संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर: 11 महत्वपूर्ण तथ्य

By

सामग्री

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर

     संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक से अधिक यादृच्छिक चर हैं, इन यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त रूप से वितरित संभाव्यता के साथ, दूसरे शब्दों में प्रयोगों में जहां उनकी सामान्य संभावना के साथ अलग परिणाम संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर या संयुक्त वितरण के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार की स्थिति होती है अवसरों की समस्याओं से निपटने के दौरान अक्सर।

संयुक्त वितरण समारोह | संयुक्त संचयी प्रायिकता वितरण फलन | संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन | संयुक्त संभाव्यता घनत्व समारोह

    यादृच्छिक चर X और Y के लिए वितरण फलन या संयुक्त संचयी बंटन फलन है

जहां संयुक्त संभाव्यता की प्रकृति यादृच्छिक चर एक्स और वाई या तो असतत या निरंतर की प्रकृति पर निर्भर करती है, और एक्स और वाई के लिए व्यक्तिगत वितरण कार्यों को इस संयुक्त संचयी वितरण समारोह का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

इसी तरह वाई के लिए

जब संयुक्त वितरण विचाराधीन होता है तो X और Y के ये व्यक्तिगत वितरण फलन सीमांत वितरण फलन के रूप में जाने जाते हैं। प्रायिकता प्राप्त करने के लिए ये वितरण बहुत सहायक होते हैं जैसे

और इसके अलावा यादृच्छिक चर एक्स और वाई के लिए संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान समारोह को परिभाषित किया गया है

एक्स और वाई के लिए व्यक्तिगत संभाव्यता द्रव्यमान या घनत्व कार्यों को ऐसे संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान या घनत्व फ़ंक्शन की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है जैसे कि के संदर्भ में यादृच्छिक चर असतत as

और सतत यादृच्छिक चर के संदर्भ में संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन होगा

जहाँ C कोई द्विविमीय तल है, और सतत यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त वितरण फलन होगा will

इस वितरण फलन से संभाव्यता घनत्व फलन को विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है

और संयुक्त संभाव्यता घनत्व समारोह से सीमांत संभावना probability

as

और

यादृच्छिक चर क्रमशः X और Y के संबंध में

संयुक्त वितरण पर उदाहरण

  1. यादृच्छिक चर एक्स और वाई के लिए संयुक्त संभावनाएं गणित और सांख्यिकी पुस्तकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं जिसमें 3 गणित, 4 सांख्यिकी और 5 भौतिकी पुस्तकें शामिल हैं यदि 3 किताबें यादृच्छिक रूप से ली जाती हैं
  • संयुक्त खोजें जन समारोह की संभावना उन परिवारों के नमूने के लिए जिनमें 15% बच्चे नहीं हैं, 20% 1 बच्चा, 35% 2 बच्चे और 30% 3 बच्चे हैं, यदि परिवार हम इस नमूने से यादृच्छिक रूप से चुनते हैं कि बच्चा लड़का या लड़की है?

संयुक्त संभावना हम परिभाषा का उपयोग करके पाएंगे

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर
संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर : उदाहरण

और इसे हम सारणी के रूप में इस प्रकार स्पष्ट कर सकते हैं

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर
संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर: संयुक्त वितरण का उदाहरण Example
  • संभावनाओं की गणना करें

यदि यादृच्छिक चर X और Y के लिए संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है

सतत यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त संभावना की परिभाषा की सहायता से

और दिया गया संयुक्त घनत्व फलन दी गई श्रेणी के लिए पहली प्रायिकता होगी

इसी तरह संभावना

और अंत में

  • यादृच्छिक चर X और Y के भागफल X/Y के लिए संयुक्त घनत्व फलन ज्ञात कीजिए, यदि उनका संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन है

फलन X/Y के लिए प्रायिकता घनत्व फलन ज्ञात करने के लिए हम पहले संयुक्त बंटन फलन ज्ञात करते हैं, फिर हम प्राप्त परिणाम में अंतर करेंगे,

इसलिए संयुक्त वितरण फलन की परिभाषा और प्रायिकता घनत्व फलन के अनुसार हमारे पास है

इस प्रकार इस वितरण फलन को a से विभेदित करने पर हमें घनत्व फलन इस प्रकार प्राप्त होगा

