उलटा गामा वितरण | इसके 6 महत्वपूर्ण गुण

गामा वितरण का उलटा और गामा वितरण का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

      गामा वितरण के साथ निरंतरता में हम गामा वितरण और मूल उत्पादक कार्यों की अवधारणा देखेंगे, गामा वितरण के कुछ मूल गुणों का पालन करके गामा वितरण के केंद्रीय साधनों, मोड और माध्यिका को मापेंगे।

गामा वितरण गुण

गामा वितरण के कुछ महत्वपूर्ण गुणों को निम्नानुसार सूचीबद्ध किया गया है

गामा वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य है

f (x) = \ start {case} \ frac {\ _ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ अल्फा -1}} {\ tau (\ Alpha)} & \ x \ geham 0 \\ \ 0 & \ x <0 \ end {मामलों}

or

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ Alpha -1}} {\ Beta ^ {\ alpha} \ tau (\) अल्फा)}, और \ x \ geq 0 \\ \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

जहां गामा समारोह है

\ tau (\ Alpha) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ बीटा -1} डाई

2. गामा वितरण के लिए संचयी वितरण कार्य है

f (a) = P (X \ in (- \ infty, a)) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

जहाँ f (x) प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है जैसा कि ऊपर विशेष cdf में दिया गया है

F (x) = \ start {case} 0, & \ x \ leq 0, \ \ frac {1} {\ tau (\ alpha) \ beta ^ {\ Alpha}} \ int_ {0} ^ {x} y ^ {\ Alpha -1} e ^ - {(y / \ beta)} डाई और \ x> 0 \ अंत {मामले}

  • गामा वितरण का माध्य और विचरण है

E [X] = {\ Alpha \ lambda}

और

वर (X) = {{\ अल्फा} \ lambda} ^ 2

क्रमशः या

ई [एक्स] = α *

और

वार (एक्स) = {{\ अल्फा} \ बीटा} ^ 2

  • गामा वितरण के लिए फंक्शन जनरेटिंग M (t) है

= \ बाएँ (\ frac {1} {1- \ बीटा टी} \ दाएँ) ^ {\ अल्फा} \ \ अगर \ \ t <\ frac {1} {\ beta}

or

= \ बाएँ (\ frac {\ lambda} {\ lambda - t} \ right) ^ {\ Alpha}

  • Pdf और cdf के लिए वक्र है
उलटा गामा वितरण
  • इनवर्टर गामा वितरण को गामा वितरण की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के पारस्परिक रूप से परिभाषित करके परिभाषित किया जा सकता है

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} ((frac {1} {x}) ^ {\ Alpha -1}} {\ beta ^ {[अल्फा} \ tau (\ अल्फा)} & \ x \ geq 0 \\ \ 0 & \ x <0 \ {{{{}}

  • स्वतंत्र गामा वितरण का योग मापदंडों के योग के साथ फिर से गामा वितरण है।

उलटा गामा वितरण | सामान्य उलटा गामा वितरण

                यदि संभावना घनत्व समारोह में गामा वितरण में

f (x) = \ start {case} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ अल्फ़ा -1}} {\ tau (\ अल्फ़ा)} & \ x \ geham 0 \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

or

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ Alpha -1}} {\ Beta ^ {\ alpha} \ tau (\) अल्फा)}, और \ x \ geq 0 \\ \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

हम परिवर्तनशील प्रतिलोम या व्युत्क्रम लेते हैं, तब प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन होगा

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} ((frac {1} {x}) ^ {\ Alpha -1}} {\ beta ^ {[अल्फ़ा} \ tau (\ अल्फ़ा)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 और \ x <0 \ end {उसे}

इस प्रकार इस संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ यादृच्छिक चर को व्युत्क्रम गामा यादृच्छिक चर या व्युत्क्रम गामा वितरण या उलटा गामा वितरण के रूप में जाना जाता है।

f_ {Y} (y) = f_ {X} (1 / y) \ left | \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} y} y ^ {- 1} \ right |

= \ frac {1} {\ _ ताऊ (\ अल्फा) \ बीटा ^ {\ अल्फा}} y ^ {- \ अल्फा +1} ई ^ {(- 1 / \ बीटा y)} y ^ {- 2}

