तात्क्षणिक वेग की गणना कैसे करें, तात्क्षणिक वेग सूत्र

तात्क्षणिक वेग की गणना कैसे करें

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भौतिकी और गणित में, तात्कालिक वेग समय में किसी विशिष्ट बिंदु पर किसी वस्तु के वेग को संदर्भित करता है। यह किनेमेटिक्स, गति के अध्ययन में एक मौलिक अवधारणा है। गति में वस्तुओं के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए तात्कालिक वेग की गणना करने का तरीका समझना महत्वपूर्ण है।

कैलकुलस का उपयोग करके तात्कालिक वेग की गणना करना

कैलकुलस तात्कालिक वेग निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। समय के संबंध में स्थिति फलन का व्युत्पन्न लेकर, हम वेग फलन प्राप्त कर सकते हैं। व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है, जो इस मामले में समय के संबंध में स्थिति में परिवर्तन की दर है।

कैलकुलस का उपयोग करके तात्कालिक वेग की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

स्थिति फ़ंक्शन से प्रारंभ करें, जो समय के साथ वस्तु की स्थिति का वर्णन करता है। आइए इसे इस रूप में निरूपित करें रों (टी), जहां t समय का प्रतिनिधित्व करता है।
समय के संबंध में स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें, जिसे इस रूप में दर्शाया गया है वी (टी). यह व्युत्पन्न तात्कालिक वेग फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।
तात्कालिक वेग फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न को सरल बनाएं।

आइए इस प्रक्रिया को एक उदाहरण से समझाएँ:

मान लीजिए किसी वस्तु का स्थिति फलन दिया गया है s(t) = 2t^3 – 3t^2 + 4t + 1. किसी भी समय तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए, हमें स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है:

$v(t) = frac{d}{dt}(2t^3 - 3t^2 + 4t + 1)$

व्युत्पन्न को सरल बनाने से हमें तात्कालिक वेग फ़ंक्शन मिलता है:

$v(t) = 6t^2 - 6t + 4$

तो, तात्कालिक वेग फलन है v(t) = 6t^2 – 6t + 4.

कैलकुलस के बिना तात्कालिक वेग की गणना

जबकि कैलकुलस तात्कालिक वेग की गणना के लिए एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है, जब कैलकुलस लागू नहीं होता है या पसंदीदा नहीं होता है तो वैकल्पिक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। ऐसी एक विधि में तात्कालिक वेग का अनुमान लगाने के लिए छोटे और छोटे समय अंतराल पर औसत वेग का उपयोग करना शामिल है।

कैलकुलस के बिना तात्कालिक वेग की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

प्रारंभिक समय चुनें t1 और आखिरी बार t2, साथ में t2 से थोड़ा बाद में हो रहा है t1.
औसत वेग की गणना करें v_avg समय अंतराल पर [टी1, टी2] सूत्र का उपयोग करना:

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}}$

समय अंतराल कम करें [टी1, टी2] इसे शून्य के करीब पहुंचते हुए छोटा और छोटा करना।
जैसे-जैसे समय अंतराल शून्य के करीब पहुंचता है, औसत वेग तात्कालिक वेग के करीब पहुंचता है।

यह भी देखें एक स्ट्रिंग में तनाव की गणना करने के 3 तरीके

आइए एक उदाहरण के माध्यम से काम करें:

मान लीजिए एक कार 100 सेकंड में 10 मीटर की दूरी तय करती है। हम 5-सेकंड के निशान पर तात्कालिक वेग की गणना करना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसका उपयोग कर सकते हैं औसत वेग विधि.

हम चुनेंगे t1 = 4 सेकंड और t2 = 6 सेकंड. औसत वेग सूत्र का उपयोग करके, हम अंतराल पर औसत वेग की गणना करते हैं [4, 6]:

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}} = frac{{s(6) - s(4)}}{{6 - 4}} = frac{{s(6) ) - s(4)}{2}$

इसके बाद, हम प्रक्रिया को छोटे और छोटे समय अंतराल के साथ दोहराते हैं, जैसे [4.5, 5.5], [4.9, 5.1], और इसी तरह। जैसे-जैसे अंतराल सिकुड़ते हैं, औसत वेग मान 5-सेकंड के निशान पर तात्कालिक वेग के करीब पहुंचते हैं।

