गामा वितरण का उलटा और गामा वितरण का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य
गामा वितरण के साथ निरंतरता में हम गामा वितरण और मूल उत्पादक कार्यों की अवधारणा देखेंगे, गामा वितरण के कुछ मूल गुणों का पालन करके गामा वितरण के केंद्रीय साधनों, मोड और माध्यिका को मापेंगे।
गामा वितरण गुण
के कुछ गामा वितरण के महत्वपूर्ण गुण निम्नानुसार सूचीबद्ध हैं
गामा वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य है
or
जहां गामा समारोह है
2. गामा वितरण के लिए संचयी वितरण कार्य है
जहाँ f (x) प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है जैसा कि ऊपर विशेष cdf में दिया गया है
- RSI गामा वितरण का माध्य और विचरण is
और
क्रमशः या
ई [एक्स] = α *
और
- गामा वितरण के लिए फंक्शन जनरेटिंग M (t) है
or
- Pdf और cdf के लिए वक्र है
- इनवर्टर गामा वितरण को गामा वितरण की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के पारस्परिक रूप से परिभाषित करके परिभाषित किया जा सकता है
- स्वतंत्र गामा वितरण का योग मापदंडों के योग के साथ फिर से गामा वितरण है।
उलटा गामा वितरण | सामान्य उलटा गामा वितरण
यदि संभावना घनत्व समारोह में गामा वितरण में
or
हम परिवर्तनशील प्रतिलोम या व्युत्क्रम लेते हैं, तब प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन होगा
इस प्रकार इस संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ यादृच्छिक चर को व्युत्क्रम गामा यादृच्छिक चर या व्युत्क्रम गामा वितरण या उलटा गामा वितरण के रूप में जाना जाता है।
किसी भी पैरामीटर में उपरोक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन हम या तो लैम्ब्डा के रूप में ले सकते हैं या थीटा प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन जो गामा वितरण का पारस्परिक है व्युत्क्रम गामा वितरण की संभावना घनत्व फ़ंक्शन है।
संचयी वितरण फ़ंक्शन या उलटा गामा वितरण का cdf
उलटा गामा वितरण के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन वितरण फ़ंक्शन है
जिसमें ग (एक्स) उलटा गामा वितरण की संभावना घनत्व घनत्व के रूप में है
उलटा गामा वितरण का मतलब और विचरण
प्रत्याशा और विचरण की सामान्य परिभाषा का पालन करके उलटा गामा वितरण का मतलब और विचरण होगा
और
उलटा गामा वितरण सबूत का मतलब और विचरण
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके उलटा गामा वितरण का मतलब और विचरण प्राप्त करने के लिए
और अपेक्षाओं की परिभाषा, हम पहले x की किसी भी शक्ति के लिए अपेक्षा पाते हैं
उपरोक्त अभिन्न में हमने घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग किया
अब α के मान के लिए एक से अधिक और एक के रूप में n
इसी तरह n = 2 के लिए मान 2 से अधिक अल्फा के लिए है
इन अपेक्षाओं का उपयोग करने से हमें भिन्नता का मूल्य मिलेगा
गामा वितरण भूखंड पर आक्रमणकारियों | उलटा गामा वितरण ग्राफ
उलटा गामा वितरण गामा वितरण का पारस्परिक है, इसलिए गामा वितरण का अवलोकन करते हुए, व्युत्क्रम गामा वितरण के घटता की प्रकृति का निरीक्षण करना अच्छा है, जिसमें संभाव्यता घनत्व कार्य है
और निम्नलिखित द्वारा संचयी वितरण समारोह
विवरण: संभाव्यता घनत्व समारोह के लिए रेखांकन और α के मान को 1 के रूप में निर्धारित करके और β के मान को बदलकर संचयी वितरण फ़ंक्शन।
विवरण: संभावना घनत्व समारोह और संचयी वितरण समारोह के लिए रेखांकन α 2 के मान को ठीक करके और the के मान को अलग करके
विवरण: संभावना घनत्व समारोह और संचयी वितरण समारोह के लिए रेखांकन α 3 के मान को ठीक करके और the के मान को अलग करके।
विवरण: संभावना घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए रेखांकन s 1 के मान को ठीक करके और α के मान को अलग करके।
विवरण: function 2 के मान को ठीक करके और α के मान को अलग करके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए ग्राफ़
विवरण: संभावना घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए रेखांकन s 3 के मान को ठीक करके और α के मान को अलग करके।
गामा वितरण का कार्य उत्पन्न करने वाला क्षण