= \ frac {(\ frac {1} {\ Beta}) ^ {\ Alpha}} {\ tau (\ Alpha)} y ^ {- \ Alpha -1} e ^ {(- 1 / \ beta) / y }

किसी भी पैरामीटर में उपरोक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन हम या तो लैम्ब्डा के रूप में ले सकते हैं या थीटा प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन जो गामा वितरण का पारस्परिक है व्युत्क्रम गामा वितरण की संभावना घनत्व फ़ंक्शन है।

संचयी वितरण फ़ंक्शन या उलटा गामा वितरण का cdf

                उलटा गामा वितरण के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन वितरण फ़ंक्शन है

f (a) = P (X \ in (- \ infty, a)) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

जिसमें ग (एक्स) उलटा गामा वितरण की संभावना घनत्व घनत्व के रूप में है

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} ((frac {1} {x}) ^ {\ Alpha -1}} {\ beta ^ {[अल्फ़ा} \ tau (\ अल्फ़ा)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 और \ x <0 \ end {उसे}

उलटा गामा वितरण का मतलब और विचरण

  प्रत्याशा और विचरण की सामान्य परिभाषा का पालन करके उलटा गामा वितरण का मतलब और विचरण होगा

E [X] = \ frac {\ बीटा} {\ अल्फा -1} \ \, \ अल्फा> 1

और

वार [X] = \ frac {\ बीटा ^ {2}} {(\ अल्फा -1) ^ {2} (\ अल्फा -2)} \ \, \ अल्फा> 2

उलटा गामा वितरण सबूत का मतलब और विचरण

        संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके उलटा गामा वितरण का मतलब और विचरण प्राप्त करने के लिए

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} ((frac {1} {x}) ^ {\ Alpha -1}} {\ beta ^ {[अल्फ़ा} \ tau (\ अल्फ़ा)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 और \ x <0 \ end {उसे}

और अपेक्षाओं की परिभाषा, हम पहले x की किसी भी शक्ति के लिए अपेक्षा पाते हैं

ई (X ^ {n}) = \ frac {\ बीटा ^ {\ अल्फा}} {\ tau (\ अल्फा)} \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} x ^ {- \ अल्फा - 1} ई ^ {(- \ बीटा / एक्स)} डीएक्स

ई (X ^ {n}) = \ frac {\ बीटा ^ {\ अल्फा}} {\ tau (\ अल्फा)} \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {n- \ अल्फा -1} ई ^ {- (\ बीटा / x)} dx

E (X ^ {n}) = \ frac {\ बीटा ^ {\ अल्फा}} {\ tau (\ Alpha)} \ frac {\ tau (\ अल्फा-एन)} {\ बीटा ^ {\ अल्फा-एन} }

= \ frac {\ बीटा ^ {n} \ tau (\ Alpha-n)} {(\ Alpha -1)…। (\ अल्फा -n) \ tau (\ अल्फा-एन)}

= \ frac {\ बीटा ^ {n}} {(\ Alpha -1)…। (\ अल्फा -n)}

उपरोक्त अभिन्न में हमने घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग किया

f (x) = \ frac {\ Beta ^ {\ alpha}} {\ tau \ alpha} x ^ {- \ अल्फा -1} e ^ {(- \ beta / x)}

अब α के मान के लिए एक से अधिक और एक के रूप में n

E (X) = \ frac {\ बीटा} {\ Alpha -1}

इसी तरह n = 2 के लिए मान 2 से अधिक अल्फा के लिए है

E (X ^ {2}) = \ frac {\ बीटा ^ {2}} {(\ Alpha -1) (\ अल्फा -2)}

इन अपेक्षाओं का उपयोग करने से हमें भिन्नता का मूल्य मिलेगा

वर (X) = E (X ^ {2}) -E (X) ^ {2} = \ frac {\ बीटा ^ {2}} {(\ Alpha -1) ^ {2} (\ अल्फा -2) }

गामा वितरण भूखंड पर आक्रमणकारियों | उलटा गामा वितरण ग्राफ

                उलटा गामा वितरण गामा वितरण का पारस्परिक है, इसलिए गामा वितरण का अवलोकन करते हुए, व्युत्क्रम गामा वितरण के घटता की प्रकृति का निरीक्षण करना अच्छा है, जिसमें संभाव्यता घनत्व कार्य है

