किसी कण का संवेग कैसे ज्ञात करें: एक चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका

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किसी कण का संवेग कैसे ज्ञात करें

संवेग भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो किसी वस्तु की गति का वर्णन करती है। यह एक महत्वपूर्ण मात्रा है जो हमें यह समझने में मदद करती है कि वस्तुएं कैसे परस्पर क्रिया करती हैं, टकराती हैं और ऊर्जा स्थानांतरित करती हैं। इस ब्लॉग पोस्ट में, हम यह पता लगाएंगे कि किसी कण की गति और भौतिकी के क्षेत्र में इस अवधारणा के महत्व का पता कैसे लगाया जाए।

संवेग की अवधारणा को समझना

गणना में गोता लगाने से पहले, आइए यह स्पष्ट समझ लें कि वास्तव में गति किसका प्रतिनिधित्व करती है। संवेग को किसी वस्तु के द्रव्यमान और उसके वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी वस्तु की गति की मात्रा को मापता है। गणितीय रूप से, संवेग (p) को इस प्रकार बताया जा सकता है:

पी = एम \सीडॉट वी

कहा पे:
- p कण की गति है,
- m कण का द्रव्यमान है, और
- v कण का वेग है.

संवेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। संवेग की दिशा वस्तु के वेग की दिशा के समान होती है।

भौतिकी में संवेग का महत्व

किसी कण का संवेग कैसे ज्ञात करें
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भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में संवेग एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यहां कुछ प्रमुख कारण बताए गए हैं कि गति क्यों महत्वपूर्ण है:

  1. गति का संरक्षण: संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, किसी प्रणाली का कुल संवेग स्थिर रहता है यदि उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। यह सिद्धांत टकरावों और विस्फोटों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां किसी व्यक्तिगत वस्तु की गति बदल सकती है, लेकिन सिस्टम की कुल गति स्थिर रहती है।

  2. आवेग और संवेग: आवेग की अवधारणा, जिसे किसी वस्तु की गति में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है, गति से निकटता से संबंधित है। किसी वस्तु पर एक निश्चित अवधि तक बल लगाकर हम उसकी गति को बदल सकते हैं। बल, समय और संवेग में परिवर्तन के बीच का यह संबंध न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा वर्णित है।

  3. गतिज ऊर्जा: संवेग गतिज ऊर्जा से भी जुड़ा होता है, जो किसी वस्तु में उसकी गति के कारण उत्पन्न ऊर्जा होती है। किसी कण की गतिज ऊर्जा (KE) समीकरण द्वारा दी जाती है:

केई = \frac{1}{2} एमवी^2

चूंकि संवेग सीधे वेग के समानुपाती होता है, उच्च संवेग वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

अब जब हमें संवेग की ठोस समझ हो गई है, तो आइए इसकी गणना के सूत्र पर आगे बढ़ें।

किसी कण के संवेग की गणना करने का सूत्र

मूल संवेग सूत्र

किसी कण के संवेग की गणना करने का सूत्र बिल्कुल सीधा है। जैसा कि पहले बताया गया है, यह वस्तु के द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है:

पी = एम \सीडॉट वी

किसी कण का संवेग ज्ञात करने के लिए आपको उसका द्रव्यमान और वेग जानना होगा। द्रव्यमान आमतौर पर किलोग्राम (किलो) में और वेग मीटर प्रति सेकंड (एम/एस) में दिया जाता है। इन दोनों मानों को गुणा करके, आप कण की गति निर्धारित कर सकते हैं।

विभिन्न परिदृश्यों में संवेग सूत्र को लागू करना

अब जब हमारे पास मूल सूत्र है, तो आइए जानें कि इसे विभिन्न परिदृश्यों में कैसे लागू किया जाए। तीन संभावित मामले हैं:

  1. जब द्रव्यमान एवं वेग ज्ञात हो।
  2. जब केवल द्रव्यमान ज्ञात होता है, और वेग की गणना करने की आवश्यकता होती है।
  3. जब केवल वेग ज्ञात होता है, और द्रव्यमान निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

