फंक्शन थ्योरी: 9 पूर्ण त्वरित तथ्य

परिचय

गणित क्या है? क्या यह गणना है? क्या यह तर्क है? क्या यह प्रतीक है? चित्रों? रेखांकन? पता चला, यह इन सब में से है और बहुत कुछ। यह एक भाषा है। सार्वभौमिक भाषा, उसके प्रतीक, वर्ण, भाव, शब्दावली, व्याकरण, सब कुछ है कि एक भाषा बनाता है, सभी पूरी तरह से तर्क, अद्वितीय और उनके अर्थ में अस्पष्ट। यह वह भाषा है जिसमें ब्रह्मांड के नियम लिखे गए हैं। इसलिए यह वह भाषा है जिसे हमें सीखना चाहिए और प्रकृति के रहस्यों को जानने का प्रयास करना चाहिए। हमें इस दर्शन के साथ, सबसे सुंदर और मौलिक गणित विषयों में से एक, फंक्शन थ्योरी पर अपनी चर्चा शुरू करनी चाहिए।

एक्सप्रेशंस, एक्विजिशन और आइडेंटिटीज क्या हैं?

सभी अच्छी तरह से परिभाषित भाषाओं की तरह, गणित अपने स्वयं के प्रतीकों और वर्णों, संख्यात्मक और वर्णमाला के सेट के साथ आता है। गणित में एक अभिव्यक्ति ऐसे प्रतीकों और पात्रों का एक संयोजन है। इसमें इन सभी की व्याख्या की जाएगी समारोह सिद्धांत चर्चा।

5 + 2 / (9-3)

7 ए + 2 बी -3 सी

2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α - β)

ये सभी गणितीय अभिव्यक्ति हैं। कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनका मूल्यांकन किया जा सकता है या नहीं, अगर वे सार्थक हैं और यदि वे उचित वाक्यविन्यास का पालन करते हैं, तो वे अभिव्यक्ति हैं।

अब, जब हम दो भावों की तुलना '=' चिन्ह से करते हैं, तो हमारे पास कुछ ऐसा होता है ...

(1+एक्स)2 = 1+2x+x2

जो एक = चिन्ह के दोनों ओर लिखी गई दो अभिव्यक्तियों की समानता के लिए एक अभिव्यक्ति है। ध्यान दें, कि यह समानता x के सभी मूल्यों के लिए सही है। इस प्रकार की समानताएँ IDENTITIES कहलाती हैं।

(1+एक्स)2 = 2+3x+2x2………… ..(1)

या पसंद है

(1+एक्स)2 = 7-3x+2x2……………(2)

तब वे x के सभी मूल्यों के लिए सही नहीं होंगे, बल्कि वे x के कुछ मूल्यों के लिए सही होंगे जैसे (2) या वे x के NO मानों के लिए सही होंगे, जैसे (1)। इन्हें EQUATIONS कहा जाता है।

तो संक्षेप में, समानताएँ जो चर के सभी मूल्यों के लिए हैं, IDENTITIES हैं। और समानताएं जो चर के कुछ या बिना मूल्यों के लिए धारण करती हैं, वे हैं।

हमें फंक्शन की आवश्यकता क्यों है?

क्या यह आश्चर्यजनक नहीं है कि ब्रह्मांड पूरी तरह से संतुलित है? इतने विशाल आकार की एक प्रणाली इतने छोटे सिस्टमों से बनी है, जिनमें से प्रत्येक में एक-दूसरे के साथ बातचीत करते हुए बहुत सारे चर हैं, फिर भी यह बहुत अच्छा व्यवहार करता है। क्या ऐसा नहीं लगता कि सब कुछ नियमों के एक समूह द्वारा शासित है, अनदेखी लेकिन हर जगह मौजूदा? गुरुत्वाकर्षण बल का उदाहरण लें। यह निकायों के बीच की दूरी के विपरीत आनुपातिक है, और यह नियम ब्रह्मांड में हर जगह सभी मामलों के बाद है। इसलिए, हमारे पास इस तरह के नियमों को व्यक्त करने का एक तरीका होना चाहिए, जैसे कि चर के बीच कनेक्शन।

हम ऐसे चर से घिरे हैं जो अन्य चर पर निर्भर हैं। एक इमारत की छाया की लंबाई उसकी ऊंचाई और दिन के समय पर निर्भर करती है। कार द्वारा तय की गई दूरी उसके इंजन द्वारा उत्पन्न टॉर्क पर निर्भर करती है। यह फ़ंक्शन सिद्धांत की अवधारणा है जो हमें गणितीय रूप से ऐसे संबंधों को व्यक्त करने में सक्षम बनाती है।

तो क्या MATH में एक समारोह है?

