एन/2 ए₀=-ना₀$

$k=1, ए₃=2(1-एन)/6 ए₁ =-2(n-1)/3 ! एक₁$

अगर $k=2, a₄ =2(2-एन)/12 ए₂ =2 (2-एन)/12 (-na₀) = 2² एन (एन -2) / 4! एक₀$

अब तक m=0 हमारे पास दो स्थितियां हैं जब a₁= 0, फिर ए₃=a₅=a₇=….=एक_{२आर+१}=0 और जब a₁ तो शून्य नहीं है

इसका अनुसरण करके a . के मान डालें₀,a₁,a₂,a₃,a₄ और एक₅ हमारे पास है

और एम = 1 ए . के लिए₁=0 k=0,1,2,3,….. डालने से हमें प्राप्त होता है

a_{+ K 2} = 2(के+1-एन)/(के+3)(के+2)ए_k

तो समाधान होगा

तो पूरा समाधान है

जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं

हरमाइट बहुपद

   हरमाइट का समीकरण समाधान y(x)=Ay . के रूप का है₁(एक्स)+बाय₂(एक्स) जहां वाई₁(एक्स) और वाई₂(x) जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, श्रृंखला शब्द हैं,

इनमें से एक श्रृंखला समाप्त होती है यदि n गैर ऋणात्मक पूर्णांक है यदि n सम y है₁ अन्यथा समाप्त हो जाता है y₂ यदि n विषम है, और हम आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि n=0,1,2,3,4…….. के लिए ये बहुपद हैं

1, एक्स, 1-2x², एक्स-2/3 एक्स³, 1-4x²+4/3x⁴, एक्स -4 / 3x³+ 4/15x⁵

अतः हम यहाँ कह सकते हैं कि हर्मिट समीकरण का हल इन बहुपदों का अचर गुणज है और x की उच्चतम घात वाले पद 2 के रूप के हैंⁿxⁿ H . द्वारा निरूपित_n(एक्स) के रूप में जाना जाता है Hermite बहुपद

हर्मिट बहुपद का जनन फलन

हरमाइट बहुपद को आमतौर पर जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके संबंध की मदद से परिभाषित किया जाता है

[n/2] n/2 से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है, इसलिए यह के मान का अनुसरण करता है H_n(एक्स) as

यह दर्शाता है कि H_n(एक्स) x और . में घात n का एक बहुपद है

H_n(एक्स) = 2ⁿxⁿ +_N-2 (एक्स)

जहां π_N-2 (x) x में डिग्री n-2 का बहुपद है, और यह n के सम मान के लिए x का सम फलन और n के विषम मान के लिए x का विषम फलन होगा, इसलिए

H_n(-एक्स) = (-1)ⁿ H_n(एक्स)

कुछ प्रारंभिक हरमाइट बहुपद हैं

H₀(एक्स) = 1

H₁(एक्स) = 2x

H₂(एक्स) = 4x² - 2

H₃(एक्स) = 8x³-12

H₄(एक्स) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(एक्स) = 32x² - 160x³+ 120x

रोड्रिग फॉर्मूला द्वारा हर्मिट बहुपद का सृजन कार्य

जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके रॉड्रिग फॉर्मूला की मदद से हरमाइट बहुपद को भी परिभाषित किया जा सकता है

फ़ंक्शन उत्पन्न करने के संबंध के बाद से

  मैकलॉरिन के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

or

z=xt और . डालकर

t=0 के लिए, तो z=x देता है

इसे हम दूसरे तरीके से दिखा सकते हैं जैसे

फर्क

टी के संबंध में देता है

सीमा टी लेना शून्य हो जाता है

अब x . के संबंध में अंतर करना

सीमा टी लेना शून्य हो जाता है

इन दो भावों से हम लिख सकते हैं

उसी तरह हम लिख सकते हैं

 n बार डालने पर t=0, हम पाते हैं

इन मूल्यों से हम लिख सकते हैं

इनसे हम मान प्राप्त कर सकते हैं

हरमाइट बहुपद पर उदाहरण           

1. का साधारण बहुपद ज्ञात कीजिए

हल: हरमाइट बहुपद परिभाषा और हमारे बीच के संबंधों का उपयोग करना

2. साधारण बहुपद का हरमाइट बहुपद ज्ञात कीजिए

हल: दिए गए समीकरण को हम हरमाइट में बदल सकते हैं:

और इस समीकरण से समान घात गुणांक

अत: हरमाइट बहुपद होगा

हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी | हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनल संपत्ति

