औसत वेग से तात्क्षणिक वेग कैसे ज्ञात करें: विस्तृत जानकारी

औसत वेग से तात्क्षणिक वेग कैसे ज्ञात करें

वेग भौतिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो मापती है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से और किस दिशा में घूम रही है। यह वस्तुओं की गति को समझने और त्वरण, विस्थापन और गति जैसी विभिन्न अन्य मात्राओं की गणना करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इस ब्लॉग पोस्ट में, हम औसत वेग और तात्कालिक वेग के बीच संबंध का पता लगाएंगे, और सीखेंगे कि औसत वेग से तात्कालिक वेग कैसे ज्ञात करें।

औसत वेग की गणना कैसे करें

औसत वेग को किसी वस्तु के विस्थापन को उस विस्थापन में लगने वाले समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। यह हमें एक विशिष्ट समय अंतराल में किसी वस्तु की स्थिति में समग्र परिवर्तन का माप देता है। औसत वेग का सूत्र है:

$v_{avg} = frac{Delta x}{Delta t}$

जहां $v_{avg}$ औसत वेग का प्रतिनिधित्व करता है, $डेल्टा एक्स$ स्थिति में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, और $डेल्टा टी$ समय में परिवर्तन को दर्शाता है।

औसत वेग की गणना करने के लिए, बस प्रारंभिक स्थिति को अंतिम स्थिति से घटाएं और इसे समय अंतराल से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु 100 सेकंड के समय में 20 मीटर की दूरी तय करती है, तो औसत वेग की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$v_{avg} = frac{100 , टेक्स्ट{m}}{20 , टेक्स्ट{s}} = 5 , टेक्स्ट{m/s}$

तात्क्षणिक वेग का निर्धारण कैसे करें

जबकि औसत वेग हमें एक विशिष्ट समय अंतराल पर किसी वस्तु की गति का समग्र माप देता है, तात्कालिक वेग हमें समय में एक विशिष्ट बिंदु पर वस्तु की गति के बारे में जानकारी प्रदान करता है। यह किसी सटीक क्षण या क्षण में किसी वस्तु का वेग है। तात्कालिक वेग निर्धारित करने के लिए, हमें सीमा की अवधारणा पर विचार करने की आवश्यकता है।

तात्कालिक वेग की गणना में सीमा की अवधारणा

सीमा की अवधारणा में उस मान का पता लगाना शामिल है जो एक फ़ंक्शन इनपुट के एक निश्चित मूल्य के करीब पहुंचने पर पहुंचता है। तात्क्षणिक वेग के संदर्भ में, हम किसी विशेष क्षण में किसी वस्तु का वेग ज्ञात करना चाहते हैं, जो एक अत्यंत छोटे समय अंतराल से मेल खाता है। छोटे और छोटे समय अंतराल लेकर, हम तात्कालिक वेग का अनुमान लगा सकते हैं।

तात्क्षणिक वेग का सूत्र

तात्कालिक वेग की गणना कैलकुलस का उपयोग करके की जा सकती है, विशेष रूप से समय के संबंध में स्थिति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को लेकर। गणितीय शब्दों में, तात्कालिक वेग का सूत्र है:

$v(t) = lim_{Delta t से 0} frac{Delta x}{Delta t}$

जहां $वी (टी)$ समय पर तात्कालिक वेग का प्रतिनिधित्व करता है $t$ , $डेल्टा एक्स$ स्थिति में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, और $डेल्टा टी$ समय में परिवर्तन को दर्शाता है। सीमा मान कर $डेल्टा टी$ शून्य के करीब पहुंचने से हमें सटीक क्षण पर वेग की गणना करने की अनुमति मिलती है।

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तात्क्षणिक वेग गणना पर उदाहरण तैयार किया गया

औसत वेग से तात्क्षणिक वेग कैसे ज्ञात करें, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए आइए एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि कोई वस्तु एक सीधी रेखा पर चल रही है, और समय पर उसकी स्थिति क्या है? $t$ समीकरण द्वारा दिया गया है $x(t) = 3t^2 + 2t + 1$ . हम तात्कालिक वेग ज्ञात करना चाहते हैं $t = 2$ सेकंड.

तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए, हमें समय के संबंध में स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है:

$v(t) = frac{d}{dt} (3t^2 + 2t + 1)$

विभेदन के घात नियम का उपयोग करके, हम समीकरण के प्रत्येक पद को अलग कर सकते हैं:

$वी(टी) = 6टी + 2$

अब, हम स्थानापन्न कर सकते हैं $t = 2$ उस क्षण तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए समीकरण में:

$v(2) = 6(2) + 2 = 14 , text{m/s}$

इसलिए, तात्कालिक वेग पर $t = 2$ सेकंड है $14 , टेक्स्ट{एम/एस}$ .

