गुरुत्वाकर्षण त्वरण कैसे खोजें: कई दृष्टिकोण और समस्या उदाहरण

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गुरुत्वाकर्षण त्वरण से तात्पर्य गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी वस्तु द्वारा अनुभव किए गए त्वरण से है। यह भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है और गुरुत्वाकर्षण की उपस्थिति में वस्तुओं की गति को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस ब्लॉग पोस्ट में, हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने के लिए विभिन्न तरीकों का पता लगाएंगे, विभिन्न परिदृश्यों में इसके अनुप्रयोगों पर चर्चा करेंगे, और इस आकर्षक घटना को बेहतर ढंग से समझने के लिए व्यावहारिक प्रयोग भी करेंगे।

गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने की विधियाँ

गुरुत्वाकर्षण त्वरण निर्धारित करने के लिए ढलान का उपयोग करना

गुरुत्वीय त्वरण 1

गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने की एक विधि स्थिति-समय ग्राफ के ढलान का उपयोग करना है। समय के साथ किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन को मापकर हम उसका वेग निर्धारित कर सकते हैं। फिर, वेग-समय ग्राफ के ढलान का विश्लेषण करके, हम वस्तु का त्वरण ज्ञात कर सकते हैं, जो इस मामले में गुरुत्वाकर्षण त्वरण है। यह विधि विशेष रूप से मुक्त रूप से गिरती वस्तुओं या प्रक्षेप्य गति में वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए उपयोगी है।

द्रव्यमान दिए गए गुरुत्वीय त्वरण की गणना

गुरुत्वाकर्षण त्वरण को खोजने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम का उपयोग करना शामिल है। इस नियम के अनुसार, दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल उनके द्रव्यमान के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके, हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण का समाधान कर सकते हैं। आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

मान लीजिए कि हमारे पास दो वस्तुएँ हैं, वस्तु A और वस्तु B, जिनका द्रव्यमान है m_A और m_B क्रमशः, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी है r. गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र (g) को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

जी = \frac{{G \cdot (m_A + m_B)}}{{r^2}}

जहां G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है. के लिए उपयुक्त मान प्लग इन करके m_A, m_B, r, तथा G, हम दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण त्वरण निर्धारित कर सकते हैं।

पेंडुलम से गुरुत्वीय त्वरण मापना

गुरुत्वाकर्षण त्वरण को मापने के लिए एक पेंडुलम का भी उपयोग किया जा सकता है। इस विधि में, हम पेंडुलम की अवधि के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं (T), जो कि पेंडुलम को एक पूर्ण स्विंग पूरा करने में लगने वाला समय है। एक सरल लोलक की अवधि का सूत्र है:

टी = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

जहां L पेंडुलम की लंबाई है और g गुरुत्वाकर्षण त्वरण है. इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके, हम इसका समाधान कर सकते हैं g. पेंडुलम की अवधि और लंबाई को मापकर, हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना कर सकते हैं।

द्रव्यमान के बिना गुरुत्वीय त्वरण ज्ञात करना

गुरुत्वीय त्वरण 2

कुछ मामलों में, हमें इसमें शामिल द्रव्यमान की जानकारी के बिना गुरुत्वाकर्षण त्वरण निर्धारित करने की आवश्यकता हो सकती है। इसे प्राप्त करने का एक तरीका कक्षा में वस्तुओं की गति का विश्लेषण करना है। उदाहरण के लिए, किसी उपग्रह का गुरुत्वाकर्षण त्वरण उसकी कक्षीय अवधि और त्रिज्या की जांच करके निर्धारित किया जा सकता है। ग्रहों की गति के केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करके, जो कक्षीय अवधि से संबंधित है (T) और कक्षा की त्रिज्या (r), हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण पा सकते हैं (g) सूत्र का उपयोग करना:

जी = \frac{{4 \pi^2 r}}{{T^2}}

यह विधि हमें शामिल वस्तुओं के द्रव्यमान पर सीधे विचार किए बिना गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने में सक्षम बनाती है।

विभिन्न परिदृश्यों में गुरुत्वाकर्षण त्वरण

चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना कैसे करें

चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण पृथ्वी की तुलना में काफी कम है। चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने के लिए, हम उस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जिसकी हमने पहले चर्चा की थी:

जी = \frac{{G \cdot (m_{\text{Moon}} + m_{\text{पृथ्वी}})}}{{r_{\text{Moon}}^2}}

जहां m_{\पाठ{चंद्रमा}} और m_{\पाठ{पृथ्वी}} क्रमशः चंद्रमा और पृथ्वी के द्रव्यमान हैं, और quicklatex.com 2cddcbbf940b9ffbb27d3ccc01b21eea l3r_{\text{Moon}}” title=”QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत” ऊंचाई=”22″ चौड़ाई=”154″ शैली=”वर्टिकल-एलाइन: -6px;”/> उनके केन्द्रों के बीच की दूरी है. उचित मूल्यों को जोड़कर, हम चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण निर्धारित कर सकते हैं।