नियम या समारोह यथाविधि

इसे सीधे शब्दों में कहें, एक फ़ंक्शन एक नियम है जो दो या अधिक चर को बांधता है। यदि चर को केवल वास्तविक मान लेने की अनुमति है, तो यह बस एक अभिव्यक्ति है जो एक नियम या नियमों के एक सेट को परिभाषित करता है जो प्रत्येक निश्चित वास्तविक संख्याओं के लिए एक वास्तविक संख्या प्रदान करता है।

अब इस परिभाषा के लिए निश्चित रूप से कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है जो उदाहरण के माध्यम से दिए गए हैं जैसे कि

1. The rule that assigns the cube of that number to each number.

एफ (एक्स) = एक्स3

2. The rule that assigns (x2-x-1)/x3 प्रत्येक एक्स के लिए

एफ (एक्स) = (एक्स2-x-1)/x3

3. नियम जो असाइन करता है (x2-x-1)/(x2+ x + 1) सभी x के लिए जो 1 और 0 से 1 की संख्या के बराबर नहीं हैं

f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) x ≠ 1 . के लिए

                                                 X = 0 के लिए = 1

  • एफ (एक्स) = एक्स2   -1 <x <π / 3 के लिए
  • जो नियम बताता है

  2 से 5 नंबर पर है

  3 से 8/3 नंबर

  number / 2 से नंबर 1

  और  बाकी को

  • वह नियम जो किसी संख्या x, उसके दशमलव विस्तार में 1s की संख्या को निर्दिष्ट करता है यदि गणना परिमित है और 0 है यदि विस्तार में असीम रूप से कई 1s हैं।

इन उदाहरणों से एक बात बहुत स्पष्ट हो जानी चाहिए कि एक फ़ंक्शन कोई भी नियम है जो विशिष्ट अन्य संख्याओं को संख्याएँ निर्दिष्ट करता है। इन नियमों को हमेशा बीजीय सूत्रीकरण द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हो सकता है कि ये एक ऐसी अनूठी शर्त की ओर भी इशारा न करें जो सभी नंबरों पर लागू हो। और यह कोई नियम नहीं होना चाहिए कि कोई व्यक्ति अभ्यास में या वास्तविक दुनिया में पा सकता है, जैसे नियम 6 में। कोई भी यह नहीं बता सकता है कि यह नियम संख्या π या √2 को कौन सी संख्या प्रदान करता है। नियम कुछ नंबरों पर भी लागू नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, नियम 2 x=0 पर लागू नहीं होता है। संख्याओं का वह समूह जिस पर नियम लागू होता है, फ़ंक्शन का DOMAIN कहलाता है।

तो क्या = y (f) MEAN करता है?

ध्यान दें, कि हम एक फंक्शन लिखने के लिए व्यंजक y=f(x) का उपयोग कर रहे हैं। जब भी हम 'f(x) = y' के साथ एक व्यंजक शुरू करते हैं तो हमारा मतलब है कि हम एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले हैं जो चर x के मानों के एक सेट के साथ संख्याओं के एक सेट से संबंधित है।

FUNCTION एक रिश्ते के रूप में

इसलिए, दूसरे शब्दों में, और शायद अधिक सामान्य अर्थों में, एक फ़ंक्शन दो सेट ए और बी के बीच का संबंध है, जहां सेट ए के सभी तत्वों में सेट बी से उन्हें सौंपा गया एक तत्व होता है। सेट बी से तत्व कहा जाता है इमेजेज और सेट ए के तत्वों को कहा जाता है प्री-इमेजेस.

तत्वों को संबंधित करने की प्रक्रिया को कहा जाता है मानचित्रण। बेशक, ऐसे कई तरीके हो सकते हैं जिनमें ये मैपिंग की जा सकती है, लेकिन हम उन सभी को फ़ंक्शन नहीं कहेंगे। केवल उन मैपिंग जो तत्वों को इस तरह से संबंधित करते हैं कि सेट ए में प्रत्येक तत्व में सेट बी में बिल्कुल एक छवि होती है, जिन्हें फ़ंक्शन कहा जाता है। इसे कभी-कभी f: A- B के रूप में लिखा जाता है। यह 'ए से बी तक एक फंक्शन है' के रूप में पढ़ा जाना है।

