संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर | इसके महत्वपूर्ण गुण और 5 उदाहरण

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संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर

     संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक से अधिक यादृच्छिक चर हैं, इन यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त रूप से वितरित संभाव्यता के साथ, दूसरे शब्दों में प्रयोगों में जहां उनकी सामान्य संभावना के साथ अलग परिणाम संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर या संयुक्त वितरण के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार की स्थिति होती है अवसरों की समस्याओं से निपटने के दौरान अक्सर।

संयुक्त वितरण समारोह | संयुक्त संचयी प्रायिकता वितरण फलन | संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फलन | संयुक्त संभाव्यता घनत्व समारोह

    यादृच्छिक चर X और Y के लिए वितरण फलन या संयुक्त संचयी बंटन फलन है

F(a,b)= P\left \{ X\leq a, Y\leq b \right \} \ \ , \ \ -\infty< a , b< \infty

जहां संयुक्त संभाव्यता की प्रकृति यादृच्छिक चर एक्स और वाई या तो असतत या निरंतर की प्रकृति पर निर्भर करती है, और एक्स और वाई के लिए व्यक्तिगत वितरण कार्यों को इस संयुक्त संचयी वितरण समारोह का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

F_{X}(a)=P \left \{ { X\leq a } \right \} \\ = P \left \{ X\leq a, Y< \infty \right \} \\ =P\बाएं ( \lim_{b \to \infty} X\leq a, Y< b \right ) \\ =\lim_{b \to \infty} P \left \{ X\leq a, Y\leq b \right \ } \\ = \lim_{b \to \infty} F(a,b) \\ \equiv F(a, \infty)

इसी तरह वाई के लिए

F_{Y} (b)=P\left \{ Y\leq b \right \} \\ =\lim_{a \to \infty} F(a,b) \\ \equiv F(\infty, b)

जब संयुक्त वितरण विचाराधीन होता है तो X और Y के ये व्यक्तिगत वितरण फलन सीमांत वितरण फलन के रूप में जाने जाते हैं। प्रायिकता प्राप्त करने के लिए ये वितरण बहुत सहायक होते हैं जैसे

P\बाएं {X> a, Y> b \right} = 1-P(\बाएं {X> a, Y> b \right}^{c}) \\ =1-P(\बाएं { X> a \दाएं }^{c}\कप \बाएं {Y> b \right}^{c}) \\ =1- P(\बाएं {X\leq a \right}\कप \बाएं { Y\leq b \ दाएं}) \\ = 1-\बाएं [पी\बाएं {X\leq a \right} +P\बाएं { Y\leq b \right }-P\बाएं { X\leq a , Y\leq b\right }\दाएं ] \\ =1- F_{X}(a)-F_{Y}(b)+F(a,b)

और

P\बाएं {a_{1}\leq X\leq a_{2} , b_{1}\leq Y\leq b_{2} \right } \\ =F(a_{2},b_{2})+ F(a_{1},b_{1})-F(a_{1},b_{2})-F(a_{2},b_{1})

इसके अलावा यादृच्छिक चर एक्स और वाई के लिए संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान समारोह को परिभाषित किया गया है

p(x,y)=P\बाएं {X=x, Y=y \right}

एक्स और वाई के लिए व्यक्तिगत संभाव्यता द्रव्यमान या घनत्व कार्यों को ऐसे संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान या घनत्व फ़ंक्शन की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है जैसे असतत यादृच्छिक चर के संदर्भ में

p_{X}(x)=P\बाएं { X=x \right} \\ =\sum_{y:p(x,y)> 0}^{}p(x,y) \\ p_{Y} (y)=\sum_{y:p(x,y)> 0}^{}p(x,y)

और सतत यादृच्छिक चर के संदर्भ में संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन होगा

P\बाएं {(X,Y)\in C \right }=\int_{(x,y)\in C}^{}\int f(x,y)dxdy

जहाँ C कोई द्विविमीय तल है, और सतत यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त वितरण फलन होगा will

