सामान्य यादृच्छिक चर : 3 महत्वपूर्ण तथ्य

सामान्य रैंडम चर और सामान्य वितरण

      मूल्यों के बेशुमार सेट के साथ रैंडम वैरिएबल को निरंतर रैंडम वैरिएबल कहा जाता है, और क्यूरेशन की मदद से प्रायिकता घनत्व फंक्शन, कर्व के नीचे के एरिया को कंटीन्यूअस डिस्ट्रीब्यूशन देता है, अब हम सबसे ज्यादा इस्तेमाल किए जाने वाले और लगातार रैंडम वेरिएबल में से एक पर फोकस करेंगे। अर्थात सामान्य रैंडम वैरिएबल जिसका एक और नाम गौसियन रैंडम वैरिएबल या गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन है।

सामान्य यादृच्छिक चर

      सामान्य यादृच्छिक चर संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ निरंतर यादृच्छिक चर है

मतलब हो रहा है μ और विचरण σ² सांख्यिकीय मापदंडों और ज्यामितीय रूप से प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन में घंटी के आकार का वक्र होता है जो मध्य μ के बारे में सममित होता है.

हम जानते हैं कि प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन में एक के रूप में कुल संभावना है

y = (x-μ) / x लगाकर

इस दोहरे एकीकरण को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करके हल किया जा सकता है

जो आवश्यक मूल्य है इसलिए यह अभिन्न I के लिए सत्यापित है।

• यदि X सामान्यतया पैरामीटर μ के साथ वितरित किया जाता है  और σ² तब Y = aX + b को भी आम तौर पर aμ + b और a के मापदंडों के साथ वितरित किया जाता है²μ²

सामान्य रैंडम वेरिएबल की अपेक्षा और विविधता

सामान्य रैंडम वैरिएबल और वैरिएशन की अपेक्षित कीमत हमें इसकी मदद से मिलेगी

जहां X को सामान्य रूप से मापदंडों के साथ वितरित किया जाता है μ और मानक विचलन σ.

चूंकि Z का मतलब शून्य है, इसलिए हमारे पास भिन्नता है

भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके

चर Z के लिए ग्राफिकल व्याख्या इस प्रकार है

और इस चर Z के लिए वक्र के नीचे का क्षेत्र जिसे के रूप में जाना जाता है मानक सामान्य चर, यह संदर्भ के लिए गणना की जाती है (तालिका में दिया गया है), क्योंकि वक्र सममित है इसलिए नकारात्मक मान के लिए क्षेत्र सकारात्मक मान के समान होगा

चूंकि हमने प्रतिस्थापन का उपयोग किया है

यहाँ ध्यान रखें कि Z मानक सामान्य चर है जहाँ निरंतर यादृच्छिक चर X सामान्य रूप से वितरित किया जाता है माध्य μ और मानक विचलन के साथ सामान्य यादृच्छिक चर।

इसलिए यादृच्छिक चर के वितरण समारोह को खोजने के लिए हम मानक सामान्य चर के रूप में रूपांतरण का उपयोग करेंगे

किसी भी मूल्य के लिए

उदाहरण: मानक सामान्य वक्र में बिंदु 0 और 1.2 के बीच का क्षेत्र ज्ञात करें।

यदि हम स्तंभ 1.2 के तहत 0 का मान 0.88493 है और 0 का मान 0.5000 है, तो तालिका का अनुसरण करें।

उदाहरण: -0.46 से 2.21 के भीतर मानक सामान्य वक्र के लिए क्षेत्र ज्ञात करें।

छायांकित क्षेत्र से हम इस क्षेत्र को -0.46 से 0 और 0 से 2.21 तक द्विभाजित कर सकते हैं क्योंकि सामान्य वक्र y अक्ष के बारे में सममित है इसलिए -0.46 से 0 तक का क्षेत्र समान है, जो कि 0 से 0.46 तक है। इस प्रकार तालिका से

और

इसलिए हम इसे लिख सकते हैं

कुल क्षेत्रफल = (z = -0.46 और z = 0 के बीच का क्षेत्र) + (z = 0 और z = 2.21 के बीच का क्षेत्र)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

उदाहरण: यदि X माध्य 3 और विचरण 9 के साथ सामान्य यादृच्छिक चर है, तो निम्नलिखित संभावनाएं खोजें

पी2

पी{एक्स>0}

पी|एक्स-3|>6

उपाय: जब से हमारे पास है

इसलिए अंतराल -1/3 से 0 और 0 से 2/3 के बीच में विभेदित करने से हमें सारणीबद्ध मानों से समाधान मिलेगा

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

और

उदाहरण: पितृत्व मामले में एक पर्यवेक्षक बताता है कि मानव विकास की लंबाई (दिनों में)

सामान्य रूप से मापदंडों के साथ वितरित किया जाता है, जिसका अर्थ है 270 और भिन्नता 100। इस मामले में बच्चे के पिता जो संदिग्ध है, ने प्रमाण दिया कि वह बच्चे के जन्म से 290 दिन पहले शुरू हुआ और 240 दिन पहले समाप्त हो गया था। जन्म। इस संभावना को ढूंढें कि माँ को गवाह द्वारा संकेतित बहुत लंबी या बहुत कम गर्भावस्था हो सकती थी?