एक तालिका से तात्कालिक वेग की गणना

कुछ मामलों में, वेग मान किसी फ़ंक्शन के बजाय तालिका में दिए जा सकते हैं। किसी तालिका से तात्कालिक वेग की गणना करने के लिए, हम पिछली विधि की तरह, छोटे समय अंतराल पर औसत वेग की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं।

किसी तालिका से तात्कालिक वेग की गणना करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

वांछित समय के निकटतम समय बिंदुओं को पहचानें।
उन समय बिंदुओं पर संगत वेग मान निर्धारित करें।
निकटतम समय बिंदुओं द्वारा परिभाषित अंतराल पर औसत वेग की गणना करें।
वांछित सटीकता प्राप्त होने तक प्रक्रिया को छोटे और छोटे समय अंतराल के साथ दोहराएं।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

मान लीजिए कि हमारे पास विभिन्न समय बिंदुओं पर किसी वस्तु के वेग को दर्शाने वाली निम्नलिखित तालिका है:

समय	वेग (एम/एस)
1	4
2	7
3	10
4	14

हम तात्कालिक वेग की गणना करना चाहते हैं टी = 2.5 सेकंड. ऐसा करने के लिए, हम औसत वेग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

निकटतम समय बिंदु 2.5 सेकंड हैं t1 = 2 सेकंड और t2 = 3 सेकंड. संगत वेग मान हैं v1 = 7 मी/से और v2 = 10 मी/से. औसत वेग सूत्र का उपयोग करके, हम अंतराल पर औसत वेग की गणना करते हैं [2, 3]:

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}} = frac{{v_2 - v_1}}{{t_2 - t_1}} = frac{{10 - 7}}{{3 - 2}} = 3$

जैसे-जैसे समय अंतराल शून्य के करीब पहुंचता है, औसत वेग 2.5 सेकंड पर तात्कालिक वेग के करीब पहुंचता है।

किसी विशिष्ट बिंदु या समय पर तात्कालिक वेग की गणना करना

कुछ स्थितियों में, हमें किसी अंतराल के बजाय किसी विशिष्ट बिंदु या समय पर तात्कालिक वेग की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है। यह स्थिति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को ढूंढकर और वांछित बिंदु पर इसका मूल्यांकन करके किया जा सकता है।

यह भी देखें एंटिकोडन फंक्शन: 3 तथ्य जो आपको जानना चाहिए!

किसी विशिष्ट बिंदु पर तात्कालिक वेग की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

स्थिति फ़ंक्शन से प्रारंभ करें, जिसे इस रूप में दर्शाया गया है रों (टी).
समय के संबंध में स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें, जिसे इस रूप में दर्शाया गया है वी (टी).
तात्कालिक वेग फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न को सरल बनाएं।
वांछित समय पर तात्कालिक वेग फ़ंक्शन का मूल्यांकन करें।

आइए एक उदाहरण के माध्यम से काम करें:

मान लीजिए किसी वस्तु का स्थिति फलन दिया गया है s(t) = 3t^2 – 2t + 5. हम तात्कालिक वेग की गणना करना चाहते हैं टी = 2 सेकंड.

सबसे पहले, हम तात्कालिक वेग फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं:

$v(t) = frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5)$

व्युत्पन्न को सरल बनाने से हमें तात्कालिक वेग फ़ंक्शन मिलता है:

$वी(टी) = 6टी - 2$

पर तात्क्षणिक वेग ज्ञात करना टी = 2 सेकंड, हम उस समय तात्कालिक वेग फ़ंक्शन का मूल्यांकन करते हैं:

$वी(2) = 6(2) - 2 = 10$

इसलिए, तात्कालिक वेग पर टी = 2 सेकंड is 10 मी/से.

तात्कालिक वेग की गणना का सूत्र प्रक्षेप्य गति की अवधारणा पर कैसे लागू किया जा सकता है?