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ - {\ frac {1} {\ beta x}} ((frac {1} {x}) ^ {\ Alpha -1}} {\ beta ^ {[अल्फ़ा} \ tau (\ अल्फ़ा)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 और \ x <0 \ end {उसे}

और निम्नलिखित द्वारा संचयी वितरण समारोह

F (a) = P (X \ _ (- \ infty, a)) = \ int _ {- \ infty} ^ {{a} f (x) dx

उलटा गामा वितरण
उलटा गामा वितरण ग्राफ

विवरण: संभावना घनत्व समारोह और संचयी वितरण समारोह के लिए रेखांकन α 1 के मान को ठीक करके और the के मान को अलग करके।

उलटा गामा वितरण
उलटा गामा वितरण ग्राफ

विवरण: संभावना घनत्व समारोह और संचयी वितरण समारोह के लिए रेखांकन α 2 के मान को ठीक करके और the के मान को अलग करके

उलटा गामा वितरण
उलटा गामा वितरण ग्राफ

विवरण: संभावना घनत्व समारोह और संचयी वितरण समारोह के लिए रेखांकन α 3 के मान को ठीक करके और the के मान को अलग करके।

उलटा गामा वितरण
उलटा गामा वितरण ग्राफ

विवरण: संभावना घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए रेखांकन s 1 के मान को ठीक करके और α के मान को अलग करके।

उलटा गामा वितरण
उलटा गामा वितरण ग्राफ

विवरण: function 2 के मान को ठीक करके और α के मान को अलग करके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए ग्राफ़

उलटा गामा वितरण
उलटा गामा वितरण ग्राफ

विवरण: संभावना घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए रेखांकन s 3 के मान को ठीक करके और α के मान को अलग करके।

गामा वितरण का कार्य उत्पन्न करने वाला क्षण

गामा वितरण के लिए क्षण उत्पन्न करने की क्रिया की अवधारणा को समझने से पहले हमें क्षण उत्पन्न करने की क्रिया की कुछ अवधारणा याद करनी चाहिए

लम्हें

    यादृच्छिक चर के क्षण को अपेक्षा की सहायता से परिभाषित किया गया है

{[mu_ {r}} '= E (X ^ {r})

इसे यादृच्छिक चर X के r- वें पल के रूप में जाना जाता है यह उत्पत्ति के बारे में क्षण है और आमतौर पर कच्चे क्षण के रूप में जाना जाता है।

     यदि हम माध्य μ के बारे में यादृच्छिक चर के r- वें क्षण को लेते हैं

{[mu_ {r}} = E [(X- \ mu) ^ {r}]

माध्य के बारे में इस क्षण को केंद्रीय क्षण के रूप में जाना जाता है और अपेक्षा यादृच्छिक चर की प्रकृति के अनुसार होगी

{[mu_ {r}} = \ sum (X- \ mu) ^ {r} f (x) \ \ (असतत \ \ चर)

{{mu_ {r}} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (X- \ mu) ^ {r} f (x) \ (निरंतर \ \ चर)

केंद्रीय क्षण में यदि हम r का मान रखते हैं तो हमें कुछ प्रारंभिक क्षण मिलते हैं

{[mu} {0} = 1, {\ mu} {1} = 0, {\ mu} _ {2} = \ sigma ^ {2}

यदि हम केंद्रीय क्षणों में द्विपदीय विस्तार लेते हैं तो हम केंद्रीय और कच्चे क्षणों के बीच के संबंधों को आसानी से प्राप्त कर सकते हैं

{{mu} {r} = {\ _ mu ’’ {r} - \ binom {r} {1} {\ mu} ’ {r-1} {\ mu} +… .. + (- 1) ^ { j} \ binom {r} {j} {\ mu} ' {rj} {\ mu} ^ {j} + ... .. + (- 1) ^ {^ {r}} {\ _ mu' '_ {0 } {\ _मु} ^ {r}