F(a,b)=P\left { X\in (-\infty,a], Y\in (-\infty,b] \right } \\ =\int_{-\infty}^{b}\ int_{-\infty}^{a} f(x,y)dxdy

इस वितरण फलन से संभाव्यता घनत्व फलन को विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है

f(a,b)=\frac{\partial^2 }{\partial a \partial b} F(a,b)

और संयुक्त संभाव्यता घनत्व समारोह से सीमांत संभावना probability

पी\बाएं {एक्स\इन ए \राइट}=पी\बाएं {एक्स\इन ए,वाई\इन (-\infty,\infty) \right } \ =\int_{A}^{}\int_{-\ infty}^{\infty}f(x,y)dydx \ =\int_{A}^{}f_{X}(x)dx

as

f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy

और

f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx

यादृच्छिक चर क्रमशः X और Y के संबंध में

संयुक्त वितरण पर उदाहरण

  1. यादृच्छिक चर एक्स और वाई के लिए संयुक्त संभावनाएं गणित और सांख्यिकी पुस्तकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं जिसमें 3 गणित, 4 सांख्यिकी और 5 भौतिकी पुस्तकें शामिल हैं यदि 3 किताबें यादृच्छिक रूप से ली जाती हैं

p(0,0)=\binom{5}{3}/\binom{12}{3}=\frac{10}{220} \\ p(0,1)=\binom{4}{1} \binom{5}{2}/\binom{12}{3}=\frac{40}{220} \\ p(0,2)=\binom{4}{2} \binom{5}{1 }/\binom{12}{3}=\frac{30}{220} \\ p(0,3)=\binom{4}{3}/\binom{12}{3}=\frac{4 }{220} \\ p(1,0)=\binom{3}{1} \binom{5}{2}/\binom{12}{3}=\frac{30}{220} \\ p (1,1)=\binom{3}{1} \binom{4}{1} \binom{5}{1}/\binom{12}{3}=\frac{60}{220} \\ p(1,2)=\binom{3}{1} \binom{4}{2}/\binom{12}{3}=\frac{18}{220} \\ p(2,0)= \binom{3}{2} \binom{5}{1}/\binom{12}{3}=\frac{15}{220} \\ p(2,1)=\binom{3}{2 } \binom{4}{1}/\binom{12}{3}=\frac{12}{220} \\ p(3,0)=\binom{3}{3}/\binom{12} {3}=\frac{1}{220} \

  • 15% बच्चे नहीं, 20% 1 बच्चे, 35% 2 बच्चे और 30% 3 बच्चे वाले परिवारों के नमूने के लिए संयुक्त संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन ज्ञात करें यदि परिवार हम इस नमूने से यादृच्छिक रूप से बच्चे के लिए लड़का या लड़की चुनते हैं?

संयुक्त संभावना हम परिभाषा का उपयोग करके पाएंगे

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर
संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर : उदाहरण

और इसे हम सारणी के रूप में इस प्रकार स्पष्ट कर सकते हैं

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर
संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर: संयुक्त वितरण का उदाहरण Example
  • संभावनाओं की गणना करें

(ए) पी \ बाएं {एक्स> 1, वाई> 1 \ दायां}, \ \ (बी) पी \ बाएं {एक्स < वाई \ दाएं}, और \ \ (सी) पी \ बाएं { एक्स < ए \ दाएं}

यदि यादृच्छिक चर X और Y के लिए संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है

f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-x}y^{-2y} \ \ 0< x< \infty , \ \ 0< y< \infty \\ 0 &\text{अन्यथा} \अंत{मामलों}

सतत यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त संभावना की परिभाषा की सहायता से

=\int_{-\infty}^{b}\int_{-\infty}^{a}f(x,y)dxdy

और दिया गया संयुक्त घनत्व फलन दी गई श्रेणी के लिए पहली प्रायिकता होगी

P\बाएं { X> 1,Y< 1 \right }=\int_{0}^{1}\int_{1}^{\infty}2e^{-x} e^{-2y} dxdy

=\int_{0}^{1}2e^{-2y} \बाएं ( -e^{-x}\lvert_{1}^{\infty} \right )dy

=e^{-1}\int_{0}^{1}2e^{-2y}dy

=ई^{-1}(1-ई^{-2})

