पल उत्पन्न करने वाले कार्य | इसके 6 महत्वपूर्ण वितरण

क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य    

क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य बहुत महत्वपूर्ण कार्य है जो यादृच्छिक चर के क्षणों को उत्पन्न करता है जिसमें माध्य, मानक विचलन और विचरण आदि शामिल होते हैं, इसलिए केवल क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन की सहायता से, हम मूल क्षणों के साथ-साथ उच्च क्षण भी पा सकते हैं, इस लेख में हम विभिन्न असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य देखेंगे। चूंकि मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन (MGF) को M(t) द्वारा निरूपित गणितीय अपेक्षा की मदद से परिभाषित किया गया है

एम(टी)=ई\बाएं[ई^{टी एक्स}\दाएं]

और असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए अपेक्षा की परिभाषा का उपयोग करके यह फ़ंक्शन होगा

एम (टी) = \ बाएं \ {\ शुरू {सरणी} {ll} \ sum_ {x} ई ^ {टीएक्स} पी (एक्स) और \ टेक्स्ट {अगर} एक्स \ टेक्स्ट { मास फ़ंक्शन के साथ अलग है} पी (एक्स ) \\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix} f(x) dx और \text { अगर } X \text { घनत्व के साथ निरंतर है } f(x) \end{array}\ सही।

जो t के मान को शून्य के रूप में प्रतिस्थापित करके संबंधित क्षण उत्पन्न करता है। इन क्षणों को हमें इस पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को पहले क्षण के लिए अलग करके एकत्र करना है या इसका मतलब है कि हम एक बार अंतर करके प्राप्त कर सकते हैं

\शुरू {गठबंधन} एम ^ {\ प्रधान} (टी) और = \ फ्रैक {डी} {डीटी} ई \ बाएं [ई ^ {टी एक्स} \ दाएं] \\ और = ई \ बाएं [\ फ्रैक {डी} {डीटी} \ बाएं (ई ^ {एलएक्स} \ दाएं) \ दाएं] \\ और = ई \ बाएं [एक्स ई ^ {टी एक्स} \ दाएं] \ अंत {गठबंधन}

यह संकेत देता है कि अपेक्षा के तहत विभेदन विनिमेय है और हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

\frac{d}{dt}\left[\sum_{x} e^{ix} p(x)\right]=\sum_{x} \frac{d}{dt}\left[e^{\operatorname {tr}} पी(एक्स)\दाएं]

और

\frac{d}{dt}\left[\int e^{ix} f(x) dx\right]=\int \frac{d}{dt}\left[e^{tx} f(x)\ दाएं] डीएक्स

अगर t=0 उपरोक्त क्षण होंगे

एम ^ {\ प्राइम} (0) = ई [एक्स]

और

\begin{aligned} M^{\prime \prime}(t) &=\frac{d}{dt} M^{\prime}(t) \\ &=\frac{d}{dt} E\left [X e^{t X}\right] \\ &=E\left[\frac{d}{dt}\left(X e^{t X}\right)\right] \\ &=E\left [X^{2} e^{LX}\right]\\ M^{\prime \prime}(0)&=E\left[X^{2}\right] \end{aligned}

सामान्य तौर पर हम कह सकते हैं कि

M^{n}(t)=E\left[X^{n} e^{t X}\right] \quad n \geq 1

इसलिये

M^{n}(0)=E\बाएं[X^{n}\दाएं] \quad n \geq 1

द्विपद वितरण का क्षण उत्पन्न करने वाला फलन || द्विपद वितरण क्षण उत्पन्न करने वाला फलन || द्विपद वितरण का MGF || क्षण उत्पन्न करने वाले फलन का उपयोग करके द्विपद वितरण का माध्य और प्रसरण

यादृच्छिक चर X के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फलन जो द्विपद बंटन है, पैरामीटर n और p के साथ द्विपद बंटन के प्रायिकता फलन का अनुसरण करेगा