तात्क्षणिक वेग और औसत वेग की तुलना करना

तात्क्षणिक वेग और औसत वेग संबंधित हैं लेकिन किसी वस्तु की गति के विभिन्न पहलुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

स्थितियाँ जब तात्क्षणिक वेग औसत वेग के बराबर होता है

कुछ मामलों में, किसी वस्तु का तात्कालिक वेग और औसत वेग बराबर हो सकते हैं। ऐसा तब होता है जब वस्तु एक विशिष्ट समय अंतराल पर स्थिर वेग से घूम रही हो। उदाहरण के लिए, यदि कोई कार निरंतर गति से चलती है $50 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ एसटी $2 , पाठ {घंटे}$ , संपूर्ण समय अंतराल पर औसत वेग होगा $50 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ . चूँकि कार एक स्थिर वेग बनाए रखती है, इस दौरान किसी भी बिंदु पर तात्कालिक वेग $2 , पाठ {घंटे}$ भी होगा $50 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ .

तुलना को दर्शाने वाले व्यावहारिक उदाहरण

तात्कालिक वेग और औसत वेग के बीच अंतर को और स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1: एक कार की गति से चलती है $60 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ एसटी $1 , पाठ{घंटा}$ । पहले के दौरान $30 , टेक्स्ट{मिनट}$ , यह का एक स्थिर वेग बनाए रखता है $60 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ . हालाँकि, दूसरे के दौरान $30 , टेक्स्ट{मिनट}$ , यह पूर्णतः रुक जाता है और स्थिर रहता है। इस मामले में, संपूर्ण औसत वेग $1 , पाठ{घंटा}$ अभी भी होगा $60 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ , लेकिन पहले के दौरान तात्कालिक वेग $30 , टेक्स्ट{मिनट}$ होगा $60 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ और दूसरे के दौरान $30 , टेक्स्ट{मिनट}$ होगा $0 , टेक्स्ट{किमी/घंटा}$ .

उदाहरण 2: एक गेंद को प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है $20 , टेक्स्ट{एम/एस}$ . जैसे-जैसे यह ऊपर उठता है, इसका वेग धीरे-धीरे कम होता जाता है जब तक कि यह अपनी चरम ऊंचाई तक नहीं पहुंच जाता और वापस नीचे गिरना शुरू नहीं कर देता। उच्चतम बिंदु पर, गेंद नीचे की ओर गति करने से पहले क्षण भर के लिए रुकती है। इस स्थिति में, पूरे प्रक्षेप पथ पर औसत वेग होगा $0 , टेक्स्ट{एम/एस}$ चूँकि गेंद समान वेग से समान ऊंचाई पर प्रारंभ और समाप्त होती है। हालाँकि, चढ़ाई के दौरान तात्कालिक वेग सकारात्मक होगा, $0 , टेक्स्ट{एम/एस}$ उच्चतम बिंदु पर, और अवतरण के दौरान नकारात्मक।

वस्तुओं की गति का विश्लेषण करने के लिए औसत वेग और तात्कालिक वेग के बीच संबंध को समझना महत्वपूर्ण है। औसत वेग की गणना करके, हम एक विशिष्ट समय अंतराल पर स्थिति में समग्र परिवर्तन निर्धारित कर सकते हैं। तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए, हमें सीमा की अवधारणा पर विचार करना होगा और समय के संबंध में स्थिति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना होगा। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि तात्कालिक वेग एक सटीक क्षण में किसी वस्तु की गति के बारे में जानकारी प्रदान करता है, जबकि औसत वेग एक विशिष्ट अंतराल पर इसकी गति का समग्र माप देता है।

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तात्कालिक वेग और औसत वेग के बीच क्या अंतर है? लेख की सामग्री में अंतर्दृष्टि प्रदान करें तात्कालिक वेग और औसत वेग के बीच अंतर.

लेख में तात्कालिक वेग और औसत वेग के बीच अंतर का विस्तार से पता लगाया गया है तात्कालिक वेग और औसत वेग के बीच अंतर. तात्क्षणिक वेग समय में एक विशिष्ट क्षण में किसी वस्तु के वेग को संदर्भित करता है, जबकि औसत वेग किसी वस्तु के कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। लेख आगे भौतिकी में इन दो अवधारणाओं की गणना विधियों, अनुप्रयोगों और महत्व पर प्रकाश डालता है। तात्कालिक वेग और औसत वेग के बीच अंतर को समझकर, कोई भी इस बात की व्यापक समझ प्राप्त कर सकता है कि वेग को कैसे मापा और विश्लेषण किया जाता है।

औसत वेग से तात्कालिक वेग कैसे ज्ञात करें, इस पर संख्यात्मक समस्याएं

समस्या 1:

एक कार एक सीधी सड़क पर 4 घंटे चलती है और 320 किमी की दूरी तय करती है। यदि पहले 3 घंटों के दौरान औसत वेग 80 किमी/घंटा है तो दूसरे घंटे के अंत में तात्कालिक वेग ज्ञात करें।

उपाय:

आइए मान लें कि दूसरे घंटे के अंत में तात्कालिक वेग है $v_2$ किमी/घंटा.