जहां a शून्य से अनंत तक है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर और संयुक्त वितरण

     में संयुक्त वितरण दो यादृच्छिक चर X और Y की प्रायिकता को स्वतंत्र कहा जाता है यदि

जहाँ A और B वास्तविक समुच्चय हैं। जैसा कि पहले से ही घटनाओं के संदर्भ में हम जानते हैं कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर वे यादृच्छिक चर होते हैं जिनकी घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

इस प्रकार a और b . के किसी भी मान के लिए

और स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के लिए संयुक्त वितरण या संचयी वितरण फलन होगा

यदि हम असतत यादृच्छिक चर X और Y पर विचार करें तो

के बाद से

इसी प्रकार सतत यादृच्छिक चर के लिए भी

स्वतंत्र संयुक्त वितरण का उदाहरण

  1. यदि किसी अस्पताल में एक विशिष्ट दिन के लिए प्रवेश किए गए रोगियों को पैरामीटर λ और पुरुष रोगी की संभावना पी के रूप में वितरित किया जाता है और महिला रोगी की संभावना (1-पी) के रूप में वितरित की जाती है, तो दिखाएं कि अस्पताल में प्रवेश करने वाले पुरुष रोगियों और महिला रोगियों की संख्या पैरामीटर λp और λ(1-p) के साथ स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर हैं?

यादृच्छिक चर X और Y द्वारा पुरुष और महिला रोगियों की संख्या पर विचार करें तो

चूंकि एक्स + वाई अस्पताल में प्रवेश करने वाले रोगियों की कुल संख्या है जो कि ज़हर वितरित किया जाता है

चूंकि पुरुष रोगी की संभावना पी है और महिला रोगी (1-पी) है, इसलिए कुल फिक्स संख्या में से पुरुष या महिला द्विपद संभाव्यता दिखाते हैं

इन दो मूल्यों का उपयोग करके हम उपरोक्त संयुक्त संभावना प्राप्त करेंगे:

इस प्रकार पुरुष और महिला रोगियों की संभावना होगी

और

जो दर्शाता है कि दोनों pop और λ(1-p) मापदंडों के साथ पॉइसन यादृच्छिक चर हैं।

2. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक व्यक्ति को एक ग्राहक के लिए बैठक में दस मिनट से अधिक प्रतीक्षा करनी पड़े जैसे कि प्रत्येक ग्राहक और वह व्यक्ति समान वितरण के बाद दोपहर 12 से 1 बजे के बीच आता है।

उस व्यक्ति और ग्राहक के लिए 12 से 1 के बीच के समय को दर्शाने के लिए यादृच्छिक चर X और Y पर विचार करें, इसलिए X और Y के लिए संयुक्त रूप से संभावना होगी

गणना

जहां एक्स, वाई और जेड अंतराल (0,1) पर एक समान यादृच्छिक चर हैं।

यहाँ संभावना होगी

समान वितरण के लिए घनत्व फ़ंक्शन

दी गई सीमा के लिए तो

संयुक्त वितरण द्वारा स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग

  स्वतंत्र चर X और Y का योग, संभाव्यता घनत्व कार्यों के साथ निरंतर यादृच्छिक चर के रूप में, संचयी वितरण फलन होगा

इन स्वतंत्र योगों के प्रायिकता घनत्व फलन के लिए इस संचयी बंटन फलन को विभेदित करके

इन दो परिणामों का अनुसरण करके हम कुछ सतत यादृच्छिक चर और उनके योग को स्वतंत्र चर के रूप में देखेंगे

स्वतंत्र वर्दी यादृच्छिक चर का योग

   के लिए यादृच्छिक चर एक्स और वाई समान रूप से अंतराल (0,1) पर वितरित किए जाते हैं, इन दोनों स्वतंत्र चर के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है

तो हमारे पास X+Y का योग है

किसी भी मान के लिए a शून्य और एक के बीच स्थित है

यदि हम a को एक और दो के बीच में प्रतिबंधित करते हैं तो यह होगा

यह त्रिकोणीय आकार घनत्व फ़ंक्शन देता है

यदि हम n स्वतंत्र एकसमान यादृच्छिक चर 1 से n के लिए सामान्यीकरण करते हैं तो उनका वितरण फलन