प्रत्येक मामले में, सूत्र का उपयोग करके गति की गणना की जा सकती है पी = एम \सीडॉट वी. आपको बस दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना होगा और गुणा करना होगा।

मोमेंटम फॉर्मूला का उपयोग करके काम किए गए उदाहरण

आइए संवेग सूत्र का उपयोग करने के तरीके के बारे में अपनी समझ को मजबूत करने के लिए कुछ उदाहरणों पर काम करें।

उदाहरण 1: 1000 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक कार 20 मीटर/सेकेंड के वेग से यात्रा कर रही है। इसकी गति क्या है?

सूत्र का उपयोग करना पी = एम \सीडॉट वी, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

p = 1000 \, \text{kg} \times 20 \, \text{m/s}

उत्पाद की गणना करने पर, हम पाते हैं कि कार की गति 20,000 kg·m/s है।

उदाहरण 2: एक वस्तु का संवेग 500 kg·m/s और वेग 25 m/s है। इसका द्रव्यमान क्या है?

सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करना पी = एम \सीडॉट वी, हम द्रव्यमान (एम) के लिए हल कर सकते हैं:

एम = \frac{p}{v}

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

एम = \frac{500 \, \text{kg·m/s}}{25 \, \text{m/s}}

व्यंजक को सरल करने पर हम पाते हैं कि वस्तु का द्रव्यमान 20 किग्रा है।

इन उदाहरणों के माध्यम से काम करके, आप देख सकते हैं कि विभिन्न परिदृश्यों में किसी कण की गति की गणना करने के लिए गति सूत्र का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

विशिष्ट कणों की गति का निर्धारण

कण 3 का संवेग

अब जब हमें मूल संवेग सूत्र की अच्छी समझ हो गई है, तो आइए जानें कि विशिष्ट कणों के संवेग की गणना कैसे करें।

इलेक्ट्रॉन के संवेग की गणना कैसे करें

कण 1 का संवेग

इलेक्ट्रॉन उपपरमाण्विक कण होते हैं जिनका द्रव्यमान लगभग होता है 9.11 \गुणा 10^{-31} किलोग्राम। किसी इलेक्ट्रॉन का संवेग ज्ञात करने के लिए, हमें उसके द्रव्यमान को उसके वेग से गुणा करना होगा। एक इलेक्ट्रॉन का वेग आमतौर पर प्रकाश की गति के एक अंश के रूप में दिया जाता है (3 \गुणा 10^8 एमएस)।

द्रव्यमान रहित कण की गति का निर्धारण कैसे करें

जबकि अधिकांश कणों में द्रव्यमान होता है, फोटॉन जैसे कुछ कण ऐसे होते हैं, जिन्हें द्रव्यमान रहित माना जाता है। चूँकि संवेग सूत्र में एक कारक के रूप में द्रव्यमान शामिल होता है, हम सोच सकते हैं कि द्रव्यमानहीन कणों का संवेग शून्य होता है। बहरहाल, मामला यह नहीं। द्रव्यमानहीन कणों में उनकी ऊर्जा और तरंग जैसे गुणों के कारण गति होती है। द्रव्यमान रहित कण की गति की गणना समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है:

पी = \frac{E}{c}

कहा पे:
- p गति है,
- E कण की ऊर्जा है, और
- c प्रकाश की गति है.

कार्यान्वित उदाहरण: विशिष्ट कणों के लिए संवेग की गणना

आइए विशिष्ट कणों की गति की गणना करने के लिए कुछ उदाहरणों पर काम करें।

उदाहरण 1: एक इलेक्ट्रॉन के वेग से घूम रहा है 2 \गुणा 10^7 एमएस। इसकी गति क्या है?

