प्रक्षेप्य गति की गणना कैसे करें

जब कोई वस्तु लॉन्च की जाती है, तो वह एक परवलयिक पथ और गति का अनुसरण करती है जिसे प्रक्षेप्य गति के रूप में जाना जाता है। यह पोस्ट मापदंडों और गणना करने के तरीके को देखेगा प्रक्षेप्य गति विस्तृत विश्लेषण में।

जब कोई वस्तु लॉन्च की जाती है और एक सममित परवलयिक पथ के साथ चलती है, तो गति को प्रक्षेप्य गति के रूप में जाना जाता है। वस्तु के परवलयिक पथ को इसके प्रक्षेपवक्र के रूप में जाना जाता है। इस मामले में, वस्तु एक ही समय में लंबवत और क्षैतिज रूप से यात्रा करती है। नतीजतन, प्रक्षेप्य गति द्वि-आयामी है। प्रक्षेप्य गति में, आपको केवल प्रक्षेपवक्र की शुरुआत में बल प्रदान करने की आवश्यकता होती है; उसके बाद वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित होती है। 

अब देखते हैं कि प्रक्षेप्य गति की गणना कैसे की जाती है:

मान लें कि आप एक तोप के गोले की शूटिंग कर रहे हैं। यह अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने तक ऊपर और आगे बढ़ना शुरू कर देता है। यहाँ से बाहर तो यह आगे की ओर जाता रहेगा लेकिन नीचे की दिशा में। यह एक प्रक्षेपवक्र के रूप में जाने जाने वाले इस घुमावदार मार्ग का पता लगा रहा है, जिसमें एक परवलय का रूप है। इस तरह से गतिमान किसी भी वस्तु को प्रक्षेप्य गति में कहा जाता है। चूंकि प्रक्षेप्य गति का मार्ग हमेशा परवलयिक होता है, इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

वाई = कुल्हाड़ी + बीएक्स2

पृथ्वी पर पहुंचने से पहले तोप का गोला अपनी यात्रा के दौरान परवलयिक मार्ग से गुजरेगा। RSI वेग X-अक्ष के अनुदिश गति के दौरान स्थिर रहता है, जबकि Y-अक्ष के अनुदिश वेग अपनी स्थिति के अनुसार बदलता रहता है। केवल गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, 9.8 m/s2, इस प्रकार की गति को नियंत्रित करता है। तोप के गोले की उड़ान के दौरान नीचे की ओर इशारा करते हुए त्वरण स्थिर रहता है। 

प्रक्षेप्य गति के लिए गतिज समीकरण:

प्रारंभिक वेग सूत्र:

कृपया मान लें कि प्रारंभिक वेग u है और प्रक्षेप्य कोण है। प्रारंभिक वेग के दो घटक हैं: क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर।

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक u . हैx और द्वारा दिया गया:

 ux = यू कोस𝛳

और प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक uy है और इसके द्वारा दिया गया है:

 uy = आप पाप𝛳

प्रक्षेप्य गति की गणना कैसे करें
प्रक्षेप्य गति

प्रक्षेप्य की उड़ान का समय:

प्रक्षेप्य गति में उड़ान का समय वस्तु के प्रक्षेपित होने और जमीन पर पहुंचने के बीच का समय अंतराल है। प्रारंभिक वेग का परिमाण और प्रक्षेप्य का कोण उड़ान के समय को परिभाषित करता है, जिसे टी द्वारा दर्शाया जाता है।

यह समीकरण का प्रस्तुत रूप है। आप इसे सीधे संपादित नहीं कर सकते। राइट क्लिक आपको छवि को सहेजने का विकल्प देगा, और अधिकांश ब्राउज़रों में आप छवि को अपने डेस्कटॉप या किसी अन्य प्रोग्राम पर खींच सकते हैं।
यह समीकरण का प्रस्तुत रूप है। आप इसे सीधे संपादित नहीं कर सकते। राइट क्लिक आपको छवि को सहेजने का विकल्प देगा, और अधिकांश ब्राउज़रों में आप छवि को अपने डेस्कटॉप या किसी अन्य प्रोग्राम पर खींच सकते हैं।