सेट A को कहा जाता है डोमेन फ़ंक्शन और सेट B को कहा जाता है सह-डोमेन समारोह के. यदि f ऐसा है, जिसमें A के सेट A के एक तत्व की छवि सेट B से एक तत्व b है, तो हम f (a) = b लिखते हैं, जिसे 'a a के बराबर b' के रूप में पढ़ा जाता है, या 'b' का मान है f पर a ', या' b एक अंडर एफ की छवि है।

समारोह के प्रकार

फ़ंक्शंस को दो सेटों से संबंधित तरीके से वर्गीकृत किया जा सकता है।

एक - एक या इंजेक्शन समारोह

Image1 कार्यों के प्रकार
फंक्शन थ्योरी: वन टू वन या इंजेक्टिव फंक्शन

आकृति यह सब कहती है। यह तब होता है जब एक फ़ंक्शन सेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे सेट के एक अद्वितीय तत्व से संबंधित करता है, यह एक से एक या इंजेक्शन फ़ंक्शन है।

कई - एक समारोह

समारोह सिद्धांत
समारोह सिद्धांत: कई एक कार्य करने के लिए

फिर, यह आंकड़ा काफी आत्म-व्याख्यात्मक है। विशेष रूप से एक विशेष छवि के लिए एक से अधिक पूर्व-चित्र हैं। इसलिए मैपिंग एक से कई है। ध्यान दें, यह फ़ंक्शन की परिभाषा का उल्लंघन नहीं करता है क्योंकि सेट ए से कोई तत्व सेट बी में एक से अधिक छवि नहीं है।

ONTO फंक्शन या SURJECTIVE फंक्शन

Image3 कार्यों पर 1
समारोह सिद्धांत: ONTO फ़ंक्शन या SURJECTIVE फ़ंक्शन

जब सेट बी के सभी तत्वों में कम से कम एक पूर्व-छवि होती है, तो फ़ंक्शन को ओन्टो या विशेषण कहा जाता है। ओन्टो मैपिंग एक से एक या कई हो सकती है। ऊपर दर्शाया गया एक व्यक्ति मानचित्रण पर स्पष्ट रूप से एक से कई है। ध्यान दें कि एक से एक मैपिंग को चित्रित करने के लिए पहले इस्तेमाल की गई तस्वीर भी मैपिंग पर है। मैपिंग पर एक से एक के इस प्रकार के रूप में भी जाना जाता है बायजेक्टिव मानचित्रण।

समारोह में

Image4 फ़ंक्शन 2 पर
समारोह सिद्धांत: INTO फ़ंक्शन

जब बिना किसी पूर्व-छवि के कम से कम एक छवि होती है, तो यह एक INTO फ़ंक्शन होता है। समारोह में एक या एक से कई हो सकते हैं। ऊपर दर्शाया गया एक स्पष्ट रूप से एक से एक है।

एक समारोह का आकार

जैसा कि पहले कहा गया है कि एक फ़ंक्शन कुछ वास्तविक संख्याओं को वास्तविक संख्या प्रदान करता है, यह XY कार्टेशियन विमान पर संख्याओं की जोड़ी को प्लॉट करने के लिए काफी संभव और सुविधाजनक है। बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त ट्रेस, फ़ंक्शन का ग्राफ है।

आइए हम एक फलन f(x) = x + 3 पर विचार करें। फिर, हम x=1,2,3 पर f(x) का मूल्यांकन कर सकते हैं ताकि x और f(x) के तीन जोड़े (1,4) , ( 3,6) और (5,8)। इन बिंदुओं को प्लॉट करने और उन्हें जोड़ने से पता चलता है कि फ़ंक्शन xy विमान में एक सीधी रेखा का पता लगाता है। यह लाइन फंक्शन का ग्राफ है।

किसी फ़ंक्शन का Image5 ग्राफ़1
समारोह सिद्धांत: एक function_1 का ग्राफ

जाहिर है, ट्रेस की प्रकृति फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति के अनुसार अलग-अलग होगी। इस प्रकार हमें विभिन्न प्रकार के भावों के लिए कई प्रकार के रेखांकन मिलते हैं। कुछ दिए गए हैं।

f(x) = sin x, f(x) = x . के आलेख2 और एफ(एक्स) = ईx बाएं से दाएं

फंक्शन 6 का इमेज 2 ग्राफ
समारोह सिद्धांत: एक function_2 का ग्राफ

इस बिंदु पर, कोई यह देख सकता है कि किसी फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति वास्तव में एक समीकरण की तरह दिखती है। और यह सच है, उदाहरण के लिए y = x + 3 वास्तव में एक समीकरण के साथ-साथ एक फ़ंक्शन परिभाषा भी है। इससे हमारे सामने यह प्रश्न आता है कि क्या सभी समीकरण फलन हैं? नहीं तो

कैसे बताएं कि क्या एक समीकरण एक फ़ंक्शन है?