\शुरू {गठबंधन} एम(टी) और=ई\बाएं[ई^{टी एक्स}\दाएं] \\ &=\sum_{k=0}^{n} ई^{tk}\बाएं(\शुरू{ सरणी}{l} n \\ k \end{सरणी}\दाएं) p^{k}(1-p)^{nk} \\ &=\sum_{k=0}^{n}\बाएं(\ शुरू करें {सरणी} {एल} एन \\ के \ अंत {सरणी} \ दाएं) \ बाएं (पीई ^ {टी} \ दाएं) ^ {के} (1-पी) ^ {एनके} \\ और = \ बाएं पीई^{टी}+1-पी\दाएं)^{एन} \अंत{गठबंधन}

जो द्विपद प्रमेय का परिणाम है, अब अंतर करना और t=0 . का मान डालना

M^{\prime}(t)=n\left(pe^{t}+1-p\right)^{n-1} पे^{t}\\ E[X]=M^{\prime} (0) = एनपी

जो द्विपद बंटन का माध्य या प्रथम आघूर्ण है उसी प्रकार दूसरा आघूर्ण होगा

M^{\prime}(t)=n(n-1)\left(pe^{t}+1-p\right)^{n-2}\left(pe^{t}\right)^{ 2}+n\बाएं(पीई^{टी}+1-पी\दाएं)^{एन-1} पे^{टी}\\ ई\बाएं[एक्स^{2}\दाएं]=एम^{\प्राइम \prime}(0)=n(n-1) p^{2}+np

अतः द्विपद बंटन का प्रसरण होगा

\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2} \\ &=n(n-1) p^ {2}+n pn^{2} p^{2} \\ &=np(1-p) \end{aligned}

जो द्विपद बंटन का मानक माध्य और प्रसरण है, इसी प्रकार उच्च आघूर्ण भी हम इस आघूर्ण उत्पन्न करने वाले फलन का उपयोग करके प्राप्त कर सकते हैं।

मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन मछली वितरण||मछली डिस्ट्रीब्यूशन मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन || MGF of मछली वितरण || मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन का उपयोग करके पॉइसन वितरण का माध्य और प्रसरण

 यदि हमारे पास यादृच्छिक चर एक्स है जो पॉइसन को पैरामीटर लैम्ब्डा के साथ वितरित किया जाता है तो इस वितरण के लिए पल उत्पन्न करने वाला कार्य होगा

\शुरू {गठबंधन} एम(टी) और=ई\बाएं[ई^{\ell एक्स}\दाएं] \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{in} ई ^{-\lambda} \lambda^{n}}{n !} \\ &=e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\lambda e^ {t}\दाएं)^{n}}{n !}\\ &=e^{-\lambda} e\\ &=e^ {\बाएं\{\lambda\left(e^{t}-1 \दाएं)\दाएं\}} \अंत{गठबंधन}

अब इसे अलग करने से मिलेगा

\शुरू {गठबंधन} एम ^ {\ प्रधान} (टी) और = \ लैम्ब्डा ई ^ {टी} ई ^ {\ बाएं \ {\ लैम्ब्डा \ बाएं (ई ^ {टी} -1 \ दाएं) \ दाएं \} } \\ M^{\ prime \ prime}(t) &=\left(\lambda e^{t}\right)^{2} e^{\left\{\lambda\left(e^{t}- 1\दाएं)\दाएं\}}+\लैम्ब्डा ई^{टी} ई^{ \बाएं\{\लैम्ब्डा\बाएं(ई^{टी}-1\दाएं)\दाएं\}} \अंत{गठबंधन}

यह देता है

\begin{aligned} E[X] &=M^{\prime}(0)=\lambda \\ E\left[X^{2}\right] &=M^{\prime \prime}(0) =\lambda^{2}+\lambda \\ \operatorname{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2} \\ &=\ लैम्ब्डा \ अंत {गठबंधन}

जो पॉइसन वितरण के लिए माध्य और भिन्नता देता है जो सत्य है

घातीय वितरण का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य ||घातीय डिस्ट्रीब्यूशन मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन || MGF of घातीय वितरण|| का माध्य और प्रसरण घातीय पल पैदा करने वाले फ़ंक्शन का उपयोग करके वितरण

