गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर
संभाव्यता सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, गणितीय अपेक्षा की मूल परिभाषा और बुनियादी गुण पहले से ही हमने पिछले कुछ लेखों में चर्चा की थी, अब विभिन्न वितरणों और वितरणों के प्रकारों पर चर्चा करने के बाद, निम्नलिखित लेख में हम कुछ और से परिचित होंगे गणितीय अपेक्षा के उन्नत गुण।
यादृच्छिक चर के योग की अपेक्षा | यादृच्छिक चर के कार्य की अपेक्षा | संयुक्त संभाव्यता वितरण की अपेक्षा
हम जानते हैं कि असतत प्रकृति के यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है
और निरंतर एक के लिए है
अब यादृच्छिक चर X और Y के लिए यदि असतत है तो संयुक्त के साथ जन समारोह की संभावना पी (एक्स, वाई)
यादृच्छिक चर X और Y के फलन की अपेक्षा होगी
और यदि निरंतर है तो संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन f(x, y) के साथ यादृच्छिक चर X और Y के फलन की अपेक्षा होगी
यदि g इन दो यादृच्छिक चरों का निरंतर रूप में योग है तो
और यदि यादृच्छिक चर X और Y के लिए हमारे पास है
एक्स> वाई
फिर उम्मीद भी
उदाहरण
एक कोविड -19 अस्पताल समान रूप से लंबाई एल की सड़क पर एक बिंदु एक्स पर वितरित किया जाता है, रोगियों के लिए ऑक्सीजन ले जाने वाला वाहन एक स्थान वाई पर है जो सड़क पर समान रूप से वितरित किया जाता है, कोविड -19 अस्पताल के बीच अपेक्षित दूरी का पता लगाएं और ऑक्सीजन ले जाने वाले वाहन यदि वे स्वतंत्र हैं।
उपाय:
X और Y के बीच की अपेक्षित दूरी ज्ञात करने के लिए हमें E {| की गणना करनी होगी एक्सवाई | }
अब X और Y का संयुक्त घनत्व फलन होगा
के बाद से
इसका पालन करके हमारे पास है
अब समाकलन का मान होगा
इस प्रकार इन दोनों बिंदुओं के बीच अपेक्षित दूरी होगी
नमूना माध्य की अपेक्षा
यादृच्छिक चर के अनुक्रम के नमूना माध्य के रूप में X1, एक्स2, ………, एक्सn वितरण फलन F के साथ और प्रत्येक का अपेक्षित मान μ is . के रूप में
तो इस नमूना माध्य की अपेक्षा होगी
जो दर्शाता है कि नमूना माध्य का अपेक्षित मान भी μ है।
बूले की असमानता
बूले का गुणों की सहायता से असमानता प्राप्त की जा सकती है उम्मीदों की, मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X को परिभाषित किया गया है
जहां
यहां एकi यादृच्छिक घटनाएं हैं, इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर एक्स घटनाओं की संख्या की घटना का प्रतिनिधित्व करता है एi और एक अन्य यादृच्छिक चर Y as
स्पष्ट रूप से
एक्स> = वाई
ई [एक्स]> = ई [वाई]
और ऐसे ही
अब यदि हम यादृच्छिक चर X और Y का मान लें तो ये अपेक्षाएं होंगी
और
उपरोक्त असमानता में इन अपेक्षाओं को प्रतिस्थापित करने पर हमें बूल की असमानता इस प्रकार मिलेगी
द्विपद यादृच्छिक चर की अपेक्षा | द्विपद यादृच्छिक चर का माध्य
हम जानते हैं कि द्विपद यादृच्छिक चर यादृच्छिक चर है जो n स्वतंत्र परीक्षणों में सफलता की संख्या को p के रूप में सफलता की संभावना और q = 1-p के रूप में विफलता के साथ दिखाता है, इसलिए
एक्स = एक्स1 + एक्स2+ …….+ एक्सn
कहा पे
यहाँ ये Xi के हैं Bernoulli और उम्मीद होगी
तो एक्स की उम्मीद होगी
ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक चर की अपेक्षा | ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक चर का माध्य
मान लीजिए एक यादृच्छिक चर X जो r सफलताओं को एकत्रित करने के लिए आवश्यक परीक्षणों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तो ऐसे यादृच्छिक चर को ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
यहाँ प्रत्येक Xi कुल i सफलताओं को प्राप्त करने के लिए (i-1) सफलता के बाद आवश्यक परीक्षणों की संख्या को निरूपित करें।