पहले ग्राफ़ में दर्शाए गए सभी समीकरण वास्तव में कार्य हैं, क्योंकि उन सभी के लिए, x के कुछ मान के लिए f(x) या y का ठीक एक मान होता है। इसका अर्थ यह है कि x के किसी भी मान के लिए मूल्यांकन किए जाने पर f(x) के व्यंजक से केवल एक मान प्राप्त होना चाहिए। यह किसी भी रैखिक समीकरण के लिए सत्य है। लेकिन अगर हम समीकरण y . पर विचार करें2 = 1-एक्स2, हम पाते हैं कि 0 से 1 के भीतर सभी एक्स के लिए हमेशा दो समाधान होते हैं, दूसरे शब्दों में, प्रत्येक रेंज के भीतर एक्स के प्रत्येक मान को दो छवियां सौंपी जाती हैं। यह किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का उल्लंघन करता है और इसलिए इसे फ़ंक्शन नहीं कहा जा सकता है।

यह ग्राफ से स्पष्ट दिखना चाहिए कि प्रत्येक एक्स की दो छवियां हैं क्योंकि एक्स अक्ष पर किसी भी बिंदु पर खींची गई एक ऊर्ध्वाधर रेखा ग्राफ को बिल्कुल दो बिंदुओं पर काट देगी।

Function7 का Image3 ग्राफ
समारोह सिद्धांत: एक function_3 का ग्राफ

इसलिए, यह हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष पर पहुंचाता है सभी समीकरण कार्य नहीं हैं। और क्या एक समीकरण एक फ़ंक्शन है, द्वारा सत्यापित किया जा सकता है ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण, जो बस एक्स अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर एक चर ऊर्ध्वाधर रेखा की कल्पना कर रहा है और यह देख रहा है कि क्या यह एक बिंदु पर ग्राफ से मिलता है।

यह एक अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर भी देता है, जो है, अगर एक फंक्शन एक से एक हो तो कैसे बताएं? निश्चित रूप से पर्याप्त है, यह उत्तर ग्राफ में भी है और ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

Now, one could ask if there is a way to tell the same without obtaining the graph or if it could be told algebraically as it is not always easy to draw graphs of functions. Well the answer is yes, it can be done simply by testing f(a)=f(b) implies a=b. This is to say that even if f(x) takes the same value for two values of x, then the two values of x cannot be different. Let us take an example of the function

y = (x-1) / (x-2)

जैसा कि एक नोटिस करेगा कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ को प्लॉट करना मुश्किल है क्योंकि यह प्रकृति में गैर-रैखिक है और किसी भी परिचित वक्र के विवरण के लायक नहीं है और इसके अलावा x = 2 पर परिभाषित नहीं किया गया है। तो, यह समस्या निश्चित रूप से ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण से एक अलग दृष्टिकोण के लिए कॉल करती है।

तो, हम शुरू करते हैं 

f (a) = f (b)

=> (ए -1) / (ए -2) = (बी -1) / (बी -2)

=> (ए -1) (बी -2) = (बी -1) (ए -2)

=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2

=> 2 ए + बी = 2 बी + ए

=> 2 (ab) = (ab)             

This is only possible for a-b=0 or a=b

इसलिए, फ़ंक्शन वास्तव में एक से एक है, और हमने इसे रेखांकन के बिना साबित कर दिया है।

अब, हम देखना चाहेंगे कि कब कोई फंक्शन इस टेस्ट में फेल हो जाता है। हम उस सर्कल के समीकरण का परीक्षण करना चाहते हैं जिसे हमने पहले परीक्षण किया था। हम लिखकर शुरू करते हैं

f (a) = f (b)

एफ (एक्स) = एक्स2

=> ए2=b2

a2 =b2

=> ए = बी या ए-बी

जिसका सीधा सा अर्थ है कि a = b के अलावा अन्य उपाय भी हैं, इसलिए f (x) एक फ़ंक्शन नहीं है।

यह बहुत बड़ा है y = (x-1) / (x-2)?

