2डी निर्देशांक ज्यामिति: 11 महत्वपूर्ण तथ्य

2डी कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में लोकस

Locus एक लैटिन शब्द है। यह 'स्थान' या 'स्थान' शब्द से बना है। लोकस का बहुवचन लोकी है।

लोकस की परिभाषा:

ज्यामिति में, 'लोकस' बिंदुओं का एक समूह है जो किसी आकृति या आकृति की एक या अधिक निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करता है। आधुनिक गणित में, वह स्थान या पथ जिस पर कोई बिंदु दी गई ज्यामितीय स्थितियों को संतुष्ट करते हुए समतल पर चलता है, बिंदु का बिंदुपथ कहलाता है।

रेखा, रेखा खंड और नियमित या अनियमित घुमावदार आकृतियों के लिए रेखागणित को परिभाषित किया गया है, सिवाय उन आकृतियों के जिनमें शीर्ष या कोण ज्यामिति में हैं। https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

लोकस पर उदाहरण:

रेखाएँ, वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय, अतिपरवलय आदि इन सभी ज्यामितीय आकृतियों को बिन्दुओं के बिन्दुपथ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

लोकस का समीकरण:

ज्यामितीय गुणों या शर्तों का बीजगणितीय रूप जो लोकस पर सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, उन बिंदुओं के स्थान के समीकरण के रूप में जाना जाता है।

लोकस के समीकरण को प्राप्त करने की विधि:

समतल पर किसी गतिमान बिंदु के बिन्दुपथ का समीकरण ज्ञात करने के लिए, नीचे वर्णित प्रक्रिया का पालन करें

(i) सबसे पहले, मान लें कि एक समतल पर गतिमान बिंदु के निर्देशांक (h,k) हैं।

(ii) दूसरा, दी गई ज्यामितीय स्थितियों या गुणों से h और k के साथ एक बीजीय समीकरण व्युत्पन्न करें।

(iii) तीसरा, उपरोक्त समीकरण में क्रमशः h और k को x और y से बदलें। अब इस समीकरण को समतल पर गतिमान बिन्दु के बिन्दुपथ का समीकरण कहते हैं। (x, y) गतिमान बिंदु के वर्तमान निर्देशांक हैं और ठिकाने के समीकरण को हमेशा x और y के रूप में व्युत्पन्न किया जाना चाहिए अर्थात वर्तमान निर्देशांक।

लोकस के बारे में अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

4+ लोकस पर विभिन्न प्रकार की हल की गई समस्याएं:

समस्या 1: If P XY-तल पर कोई भी बिंदु हो जो दो दिए गए बिंदुओं से समान दूरी पर हो ए(3,2) और बी(2,-1) उसी तल पर, फिर ग्राफ़ के साथ बिंदु P का बिंदुपथ और बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उपाय: 

मान लें कि के स्थान पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक P XY-तल पर हैं (एच, के).

चूँकि P, A और B से समान दूरी पर है, हम लिख सकते हैं

A से P की दूरी = B से P की दूरी

या, |PA|=|PB|

या, (एच² -6h+9+k² -4k+4) = (एच² -4h+4+k² +2k+1)——–दोनों तरफ वर्ग लेना।

या, एच² -6h+13+k² -4k -एच²+4 घंटे-5-के² -2k = 0

या, -2h -6k+8 = 0

या, h+3k -4 = 0

या, h+3k = 4 ——– (1)

यह h और k का प्रथम अंश समीकरण है।

अब यदि h और k को x और y से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो समीकरण (1) x + 3y = 4 के रूप में x और y का प्रथम डिग्री समीकरण बन जाता है जो एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।

इसलिए, XY-तल पर बिंदु P(h, k) का बिंदुपथ एक सीधी रेखा है और बिंदुपथ का समीकरण x + 3y = 4 है। (उत्तर।)

समस्या 2: एक तो बिन्दु R XY-तल पर इस प्रकार गति करता है कि आरए: आरबी = 3:2 जहां बिंदुओं के निर्देशांक A और B रहे (-5,3) और (2,4) क्रमशः एक ही तल पर, फिर बिंदु R का स्थान ज्ञात कीजिए।

R के बिन्दुपथ का समीकरण किस प्रकार का वक्र दर्शाता है?