कुछ शुरुआती रिश्ते इस प्रकार हैं

{{mu} ' {1} = {\ _ mu \ _ \ _ \ _ \ _ mu}' {0} = 1, \ \ \ {\ _ mu} {2} = {\ _ mu '' {2} - { \ म्यू} ^ {2} \ {\ म्यू} {3} = {\ म्यू} '{3} -3 {\ म्यू}' {2} {\ म्यू} 2 {\ म्यू} ^ {3} \ { \ म्यू} {4} = {\ म्यू} '{4} -4 {\ म्यू}' {3} {\ म्यू} +6 {\ म्यू} '{2} {\ म्यू} ^ {2} {-3 \ mu} ' {4}

क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

   एक फ़ंक्शन की सहायता से हम जो क्षण उत्पन्न कर सकते हैं, वह फ़ंक्शन क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है

M_ {X} (t) = E (e ^ {tX})

यह फ़ंक्शन किसी भी रूप में घातीय फ़ंक्शन के विस्तार की सहायता से क्षणों को उत्पन्न करता है

M_ {X} (t) = \ sum e ^ {tX} f (x) \ \ (असतत \ \ चर) \ M_ {X} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tX} f (x) \ \ (निरंतर \ \ चर)

के रूप में टेलर का उपयोग कर

M_ {X} (t) = 1 + \ _ mu t + \ _ mu ' {2} \ _ \ _ \ _ } {r!} + ।।

टी के संबंध में इस विस्तारित कार्य को विभेदित करने से अलग-अलग क्षण मिलते हैं

\ mu ' {r} = \ frac {\ mathrm {d ^ {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {r}} M {X} (t) \ lvert_ {t = 0}

दूसरे तरीके से अगर हम व्युत्पन्न को सीधे रूप में लेते हैं

M '(t) = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} E [e ^ {tX}] \ _ E \ left [\ frac {\ mathrm {d}} {mathrm { d} t} (e ^ {tX}) \ right] \ = E \ left [Xe ^ {tX} \ right]

चूंकि दोनों असतत हैं

\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left [\ sum_ {x} e ^ {tx} p (x) \ right] = \ sum_ {x} \ frac {mathrm {d }} {\ _ mathrm {d} t} [e ^ {tx} p (x)]

और निरंतर हमारे पास है

\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left [\ int e ^ {tx} f (x) dx \ right] = \ int \ frac {\ mathrm {d} {\ mathrm {d} t} [e ^ {tx} f (x)] dx

इसलिए t = 0 के लिए हम प्राप्त करेंगे

एम '(0) = ई [एक्स]

वैसे ही

M '' (t) = \ frac {\ _ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} M '(t) \ = \ frac {\ mathrm {d}} {\ _ mathrm {d}} [] Xe ^ {tX}] \ = E \ left [\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (Xe ^ {tX}) \ right] \ = E [X ^ {2} e ^ {tX}]

as

M '' (0) = E [X ^ {2}]

और सामान्य तौर पर

M ^ {n} (t) = E [X ^ {n} e ^ {tX}] \ \ n \ geq 1 \ M ^ {n} (0) = E [X ^ {n}] \ \ n \ भूक् १

क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों के लिए दो महत्वपूर्ण संबंध हैं

M _ {(X + a) / b} (t) = e ^ {at / b}] M_ {X} (t / b) \ M _ {(X + Y)} (t) = M_ {X} (t) ) मेरी टी)

गामा वितरण का क्षण उत्पन्न करने का कार्य | गामा वितरण का mgf | गामा वितरण के लिए पल उत्पन्न समारोह

अब गामा वितरण के लिए पीडीएफ के लिए फंक्शन M (t) जनरेट करना है

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ Alpha -1}} {\ beta ^ {\ alpha} \ tau (\) अल्फा)}, और \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

is

= \ बाएँ (\ frac {1} {1- \ beta t} \ right) ^ {\ Alpha} \ \ if \ \ t <\ frac {1} {\ beta}

और पीडीएफ के लिए

f (x) = \ start {case} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ अल्फा -1}} {\ tau (\ Alpha)} & \ x \ geham 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

पल बनाने का कार्य है

= \ बाएँ (\ frac {\ lambda} {\ lambda -t} \ right) ^ {\ Alpha}

गामा वितरण क्षण जनरेटिंग फंक्शन प्रूफ | गामा वितरण प्रमाण के एमजीएफ

    अब पहले प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन का रूप लें

f (x) = \ start {case} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ अल्फा -1}} {\ tau (\ Alpha)} & \ x \ geham 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