इसी तरह संभावना

P\बाएं { X< Y \right }=\int_{(x,y):}^{}\int_{x< y}^{}2e^{-2x}e^{-2y}dxdy

=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y}2e^{-2x}e^{-2y}dxdy

=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}(1-e^{-y})dy

=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}dy - \int_{0}^{\infty}2e^{-3y}dy =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

और अंत में

पी\बाएं \{ एक्स< एक \दाएं \}=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}e^{-x}dydx

=\int_{0}^{a}e^{-x}dx

= 1-ई^{-ए}

  • यादृच्छिक चर X और Y के भागफल X/Y के लिए संयुक्त घनत्व फलन ज्ञात कीजिए, यदि उनका संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन है

f(x,y) = \begin{cases} e^{-(x+y)} \ \ 0< x< \infty , \ \ 0< y< \infty \\ \ 0 &\text{अन्यथा} \ अंत {मामलों}

फलन X/Y के लिए प्रायिकता घनत्व फलन ज्ञात करने के लिए हम पहले संयुक्त बंटन फलन ज्ञात करते हैं, फिर हम प्राप्त परिणाम में अंतर करेंगे,

इसलिए संयुक्त वितरण फलन की परिभाषा और प्रायिकता घनत्व फलन के अनुसार हमारे पास है

F_{X}/_{Y}(a)=P\बाएं { \frac{X}{Y}\leq a \right}

=\int_{\frac{X}{Y}\leq a}^{}\int e^{-(x+y)}dxdy

=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{ay}e^{-(x+y)}dxdy

= \बाएं { \int_{0}^{\infty}-e^{-y}dxdy +\frac{e^{-(a+1)y}}{a+1} \right }\lvert_{0 }^{\infty}

=1-\frac{1}{a+1}

इस प्रकार इस वितरण फलन को a से विभेदित करने पर हमें घनत्व फलन इस प्रकार प्राप्त होगा

f_{\frac{X}{Y}}(a)=\frac{1}{(a+1)^{2}}

जहां a शून्य से अनंत तक है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर और संयुक्त वितरण

     में संयुक्त वितरण दो यादृच्छिक चर X और Y की प्रायिकता को स्वतंत्र कहा जाता है यदि

P\बाएं {X \in A, Y \in B\right} =P \बाएं {X \in A \right} P\बाएं {Y \in B \right}

जहाँ A और B वास्तविक समुच्चय हैं। जैसा कि पहले से ही घटनाओं के संदर्भ में हम जानते हैं कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर वे यादृच्छिक चर होते हैं जिनकी घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

इस प्रकार a और b . के किसी भी मान के लिए

पी \ लेफ्ट {एक्स \ लेक ए, वाई \ लेक बी \ राइट} = पी \ लेफ्ट {एक्स \ लेक ए \ राइट} पी \ लेफ्ट {वाई \ लेक बी \ राइट}

और स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के लिए संयुक्त वितरण या संचयी वितरण फलन होगा

एफ (ए, बी) = एफ_ {एक्स} (ए) एफ_ {वाई} (बी) \ \ \ \ सभी \ \ ए, बी के लिए

यदि हम असतत यादृच्छिक चर X और Y पर विचार करें तो

p(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y) \ \ \ \ सभी \ \ x,y के लिए

के बाद से

P\बाएं { X\in A, Y\in B \right } =\sum_{y\in B}^{}\sum_{x \in A}^{}p(x,y)

=\sum_{y\in B}^{}\sum_{x \in A}^{}p_{X}(x)p_{Y}(y)

=\sum_{y\in B}p_{Y}(y) \sum_{x\in A}p_{X}(x)

= P\बाएं {Y \in B \right} P\बाएं {X \in A \right}

इसी प्रकार सतत यादृच्छिक चर के लिए भी

f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y) \ \ \ \ सभी \ \ x,y के लिए