उपाय: आइए मान लें कि दिए गए बिंदु के स्थान पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक R XY-तल पर (एम, एन).

एस्पर दी गई शर्त आरए: आरबी = 3:2,

अपने पास,

(ए से आर की दूरी) / (बी से आर की दूरी) = 3/2

या, (एम² +10मी+34+एन² -6एन) / (एम² -4 एम + एन² -8n+20) =9/4 ———– दोनों तरफ वर्ग लेना।

या, 4(एम² +10मी+34+एन² -6एन) = 9 (एम² -4 एम + एन² -8एन+20)

या, 4मी² +40मी+136+4एन² -24एन = 9एम² -36मी+9एन² -72एन+180)

या, 4मी² +40मी+136+4एन² -24n - 9m² +36मी-9n² +72एन-180 = 0

या, -5 मी² +76मी-5n²+48एन-44 = 0

या, 5(एम²+n²)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

यह m और n का द्वितीय अंश समीकरण है।

अब यदि m और n को x और y से प्रतिस्थापित कर दिया जाए, तो समीकरण (1) 5(x) के रूप में x और y का दूसरा डिग्री समीकरण बन जाता है।²+y²)-76x+48y+44 = 0 जहां x . के गुणांक² और y² समान हैं और xy का गुणांक शून्य है। यह समीकरण एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

इसलिए, XY-तल पर बिंदु R(m, n) का बिंदुपथ एक वृत्त है और बिंदुपथ का समीकरण है

5 (एक्स²+y²)-76x+48y+44 = 0 (उत्तर।)

समस्या 3: (θ,aCosθ,bSinθ) के सभी मानों के लिए निर्देशांक एक बिंदु P है जो XY तल पर गति करता है। P के बिन्दुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उपाय: मान लीजिए (h, k) XY-तल पर P के स्थान पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक हैं।

तब प्रश्न के अनुसार, हम कह सकते हैं

एच = एक कोस

या, h/a = Cosθ —————(1)

और k = b Synθ

या, k/b = Synθ —————(2)

अब दोनों समीकरणों (1) और (2) का वर्ग लेने और फिर जोड़ने पर, हमारे पास समीकरण

h²/a² + के²/b² =कोस²+ सिन²θ

या, एच²/a² + के²/b² = 1 (कोस के बाद से)²+ सिन²θ = 1 त्रिकोणमिति में)

अतः बिंदु P के बिन्दुपथ का समीकरण x है²/a² + और²/b² = 1। (उत्तर।)

समस्या १ : XY-तल पर गतिमान बिंदु Q के बिन्दुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि Q के निर्देशांक हैं

जहां आप परिवर्तनीय पैरामीटर हैं।

समाधान: मान लीजिए कि XY-तल पर गति करते समय दिए गए बिंदु Q के स्थान पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक (h, k) हैं।

फिर, एच = और के =

यानी h(3u+2) = 7u-2 और k(u-1) = 4u+5

यानी (3h-7)u = -2h-2 और (k-4)u = 5+k

अर्थात आप = —————(1)

और तुम = —————(2)

अब समीकरण (1) और (2) को बराबर करने पर, हम पाते हैं,

या, (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

या, -5hk-7h+5k = -43

या, 5hk+7h-5k = 43

इसलिए, Q के बिन्दुपथ का समीकरण 5xy+7x-5y = 43 है।

आपके द्वारा अभ्यास के उत्तर के साथ Locus पर और उदाहरण:

समस्या 5: यदि एक चर है और u एक अचर है, तो दो सीधी रेखाओं x Cosθ + y Sinθ = u और x Sinθ- y Cosθ = u के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिन्दुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए। (उत्तर x²+y² =2यू² )

समस्या 6: अक्षों के बीच सीधी रेखा x Sinθ + y Cosθ = t के रेखाखंड के मध्य बिंदु के बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए। (उत्तर 1/x²+ 1 /y² =4/टी² )