त्वरण सूत्र:

क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं होता है क्योंकि त्वरण का क्षैतिज घटक गति के दौरान स्थिर रहता है। ऊर्ध्वाधर दिशा में एकमात्र त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है।

ax = एक्सएनएनएक्स और

ay = -जी

ऋणात्मक चिन्ह अधोमुखी त्वरण को दर्शाता है।

समय 'टी' सूत्र पर वेग:

गति के दौरान, वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहेगा। हालाँकि, क्योंकि ऊर्ध्वाधर त्वरण स्थिर है, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक रैखिक रूप से बदलता रहता है।

परिणामस्वरूप, वेग की गणना किसी भी समय t निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

vx = यूx = यू कोस𝛳

vy = यू पाप𝛳 - जी ᐧ टी

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कोई भी वेग का परिमाण ज्ञात कर सकता है।

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समय पर विस्थापन 'टी' सूत्र:

समय t पर, विस्थापन द्वारा दिया जा सकता है:

एक्स = (यू कोस𝛳) टी

वाई = (यू ᐧ पाप𝛳) टी - ½ (जीटी .)2)

परवलयिक प्रक्षेपवक्र सूत्र:

प्रक्षेप्य गति के परवलयिक आकार के लिए समीकरण व्युत्पन्न करने के लिए हम x और y दिशाओं में विस्थापन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं:

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प्रक्षेप्य सूत्र की सीमा:

अपने उड़ान समय के दौरान वस्तु द्वारा तय की गई कुल क्षैतिज दूरी को उसकी सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि वस्तु को जमीन से प्रक्षेपित किया जा रहा है (शुरुआती ऊँचाई = 0), तो सूत्र इस प्रकार है:

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उपरोक्त समीकरण के अनुसार, प्रक्षेप्य कोण 𝛳 = 45° होने पर अधिकतम क्षैतिज परास प्राप्त किया जा सकता है। आरएम अधिकतम सीमा का प्रतिनिधित्व करता है।

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अधिकतम ऊंचाई सूत्र:

जब ऊर्ध्वाधर वेग घटक शून्य होता है, vy = 0, अधिकतम ऊंचाई प्राप्त की जा सकती है। चूंकि उड़ान का समय प्रक्षेप्य के लिए कुल समय है, इसलिए अधिकतम ऊंचाई प्राप्त करने में उस समय का आधा समय लगेगा। इस प्रकार, अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने का समय है,

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इस प्रकार, विस्थापन समीकरण से, अधिकतम ऊँचाई निम्न द्वारा दी जा सकती है:

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क्षैतिज प्रक्षेप्य गति सूत्र:

क्षैतिज प्रक्षेप्य गति एक प्रकार की प्रक्षेप्य गति है जिसमें किसी वस्तु को जमीन के बजाय एक ऊंचे तल से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। 

प्रक्षेप्य गति की गणना कैसे करें
क्षैतिज प्रक्षेप्य गति

प्रक्षेपण कोण को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह जमीन के समानांतर है (अर्थात, कोण 0° है)। नतीजतन, हमारे पास केवल एक प्रारंभिक वेग घटक है: Vx = V, जबकि Vy = 0।

इस मामले में, गति के समीकरण इस प्रकार हैं:

क्षैतिज प्रक्षेप्य गति का वेग:

क्षैतिज वेग: वीx = वी

और ऊर्ध्वाधर वेग: vx = -जी टी

क्षैतिज प्रक्षेप्य गति में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी:

इस मामले में, क्षैतिज दूरी की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एक्स = वी ᐧ टी

और ऊर्ध्वाधर दूरी इसके द्वारा दी जा सकती है:

वाई = -(जी ᐧ टी2) / 2

क्षैतिज प्रक्षेप्य गति में त्वरण:

क्षैतिज त्वरण ax = 0, क्योंकि क्षैतिज वेग स्थिर है।

लंबवत त्वरण एy = -जी

क्षैतिज प्रक्षेप्य गति का प्रक्षेपवक्र समीकरण:

इस मामले में प्रक्षेपवक्र समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

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क्षैतिज प्रक्षेप्य गति में उड़ान का समय:

इस मामले में उड़ान का समय निम्न द्वारा दिया जा सकता है:

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क्षैतिज प्रक्षेप्य गति में प्रक्षेप्य की सीमा:

क्षैतिज प्रक्षेप्य गति में प्रक्षेप्य की सीमा है:

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चूंकि हम ऑब्जेक्ट को अधिकतम ऊंचाई से लॉन्च कर रहे हैं, इसलिए हमें इस परिदृश्य में अधिकतम ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता नहीं है।

आइए कुछ प्रक्षेप्य गति समस्याओं को देखें।

समस्या १: वह अधिकतम क्या होगा जिसके लिए फेंकने वाले से कण की दूरी हमेशा जमीन पर पथ के अंत तक बढ़ जाती है?

उपाय: किसी वस्तु द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी को उसका क्षैतिज परास कहा जाता है और इसे निम्न द्वारा दिया जाता है:

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प्रक्षेप्य कोण 45° होने पर अधिकतम परास प्राप्त किया जा सकता है।

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अत: Rm के अधिकतम कोण के लिए max = 45°।

समस्या 2: यदि एक गेंद को u गति से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो अंतिम t सेकंड के दौरान उसके आरोहण के दौरान तय की गई दूरी है:

उपाय: जैसे ही गेंद को लंबवत फेंका जाता है, प्रक्षेप्य कोण 𝛳 = 90°।

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जैसे = 90°

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जहाँ Tm किसी वस्तु द्वारा अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगने वाला समय है।

मान लें कि h किसी वस्तु द्वारा उसके चढ़ाई के अंतिम t सेकंड के दौरान तय की गई दूरी को दर्शाता है। उस समय वेग की गणना निम्नानुसार की जाती है:

वी = यू - जी (टी - टी)

    = यू - जी ᐧ (यू / जी - टी)

= जीटी

इस प्रकार अंतिम t सेकंड में तय की गई दूरी है:

एच = वीटी - ½ जीटी2

 = जीटी2 - ½ जीटी2

  = ½ जीटी2

समस्या 3: एक कण को ​​क्षितिज से 60° के कोण पर 10 m/s की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। कुछ समय बाद वेग क्षैतिज से 30° का कोण बनाता है। इस क्षण कण की गति है?

उपाय: वेग का क्षैतिज घटक निम्न द्वारा दिया जाता है:

vx = यू कोस𝛳

यहाँ पहली स्थिति में प्रक्षेपण कोण 60° और प्रारंभिक वेग u = 10 m/s है। इस प्रकार,

vx = यू cos60

= 10 एक्स 0.5

 = 5 मी/से.

अब, वेग v . का उर्ध्वाधर घटकy गति के दौरान परिवर्तन, लेकिन vx स्थिर रहता है। इस प्रकार,

vx = वी cos𝛳2

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जहाँ 2 = 30° और v वेग है जब कोई वस्तु क्षितिज से = 30° कोण बनाती है।

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Alpa P. Rajai . के बारे में

प्रक्षेप्य गति की गणना कैसे करेंमैं अल्पा राजई हूं, भौतिकी में विशेषज्ञता के साथ विज्ञान में परास्नातक पूरा किया। मैं उन्नत विज्ञान के प्रति अपनी समझ के बारे में लिखने को लेकर बहुत उत्साहित हूं। मैं विश्वास दिलाता हूं कि मेरे शब्द और तरीके पाठकों को उनकी शंकाओं को समझने और वे जो खोज रहे हैं उसे स्पष्ट करने में मदद करेंगे। मैं फिजिक्स के अलावा एक प्रशिक्षित कथक डांसर भी हूं और कभी-कभी कविता के रूप में भी अपनी भावनाओं को लिखता हूं। मैं फिजिक्स में खुद को अपडेट करता रहता हूं और जो कुछ भी मैं समझता हूं उसे सरल करता हूं और इसे सीधे बिंदु पर रखता हूं ताकि यह पाठकों तक स्पष्ट रूप से पहुंचे।
आप मुझसे यहां भी संपर्क कर सकते हैं: https://www.linkedin.com/in/alpa-rajai-858077202/

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