स्वतंत्र संयुक्त वितरण का उदाहरण

  1. यदि किसी अस्पताल में एक विशिष्ट दिन के लिए प्रवेश किए गए रोगियों को पैरामीटर λ और पुरुष रोगी की संभावना पी के रूप में वितरित किया जाता है और महिला रोगी की संभावना (1-पी) के रूप में वितरित की जाती है, तो दिखाएं कि अस्पताल में प्रवेश करने वाले पुरुष रोगियों और महिला रोगियों की संख्या पैरामीटर λp और λ(1-p) के साथ स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर हैं?

यादृच्छिक चर X और Y द्वारा पुरुष और महिला रोगियों की संख्या पर विचार करें तो

P\बाएं { X=i, Y=j \right}= P\बाएं { X=i, Y=j|X +Y=i+j \right }P\बाएं { X+Y=i+j \right }+P\बाएं { X=i,Y=j|X +Y\neq i+j \right }P\बाएं { X+Y\neq i+j \right }

P\बाएं { X=i, Y=j \right}= P\बाएं { X=i, Y=j|X +Y=i+j \right }P\बाएं { X+Y=i+j \right }

चूंकि एक्स + वाई अस्पताल में प्रवेश करने वाले रोगियों की कुल संख्या है जो कि ज़हर वितरित किया जाता है

P\बाएं { X+Y=i+j \right }=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{i+j}}{(i+j)!}

चूंकि पुरुष रोगी की संभावना पी है और महिला रोगी (1-पी) है, इसलिए कुल फिक्स संख्या में से पुरुष या महिला द्विपद संभाव्यता दिखाते हैं

P\बाएं { X=i, Y=j|X + Y=i+j \right }=\binom{i+j}{i}p^{i}(1-p)^{j}

इन दो मूल्यों का उपयोग करके हम उपरोक्त संयुक्त संभावना प्राप्त करेंगे:

P\बाएं { X=i, Y=j \right }=\binom{i+j}{i}p^{i}(1-p)^{j}e^{-\lambda} \frac{\ लैम्ब्डा ^{i+j}}{(i+j)!}

=e^{-\lambda} \frac{\lambda p^i}{i! j!}\बाएं [ \lambda (1-p) \right ]^{j}

=e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!} e^{-\lambda (1-p)} \frac{\left [ \lambda (1-p) \ दाएं ]^{j}}{जे!}

इस प्रकार पुरुष और महिला रोगियों की संभावना होगी

P\बाएं { X=i \right } =e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!} \sum_{j} e^{-\lambda (1-p) } \frac{\बाएं [ \lambda (1-p) \right ]^{j}}{j!} = e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!}

और

P\बाएं {Y=j \right} =e^{-\lambda (1-p)} \frac{\बाएं [ \lambda (1-p) \right ]^{j}}{j!}

जो दर्शाता है कि दोनों pop और λ(1-p) मापदंडों के साथ पॉइसन यादृच्छिक चर हैं।

2. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक व्यक्ति को एक ग्राहक के लिए बैठक में दस मिनट से अधिक प्रतीक्षा करनी पड़े जैसे कि प्रत्येक ग्राहक और वह व्यक्ति समान वितरण के बाद दोपहर 12 से 1 बजे के बीच आता है।

उस व्यक्ति और ग्राहक के लिए 12 से 1 के बीच के समय को दर्शाने के लिए यादृच्छिक चर X और Y पर विचार करें, इसलिए X और Y के लिए संयुक्त रूप से संभावना होगी