हम आगामी लेखों में किसी फ़ंक्शन के रेखांकन पर अधिक विस्तार से चर्चा करने जा रहे हैं, लेकिन यहां ग्राफिंग की मूल बातों से परिचित होना आवश्यक है क्योंकि यह समस्या को हल करने में बहुत मदद करता है। पथरी की समस्या की एक दृश्य व्याख्या अक्सर समस्या को बहुत आसान बना देती है और यह जानना कि किसी फ़ंक्शन को रेखांकन करना एक अच्छी दृश्य व्याख्या की कुंजी है।

So, to plot the graph of (x-1)/(x-2), हम कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियों जैसे कि शुरू करते हैं

1. फ़ंक्शन x = 0 पर 1 हो जाता है।

2. x = 2 पर फ़ंक्शन अपरिभाषित हो जाता है।

3. फ़ंक्शन 1 को छोड़कर हर जगह सकारात्मक है

क्योंकि इस अंतराल में (x-1) सकारात्मक है और (x-2) नकारात्मक है, इससे उनका अनुपात नकारात्मक हो जाता है।

4. जैसा कि x,-function फ़ंक्शन को निचले हिस्से से एकता के पास जाता है, जिसका अर्थ है कि यह 1 के करीब है, लेकिन हमेशा 1 से कम है।

क्योंकि x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (x | +2) के लिए <1 as | x | +2> | x | +1

5. जैसा कि x ऊपरी तरफ से एकता के पास + ∞ फ़ंक्शन पर जाता है, जिसका अर्थ है कि यह 1 के करीब जाता है, लेकिन हमेशा 1 से अधिक होता है।

6. जैसा कि x बाईं ओर से 2 पर जाता है, फ़ंक्शन -∞ में जाता है।

7. जैसे ही x दाईं ओर से 2 पर जाता है, फ़ंक्शन + XNUMX पर जाता है।

8. x> 2 के लिए फ़ंक्शन हमेशा कम हो रहा है।

प्रमाण:

हम x के दो घनिष्ठ मान लेते हैं (a, b) जैसे कि (a, b)> 2 और b> a

अब, एफ (बी) - एफ (ए)

= (बी -1) / (बी -2) - (ए -1) / (ए -2)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

= (ab) / {(a-2) (b-2)}

<0 as (ab) <0 के लिए b> a

और (ए -2) (बी -2)> ए (ए, बी)> 0 के रूप में

इसका तात्पर्य f (b) है 2, दूसरे शब्दों में f (x) x> 2 के लिए सख्ती से कम हो रहा है

  • 9. x <2 के लिए फ़ंक्शन हमेशा कम हो रहा है
  • प्रमाण: पहले जैसा। हम इसे आपके लिए छोड़ देते हैं।

इन अवलोकनों के संयोजन से रेखांकन काफी आसान हो जाता है। 4,9 और 6 को मिलाकर हम कह सकते हैं कि जैसे x -∞ से 2 तक जाता है, ट्रेस एकता से शुरू होता है और धीरे-धीरे 0 से x = 1 को छूने के लिए गिरता है और आगे x-2 पर -∞ तक गिरता है। 7,5 और 8 के संयोजन को फिर से यह देखना आसान है कि जैसे x 2 से + the तक जाता है, ट्रेस + close से गिरना शुरू हो जाता है और एकता के करीब पहुंचता रहता है वास्तव में इसे कभी नहीं छूता है।

यह पूरा ग्राफ जैसा दिखता है

Function8 का Image4 ग्राफ 1
समारोह सिद्धांत: एक function_4 का ग्राफ

अब यह स्पष्ट हो जाता है कि फ़ंक्शन वास्तव में एक से एक है।

निष्कर्ष

अब तक हमने फ़ंक्शन सिद्धांत की मूल बातें पर चर्चा की। हमें अब परिभाषाओं और प्रकार के कार्यों पर स्पष्ट होना चाहिए। हमें कार्यों की चित्रमय व्याख्या का भी थोड़ा विचार था। अगला लेख रेंज और डोमेन, व्युत्क्रम फ़ंक्शन, विभिन्न फ़ंक्शन और उनके ग्राफ़ जैसी अवधारणाओं पर बहुत अधिक विवरण और बहुत सारी समस्याओं को कवर करेगा। अध्ययन में गहराई से जाने के लिए, आपको पढ़ने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है

माइकल स्पिवाक द्वारा पथरी।

माइकल आर्टिन द्वारा बीजगणित।

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