                परिभाषा का पालन करके घातीय यादृच्छिक चर X के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य है

\begin{aligned} M(t) &=E\left[e^{t X}\right] \\ &=\int_{0}^{\infty} e^{\lfloor x} \lambda e^{ -\lambda x} dx \\ &=\lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda-t) x} dx \\ &=\frac{\lambda}{\lambda-t } \quad \text { के लिए } t<\lambda \end{aligned}

यहाँ t का मान लैम्ब्डा पैरामीटर से कम है, अब इसे विभेदित करने पर मिलेगा

M^{\prime}(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^{2}} \quad M^{\prime \prime}(t)=\frac{2 \lambda}{ (\lambda-t)^{3}}

जो क्षण प्रदान करता है

E[X]=M^{\prime}(0)=\frac{1}{\lambda} \quad E\left[X^{2}\right]=M^{\prime \prime}(0) =\frac{2}{\lambda^{2}}

स्पष्ट रूप से

\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2} \\ &=\frac{1}{\lambda ^{2}} \end{संरेखित}

जो घातांक बंटन का माध्य और प्रसरण है।

सामान्य वितरण का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य ||मानकl वितरण क्षण उत्पन्न करने वाला फलन || MGF of मानकl वितरण|| का माध्य और प्रसरण साधारण पल पैदा करने वाले फ़ंक्शन का उपयोग करके वितरण

  निरंतर वितरण के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य भी असतत के समान होता है, इसलिए मानक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ सामान्य वितरण के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य होगा

\शुरू {गठबंधन} एम_{जेड}(टी) और = ई\बाएं[ई^{टी जेड}\दाएं] \\ &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\ infty}^{\infty} e^{tx} e^{-x^{2}/2} dx \end{aligned}

इस एकीकरण को हम समायोजन द्वारा हल कर सकते हैं:

\शुरू {सरणी} = \ फ़्रेक {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { \ बाएँ \ {- \ frac {\ बाएँ (x) ^{2}-2 tx\right)}{2}\right\} }dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e ^{ \बाएं\{-\frac{(xt)^{2}}{2}+\frac{t^{2}}{2}\right\}} dx \\ =e^{t^{2 } / 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(xt)^{2}/2} dx \\ =e^ {टी ^ {2} / 2} \ अंत {सरणी}

चूँकि एकीकरण का मान 1 है। इस प्रकार मानक सामान्य चर के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फलन होगा

M_{Z}(t)=e^{t^{2} / 2}

इससे हम किसी भी सामान्य सामान्य यादृच्छिक चर के लिए संबंध का उपयोग करके पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का पता लगा सकते हैं

X=\mu+\sigma Z

इस प्रकार

\शुरू {गठबंधन} M_{X}(t) &=E\बाएं[e^{t X}\right] \\ &=E\left[e^{t(\mu+\sigma Z)}\right] \\ &=ई\बाएं[ई^{टी \एमयू} ई^{बी \सिग्मा जेड}\दाएं] \\ &=ई^{टी \एमयू} ई\बाएं[ई^{के \सिग्मा जेड}\ दाएँ] \\ &=e^{t \mu} M_{Z}(t \sigma) \\ &=e^{t \mu} e^{(t \sigma)^{2} / 2} \\ &=e^{\left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\mu t\right\}} \end{aligned}

तो भेदभाव हमें देता है

\शुरू {सरणी} {l} M_ {X} ^ {\ प्रधान} (टी) = \ बाएँ (\ mu + t \ सिग्मा ^ {2} \ दाएँ) \ क्स्प \ बाएँ \ {\ frac {\ सिग्मा ^ { 2} t^{2}}{2}+\mu t\right\} \\ M_{X}^{\prime \prime}(t)=\left(\mu+t \sigma^{2}\ दाएँ)^{2} \exp \बाएं\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\mu t\right\}+\sigma^{2} \exp \बाएं\ {\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\mu t\right\} \end{array}

इस प्रकार

\शुरू {गठबंधन} ई [एक्स] और = एम ^ {\ प्राइम} (0) = \ म्यू \\ ई \ बाएं [एक्स ^ {2} \ दाएं] और = एम ^ {\ प्राइम \ प्राइम} (0) =\mu^{2}+\sigma^{2} \end{aligned}