गामा वितरण के लिए क्षण उत्पन्न करने की क्रिया की अवधारणा को समझने से पहले हमें क्षण उत्पन्न करने की क्रिया की कुछ अवधारणा याद करनी चाहिए
लम्हें
का क्षण अनियमित चर उम्मीद की मदद से परिभाषित किया गया है:
इसे यादृच्छिक चर X के r- वें पल के रूप में जाना जाता है यह उत्पत्ति के बारे में क्षण है और आमतौर पर कच्चे क्षण के रूप में जाना जाता है।
यदि हम माध्य μ के बारे में यादृच्छिक चर के r- वें क्षण को लेते हैं
माध्य के बारे में इस क्षण को केंद्रीय क्षण के रूप में जाना जाता है और अपेक्षा यादृच्छिक चर की प्रकृति के अनुसार होगी
केंद्रीय क्षण में यदि हम r का मान रखते हैं तो हमें कुछ प्रारंभिक क्षण मिलते हैं
यदि हम केंद्रीय क्षणों में द्विपदीय विस्तार लेते हैं तो हम केंद्रीय और कच्चे क्षणों के बीच के संबंधों को आसानी से प्राप्त कर सकते हैं
कुछ शुरुआती रिश्ते इस प्रकार हैं
क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य
एक फ़ंक्शन की सहायता से हम जो क्षण उत्पन्न कर सकते हैं, वह फ़ंक्शन क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है
यह फ़ंक्शन किसी भी रूप में घातीय फ़ंक्शन के विस्तार की सहायता से क्षणों को उत्पन्न करता है
के रूप में टेलर का उपयोग कर
टी के संबंध में इस विस्तारित कार्य को विभेदित करने से अलग-अलग क्षण मिलते हैं
दूसरे तरीके से अगर हम व्युत्पन्न को सीधे रूप में लेते हैं
चूंकि दोनों असतत हैं
और निरंतर हमारे पास है
इसलिए t = 0 के लिए हम प्राप्त करेंगे
वैसे ही
as
और सामान्य तौर पर
क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों के लिए दो महत्वपूर्ण संबंध हैं
गामा वितरण का क्षण उत्पन्न करने का कार्य | गामा वितरण का mgf | गामा वितरण के लिए पल उत्पन्न समारोह
अब गामा के लिए पल पैदा करने वाले फलन का वितरण एम (टी) पीडीएफ के लिए
is
और पीडीएफ के लिए
पल बनाने का कार्य है
गामा वितरण क्षण जनरेटिंग फंक्शन प्रूफ | गामा वितरण प्रमाण के एमजीएफ
अब पहले प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन का रूप लें
और हमारे पास पल पल फंक्शन M (t) की परिभाषा का उपयोग करके
हम गामा वितरण के माध्य और विचरण को पल उत्पन्न फलन की सहायता से ज्ञात कर सकते हैं क्योंकि इस फलन को हम दो बार मिलेंगे।
अगर हम t = 0 डालते हैं तो पहला मान होगा
और
अब इन अपेक्षाओं का मूल्य डालें
वैकल्पिक रूप से पीडीएफ के फार्म के लिए
पल उत्पन्न करने वाला कार्य होगा
और t = 0 को विभेदित करना और रखना निम्नानुसार माध्य और विचरण करेगा
गामा वितरण का दूसरा क्षण
गामा वितरण के दूसरे क्षण को अलग-अलग गति से उत्पन्न करने से दो बार फ़ंक्शन उत्पन्न होता है और उस फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न में t = 0 का मान डालते हैं जो हमें मिलेगा
गामा वितरण का तीसरा क्षण
गामा वितरण का तीसरा क्षण हम तीन बार उत्पन्न करने वाले कार्य को अलग-अलग करके पा सकते हैं और mgf के तीसरे व्युत्पन्न में t = 0 का मान डालेंगे।
या सीधे रूप में एकीकृत करके
गामा वितरण के लिए सिग्मा
गामा वितरण के सिग्मा या मानक विचलन हम गामा वितरण के प्रकार के वर्गमूल को लेने के द्वारा पा सकते हैं
or
अल्फा, बीटा और लैम्ब्डा के किसी भी परिभाषित मूल्य के लिए।
गामा वितरण की विशेषता समारोह | गामा वितरण विशेषता समारोह
यदि क्षण भर में चर चर उत्पन्न विशुद्ध रूप से t = iω के रूप में एक काल्पनिक संख्या है, तो फ़ंक्शन गामा वितरण की विशेषता फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसे व्यक्त किया जाता है
किसी भी यादृच्छिक चर के लिए के रूप में विशेषता समारोह होगा
इस प्रकार गामा वितरण के लिए गामा वितरण की पीडीएफ का पालन करके विशेषता फ़ंक्शन है
निम्नलिखित
इस विशेषता फ़ंक्शन का एक और रूप भी है यदि
फिर
गामा वितरण का योग | घातांक वितरण का योग
गामा वितरण के योग का परिणाम जानने के लिए हमें सबसे पहले स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग को समझना होगा सतत यादृच्छिक चर, इसके लिए आइए हमारे पास संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन हैं सतत यादृच्छिक चरs X और Y तो यादृच्छिक चर के योग के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन होगा