गणितीय प्रेरण द्वारा होगा

स्वतंत्र गामा यादृच्छिक चर का योग

    यदि हमारे पास उनके सामान्य घनत्व फ़ंक्शन के साथ दो स्वतंत्र गामा यादृच्छिक चर हैं

फिर स्वतंत्र गामा यादृच्छिक चर के योग के लिए घनत्व का अनुसरण करना

यह गामा यादृच्छिक चर के योग के लिए घनत्व फ़ंक्शन को दर्शाता है जो स्वतंत्र हैं

स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर का योग

    इसी तरह गामा यादृच्छिक चर के रूप में स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर का योग हम केवल विशेष रूप से गामा यादृच्छिक चर के मान निर्दिष्ट करके घनत्व फ़ंक्शन और वितरण फ़ंक्शन प्राप्त कर सकते हैं।

स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर का योग | स्वतंत्र सामान्य वितरण का योग

                यदि हमारे पास स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर की n संख्या है Xi , i=1,2,3,4….n संबंधित साधनों के साथ μi और प्रसरण 2i तो उनका योग μi और प्रसरण 2i . के माध्य के साथ भी सामान्य यादृच्छिक चर है

    हम पहले पैरामीटर 0 और for के साथ दो सामान्य यादृच्छिक चर X के लिए सामान्य रूप से वितरित स्वतंत्र योग दिखाते हैं2 और Y पैरामीटर 0 और 1 के साथ, आइए हम योग X+Y के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन खोजें

संयुक्त वितरण घनत्व समारोह में

सामान्य वितरण के घनत्व फलन की परिभाषा की सहायता से

इस प्रकार घनत्व फलन होगा

जो और कुछ नहीं बल्कि a . का घनत्व फलन है सामान्य वितरण माध्य 0 और विचरण (1+σ2) के साथ एक ही तर्क के बाद हम कह सकते हैं

सामान्य माध्य और भिन्नताओं के साथ। यदि हम विस्तार को लेते हैं और देखते हैं कि योग सामान्य रूप से माध्य के साथ संबंधित साधनों के योग के रूप में वितरित किया जाता है और प्रसरण संबंधित प्रसरणों के योग के रूप में वितरित किया जाता है,

इस प्रकार उसी तरह nth योग μ . के माध्य के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर होगाi  और भिन्नताएं2i

स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर का योग

यदि हमारे पास पैरामीटर Po . के साथ दो स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर X और Y हैं1 और2 तो उनका योग X+Y भी पॉइसन यादृच्छिक चर या पोइसन वितरित है

चूंकि X और Y पॉइसन वितरित हैं और हम उनके योग को असंबद्ध घटनाओं के संघ के रूप में लिख सकते हैं, इसलिए

स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की प्रायिकता का उपयोग करके

तो हमें योग मिलता है एक्स + वाई भी पॉइसन माध्य के साथ वितरित किया जाता है1 + λ2

स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर का योग

                यदि हमारे पास पैरामीटर (एन, पी) और (एम, पी) के साथ दो स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर एक्स और वाई हैं तो उनका योग एक्स + वाई भी द्विपद यादृच्छिक चर या पैरामीटर के साथ वितरित द्विपद है (एन + एम, पी)

द्विपद की परिभाषा के साथ योग की प्रायिकता का उपयोग करें

जो देता है

इसलिए योग X+Y को भी पैरामीटर (n+m, p) के साथ द्विपद रूप से वितरित किया जाता है।

निष्कर्ष:

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर की अवधारणा, जो स्थिति में एक से अधिक चर के लिए तुलनात्मक रूप से वितरण देता है, इसके अलावा स्वतंत्र यादृच्छिक चर की मूल अवधारणा को संयुक्त वितरण की मदद से और वितरण के कुछ उदाहरण के साथ स्वतंत्र चर के योग के साथ दिया गया है उनके पैरामीटर, यदि आपको और पढ़ने की आवश्यकता है, तो उल्लिखित पुस्तकों को देखें। गणित पर अधिक पोस्ट के लिए, कृपया यहां क्लिक करे।

https://en.wikipedia.org

शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय

संबंधित पोस्ट

ऊपर स्क्रॉल करें