2पी \बाएं {एक्स+10 < वाई \दाएं} =2 \int_{X+10 < वाई} \int f(x,y)dxdy

=2 \int_{X+10 < Y} \int f_{X}(x) f_{Y}(y)dxdy

=2 \int_{10}^{60} \int_{0}^{y-10} \बाएं (\frac{1}{60}\दाएं)^{2} dxdy

=\frac{2}{(60)^{2}}\int_{10}^{60} (y-10)dy

=\frac{25}{36}

गणना

पी\बाएं {एक्स\गीक वाईजेड \दाएं}

जहां एक्स, वाई और जेड अंतराल (0,1) पर एक समान यादृच्छिक चर हैं।

यहाँ संभावना होगी

P\बाएं {X\geq YZ \right} = \int \int_{x\geq yz}\int f_{X,Y,Z} (x,y,z) dxdydz

समान वितरण के लिए घनत्व फ़ंक्शन

f_{X,Y,Z} (x,y,z) =f_{X} (x) f_{Y}(y) f_{Z}(z) =1 , \ \ 0\leq x\leq 1 , \ \ 0\leq y\leq 1 , \ \ 0\leq z\leq 1

दी गई सीमा के लिए तो

=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{yz}^{1} dxdydz

=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (1-yz) dydz

=\int_{0}^{1}\बाएं ( 1-\frac{z}{2} \right ) dydz

=\frac{3}{4}

संयुक्त वितरण द्वारा स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग

  स्वतंत्र चर X और Y का योग, संभाव्यता घनत्व कार्यों के साथ निरंतर यादृच्छिक चर के रूप में, संचयी वितरण फलन होगा

F_{X+Y} (a)= P\बाएं \{ X+Y\leq a \left. \सही सही।

= \int_{x+y\leq a}\int f_{X} (x)f_{Y}(y)dxdy

= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{ay} f_{X}(x)f_{Y}(y)dxdy

= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{ay} f_{X}(x) dx f_{Y}(y)dy

= \int_{-\infty}^{\infty} F_{X} (ay) f_{Y}(y)dy

इन स्वतंत्र योगों के प्रायिकता घनत्व फलन के लिए इस संचयी बंटन फलन को विभेदित करके

f_{X+Y} (a)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a}\int_{-\infty}^{\infty} F_{X} (ay)f_{Y} (वाई) डाई

f_{X+Y} (a)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a} F_{X} (ay)f_{Y} (वाई) डाई

=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (ay)f_{Y} (y)dy

इन दो परिणामों का अनुसरण करके हम कुछ सतत यादृच्छिक चर और उनके योग को स्वतंत्र चर के रूप में देखेंगे

स्वतंत्र वर्दी यादृच्छिक चर का योग

   यादृच्छिक चर के लिए एक्स और वाई समान रूप से अंतराल (0,1) पर वितरित किए जाते हैं, इन दोनों स्वतंत्र चर के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है

f_{X}(a)=f_{Y}(a) = \ start{cases} 1 & \ 0< a< 1 \\ \ \ 0 & \text{ अन्यथा} \end{cases}

तो हमारे पास X+Y का योग है

f_{X+Y}(a) = \int_{0}^{1}f_{X}(ay)dy

किसी भी मान के लिए a शून्य और एक के बीच स्थित है

f_{X+Y}(a)= \int_{0}^{a}dy =a

यदि हम a को एक और दो के बीच में प्रतिबंधित करते हैं तो यह होगा

f_{X+Y}(a)= \int_{a-1}^{a}dy =2-a

यह त्रिकोणीय आकार घनत्व फ़ंक्शन देता है

f_{X+Y}(a) = \ start {cases} \ a & 0\leq a \leq 1 \\ \ 2-a & \ 1< a< 2 \\ \ 0 और \text{ अन्यथा } \end {मामलों}

यदि हम n स्वतंत्र एकसमान यादृच्छिक चर 1 से n के लिए सामान्यीकरण करते हैं तो उनका वितरण फलन

F_{n}(x)=P\बाएं ( X_{1} + ......+ X_{n} \leq x \right )

गणितीय प्रेरण द्वारा होगा

F_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!} , 0\leq x\leq 1

स्वतंत्र गामा यादृच्छिक चर का योग

    यदि हमारे पास उनके सामान्य घनत्व फ़ंक्शन के साथ दो स्वतंत्र गामा यादृच्छिक चर हैं

f(y)= \frac{\lambda e^{-\lambda y}(\lambda y)^{t-1}}{\Gamma (t)} \ \ , 0< y< \infty