तो भिन्नता होगी

\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E\left[X^{2}\right]-E([X])^{2} \\ &=\sigma^{2} \end {गठबंधन}

यादृच्छिक चर के योग का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

RSI क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य यादृच्छिक चरों का योग महत्वपूर्ण गुण देता है कि यह संबंधित स्वतंत्र यादृच्छिक चर के क्षण उत्पन्न करने वाले फलन के गुणनफल के बराबर होता है जो कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के लिए है, तो यादृच्छिक चर X+Y के योग के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला फलन है

क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य
योग का एमजीएफ

यहां प्रत्येक एक्स और वाई के क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य गणितीय अपेक्षा की संपत्ति से स्वतंत्र हैं। उत्तराधिकार में हम विभिन्न वितरणों के क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों का योग पाएंगे।

द्विपद यादृच्छिक चर का योग

यदि यादृच्छिक चर एक्स और वाई क्रमशः पैरामीटर (एन, पी) और (एम, पी) के साथ द्विपद वितरण द्वारा वितरित किए जाते हैं तो उनके योग एक्स + वाई का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य होगा

\शुरू {गठबंधन} M_{X+Y}(t)=M_{X}(t) M_{Y}(t) &=\left(pe^{t}+1-p\right)^{n} \बाएं(पीई^{टी}+1-पी\दाएं)^{एम} \\ और=\बाएं(पीई^{टी}+1-पी\दाएं)^{एम+एन} \अंत{गठबंधन}

जहां योग के लिए पैरामीटर (एन + एम, पी) है।

पॉइसन यादृच्छिक चर का योग

संबंधित साधनों के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के योग के लिए वितरण जो पॉइसन वितरण द्वारा वितरित किया जाता है, हम इस प्रकार पा सकते हैं:

\शुरू {गठबंधन} M_{X+Y}(t) &=M_{X}(t) M_{Y}(t) \\ &=\exp \left\{\lambda_{1}\बाएं(e^ {t}-1\दाएं)\दाएं\} \exp \बाएं\{\lambda_{2}\बाएं (e^{t}-1\दाएं)\दाएं\} \\ &=\exp \बाएं\{ \बाएं(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\left(e^{t}-1\right)\right\} \end{aligned}

कहा पे

\lambda_{1}+\lambda_{2}

पॉइसन यादृच्छिक चर X+Y का माध्य है।

सामान्य यादृच्छिक चर का योग

     मापदंडों के साथ स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर X और Y पर विचार करें

लेफ्ट(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) \ और \ \left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)

फिर मापदंडों के साथ यादृच्छिक चर X+Y के योग के लिए

\mu_{1}+\mu_{2} \ और \ \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}

तो पल पैदा करने वाला कार्य होगा

\शुरू {गठबंधन} M_{X+Y}(t) &=M_{X}(t) M_{Y}(t) \\ &=e^{\left\{\frac{\sigma_{1}^ {2} t^{2}}{2}+\mu_{1} t\right\} \exp \left\{\frac{\sigma_{2}^{2} t^{2}}{2} +\mu_{2} t\right\}} \\ &=e^{\left\{\frac{\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right ) t^{2}}{2}+\बाएं(\mu_{1}+\mu_{2}\दाएं) t\right\}} \end{aligned}

जो योगात्मक माध्य और विचरण के साथ क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य है।

यादृच्छिक चर की यादृच्छिक संख्या का योग

यादृच्छिक चरों की यादृच्छिक संख्या के योग का क्षण उत्पन्न करने वाला फलन ज्ञात करने के लिए आइए हम यादृच्छिक चर मान लें

Y=\sum_{i=1}^{N} X_{i

जहां यादृच्छिक चर X1,X2, ... किसी भी प्रकार के यादृच्छिक चर के अनुक्रम हैं, जो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं तो पल उत्पन्न करने वाला कार्य होगा