सूत्र का उपयोग करना पी = एम \सीडॉट वी, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

p = (9.11 \गुना 10^{-31} \, \text{kg}) \cdot (2 \गुना 10^7 \, \text{m/s})

अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने पर, हम पाते हैं कि इलेक्ट्रॉन का संवेग लगभग है 1.82 \गुणा 10^{-23} किग्रा · मी/से.

उदाहरण 2: एक फोटॉन में ऊर्जा होती है 2 \गुणा 10^{-19} जे. इसकी गति क्या है?

समीकरण का उपयोग करना पी = \frac{E}{c}, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

p = \frac{2 \times 10^{-19} \, \text{J}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}

अभिव्यक्ति की गणना करने पर, हम पाते हैं कि फोटॉन का संवेग लगभग है 6.67 \गुणा 10^{-28} किग्रा · मी/से.

ये उदाहरण दर्शाते हैं कि विशिष्ट कणों के द्रव्यमान और वेग या ऊर्जा को ध्यान में रखते हुए उनके संवेग की गणना कैसे की जाए।

किसी वस्तु का अंतिम संवेग ज्ञात करना

कुछ स्थितियों में, किसी विशेष घटना, जैसे टकराव या विस्फोट के बाद किसी वस्तु की अंतिम गति निर्धारित करना आवश्यक है। यह अंतिम संवेग संवेग के संरक्षण के सिद्धांतों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

अंतिम गति की अवधारणा

किसी वस्तु का अंतिम संवेग वह संवेग होता है जो किसी घटना के घटित होने के बाद उसमें मौजूद होता है। यह घटना दो वस्तुओं के बीच टकराव या विस्फोट हो सकती है जहां एक वस्तु कई टुकड़ों में टूट जाती है। अंतिम संवेग की गणना करने के लिए, हमें शामिल वस्तुओं के प्रारंभिक संवेग और घटना के दौरान होने वाले किसी भी परिवर्तन पर विचार करने की आवश्यकता है।

अंतिम संवेग की गणना करने के चरण

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किसी वस्तु का अंतिम संवेग निर्धारित करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

  1. शामिल वस्तुओं के प्रारंभिक संवेग को पहचानें। इसमें उनके संवेग के परिमाण और दिशा दोनों शामिल हैं।
  2. घटना के दौरान होने वाले संवेग में किसी भी परिवर्तन का निर्धारण करें। इसमें वस्तुओं पर लगने वाले आवेग की गणना करना या उन पर कार्य करने वाली ताकतों पर विचार करना शामिल हो सकता है।
  3. संवेग के संरक्षण के सिद्धांत को लागू करें, जो बताता है कि किसी प्रणाली का कुल संवेग स्थिर रहता है यदि उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। प्रारंभिक संवेग को अंतिम संवेग के बराबर सेट करें और अज्ञात संवेग का समाधान करें।

इन चरणों का पालन करके, आप किसी विशेष घटना के बाद किसी वस्तु का अंतिम संवेग ज्ञात कर सकते हैं।

कार्यान्वित उदाहरण: किसी वस्तु का अंतिम संवेग ज्ञात करना

कण 2 का संवेग

आइए कुछ उदाहरणों के माध्यम से यह स्पष्ट करें कि किसी वस्तु का अंतिम संवेग कैसे ज्ञात किया जाए।

उदाहरण 1: दो कारें, कार A और कार B, आमने-सामने टकराती हैं। कार A का आरंभिक संवेग है 4\, \text{kg·m/s} बाईं ओर, और कार B की प्रारंभिक गति है 3\, \text{kg·m/s} दांई ओर। संयुक्त प्रणाली की अंतिम गति क्या है?

चूँकि कारें टकराती हैं और उन पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है, हम संवेग संरक्षण सिद्धांत लागू कर सकते हैं। सिस्टम का प्रारंभिक संवेग व्यक्तिगत संवेग का योग है:

4 \, \text{kg·m/s} + (-3 \, \text{kg·m/s}) = 1 \, \text{kg·m/s}

संयुक्त प्रणाली की अंतिम गति है 1\, \text{kg·m/s}.