X और Y की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शंस के लिए अभिन्न के इस कनविक्शन को विभेदित करने से रैंडम रेज़ेबल्स की राशि के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन मिलेगा
अब हम यह साबित करते हैं कि यदि X और Y संबंधित घनत्व कार्यों के साथ गामा यादृच्छिक चर हैं तो योग भी ऐसे मापदंडों के साथ गामा वितरण होगा
प्रपत्र की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन पर विचार करना
रैंडम वेरिएबल X के लिए अल्फा को s के रूप में लें और रैंडम वेरिएबल के लिए Y को अल्फ़ा लें क्योंकि रैंडम डेंसिटी के योग के लिए प्रायिकता घनत्व का उपयोग करते हुए t ले लें
यहाँ C स्वतंत्र है, अब मान होगा
जो X और Y के योग की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है और जो गामा वितरण का है, इसलिए गामा वितरण का योग संबंधित मापदंडों के गामा वितरण का भी प्रतिनिधित्व करता है।
गामा वितरण की विधि
गामा वितरण के मोड को खोजने के लिए आइए हम संभावना घनत्व फ़ंक्शन पर विचार करें
अब एक्स के संबंध में इस पीडीएफ को अलग करें, हम विभेदन प्राप्त करेंगे
यह x = 0 या x = (α -1) / λ के लिए शून्य होगा
तो ये केवल हैं महत्वपूर्ण बिंदु जिस पर हमारा पहला व्युत्पन्न शून्य होगा यदि अल्फा शून्य से अधिक या बराबर है तो x = 0 मोड नहीं होगा क्योंकि इससे पीडीएफ शून्य हो जाता है इसलिए मोड होगा (α -1)/λ
और अल्फा के लिए सख्ती से एक से कम व्युत्पन्नता अनंत से घटकर शून्य हो जाती है क्योंकि x शून्य से अनंत तक बढ़ जाता है इसलिए यह संभव नहीं है इसलिए गामा वितरण का तरीका है
गामा वितरण का माध्यिका
गामा वितरण का माध्य इसके विपरीत गामा वितरण की सहायता से पाया जा सकता है
or
बशर्ते
जो देता है
गामा वितरण आकार
गामा वितरण आकार पैरामीटर के आधार पर अलग-अलग आकार लेता है जब आकार पैरामीटर एक होता है गामा वितरण घातीय वितरण के बराबर होता है लेकिन जब हम आकार के पैरामीटर में भिन्न होते हैं तो गामा वितरण की वक्र का आकार आकार पैरामीटर में वृद्धि के रूप में कम हो जाता है, दूसरे शब्दों में मानक विचलन के अनुसार गामा वितरण की वक्र का आकार बदलता है।
गामा वितरण की विषमता
किसी भी वितरण का तिरछापन उस वितरण और तिरछापन गुणांक की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को देखकर किया जा सकता है
हमारे पास गामा वितरण के लिए
so
इससे पता चलता है कि तिरछा होना अल्फा पर ही निर्भर करता है यदि अल्फा बढ़ता है तो अनंत वक्र और अधिक सममित और तेज होगा और जब अल्फा गामा वितरण घनत्व वक्र पर शून्य हो जाता है तो सकारात्मक रूप से तिरछा हो जाता है जिसे घनत्व ग्राफ में देखा जा सकता है।
सामान्यीकृत गामा वितरण | गामा वितरण में आकार और स्केल पैरामीटर | तीन पैरामीटर गामा वितरण | बहुभिन्नरूपी गामा वितरण
जहां γ, μ और β क्रमशः आकार, स्थान और पैमाने के पैरामीटर हैं, इन मापदंडों के लिए विशिष्ट मान निर्दिष्ट करके हम विशेष रूप से दो पैरामीटर गामा वितरण प्राप्त कर सकते हैं यदि हम μ=0, β=1 डालते हैं तो हमें मानक गामा वितरण मिलेगा
इस 3 पैरामीटर गामा वितरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके हम क्रमशः परिभाषा का पालन करके अपेक्षा और भिन्नता पा सकते हैं।
निष्कर्ष:
गामा वितरण की पारस्परिक अवधारणा जो है उलटा गामा वितरण गामा वितरण और गामा वितरण की केंद्रीय प्रवृत्तियों की माप के साथ तुलना में पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन की मदद से इस लेख का ध्यान केंद्रित किया गया था, अगर आपको आगे की पुस्तकों और लिंक के माध्यम से पढ़ने की आवश्यकता है। गणित पर अधिक पोस्ट के लिए, हमारे पर जाएँ गणित पृष्ठ.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स
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ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय
मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।
नमस्कार साथी पाठक,
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