पहले 3 घंटों के दौरान औसत वेग इस प्रकार दिया गया है:

$v_{text{avg}} = frac{text{कुल दूरी}}{text{कुल समय}}$

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

$80 , टेक्स्ट{किमी/घंटा} = फ़्रेक{320 , टेक्स्ट{किमी}}{3 , टेक्स्ट{घंटे}}$

उपरोक्त समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि पहले 3 घंटों में तय की गई कुल दूरी 240 किमी है।

दूसरे घंटे के अंत में तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए, हमें दूसरे घंटे में तय की गई दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूँकि कार ने पहले 240 घंटों में कुल 3 किमी की दूरी तय की है, दूसरे घंटे में तय की गई दूरी इस प्रकार दी गई है:

$240, टेक्स्ट{किमी} - 80, टेक्स्ट{किमी/घंटा} गुना 2, टेक्स्ट{घंटे} = 80, टेक्स्ट{किमी}$

इसलिए, दूसरे घंटे के अंत में तात्कालिक वेग 80 किमी/घंटा है।

समस्या 2:

एक साइकिल चालक 150 घंटे में 5 किमी की दूरी तय करता है। यदि पहले 3 घंटों के दौरान औसत वेग 4 किमी/घंटा है तो 40 घंटे के बाद तात्कालिक वेग ज्ञात करें।

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उपाय:

आइए मान लें कि 3 घंटे के बाद तात्कालिक वेग है $v_3$ किमी/घंटा.

पहले 4 घंटों के दौरान औसत वेग इस प्रकार दिया गया है:

$v_{text{avg}} = frac{text{कुल दूरी}}{text{कुल समय}}$

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

$40 , टेक्स्ट{किमी/घंटा} = फ़्रेक{150 , टेक्स्ट{किमी}}{4 , टेक्स्ट{घंटे}}$

उपरोक्त समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि पहले 4 घंटों में तय की गई कुल दूरी 160 किमी है।

3 घंटे के बाद तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए, हमें तीसरे घंटे में तय की गई दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूँकि साइकिल चालक ने पहले 160 घंटों में कुल 4 किमी की दूरी तय की है, तीसरे घंटे में तय की गई दूरी इस प्रकार दी गई है:

$160, टेक्स्ट{किमी} - 40, टेक्स्ट{किमी/घंटा} गुना 3, टेक्स्ट{घंटे} = 40, टेक्स्ट{किमी}$

इसलिए, 3 घंटे के बाद तात्कालिक वेग 40 किमी/घंटा है।

समस्या 3:

एक ट्रेन 600 किमी की दूरी 8 घंटे में तय करती है। यदि पहले 6 घंटों के दौरान औसत वेग 5 किमी/घंटा है तो 70 घंटे के बाद तात्कालिक वेग ज्ञात करें।

उपाय:

आइए मान लें कि 6 घंटे के बाद तात्कालिक वेग है $v_6$ किमी/घंटा.

पहले 5 घंटों के दौरान औसत वेग इस प्रकार दिया गया है:

$v_{text{avg}} = frac{text{कुल दूरी}}{text{कुल समय}}$

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

$70 , टेक्स्ट{किमी/घंटा} = फ़्रेक{600 , टेक्स्ट{किमी}}{5 , टेक्स्ट{घंटे}}$

उपरोक्त समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि पहले 5 घंटों में तय की गई कुल दूरी 350 किमी है।

6 घंटे के बाद तात्कालिक वेग ज्ञात करने के लिए, हमें छठे घंटे में तय की गई दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूँकि ट्रेन ने पहले 350 घंटों में कुल 5 किमी की दूरी तय की है, छठे घंटे में तय की गई दूरी इस प्रकार दी गई है:

$350, टेक्स्ट{किमी} - 70, टेक्स्ट{किमी/घंटा} गुना 5, टेक्स्ट{घंटे} = 50, टेक्स्ट{किमी}$

इसलिए, 6 घंटे के बाद तात्कालिक वेग 50 किमी/घंटा है।

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राघवी आचार्य

मैं राघवी आचार्य हूं, मैंने संघनित पदार्थ भौतिकी के क्षेत्र में विशेषज्ञता के साथ भौतिकी में स्नातकोत्तर की पढ़ाई पूरी की है। मैंने हमेशा भौतिकी को अध्ययन का एक आकर्षक क्षेत्र माना है और मुझे इस विषय के विभिन्न क्षेत्रों की खोज करने में आनंद आता है। अपने खाली समय में, मैं खुद को डिजिटल कला में व्यस्त रखता हूं। मेरे लेखों का उद्देश्य पाठकों तक भौतिकी की अवधारणाओं को बहुत ही सरल तरीके से पहुंचाना है।