और हमारे पास पल पल फंक्शन M (t) की परिभाषा का उपयोग करके

M_ {X} (t) = E (e ^ {tX})

= E \ left [e ^ {tX} \ right] \ = \ frac {\ lambda ^ {\ Alpha}} {\ tau (\ Alpha)} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {tx] e ^ {- \ lambda x} x ^ {\ Alpha -1} dx \ = \ frac {\ lambda ^ {\ Alpha}} {\ tau (\ Alpha)} \ int_ {0} ^ {\ infty} e { - (\ lambda -t) x} x ^ {\ alp -1} dx \ = \ frac {\ lambda} {\ lambda -t} ^ {\ alpha} \ frac {1} {\ tau (\ "अल्फ़ा)} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ Alpha -1} dy \ \ \ [[by \ \ y = (\ lambda -t) x] \ = \ frac {\ _ लैम्ब्डा } {\ lambda -t} ^ {\ Alpha}

हम गामा वितरण के माध्य और विचरण को पल उत्पन्न फलन की सहायता से ज्ञात कर सकते हैं क्योंकि इस फलन को हम दो बार मिलेंगे।

= \ frac {\ अल्फा \ lambda ^ {\ अल्फा}} {(\ lambda -t) ^ {\ अल्फा +1}} \\ = \ frac {\ अल्फा (\ अल्फा +1) \ lambda ^ {\ Alpha} } {(\ lambda -t) ^ {\ Alpha +2}}

अगर हम t = 0 डालते हैं तो पहला मान होगा

E [X] = \ frac {\ अल्फा} {\ lambda}

और

E [X ^ {2}] = \ frac {\ Alpha (\ Alpha +1)} {\ lambda ^ {2}}

अब इन अपेक्षाओं का मूल्य डालें

Var (X) = E [X ^ {2}] -E [X] ^ {2} \ Var (X) = \ frac {\ अल्फा (\ Alpha +1)} {\ lambda ^ {2}} - \ frac {\ अल्फा ^ {2}} {\ lambda ^ {2}} \ Var (X) = \ frac {\ अल्फा ^ {2} + \ अल्फा} {\ lambda ^ {2}} - \ frac {अल्फा ^ {2}} {\ lambda ^ {2}} = \ frac {\ अल्फा} {\ lambda ^ 2}}}

वैकल्पिक रूप से पीडीएफ के फार्म के लिए

f (x) = \ start {case} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ Alpha -1}} {\ Beta ^ {\ alpha} \ tau (\) अल्फा)}, और \ x \ geq 0 \\ \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

पल उत्पन्न करने वाला कार्य होगा

M (t) = \ frac {1} {\ tau (\ Alpha) \ beta ^ {\ Alpha}} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {^ (x (t-1 / \ beta)} x ^ {\ alpha -1} dx \ = \ left (\ frac {1} {1- \ beta t} \ right) ^ {\ Alpha} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {y ^ { \ अल्फ़ा -1} e ^ {- y}} {\ tau (\ Alpha)} डाई \ \, \ \ t <\ frac {1} {\ beta} \ = (1- \ beta t) ^ {- \ अल्फा} \ \ t <\ frac {1} {\ beta}

और t = 0 को विभेदित करना और रखना निम्नानुसार माध्य और विचरण करेगा

EX = M '(t) \ lvert_ {t = 0} = \ Alpha \ Beta, \ EX ^ {2} = M' '(t) \ lvert_ {t = 0} = \ Alpha (\ Alpha +1) \ बीटा ^ {2}, \ Var (एक्स) = \ अल्फा \ बीटा ^ {2}

गामा वितरण का दूसरा क्षण

   गामा वितरण के दूसरे क्षण को अलग-अलग गति से उत्पन्न करने से दो बार फ़ंक्शन उत्पन्न होता है और उस फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न में t = 0 का मान डालते हैं जो हमें मिलेगा

E [X ^ {2}] = \ frac {\ Alpha (\ Alpha +1)} {\ lambda ^ {2}}

गामा वितरण का तीसरा क्षण

                गामा वितरण का तीसरा क्षण हम तीन बार उत्पन्न करने वाले कार्य को अलग-अलग करके पा सकते हैं और mgf के तीसरे व्युत्पन्न में t = 0 का मान डालेंगे।