चूंकि इनमें से प्रत्येक Xi ज्यामितीय यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करते हैं और हम जानते हैं कि ज्यामितीय यादृच्छिक चर की अपेक्षा है
so
कौन सा उम्मीद नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर।
हाइपरज्यामितीय यादृच्छिक चर की अपेक्षा | हाइपरज्यामितीय यादृच्छिक चर का माध्य
हाइपरज्यामितीय यादृच्छिक चर की अपेक्षा या माध्य हम एक साधारण वास्तविक जीवन उदाहरण की सहायता से प्राप्त करेंगे, यदि n पुस्तकों की संख्या को यादृच्छिक रूप से N पुस्तकों वाले शेल्फ से चुना जाता है, जिनमें से m गणित की हैं, तो अपेक्षित संख्या ज्ञात करने के लिए गणित की किताबें X को चुनी गई गणित की किताबों की संख्या बताती हैं तो हम X को इस प्रकार लिख सकते हैं
जहां
so
=एन/एन
जो देता है
जो इस तरह के हाइपरज्यामितीय यादृच्छिक चर का माध्य है।
मैचों की अपेक्षित संख्या
यह अपेक्षा से संबंधित बहुत लोकप्रिय समस्या है, मान लीजिए कि एक कमरे में एन संख्या में लोग हैं जो कमरे के बीच में अपनी टोपी फेंकते हैं और सभी टोपी मिश्रित होते हैं उसके बाद प्रत्येक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से एक टोपी चुनते हैं तो लोगों की अपेक्षित संख्या जो अपनी खुद की टोपी चुनते हैं, हम एक्स को मैचों की संख्या देकर प्राप्त कर सकते हैं
कहा पे
चूँकि प्रत्येक व्यक्ति के पास N हैट में से किसी भी हैट को चुनने का समान अवसर होता है
so
जिसका मतलब है कि औसतन एक व्यक्ति अपनी टोपी खुद चुनता है।
घटनाओं के मिलन की संभावना
आइए उम्मीद की मदद से घटनाओं के संघ की संभावना प्राप्त करें ताकि घटनाओं ए के लिएi
इसके साथ हम लेते हैं
तो इसकी उम्मीद होगी
और उम्मीद संपत्ति का उपयोग करके विस्तार करना
चूंकि हमारे पास है
और
so
इसका मतलब है कि संघ की संभावना
संभाव्यता पद्धति का उपयोग करके अपेक्षा से सीमा
मान लीजिए S एक परिमित समुच्चय है और f, S और के तत्वों पर फलन है
यहाँ हम f(s) की अपेक्षा से इस m के लिए निचली सीमा प्राप्त कर सकते हैं जहाँ "s" S का कोई यादृच्छिक तत्व है जिसकी अपेक्षा हम गणना कर सकते हैं
यहां हमें अधिकतम मूल्य के लिए निचली सीमा के रूप में अपेक्षा मिलती है
अधिकतम-न्यूनतम पहचान
अधिकतम न्यूनतम पहचान किसी भी संख्या x के लिए इन संख्याओं के सबसेट के न्यूनतम सेट की अधिकतम संख्या हैi
इसे दिखाने के लिए आइए x . को प्रतिबंधित करेंi अंतराल [0,1] के भीतर, मान लीजिए कि अंतराल (0,1) और घटनाओं A पर एक समान यादृच्छिक चर U हैi क्योंकि एकसमान चर U, x . से छोटा हैi है
चूँकि उपरोक्त में से कम से कम एक घटना घटित होती है क्योंकि U एक से कम है, x . का मानi
और
स्पष्ट रूप से हम जानते हैं
और सभी घटनाएँ घटित होंगी यदि U सभी चरों से कम है और
संभावना देता है
हमारे पास संघ की संभावना का परिणाम है
संभाव्यता के लिए इस समावेश बहिष्करण सूत्र का पालन करना
विचार करना
यह देता है
के बाद से
जिसका मतलब है
- इसलिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
उम्मीद लेते हुए हम अधिकतम और आंशिक न्यूनतम के अपेक्षित मान प्राप्त कर सकते हैं:
निष्कर्ष:
विभिन्न वितरण के संदर्भ में अपेक्षा और कुछ के साथ अपेक्षा का सहसंबंध सिद्धांत संभावना अवधारणाएँ इस लेख का फोकस थीं जो विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों को प्राप्त करने के लिए एक उपकरण के रूप में अपेक्षा के उपयोग को दर्शाती हैं, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है तो नीचे दी गई पुस्तकों को पढ़ें।
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https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
शेल्डन रॉस द्वारा संभाव्यता में पहला कोर्स
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ROHATGI और SALEH द्वारा संभाव्यता और सांख्यिकी का परिचय