उदाहरण 2: द्रव्यमान की एक वस्तु 2\, \पाठ{किग्रा} प्रारंभ में आराम पर है। का एक शुद्ध बल 10\, \text{N} की अवधि के लिए वस्तु पर लागू किया जाता है 5\, \पाठ{s}. वस्तु का अंतिम संवेग क्या है?

अंतिम संवेग ज्ञात करने के लिए, हमें बल के कारण संवेग में परिवर्तन की गणना करने की आवश्यकता है। आवेग-संवेग सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

एफ \cdot t = \डेल्टा पी

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

10 \, \text{N} \cdot 5 \, \text{s} = \Delta p

उत्पाद की गणना करने पर, हम पाते हैं कि संवेग में परिवर्तन है 50\, \text{kg·m/s}. चूँकि वस्तु प्रारंभ में आराम की स्थिति में थी, अंतिम संवेग संवेग में परिवर्तन के बराबर है:

\डेल्टा पी = 50 \, \text{किग्रा·एम/एस}

अतः वस्तु का अंतिम संवेग है 50\, \text{kg·m/s}.

इन उदाहरणों का पालन करके, आप सीख सकते हैं कि टक्कर या अन्य घटना के बाद किसी वस्तु की अंतिम गति कैसे निर्धारित की जाए।

किसी कण का संवेग कैसे ज्ञात करें, इस पर संख्यात्मक समस्याएं

समस्या 1:

0.5 kg द्रव्यमान का एक कण 8 m/s के वेग से घूम रहा है। कण के संवेग की गणना करें।

उपाय:

दिया हुआ:
कण का द्रव्यमान, m = 0.5 किग्रा
कण का वेग, v = 8 मी/से

किसी कण के संवेग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

\पाठ{संवेग} = \पाठ{द्रव्यमान} \गुना \पाठ{वेग}

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\text{मोमेंटम} = 0.5 \, \text{kg} \times 8 \, \text{m/s}

अभिव्यक्ति को सरल बनाने पर, हम पाते हैं:

\text{मोमेंटम} = 4 \, \text{kg m/s}

अतः कण का संवेग 4 kg m/s है।

समस्या 2:

2 किग्रा द्रव्यमान का एक कण प्रारंभ में विरामावस्था में है। इसे 10 सेकंड की अवधि के लिए 2 m/s^5 के त्वरण के अधीन रखा गया है। कण का अंतिम वेग और संवेग ज्ञात कीजिए।

उपाय:

दिया हुआ:
कण का द्रव्यमान, m = 2 किग्रा
त्वरण, a = 10 m/s^2
समय, t = 5 s

अंतिम वेग के लिए सूत्र का उपयोग करना:

\पाठ{अंतिम वेग} = \पाठ{प्रारंभिक वेग} + \पाठ{त्वरण} \गुना \पाठ{समय}

चूँकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में है, प्रारंभिक वेग 0 m/s है। दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम अंतिम वेग की गणना कर सकते हैं:

\text{अंतिम वेग} = 0 \, \text{m/s} + 10 \, \text{m/s}^2 \times 5 \, \text{s}

अभिव्यक्ति को सरल बनाने पर, हम पाते हैं:

\text{अंतिम वेग} = 50 \, \text{m/s}

किसी कण के संवेग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

\पाठ{संवेग} = \पाठ{द्रव्यमान} \गुना \पाठ{वेग}

द्रव्यमान और अंतिम वेग को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

\text{मोमेंटम} = 2 \, \text{kg} \times 50 \, \text{m/s}

अभिव्यक्ति को सरल बनाने पर, हम पाते हैं:

\text{मोमेंटम} = 100 \, \text{kg m/s}

इसलिए, कण का अंतिम वेग 50 m/s है और इसका संवेग 100 kg m/s है।

समस्या 3:

0.2 kg द्रव्यमान का एक कण 6 m/s के वेग से घूम रहा है। यह 0.3 किग्रा द्रव्यमान के एक अन्य कण से टकराता है, जो प्रारंभ में विरामावस्था में है। टक्कर के बाद पहला कण 3 मीटर/सेकेंड के वेग से चलता है। दूसरे कण का अंतिम वेग और संवेग ज्ञात कीजिए।

उपाय:

दिया हुआ:
पहले कण का द्रव्यमान, m1 = 0.2 kg
टक्कर से पहले पहले कण का वेग, v1i = 6 m/s
टक्कर के बाद पहले कण का वेग, v1f = 3 m/s

दूसरे कण का द्रव्यमान, m2 = 0.3 kg
टक्कर से पहले दूसरे कण का वेग, v2i = 0 m/s

संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करके, हम समीकरण लिख सकते हैं:

\text{कुल प्रारंभिक संवेग} = \text{कुल अंतिम संवेग}

प्रारंभिक गति इस प्रकार दी गई है:

\text{प्रारंभिक संवेग} = \text{पहले कण का द्रव्यमान} \times \text{टकराव से पहले पहले कण का वेग} + \text{दूसरे कण का द्रव्यमान} \times \text{पहले कण का वेग टक्कर}

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

\text{प्रारंभिक संवेग} = 0.2 \, \text{kg} \times 6 \, \text{m/s} + 0.3 \, \text{kg} \times 0 \, \text{m/s}

अभिव्यक्ति को सरल बनाने पर, हम पाते हैं:

\text{प्रारंभिक संवेग} = 1.2 \, \text{kg m/s}

अंतिम गति इस प्रकार दी गई है:

\text{अंतिम संवेग} = \text{पहले कण का द्रव्यमान} \times \text{टकराव के बाद पहले कण का वेग} + \text{दूसरे कण का द्रव्यमान} \times \text{बाद में दूसरे कण का वेग टक्कर}

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

\text{अंतिम संवेग} = 0.2 \, \text{kg} \times 3 \, \text{m/s} + 0.3 \, \text{kg} \times \text{टक्कर के बाद दूसरे कण का वेग}

अभिव्यक्ति को सरल बनाने पर, हमें मिलता है:

\text{अंतिम संवेग} = 0.6 \, \text{kg m/s} + 0.3 \, \text{kg} \times \text{टक्कर के बाद दूसरे कण का वेग}

चूँकि कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर है, हम प्रारंभिक और अंतिम संवेग के लिए भावों को बराबर कर सकते हैं:

1.2 \, \text{kg m/s} = 0.6 \, \text{kg m/s} + 0.3 \, \text{kg} \times \text{टकराव के बाद दूसरे कण का वेग}

समीकरण को सरल बनाने पर, हम पाते हैं:

0.6 \, \text{kg m/s} = 0.3 \, \text{kg} \times \text{टकराव के बाद दूसरे कण का वेग}

दोनों पक्षों को 0.3 किग्रा से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\text{टक्कर के बाद दूसरे कण का वेग} = \frac{0.6 \, \text{kg m/s}}{0.3 \, \text{kg}}

अभिव्यक्ति को सरल बनाने पर, हम पाते हैं:

\text{टकराव के बाद दूसरे कण का वेग} = 2 \, \text{m/s}

इसलिए, दूसरे कण का अंतिम वेग 2 मीटर/सेकेंड है और इसकी गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

\पाठ{संवेग} = \पाठ{द्रव्यमान} \गुना \पाठ{वेग}

द्रव्यमान और अंतिम वेग को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

\text{मोमेंटम} = 0.3 \, \text{kg} \times 2 \, \text{m/s}

अभिव्यक्ति को सरल बनाने पर, हम पाते हैं:

\text{मोमेंटम} = 0.6 \, \text{kg m/s}

इसलिए, दूसरे कण का अंतिम वेग 2 m/s है और इसका संवेग 0.6 kg m/s है।

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