E [X ^ {3}] = \ frac {\ अल्फा (\ अल्फा +1) (\ अल्फा +2)} {\ lambda ^ {3}}

या सीधे रूप में एकीकृत करके

E [X ^ {3}] = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {3} f_ {X} (x) dx \ = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ _ ldada} {} अल्फ़ा} x ^ {3+ \ अल्फ़ा -1} e ^ {- \ lambda x}} {\ tau (\ अल्फ़ा)} dx \ = \ frac {1} {\ lambda ^ {3}} \ int_ { 0} ^ {\ infty} \ frac {\ lambda ^ {\ Alpha +3} x ^ {3+ \ अल्फा -1} e ^ {- \ lambda x}} {\ tau (\ अल्फा)} dx \ _ \ _ frac {\ tau (\ Alpha +3)} {\ lambda ^ {3} \ tau (\ Alpha)} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ lambda ^ {\ Alpha +3 = x ^ { 3+ \ अल्फा -1} e ^ {- \ lambda x}} {\ tau (\ अल्फा +3)} dx

 गामा वितरण के लिए सिग्मा

   गामा वितरण के सिग्मा या मानक विचलन हम गामा वितरण के प्रकार के वर्गमूल को लेने के द्वारा पा सकते हैं

वार (एक्स) = \ अल्फा \ बीटा ^ {2}

or

वर (X) = \ frac {\ अल्फा} {\ lambda ^ {2}}

अल्फा, बीटा और लैम्ब्डा के किसी भी परिभाषित मूल्य के लिए।

गामा वितरण की विशेषता समारोह | गामा वितरण विशेषता समारोह

      यदि क्षण भर में चर चर उत्पन्न विशुद्ध रूप से t = iω के रूप में एक काल्पनिक संख्या है, तो फ़ंक्शन गामा वितरण की विशेषता फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसे व्यक्त किया जाता है

\ phi_ {X} (\ omega) = M_ {X} (i \ omega) = E (e ^ {i \ omega X})

किसी भी यादृच्छिक चर के लिए के रूप में विशेषता समारोह होगा

\ phi_ {X} (\ omega) = \ sum E (e ^ {i \ omega X}) f (x) \ \ (असतत \ \ चर) \ \ phi_ {X} (\ omega) \ int \ {- \ infty} ^ {\ infty} E (e ^ {i \ omega X}) f (x) \ \ (निरंतर \ \ चर) \

इस प्रकार गामा वितरण के लिए गामा वितरण की पीडीएफ का पालन करके विशेषता फ़ंक्शन है

\ phi_ {X} (\ omega) = (1-i \ beta \ omega) ^ {- \ अल्फा}

निम्नलिखित

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {\ Alpha -1} e ^ {- x} (1-i \ beta t) / \ beta dx = ((1-i \ beta t) / \ बीटा) ^ {- \ अल्फा} \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {\ अल्फा -1} ई ^ {- x} dx = \ tau (\ अल्फा) \ बीटा ^ {\ अल्फा} (1- i \ beta t) ^ {- \ Alpha}

इस विशेषता फ़ंक्शन का एक और रूप भी है यदि

M_ {X} (t) = (1- \ frac {2h} {n} t) ^ {- n / 2}

फिर

\ phi_ {X} (t) = (1- \ frac {2h} {n} it) ^ {- n / 2}

गामा वितरण का योग | घातांक वितरण का योग

  गामा वितरण के योग के परिणाम को जानने के लिए, हमें सबसे पहले सतत यादृच्छिक चर के लिए स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग को समझना चाहिए, इसके लिए हमें निरंतर यादृच्छिक चर X और Y के योग के लिए प्रायिकता वितरण कार्य करने की संभावना है। यादृच्छिक चर के होंगे

F_ {X} + _ {Y} (a) = P {(X + Y \ leq a)} \ _}
= \ iint {X + Y \ leq a} f_ {X} (x) f_ {Y} (y) dx dy \ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ {- \ _ infy} ^ {} ay} f_ {X} (x) f_ {Y} (y) dx dy \ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {ay} f_ "X} (x) dx f_ {Y} (y) डाई \ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) डाई

X और Y की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शंस के लिए अभिन्न के इस कनविक्शन को विभेदित करने से रैंडम रेज़ेबल्स की राशि के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन मिलेगा