समस्या 7: यदि कोई बिंदु P XY-तल पर इस प्रकार गति कर रहा है कि बिंदु द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल दो बिंदुओं (2,-1) और (3,4) से बना है। (उत्तर 5x-y=11)

सूत्र "एक त्रिभुज का केन्द्रक" पर मूल उदाहरण  2डी निर्देशांक ज्यामिति में

केन्द्रक: त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ सदैव त्रिभुज के आंतरिक क्षेत्र में स्थित एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और किसी भी शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्यबिंदु तक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती हैं। इस बिंदु को त्रिभुज का केन्द्रक कहा जाता है।   

समस्या 1: शीर्षों (-1,0), (0,4) और (5,0) वाले त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

उपाय:  हम पहले से जानते हैं,

                                             If  ए (एक्स₁,y₁) बी (एक्स₂,y₂) और सी (एक्स₃,y₃) एक त्रिभुज के शीर्ष हो और जी (एक्स, वाई) केन्द्रक हो त्रिभुज का, तो के निर्देशांक G रहे

और

इस सूत्र का उपयोग करते हुए हमारे पास है, 

(x₁,y₁) (-1,0) यानी x₁= -1, y₁=0;

(x₂,y₂) (0,4) यानी   x₂= 0, y₂= एक्सएनएनएक्स और

(x₃,y₃) (२,१) यानी   x₃= 5, y₃=0

(सूत्र चार्ट देखें)

तो, केन्द्रक G का x-निर्देशांक,   

यानी

यानी x=4/3

                  और 

केन्द्रक G का y-निर्देशांक,  

अर्थात

यानी y=4/3

अत: दिए गए त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक हैं . (उत्तर)

उपरोक्त समस्या 1 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके आगे के अभ्यास के लिए और अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 2: बिंदुओं (-3,-1), (-1,3)) और (1,1) पर शीर्षों वाले त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (-1,1)

समस्या 3: शीर्ष (5,2), (10,4) और (6,-1) वाले त्रिभुज के केन्द्रक का x-निर्देशांक क्या है?

उत्तर: 7 

समस्या 4: एक त्रिभुज के तीन शीर्ष (5,9), (2,15) और (11,12) हैं। इस त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (6,12)

उत्पत्ति का स्थानांतरण / अक्षों का अनुवाद- 2D निर्देशांक ज्यामिति

ओरिजिन के शिफ्टिंग का मतलब है कि एक्सिस की ओरिएंटेशन को अपरिवर्तित रखते हुए ओरिजिन को एक नए पॉइंट पर शिफ्ट करना यानी नई एक्सिस एक ही प्लेन में ओरिजिनल एक्सिस के समानांतर रहे। कुल्हाड़ियों के इस अनुवाद या मूल प्रक्रिया के स्थानांतरण से ज्यामितीय आकार के बीजीय समीकरण पर कई समस्याओं को सरल और आसानी से हल किया जाता है।

"उत्पत्ति का स्थानांतरण" या "अक्ष का अनुवाद" का सूत्र चित्रमय प्रतिनिधित्व के साथ नीचे वर्णित है।

फॉर्मूला:

यदि O मूल बिंदु हो, P(x,y) XY तल में कोई बिंदु हो और O को किसी अन्य बिंदु O′(a,b) पर स्थानांतरित कर दिया जाए, जिसके विरुद्ध बिंदु P के निर्देशांक (x) हो जाते हैं₁,y₁) एक ही तल में नए अक्षों के साथ X₁Y₁  ,तब P के नए निर्देशांक हैं

x₁ = एक्स-ए

y₁ = वाई-बी

स्पष्टीकरण के लिए चित्रमय प्रतिनिधित्व: रेखांकन का पालन करें

कुछ हल 'उत्पत्ति के स्थानांतरण' के सूत्र पर समस्याएँ:

समस्या -1 : यदि एक ही तल में दो बिंदु (3,1) और (5,4) हैं और नए अक्षों को मूल अक्षों के समानांतर रखते हुए मूल बिंदु (3,1) पर स्थानांतरित कर दिया जाता है, तो इसके निर्देशांक ज्ञात कीजिए। नए मूल और कुल्हाड़ियों के संबंध में बिंदु (5,4)।

उपाय: ऊपर वर्णित 'उत्पत्ति के स्थानांतरण' के सूत्र की तुलना करने पर, हमारे पास नई उत्पत्ति, O'(a, b) ≌ (3,1) यानी a=3, b=1 और आवश्यक बिंदु P, (x, y) है। ≌ (5,4) यानी x=5 , y=4

अब अगर (x₁,y₁) बिंदु P(5,4) के नए निर्देशांक बनें, फिर एस्पर सूत्र x₁ = एक्सए और वाई₁ =yb,

हमें मिलता है, एक्स₁ = 5-3 और y₁ = 4-1

यानी एक्स₁ = 2 और y₁ =3

इसलिए, बिंदु (5,4) के आवश्यक नए निर्देशांक (2,3) हैं। (उत्तर।)

समस्या -2 : एक ही तल में मूल बिंदु को एक बिंदु पर स्थानांतरित करने के बाद, अक्षों को एक दूसरे के समानांतर रखते हुए, एक बिंदु (5, -4) के निर्देशांक (4, -5) हो जाते हैं। नए मूल के निर्देशांक खोजें।

उपाय: यहां 'उत्पत्ति को स्थानांतरित करना' या 'अक्षों का अनुवाद' के सूत्र का उपयोग करके, हम कह सकते हैं कि पुराने और नए मूल और अक्षों के संबंध में बिंदु P के निर्देशांक क्रमशः (x, y) ≌ (5,-4) हैं। x=5 , y= -4 और (x₁,y₁) (4,-5) यानी)  x₁= 4, वाई₁= -5

अब हमें नए मूल के निर्देशांक ज्ञात करने हैं ओ′ (ए, बी) यानी ए =?, बी =?

एस्पर फॉर्मूला,

x₁ = एक्स- a

y₁ = वाई- b

यानी a=xx₁ और b=yy₁

या, a=5-4 और b= -4-(-5)

या, a=1 और b= -4+5

या, a=1 और b= 1

इसलिए, O'(1,1) नई उत्पत्ति हो यानी नए मूल के निर्देशांक (1,1) हैं। (उत्तर।)

2D निर्देशांक ज्यामिति में सूत्र "अंकों की संरेखता (तीन बिंदु)" पर मूल उदाहरण

समस्या 1:  जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (1,0), (0,0) और (-1,0) संरेख हैं या नहीं।

उपाय:  हम पहले से जानते हैं,

                                            If  ए (एक्स₁,y₁) बी (एक्स₂,y₂) और सी (एक्स₃,y₃) कोई तीन संरेख बिंदु हों, तो उनके द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए अर्थात त्रिभुज का क्षेत्रफल है ½ [x₁ (y₂- आप₃) + एक्स₂ (y₃- आप₁) + एक्स₃ (y₁-y₂)] =0

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का उपयोग करते हुए हमारे पास है,

(x₁,y₁) (-1,0) यानी   x₁= -1, y₁= 0 ;

(x₂,y₂) (२,१) यानी   x₂= 0, y₂= 0;

(x₃,y₃) (२,१) यानी    x₃= 1, y₃= 0

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = |½[एक्स₁ (y₂-  y₃) + एक्स₂ (y₃-  y₁) + एक्स₃ (y₁-y₂)]| अर्थात.

(एलएचएस) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (आरएचएस)

अत: दिए गए बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो जाता है अर्थात वे एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।

अतः दिए गए बिंदु संरेख बिंदु हैं। (उत्तर)

ऊपर वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं समस्या १:-

समस्या 2: जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (-1,-1), (0,0) और (1,1) संरेख हैं या नहीं।

उत्तर: हाँ

समस्या 3: क्या तीन बिंदुओं (-3,2), (5,-3) और (2,2) से होकर एक रेखा खींचना संभव है?