किसी ग्रह के गुरुत्वाकर्षण त्वरण का निर्धारण

किसी ग्रह के गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने के लिए, हम उसी दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं जैसा हमने चंद्रमा के लिए किया था। ग्रह के द्रव्यमान पर विचार करके (m_{\text{ग्रह}}), केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान जिसके चारों ओर यह परिक्रमा करता है (m_{\text{केंद्रीय}}), और उनके केंद्रों के बीच की दूरी (r_{\text{ग्रह}}), हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

g = \frac{{G \cdot (m_{\text{planet}} + m_{\text{central}})}}{{r_{\text{planet}}^2}}

यह सूत्र हमें ग्रह पर कार्यरत गुरुत्वाकर्षण त्वरण को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

किसी उपग्रह का गुरुत्वीय त्वरण मापना

गुरुत्वीय त्वरण 3

किसी उपग्रह का गुरुत्वाकर्षण त्वरण उस सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है जिसकी हमने पहले चर्चा की थी:

जी = \frac{{4 \pi^2 r}}{{T^2}}

उपग्रह की कक्षीय अवधि को मापकर (T) और इसकी कक्षा की त्रिज्या (r), हम उपग्रह पर कार्यरत गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना कर सकते हैं।

एक क्षुद्रग्रह का गुरुत्वीय त्वरण ज्ञात करना

किसी ग्रह के गुरुत्वाकर्षण त्वरण को निर्धारित करने के समान, हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

g = \frac{{G \cdot (m_{\text{क्षुद्रग्रह}} + m_{\text{केंद्रीय}})}}{{r_{\text{क्षुद्रग्रह}}^2}}

जहां m_{\text{क्षुद्रग्रह}} क्षुद्रग्रह के द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है, m_{\पाठ{केंद्रीय}} केंद्रीय शरीर के द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है, और r_{\text{क्षुद्रग्रह}} उनके केन्द्रों के बीच की दूरी को दर्शाता है। उपयुक्त मानों को जोड़कर, हम किसी क्षुद्रग्रह का गुरुत्वाकर्षण त्वरण ज्ञात कर सकते हैं।

गुरुत्वाकर्षण त्वरण को समझने के लिए व्यावहारिक प्रयोग

गुरुत्वीय त्वरण मापने के सरल प्रयोग

ऐसे कई सरल प्रयोग हैं जो गुरुत्वाकर्षण त्वरण को मापने के लिए किए जा सकते हैं। ऐसे ही एक प्रयोग में अलग-अलग द्रव्यमान की वस्तुओं को एक ही ऊंचाई से गिराना और उन्हें जमीन तक पहुंचने में लगने वाले समय को मापना शामिल है। मुक्त-पतन गति के लिए सूत्र का उपयोग करके:

एच = \frac{1}{2} gt^2

जहां h ऊंचाई को दर्शाता है, g गुरुत्वाकर्षण त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है, और t समय का प्रतिनिधित्व करता है, हम गणना कर सकते हैं g.

गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने के लिए पेंडुलम का उपयोग करना

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, गुरुत्वाकर्षण त्वरण को मापने के लिए एक पेंडुलम का उपयोग किया जा सकता है। एक पेंडुलम की अवधि और लंबाई को मापकर, हम समीकरण का उपयोग करके गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना कर सकते हैं:

जी = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}

जहां L पेंडुलम की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है और T काल का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रयोग को संचालित करके और मानों को जोड़कर, हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण निर्धारित कर सकते हैं।

प्रयोगों के माध्यम से गुरुत्वाकर्षण त्वरण के मूल्य को समझना

व्यावहारिक प्रयोग करके, हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण के मूल्य की गहरी समझ प्राप्त कर सकते हैं। ये प्रयोग न केवल हमें व्यावहारिक अनुभव प्रदान करते हैं बल्कि हमें गुरुत्वाकर्षण त्वरण की सटीक गणना करने के लिए गणितीय सूत्रों और समीकरणों को लागू करने की भी अनुमति देते हैं। विभिन्न प्रयोगों के परिणामों की तुलना करके, हम अपनी गणनाओं की स्थिरता को सत्यापित कर सकते हैं और इस मौलिक अवधारणा के बारे में अपनी समझ को और मजबूत कर सकते हैं।

गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करने के लिए विभिन्न तरीकों की खोज करके, विभिन्न परिदृश्यों में इसके अनुप्रयोगों की जांच करके, और इसके मूल्य को समझने के लिए व्यावहारिक प्रयोग करके, हम भौतिकी में इस मौलिक अवधारणा की व्यापक समझ विकसित कर सकते हैं। गुरुत्वाकर्षण त्वरण न केवल पृथ्वी और अंतरिक्ष में वस्तुओं की गति को प्रभावित करता है बल्कि ब्रह्मांड की संरचना को आकार देने में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। तो आइए अपने कैलकुलेटर लें, कुछ प्रयोग करें और गुरुत्वाकर्षण त्वरण की मनोरम दुनिया में गहराई से उतरें।

आप द्रव्यमान के बिना गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना कैसे कर सकते हैं और यह भौतिकी में क्यों महत्वपूर्ण है?

की प्रक्रिया द्रव्यमान के बिना गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना भौतिकी में यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह किसी वस्तु के द्रव्यमान पर विचार किए बिना गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के निर्धारण की अनुमति देता है। इस अवधारणा को समझकर, वैज्ञानिक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में वस्तुओं के द्रव्यमान पर भरोसा किए बिना उनकी गति का विश्लेषण और भविष्यवाणी कर सकते हैं। गुरुत्वाकर्षण के सामान्य सिद्धांतों और विभिन्न वस्तुओं या प्रणालियों पर इसके प्रभावों का अध्ययन करते समय यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हो जाता है। यह अंततः गुरुत्वाकर्षण बलों की अधिक सार्वभौमिक समझ प्रदान करता है।

गुरुत्वाकर्षण त्वरण ज्ञात करने की संख्यात्मक समस्याएँ

समस्या 1:

एक उपग्रह सतह से 800 किमी की ऊंचाई पर पृथ्वी की परिक्रमा कर रहा है। उपग्रह द्वारा अनुभव किये गये गुरुत्वीय त्वरण की गणना करें।

उपाय:

दिया हुआ:
पृथ्वी की सतह से ऊँचाई, h = 800 किमी

हम जानते हैं कि गुरुत्वीय त्वरण, g, सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

जी = \frac{{G \cdot M}}{{(R + h)^2}}

जहां G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, M पृथ्वी का द्रव्यमान है, R पृथ्वी की त्रिज्या है, और h सतह से ऊँचाई है.

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: g = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{(Nm}^2/\text{kg}^2\text{)}} \cdot 5.972 \times 10^{24} \ , \text{किग्रा}}}{{(6371 \, \text{km} + 800 \, \text{km})^2}}

सरलीकरण:

g = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}}{{(6371000 + 800)^2}}

जी = \frac{{3.9860044 \times 10^{14}}}{{(6371800)^2}}

जी \लगभग 9.799 \, \text{m/s}^2

इसलिए, उपग्रह द्वारा अनुभव किया गया गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगभग 9.799 m/s² है।

समस्या 2:

एक ग्रह का द्रव्यमान 1.2 × 10^24 किलोग्राम और त्रिज्या 5000 किमी है। ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करें।

उपाय:

दिया हुआ:
ग्रह का द्रव्यमान, M = 1.2 × 10^24 किग्रा
ग्रह की त्रिज्या, R = 5000 किमी

हम जानते हैं कि गुरुत्वीय त्वरण, g, सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

जी = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}

जहां G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, M ग्रह का द्रव्यमान है, और R ग्रह की त्रिज्या है.

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना:

g = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{(Nm}^2/\text{kg}^2\text{)}} \cdot 1.2 \times 10^{24} \ , \text{kg}}}{{(5000 \, \text{km})^2}}

सरलीकरण:

g = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \times 1.2 \times 10^{24}}}{{(5000000)^2}}

जी = \frac{{8.00916 \times 10^{13}}}{{25000000000}}

जी \लगभग 3.204 \, \text{m/s}^2

इसलिए, ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगभग 3.204 m/s² है।

समस्या 3:

एक रॉकेट को किसी ग्रह की सतह से 200 मीटर/सेकेंड के प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। यदि ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण 12 मीटर/सेकेंड है, तो 10 सेकंड के बाद रॉकेट द्वारा पहुंची ऊंचाई की गणना करें।

उपाय:

दिया हुआ:
प्रारंभिक वेग, u = 200 मी/से
गुरुत्वीय त्वरण, g = 12 मी/से
समय, t = 10 एस

हम ऊर्ध्वाधर गति में पहुँची ऊँचाई के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

h = u \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना:

h = 200 \cdot 10 - \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (10)^2

सरलीकरण:

एच = 2000 - 6 \cdot 100

एच = 2000 - 600

h = 1400 \, \text{m}

इसलिए, रॉकेट 1400 सेकंड के बाद 10 मीटर की ऊंचाई तक पहुंच जाता है।

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