F_ {X} + {Y} (a) = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ int {- \ infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay): f_ { Y} (y) dy \ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ _ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F_ {X} (ay) f_ [y) (y) ) डाई \ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) डाई

अब हम यह साबित करते हैं कि यदि X और Y संबंधित घनत्व कार्यों के साथ गामा यादृच्छिक चर हैं तो योग भी ऐसे मापदंडों के साथ गामा वितरण होगा

प्रपत्र की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन पर विचार करना

f (x) = \ start {case} \ frac {\ _ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ अल्फा -1}} {\ tau (\ Alpha)} & \ x \ geham 0 \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

रैंडम वेरिएबल X के लिए अल्फा को s के रूप में लें और रैंडम वेरिएबल के लिए Y को अल्फ़ा लें क्योंकि रैंडम डेंसिटी के योग के लिए प्रायिकता घनत्व का उपयोग करते हुए t ले लें

F_ {X} + {Y} (a) = \ frac {1} {\ Gamma (s) \ Gamma (t)} \ int {0} ^ {a} \ lambda e ^ {- \ lambda (ay)} ((लंबोदर (ay)) ^ {s-1} \ lambda e ^ {- \ lambda y} (\ lambda y) ^ {t-1} डाई

यहाँ C स्वतंत्र है, अब मान होगा

F_ {X} + _ {Y} (a) = \ frac {\ _ lambda e ^ {- \ lambda} ((lambda a) ^ {s + t-1}} {\ Gamma (s + t)}

जो X और Y के योग की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है और जो गामा वितरण का है, इसलिए गामा वितरण का योग संबंधित मापदंडों के गामा वितरण का भी प्रतिनिधित्व करता है।

गामा वितरण की विधि

    गामा वितरण के मोड को खोजने के लिए आइए हम संभावना घनत्व फ़ंक्शन पर विचार करें

f (x) = \ start {case} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ अल्फा -1}} {\ Gamma (\ Alpha)} & \ x \ geham 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {मामले}

अब एक्स के संबंध में इस पीडीएफ को अलग करें, हम विभेदन प्राप्त करेंगे

= \ frac {\ _ लैम्ब्डा ^ {\ अल्फ़ा}} {\ गामा (\ अल्फ़ा)} ई ^ {- \ लाम्बा x} [((अल्फ़ा -1) x ^ {\ अल्फ़ा -2} - \ lambda x ^ {\ _ अल्फा -1}] = \ frac {\ lambda ^ {\ अल्फा}} {\ Gamma (\ Alpha)} e ^ {- \ lambda x} [(\ अल्फा -1) x ^ {\ अल्फा -2} [( \ अल्फा -1) - \ lambda x]]

यह x = 0 या x = (α -1) / λ के लिए शून्य होगा

इसलिए ये केवल महत्वपूर्ण बिंदु हैं, जिस पर हमारा पहला व्युत्पन्न शून्य होगा यदि अल्फा शून्य से अधिक या उसके बराबर है तो x = 0 मोड नहीं होगा क्योंकि यह पीडीएफ को शून्य बनाता है इसलिए मोड (α -1) / λ होगा

और अल्फा के लिए सख्ती से एक से कम व्युत्पन्नता अनंत से घटकर शून्य हो जाती है क्योंकि x शून्य से अनंत तक बढ़ जाता है इसलिए यह संभव नहीं है इसलिए गामा वितरण का तरीका है

\ textbf {मोड} = \ mathbf {\ frac {\ अल्फा -1} {\ lambda}}

गामा वितरण का माध्यिका

गामा वितरण का माध्य इसके विपरीत गामा वितरण की सहायता से पाया जा सकता है

\ textbf {मध्य}} = {\ frac {\ 1} {\ lambda} \ Gamma ^ {- 1} \ left (\ अल्फा, \ frac {\ Gamma (\ अल्फा)} {2} \ right)}

or

\ textbf {मध्यिका} = \ बीटा \ गामा ^ {- 1} \ वाम (\ अल्फा, \ frac {\ Gamma (\ अल्फा)} {2} \ सही)

बशर्ते

n+\frac{2}{3}< median(n)< min(n+log2,n+\frac{2}{3}+(2n+2)^{-1})

जो देता है

median(n)=n+\frac{2}{3}+\frac{8}{405n} -\frac{64}{5103n^{2}}+…..