RSI "प्रक्षेप्य गति की गणना - चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका" प्रक्षेप्य गति की गणना करने का एक व्यापक अवलोकन प्रदान करता है, जिसमें परवलयिक पथ में किसी वस्तु की गति शामिल होती है। तात्कालिक वेग के सूत्र का उपयोग करके, हम प्रक्षेपवक्र के साथ किसी भी बिंदु पर वस्तु का वेग निर्धारित कर सकते हैं। गति को छोटे-छोटे अंतरालों में तोड़कर और तात्कालिक वेगों की गणना करके, हम वस्तु की गति की गहरी समझ प्राप्त कर सकते हैं और इसकी ऊंचाई, सीमा और उड़ान के समय जैसे विभिन्न पहलुओं का विश्लेषण कर सकते हैं।

तात्कालिक वेग की गणना कैसे करें पर संख्यात्मक समस्याएं

समस्या 1:

एक कण को दिए गए स्थिति फ़ंक्शन के साथ एक सीधी रेखा में घूमने पर विचार करें:
$x(t) = 3t^2 - 2t + 5$
जहां $x$ मीटर में है और $t$ सेकंड में है.

समय पर कण का वेग ज्ञात कीजिए $t = 2$ सेकंड.

उपाय:

किसी विशिष्ट समय पर वेग ज्ञात करने के लिए, हमें समय के संबंध में स्थिति फ़ंक्शन को अलग करने की आवश्यकता है:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

दिए गए स्थिति फ़ंक्शन को अलग करने पर, हमारे पास है:

यह भी देखें टक्कर से पहले गति की गणना कैसे करें: लोचदार, लोचदार, सूत्र और समस्याएं

$v(t) = frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5)$

विभेदन के घात नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$वी(टी) = 6टी - 2$

स्थानापन्न $t = 2$ वेग फ़ंक्शन में, हम पाते हैं:

$वी(2) = 6(2) - 2 = 10$

इसलिए, कण का वेग पर $t = 2$ सेकंड है $10$ सुश्री।

समस्या 2:

एक कार एक सीधी सड़क पर निम्नलिखित स्थिति फ़ंक्शन के साथ चल रही है:
$x(t) = 5t^3 - 2t^2 + 3$
जहां $x$ मीटर में है और $t$ सेकंड में है.

कार का वेग कब निर्धारित करें? $t = 1$ दूसरा।

उपाय:

किसी विशिष्ट समय पर वेग की गणना करने के लिए, हम समय के संबंध में स्थिति फ़ंक्शन को अलग करते हैं:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

दिए गए स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने पर, हमारे पास है:

$v(t) = frac{d}{dt}(5t^3 - 2t^2 + 3)$

विभेदन के घात नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$v(t) = 15t^2 - 4t$

स्थानापन्न $t = 1$ वेग फ़ंक्शन में, हम पाते हैं:

$v(1) = 15(1)^2 - 4(1) = 11$

अत: कार का वेग कब होगा $t = 1$ दूसरा है $11$ सुश्री।

समस्या 3:

एक कण दिए गए स्थिति फलन के साथ एक सीधी रेखा में घूम रहा है:
$x(t) = 2t^4 - 3t^2 + 4t - 1$
जहां $x$ मीटर में है और $t$ सेकंड में है.

समय पर कण के वेग की गणना करें $t = 3$ सेकंड.

उपाय:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

दिए गए स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने पर, हमारे पास है:

$v(t) = frac{d}{dt}(2t^4 - 3t^2 + 4t - 1)$

विभेदन के घात नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$v(t) = 8t^3 - 6t + 4$

स्थानापन्न $t = 3$ वेग फ़ंक्शन में, हम पाते हैं:

$v(3) = 8(3)^3 - 6(3) + 4 = 190$

इसलिए, कण का वेग पर $t = 3$ सेकंड है $190$ सुश्री।

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राघवी आचार्य

मैं राघवी आचार्य हूं, मैंने संघनित पदार्थ भौतिकी के क्षेत्र में विशेषज्ञता के साथ भौतिकी में स्नातकोत्तर की पढ़ाई पूरी की है। मैंने हमेशा भौतिकी को अध्ययन का एक आकर्षक क्षेत्र माना है और मुझे इस विषय के विभिन्न क्षेत्रों की खोज करने में आनंद आता है। अपने खाली समय में, मैं खुद को डिजिटल कला में व्यस्त रखता हूं। मेरे लेखों का उद्देश्य पाठकों तक भौतिकी की अवधारणाओं को बहुत ही सरल तरीके से पहुंचाना है।