\शुरू {गठबंधन} E\बाएं[\exp \बाएं\{t \sum_{1}^{N} X_{i}\दाएं\} \मध्य N=n\दाएं] और=E\बाएं[\exp \ लेफ्ट\{t \sum_{1}^{n} X_{i}\right\} \mid N=n\right] \\ &=E\left[\exp \left\{t \sum_{1}^ {n} X_{i}\right\}\right] \\ &=\left[M_{X}(t)\right]^{n} \end{aligned}

\पाठ {कहां }MX(t)=E\बाएं[e^{t X_{i}}\right]\\ \text{इस प्रकार } E\बाएं[e^{t Y} \mid N\right]= \ बाएँ (M_ {X} (t) \ दाएँ) ^ {N} \\ M_ {Y} (t) = E \ बाएँ [\ बाएँ (M_ {X} (t) \ दाएँ) ^ {N} \ दाएँ ]

जो विभेदन पर Y का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य देता है:

M_{Y}^{\prime}(t)=E\left[N\left(M_{X}(t)\right)^{N-1} M_{X}^{\prime}(t)\ सही]

इसलिये

\शुरू {गठबंधन} ई [वाई] और = एम_ {वाई} ^ {\ प्रधान} (0) \\ और = ई \ बाएं [एन \ बाएं (एम_ {एक्स} (0) \ दाएं) ^ {एन -1 } M_{X}^{\prime}(0)\right] \\ &=E[NEX] \\ &=E[N] E[X] \end{aligned}

इसी प्रकार विभेदन दो बार देगा

M_{Y}^{\ prime \ prime}(t)=E\left[N(N-1)\left(M_{X}(t)\right)^{N-2}\left(M_{X }^{\prime}(t)\right)^{2}+N\left(M_{X}(t)\right)^{N-1} M_{X}^{\prime \prime}(t )\सही]

जो दे

\शुरू {गठबंधन} ई\बाएं[वाई^{2}\दाएं] और=एम_{वाई}^{\प्राइम \प्राइम}(0) \\ &=ई\बाएं [एन(एन-1)(ई[ X])^{2}+NE\left[X^{2}\right]\right] \\ &=(E[X])^{2}\left(E\left[N^{2}\ दाएं]-ई[एन]\दाएं)+ई[एन] ई\बाएं[एक्स^{2}\दाएं] \\ &=ई[एन]\बाएं(ई\बाएं[एक्स^{2}\दाएं] -(E[X])^{2}\right)+(E[X])^{2} E\left[N^{2}\right] \\ &=E[N] \operatorname{Var} (X)+(E[X])^{2} E\left[N^{2}\right] \end{aligned}

इस प्रकार भिन्नता होगी

\begin{aligned} \operatorname{Var}(Y) &=E[N] \operatorname{Var}(X)+(E[X])^{2}\left(E\left[N^{2} \right]-(E[N])^{2}\right) \\ &=E[N] \operatorname{Var}(X)+(E[X])^{2} \operatorname{Var}( एन) \ अंत {गठबंधन}

ची-स्क्वायर यादृच्छिक चर का उदाहरण

स्वतंत्रता के n-डिग्री के साथ ची-वर्ग यादृच्छिक चर के क्षण उत्पन्न करने वाले फलन की गणना करें।

समाधान: के लिए स्वतंत्रता की n-डिग्री वाले ची-वर्ग यादृच्छिक चर पर विचार करें

Z_{1}^{2}+\cdots+Z_{n}^{2}

मानक सामान्य चर का क्रम तो पल पैदा करने वाला फलन होगा

एम(टी)=\बाएं(ई\बाएं[ई^{टी जेड^{2}}\दाएं]\दाएं)^{एन}

तो यह देता है

\शुरू {गठबंधन} ई\बाएं[ई^{टी जेड^{2}}\दाएं] और=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx^{2}} e^{-x^{2}/2} dx \\ &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\ infty} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \quad \text { जहां } \sigma^{2}=(1-2 t)^{-1} \\ &= \sigma \\ &=(1-2 t)^{-1 / 2} \end{aligned}