गामा वितरण आकार

     गामा वितरण आकार पैरामीटर के आधार पर अलग-अलग आकार लेता है जब आकार पैरामीटर एक होता है गामा वितरण घातीय वितरण के बराबर होता है लेकिन जब हम आकार के पैरामीटर में भिन्न होते हैं तो गामा वितरण की वक्र का आकार आकार पैरामीटर में वृद्धि के रूप में कम हो जाता है, दूसरे शब्दों में मानक विचलन के अनुसार गामा वितरण की वक्र का आकार बदलता है।

गामा वितरण की विषमता

    किसी भी वितरण का तिरछापन उस वितरण और तिरछापन गुणांक की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को देखकर किया जा सकता है

\ Gamma {1} = \ frac {E \ left [\ बाएँ (X - \ mu \ right) ^ {3} \ right]} {\ sigma ^ {3}} = \ frac {\ _ mu {3}} { \ sigma ^ {3}}

हमारे पास गामा वितरण के लिए

E (X ^ {k}) = \ frac {(\ Alpha + k-1) ((अल्फा + के -2)) ……। \ अल्फा} {\ beta ^ {k}}।

so

\ Gamma _ {1} = \ frac {\ frac {(अल्फ़ा +2) ((अल्फ़ा +1) \ अल्फ़ा} {\ beta ^ {3}} - 3 \ frac {\ अल्फ़ा} {\ beta} \ frac {[अल्फा} {\ बीटा ^ {3}} - \ frac {\ अल्फा ^ {3}} {\ बीटा ^ {3}}} {{बाईं ओर (\ frac {\ अल्फा} {\ बीटा ^ {2} } \ right)} ^ {\ frac {3} {2}} = = \ frac {2} {\ sqrt {अल्फा}}

इससे पता चलता है कि तिरछा होना अल्फा पर ही निर्भर करता है यदि अल्फा बढ़ता है तो अनंत वक्र और अधिक सममित और तेज होगा और जब अल्फा गामा वितरण घनत्व वक्र पर शून्य हो जाता है तो सकारात्मक रूप से तिरछा हो जाता है जिसे घनत्व ग्राफ में देखा जा सकता है।

सामान्यीकृत गामा वितरण | गामा वितरण में आकार और स्केल पैरामीटर | तीन पैरामीटर गामा वितरण | बहुभिन्नरूपी गामा वितरण

f (x) = \ frac {(frac {(x- \ mu)} {\ beta}) ^ {\ gamma -1} e ^ {- \ frac {x- \ mu} {\ beta}} {{ \ बीटा \ गामा (\ गामा)} \ \ x \ geq \ mu; \ गामा, \ बीटा> 0

जहां where, μ और by क्रमशः आकार, स्थान और स्केल पैरामीटर हैं, इन मापदंडों को विशिष्ट मान देकर हम दो पैरामीटर गामा वितरण प्राप्त कर सकते हैं विशेष रूप से अगर हम μ = 0, 1 = XNUMX डालते हैं तो हमें मानक गामा वितरण मिलेगा

f (x) = \ frac {x ^ {\ Gamma -1} e ^ {- x}} {\ Gamma (\ Gamma)} \ \ x \ geq 0; \ गामा> ०

इस 3 पैरामीटर गामा वितरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके हम क्रमशः परिभाषा का पालन करके अपेक्षा और भिन्नता पा सकते हैं।

निष्कर्ष:

गामा वितरण की पारस्परिक अवधारणा जो है उलटा गामा वितरण गामा वितरण और गामा वितरण की केंद्रीय प्रवृत्तियों की माप के साथ तुलना में पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन की मदद से इस लेख का ध्यान केंद्रित किया गया था, अगर आपको आगे की पुस्तकों और लिंक के माध्यम से पढ़ने की आवश्यकता है। गणित पर अधिक पोस्ट के लिए, हमारे पर जाएँ गणित पृष्ठ.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

उलटा गामा वितरण | इसके 6 महत्वपूर्ण गुणमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, दिलचस्प और आत्म व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजेक्स में योगदान करना मुझे अच्छा लगता है।
आइए लिंक्डइन के माध्यम से जुड़ें - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

en English
X