फिर स्वतंत्र गामा यादृच्छिक चर के योग के लिए घनत्व का अनुसरण करना

f_{X+Y}(a)=\frac{1}{\Gamma (s)\Gamma (t)}\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda (ay)}\बाएं [ \lambda (ay) \right ]^{s-1}\lambda e^{-\lambda y} (\lambda y)^{t-1}dy

=के ई^{-\lambda a} \int_{0}^{a}\left [ (ay) \right ]^{s-1}(y)^{t-1}dy

=के ई^{-\lambda a} a^{s+t-1} \int_{0}^{1} (1-x)^{s-1}x^{t-1} dx \ \ by \ \ देना \ \ x=\frac{y}{a}

=सी ई^{-\lambda a} a^{s+t-1}

f_{X+Y}(a)=\frac{\lambda e^{-\lambda a} (\lambda a)^{s+t-1}}{\Gamma (s+t)}

यह गामा यादृच्छिक चर के योग के लिए घनत्व फ़ंक्शन को दर्शाता है जो स्वतंत्र हैं

स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर का योग

    इसी तरह गामा यादृच्छिक चर के रूप में स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर का योग हम केवल विशेष रूप से गामा यादृच्छिक चर के मान निर्दिष्ट करके घनत्व फ़ंक्शन और वितरण फ़ंक्शन प्राप्त कर सकते हैं।

स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर का योग | स्वतंत्र सामान्य वितरण का योग

                यदि हमारे पास स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर की n संख्या है Xi , i=1,2,3,4….n संबंधित साधनों के साथ μi और भिन्नताएं2i तो उनका योग भी μ . के रूप में माध्य के साथ सामान्य यादृच्छिक चर हैi  और भिन्नताएं2i

    हम पहले पैरामीटर 0 और for के साथ दो सामान्य यादृच्छिक चर X के लिए सामान्य रूप से वितरित स्वतंत्र योग दिखाते हैं2 और Y पैरामीटर 0 और 1 के साथ, आइए हम योग X+Y के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन खोजें

c=\frac{1}{2\sigma ^{2}} +\frac{1}{2} =\frac{1+\sigma ^{2}}{2\sigma ^{2}}

संयुक्त वितरण घनत्व समारोह में

f_{X+Y}(a)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(ay)f_{Y}(y)dy

सामान्य वितरण के घनत्व फलन की परिभाषा की सहायता से

f_{X}(ay)f_{Y}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma} exp\left { -\frac{(ay)^{2}}{2\ सिग्मा ^{2}} \दाएं }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}exp\बाएं { -\frac{y^{2}}{2} \right }

=\frac{1}{2\pi \sigma} क्स्प \बाएं {-\frac{a^{2}}{2\sigma ^{2}} \right } क्स्प \बाएं { -c\बाएं ( y^ {2} -2y\frac{a}{1+\sigma ^{2}}\right ) \right }

इस प्रकार घनत्व फलन होगा

f_{X+Y}(a)=\frac{1}{2\pi \sigma}exp \left { -\frac{a^{2}}{2\sigma ^{2}} \right} expक्स्प \ लेफ्ट { \frac{a^{2}}{2\sigma ^{2}(1+\sigma ^{2})} \right } X \int_{-\infty}^{\infty} exp \left { -c\बाएं ( y-\frac{a}{1+\sigma ^{2}} \right )^{2} \right } dy

=\frac{1}{2\pi \sigma} क्स्प \बाएं {- \frac{a^{2}}{2(1+\sigma ^{2})} \right } \int_{-\infty} ^{\infty} क्स्प \बाएं {-सीएक्स^{2} \दाएं} dx

=सी क्स्प \बाएं {-\frac{a^{2}}{2(1+\sigma ^{2})} \right }

जो कि माध्य 0 और विचरण (1+σ .) के साथ सामान्य वितरण के घनत्व कार्य के अलावा और कुछ नहीं है2) उसी तर्क के बाद हम कह सकते हैं