माध्य 0 और विचरण के साथ सामान्य घनत्व2 1 . में एकीकृत करता है

एम(टी)=(1-2 टी)^{-एन / 2}

जो स्वतंत्रता की n डिग्री का आवश्यक क्षण उत्पन्न करने वाला फलन है।

एकसमान यादृच्छिक चर का उदाहरण

यादृच्छिक चर X का क्षण उत्पन्न करने वाला फलन ज्ञात कीजिए, जो द्विपद रूप से पैरामीटर n और p के साथ वितरित है, जिसे सशर्त यादृच्छिक चर Y=p अंतराल पर दिया गया है (0,1)

हल: Y दिए गए यादृच्छिक चर X का क्षण उत्पन्न करने वाला फलन ज्ञात करना

ई\बाएं[ई^{XX} \मध्य वाई=पी\दाएं]=\बाएं(पीई^{टी}+1-पी\दाएं)^{एन}

द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए, sin Y अंतराल पर एक समान यादृच्छिक चर है (0,1)

\begin{array}{l} E\left[e^{t X}\right]=\int_{0}^{1}\left(pe^{t}+1-p\right)^{n} डीपी \\=\frac{1}{e^{t}-1} \int_{1}^{e^{t}} y^{n} डाई\\ =\frac{1}{n+1} \frac{e^{t(n+1)}-1}{e^{t}-1} \\ =\frac{1}{n+1}\left(1+e^{t}+e ^{2 t}+\cdots+e^{nt}\right) \end{array} \\\text{प्रतिस्थापन }\left.y=pe^{t}+1-p\right)

ज्वाइंट मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन

यादृच्छिक चर X . की n संख्या के लिए संयुक्त क्षण उत्पन्न करने वाला फलन1,X2,…,एक्सn

M\बाएं(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=E\बाएं[e^{t_{1} X_{1}+\cdots+t_{n} X_{n}}\दाएं ]

जहां टी1,t2,…… टीn वास्तविक संख्याएं हैं, संयुक्त क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन से हम व्यक्तिगत क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को पा सकते हैं:

M_{X_{i}}(t)=E\left[e^{t X_{i}}\right]=M(0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0)

प्रमेय: यादृच्छिक चर X1,X2,…,एक्सn स्वतंत्र हैं अगर और केवल अगर संयुक्त स्मृति पैदा करने वाला कार्य

M\बाएं(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=M X_{1}\बाएं(t_{1}\दाएं) \cdots M X_{n}\बाएं(t_{n}\ सही)

उपपत्ति: मान लीजिए कि दिए गए यादृच्छिक चर X1,X2,…,एक्सn स्वतंत्र हैं तो

\शुरू {गठबंधन} M\बाएं(t_{1}, \ldots, t_{n}\दाएं) और=E\बाएं[e^{\बाएं(t_{1} X_{1}+\cdots+t_{ n} X_{n}\right)}\right] \\ &=E\left[e^{t_{1} X_{1}} \ldots e^{t_{n} X_{n}}\right] \\ &=E\बाएं[e^{t_{1} X_{1}}\दाएं] \cdots E\left[e^{t_{n} X_{n}}\right] \quad \text { by स्वतंत्रता } \\ &=M_{X_{1}}\बाएं(t_{1}\दाएं) \cdots M_{X_{n}}\बाएं(t_{n}\दाएं) \अंत{गठबंधन}

अब मान लें कि ज्वाइंट मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन समीकरण को संतुष्ट करता है

M\बाएं(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=M X_{1}\बाएं(t_{1}\दाएं) \cdots M X_{n}\बाएं(t_{n}\ सही)

  • यादृच्छिक चर X . को सिद्ध करने के लिए1,X2,…,एक्सn स्वतंत्र हैं हमारे पास परिणाम है कि संयुक्त क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य विशिष्ट रूप से संयुक्त वितरण देता है (यह एक और महत्वपूर्ण परिणाम है जिसके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है) इसलिए हमारे पास संयुक्त वितरण होना चाहिए जो दर्शाता है कि यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं, इसलिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति साबित हुई।