उत्तर:नहीं

समस्या 4: जाँच कीजिए कि क्या रेखाओं से जुड़े बिंदु (1,2), (3,2) और (-5,2) निर्देशांक तल में त्रिभुज बना सकते हैं।

उत्तर: नहीं

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सूत्र पर मूल उदाहरण "एक त्रिभुज का केंद्र" 2डी निर्देशांक ज्यामिति में

केंद्र में:यह त्रिभुज के सबसे बड़े अंतःवृत्त का केंद्र है जो त्रिभुज के अंदर फिट बैठता है। यह त्रिभुज के आंतरिक कोणों के तीन समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु भी है।

समस्या 1: भुजाओं वाले त्रिभुज के शीर्ष क्रमशः (-2,0), (0,5) और (6,0) हैं। त्रिभुज का केंद्र बिंदु ज्ञात कीजिए।

उपाय: हम पहले से जानते हैं,

If  ए (एक्स₁,y₁) बी (एक्स₂,y₂) और सी (एक्स₃,y₃) शीर्ष हो, BC=a, CA=b और AB=c , जी′ (एक्स, वाई) त्रिभुज का केंद्र हो,

के निर्देशांक जी' रहे

और         

(सूत्र चार्ट देखें)

हमारे पास सूत्र के अनुसार,

(x₁,y₁) (-4,0) यानी  x₁= -4, y₁=0;

(x₂,y₂) (0,3) यानी  x₂= 0, y₂=3 ;

(x₃,y₃) (२,१) यानी   x₃= 0, y₃=0

हमारे पास अब है,

ए = [(एक्स₂-x₁)²+ (Y₂-y₁)² ]

या, a= √ [(0+4)²+(3-0)² ]

या, ए= √ [(4)²+ (3)² ]

या, a= √ (16+9)

या, a= √25

या, ए = 5 ——————(1)

बी = √ [(एक्स₁-x₃)²+ (Y₁-y₃)² ]

या, b= √ [(-4-0)²+(0-0)² ]

या, b= √ [(-4)²+ (0)² ]

या, b= √ (16+0)

या, b= √16

या, बी=4 ——————–(2)

सी = [(एक्स₃-x₂)²+ (Y₃-y₂)² ]

या, c= √ [(0-0)²+(0-3)² ]

या, सी= √ [(0)²+(-3)² ]

या, c= √ (0+9)

या, c= √9

या, सी=3 ——————–(3)

और एकx₁+ bx₂ + सीएक्स₃ = (5 एक्स (-4)) + (4 एक्स 0) + (3 एक्स 6)

= -20+0+18

या, ax₁+ bx₂ + सीएक्स₃ = -2 ——————-(4)

ay₁+ by₂+ साय₃ = (5 एक्स 0) + (4 एक्स 3) + (3 एक्स 0)

= 0+12+0

या, ay₁+ द्वारा₂+ साय₃ = 12 ——————–(5)

ए+बी+सी = 5+4+3

या, ए+बी+सी = 12 ——————(6)

उपरोक्त समीकरणों का उपयोग करना (1), (2), (3), (4), (5) और (6) हम के मूल्य की गणना कर सकते हैं x और y से

या, x = -2/12

या, x = -1/6

और

या, y = 12/12

या, y = 1

अत: दिए गए त्रिभुज के अंतःकेंद्र के अभीष्ट निर्देशांक हैं (-1/6, 1)। (उत्तर।)

उपरोक्त समस्या 1 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके आगे के अभ्यास के लिए और अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 2: बिंदुओं (-3,-1), (-1,3)) और (1,1) पर शीर्षों वाले त्रिभुज के अंतःकेंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समस्या 3: शीर्ष (0,2), (0,0) और (0,-1) वाले त्रिभुज के अंतःकेंद्र का x-निर्देशांक क्या है?

समस्या 4: त्रिभुज के तीन शीर्ष (1,1), (2,2) और (3,3) हैं। इस त्रिभुज का केंद्र बिंदु ज्ञात कीजिए।