X_{1} + X_{2}=\sigma {2}\बाएं ( \frac{X {1}-\mu {1}}{\sigma {2}}+\frac{X_{2}-\mu {2}}{\sigma {2}} \right ) +\mu {1} +\mu {2}

सामान्य माध्य और भिन्नताओं के साथ। यदि हम विस्तार को लेते हैं और देखते हैं कि योग सामान्य रूप से माध्य के साथ संबंधित साधनों के योग के रूप में वितरित किया जाता है और प्रसरण संबंधित प्रसरणों के योग के रूप में वितरित किया जाता है,

इस प्रकार उसी तरह nth योग μ . के माध्य के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर होगाi  और भिन्नताएं2i

स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर का योग

यदि हमारे पास पैरामीटर Po . के साथ दो स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर X और Y हैं1 और2 तो उनका योग X+Y भी पॉइसन यादृच्छिक चर या पोइसन वितरित है

चूंकि X और Y पॉइसन वितरित हैं और हम उनके योग को असंबद्ध घटनाओं के संघ के रूप में लिख सकते हैं, इसलिए

पी \बाएं { X+Y =n \right} =\sum_{k=0}^{n}P\बाएं { X=k, Y=nk \right }

=\sum_{k=0}^{n}P\बाएं {X=k \right},P\बाएं { Y=nk \right}

=\sum_{k=0}^{n}e^{-\lambda {1}} \frac{\lambda {1}^{k}}{k!}e^{-\lambda {2}}\ फ़्रैक{\lambda {2}^{nk}}{(nk)!}

स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की प्रायिकता का उपयोग करके

=e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})} \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda {1}^{k}\lambda {2}^{nk }}{के!(एनके)!}

=\frac{e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})}}{n!}\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(nk) !} \lambda {1}^{k}\lambda {2}^{nk}

=\frac{e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})}}{n!} (\lambda {1}+\lambda {2})^{n}

तो हमें योग मिलता है एक्स + वाई भी पॉइसन माध्य के साथ वितरित किया जाता है1 + λ2

स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर का योग

                यदि हमारे पास पैरामीटर (एन, पी) और (एम, पी) के साथ दो स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर एक्स और वाई हैं तो उनका योग एक्स + वाई भी द्विपद यादृच्छिक चर या पैरामीटर के साथ वितरित द्विपद है (एन + एम, पी)

द्विपद की परिभाषा के साथ योग की प्रायिकता का उपयोग करें

P\बाएं { X+Y= k \right} =\sum_{i=0}^{n}P\बाएं { X=i, Y=ki \right }

=\sum_{i=0}^{n}P\बाएं {X=i \right} P\बाएं {Y=ki \right}

=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^{i}q^{ni}\binom{m}{ki}p^{ki}q^{m-k+ मैं}

जहां \ \ q=1-p \ \ और \ \ जहां \ \ \binom{r}{j}=0 \ \ जब \ \ j< 0

\binom{m+n}{k}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{m}{ki}

जो देता है

P\बाएं { X+Y=k \right }=p^{k}q^{n+mk}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{m}{ की}

इसलिए योग X+Y को भी पैरामीटर (n+m, p) के साथ द्विपद रूप से वितरित किया जाता है।

निष्कर्ष:

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर की अवधारणा, जो स्थिति में एक से अधिक चर के लिए तुलनात्मक रूप से वितरण देता है, इसके अलावा स्वतंत्र यादृच्छिक चर की मूल अवधारणा को संयुक्त वितरण की मदद से और वितरण के कुछ उदाहरण के साथ स्वतंत्र चर के योग के साथ दिया गया है उनके पैरामीटर, यदि आपको और पढ़ने की आवश्यकता है, तो उल्लिखित पुस्तकों को देखें। गणित पर अधिक पोस्ट के लिए, कृपया यहां क्लिक करे।

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शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

संयुक्त रूप से वितरित यादृच्छिक चर | इसके महत्वपूर्ण गुण और 5 उदाहरणमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, दिलचस्प और आत्म व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजेक्स में योगदान करना मुझे अच्छा लगता है।
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