ज्वाइंट मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन का उदाहरण

1. यादृच्छिक चर X+Y और XY के संयुक्त क्षण उत्पन्न करने वाले फलन की गणना कीजिए

हल : चूँकि यादृच्छिक चरों का योग X+Y और यादृच्छिक चरों का घटाव XY स्वतंत्र यादृच्छिक चरों X और Y के लिए स्वतंत्र हैं, इसलिए इनके लिए संयुक्त क्षण उत्पन्न करने वाला फलन होगा

\प्रारंभ{गठबंधन} ई\बाएं[ई^{एन(एक्स+वाई)+एस(एक्सवाई)}\दाएं] और=ई\बाएं[ई^{(टी+एस) एक्स+(टीएस) वाई}\दाएं] \\ और=ई\बाएं[ई^{(टी+एस) एक्स}\दाएं] ई\बाएं[ई^{(टीएस) वाई}\दाएं] \\ और=ई^{\mu(t+s) +\sigma^{2}(t+s)^{2} / 2} e^{\mu(ts)+\sigma^{2}(ts)^{2} / 2} \\ &=e^ {2 \mu t+\sigma^{2} t^{2}} e^{\sigma^{2} s^{2}} \end{aligned}

चूंकि यह क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य संयुक्त वितरण को निर्धारित करता है, इसलिए इससे हमारे पास X+Y और XY स्वतंत्र यादृच्छिक चर हो सकते हैं।

2. प्रयोग के लिए प्रायिकता p और माध्य के साथ पॉइसन बंटन द्वारा गिने और बेशुमार घटनाओं की संख्या पर विचार करें, दिखाएँ कि गिने और बेशुमार घटनाओं की संख्या संबंधित साधनों p और λ(1-p) से स्वतंत्र हैं।

हल: हम X को घटनाओं की संख्या और X को मानेंगेc गिने जाने वाली घटनाओं की संख्या तो बेशुमार घटनाओं की संख्या XX हैc, संयुक्त क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य क्षण उत्पन्न करेगा

\शुरू {गठबंधन} ई\बाएं[ई^{\kappa X_{\varepsilon}+t\बाएं(X-X_{c}\दाएं)} \मध्य एक्स=एन\दाएं] और=ई^{\ln } ई\बाएं[ई^{(एसटी) एक्स_{सी}} \मध्य एक्स=एन\दाएं] \\ &=ई^{में}\बाएं(पीई^{एसटी}+1-पी\दाएं)^{n } \\ &=\बाएं (पीई ^ {एस} + (1-पी) ई ^ {टी} \ दाएं) ^ {एन} \ अंत {गठबंधन}

और इस समय द्विपद बंटन का जनन फलन होता है

E\बाएं[e^{s X_{\varepsilon}+t\left(X-X_{\varepsilon}\right)} \mid X\right]=\left(pe^{s}+(1-p) ई^{टी}\दाएं)^{एक्स}

और इन से उम्मीद लेना देना होगा

E\बाएं[e^{\sum X_{c}+t\left(X-X_{c}\right)}\right]=E\left[\left(pe^{s}+(1-p) e^{t}\right)^{X}\right]\\ \ start{aligned} E\left[e^{s X_{c}+t\left(X-X_{c}\right)}\ दाएँ] &=e^{\lambda\left(pe^{\prime}+(1-p) e^{t}-1\right)} \\ &=e^{\lambda p\left(e^ {c-1}\right)} e^{\lambda(1-p)\left(e^{t}-1\right)} \end{aligned}

निष्कर्ष:

मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन की मानक परिभाषा का उपयोग करके विभिन्न वितरणों जैसे द्विपद, पॉइसन, सामान्य आदि के क्षणों पर चर्चा की गई और इन यादृच्छिक चरों का योग या तो असतत या निरंतर उन लोगों के लिए पल उत्पन्न करने वाला फलन और संयुक्त क्षण उत्पन्न करने वाले फलन के साथ प्राप्त किया गया उपयुक्त उदाहरण, यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है तो नीचे दी गई पुस्तकों को देखें।

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डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

पल उत्पन्न करने वाले कार्य | इसके 6 महत्वपूर्ण वितरणमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
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