हरमाइट बहुपद के लिए महत्वपूर्ण विशेषता इसकी ऑर्थोगोनैलिटी है जो बताती है कि

इस ऑर्थोगोनैलिटी को साबित करने के लिए आइए हम याद करें कि

जो हरमाइट बहुपद के लिए जनक फलन है और हम जानते हैं

अतः इन दो समीकरणों को गुणा करने पर हमें प्राप्त होगा

अनंत सीमाओं के भीतर गुणा और एकीकृत करना

और तब से

so

उपरोक्त अभिव्यक्ति में इस मान का उपयोग करते हुए हमारे पास है

जो देता है

अब दोनों पक्षों के गुणांकों की बराबरी करें

जो हरमाइट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण को दर्शाता है।

  हर्मिट बहुपद के ओर्थोगोनल गुण का परिणाम एक अन्य तरीके से पुनरावृत्ति संबंध पर विचार करके दिखाया जा सकता है

हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी पर उदाहरण

1. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें

हल: हरमाइट बहुपद की ओर्थोगोनैलिटी की संपत्ति का उपयोग करके

चूँकि यहाँ मान m=3 और n=2 हैं इसलिए

2. इंटीग्रल का मूल्यांकन करें

हल: हरमाइट बहुपद के लंबकोणीय गुण का उपयोग करके हम लिख सकते हैं

हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंध

हर्मिट बहुपद का मान पुनरावर्तन संबंधों द्वारा आसानी से ज्ञात किया जा सकता है

इन संबंधों को परिभाषा और गुणों की सहायता से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

सबूत: १। हम हरमाइट समीकरण जानते हैं

y”-2xy'+2ny = 0

और संबंध

आंशिक रूप से x के संबंध में विभेदन लेकर हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

इन दो समीकरणों से

अब n को n-1 . से बदलें

t . के गुणांक की तुलना करकेⁿ

तो आवश्यक परिणाम है

2. इसी प्रकार t समीकरण के संबंध में आंशिक रूप से अवकलन करना

हम मिल

n=0 गायब हो जाएगा इसलिए e . का यह मान डालने पर

अब t . के गुणांकों की बराबरी कर रहे हैंⁿ

इस प्रकार

3. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम H . को हटा देंगे_N-1 से

और

तो हमें मिलता है

इस प्रकार हम परिणाम लिख सकते हैं

4. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए हम अंतर करते हैं

हमें रिश्ता मिलता है

मूल्य को प्रतिस्थापित करना

और n के स्थान पर n+1

जो देता है

हरमाइट बहुपद के पुनरावर्ती संबंधों के उदाहरण

1.दिखाओ कि

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (/ 1 2)ⁿ

उपाय:

हमारे पास परिणाम दिखाने के लिए

एच2एन (एक्स) =

x = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है

2. दिखाओ कि

एच'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (/ 3 2)²

उपाय:

चूंकि पुनरावृत्ति संबंध से

एच'_n(एक्स) = 2एनएच_N-1(एक्स)

यहाँ n को 2n+1 से बदलें

एच'_2n-1(एक्स) = 2(2n+1) एच_2n(एक्स)

x = 0 . लेना

3. का मान ज्ञात कीजिए

H_{2n + 1}(0)

उपाय

चूंकि हम जानते हैं

यहां x=0 का उपयोग करें

H_2n-1(0) = 0

4. H' का मान ज्ञात कीजिए।_2n(0).

उपाय :

हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध है

एच'_n(एक्स) = 2एनएच_N-1(एक्स)

यहाँ n को 2n . से बदलें

एच'_2n(एक्स) = = 2(2एन)एच_2n-1(एक्स)

एक्स = 0 . डालें

एच'_2n(0) = (4एन)एच_2n-1(0) = 4एन * 0 = 0

5. निम्नलिखित परिणाम दिखाएं

उपाय :

पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना

एच'_n(एक्स) = 2एनएच_N-1 (एक्स)

so

और

d³/डीएक्स³ {H_n(एक्स)} = 2³एन (एन -1) (एन -2) एच_N-3(एक्स)

इस m बार अंतर करना

जो देता है

6. दिखाओ कि

H_n(-एक्स) = (-1)ⁿ H_n(एक्स)

उपाय :

हम लिख सकते है

t . के गुणांक सेⁿ हमारे पास है

और -x . के लिए

7. समाकल का मूल्यांकन कीजिए और दिखाइए

उपाय : इस अभिन्न उपयोग एकीकरण भागों को हल करने के लिए

अब इंटीग्रल साइन के तहत भेदभाव के साथ अंतर करें

x . का सम्मान

का उपयोग

एच'_n(एक्स) = 2_nH_N-1 (एक्स)

और

एच'_m(एक्स) = 2 एमएच_एम-1 (एक्स)

हमारे पास है

और तब से

𝝳 _{एन, एम-1} =_{एन+1, एम}

अत: समाकलन का मान होगा

निष्कर्ष:

विशिष्ट बहुपद जो अक्सर अनुप्रयोग में होता है, वह हर्मिट बहुपद है, इसलिए मूल परिभाषा, जनक कार्य, पुनरावृत्ति संबंध और हर्मिट बहुपद से संबंधित उदाहरणों पर यहां संक्षेप में चर्चा की गई थी, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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