बता दें कि एक्स ने गर्भधारण के लिए सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर को निरूपित किया और माना कि संदिग्ध बच्चे का पिता है। उस स्थिति में बच्चे का जन्म निर्दिष्ट समय के भीतर हुआ है, इसकी संभावना है

सामान्य यादृच्छिक चर और द्विपद यादृच्छिक चर के बीच संबंध

      द्विपद वितरण के मामले में माध्य np है और विचरण npq है इसलिए यदि हम इस तरह के द्विपदीय यादृच्छिक चर को ऐसे माध्य से परिवर्तित करते हैं और मानक विचलन n बहुत बड़े होते हैं और p या q शून्य से बहुत छोटे होते जाते हैं, तो मानक मानक Z के साथ। इन माध्य और विचरण की सहायता है

यहाँ के संदर्भ में बर्नौली का परीक्षण एक्स n परीक्षणों में सफलताओं की संख्या पर विचार करता है। जैसे-जैसे n बढ़ता है और अनंत के करीब जाता है यह सामान्य वैरिएबल भी सामान्य सामान्य वैरिएबल बन जाता है।

द्विपद और मानक सामान्य चर के संबंध हम निम्नलिखित प्रमेय की मदद से पा सकते हैं।

डीमोइवर लैप्लस सीमा प्रमेय

If S_n उन सफलताओं की संख्या को दर्शाता है जो n  स्वतंत्र परीक्षण, प्रत्येक संभावित पी के साथ एक सफलता में जिसके परिणामस्वरूप , प्रदर्शन किया जाता है, फिर, किसी के लिए <b

उदाहरण: द्विपद यादृच्छिक चर के लिए सामान्य सन्निकटन की मदद से, 20 गुना पूंछ की घटना की संभावना पाते हैं जब एक उचित सिक्का 40 बार उछाला जाता है।

उपाय: मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X पूंछ की घटना का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि द्विपद यादृच्छिक चर असतत यादृच्छिक चर है और सामान्य यादृच्छिक चर निरंतर यादृच्छिक चर है इसलिए असतत को निरंतर में बदलने के लिए, हम इसे लिखते हैं

और यदि हम द्विपद वितरण की सहायता से दिए गए उदाहरण को हल करते हैं तो हम इसे प्राप्त करेंगे

उदाहरण: रक्त परिसंचरण में कोलेस्ट्रॉल की मात्रा को कम करने में एक निश्चित पोषण की दक्षता तय करने के लिए, 100 लोगों को पोषण पर रखा गया है। कोलेस्ट्रॉल की गणना पोषण प्रदान करने के बाद परिभाषित समय के लिए देखी गई थी। यदि इस नमूने में से 65 प्रतिशत में कोलेस्ट्रॉल की मात्रा कम है तो पोषण को मंजूरी दी जाएगी। क्या संभावना है कि पोषण विशेषज्ञ नए पोषण को मंजूरी देता है यदि, वास्तव में, इसका कोलेस्ट्रॉल के स्तर पर कोई परिणाम नहीं है?

उपाय:  बता दें कि रैंडम वेरिएबल कोलेस्ट्रॉल लेवल को अगर पोषण से कम कर देता है तो इस तरह के रैंडम वेरिएबल की संभावना हर व्यक्ति के लिए the होगी, अगर एक्स लो लेवल की संख्या को दर्शाता है तो प्रॉबल्म जो रिजल्ट अप्रूव हो जाता है यहां तक ​​कि पोषण का कोई असर नहीं पड़ता। कोलेस्ट्रॉल के स्तर को कम करना है

निष्कर्ष:

   इस लेख में निरंतर यादृच्छिक चर की अवधारणा अर्थात् सामान्य है अनियमित चर और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ इसके वितरण पर चर्चा की गई और सांख्यिकीय पैरामीटर माध्य, सामान्य यादृच्छिक चर के लिए विचरण दिया गया है। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का नए मानक सामान्य चर में रूपांतरण और ऐसे मानक सामान्य चर के लिए वक्र के नीचे का क्षेत्र सारणीबद्ध रूप में दिया गया है असतत यादृच्छिक चर के साथ संबंध का भी उदाहरण के साथ उल्लेख किया गया है , यदि आप आगे पढ़ना चाहते हैं तो इसके माध्यम से जाएं:

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

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डॉ मोहम्मद माझर उल हक

मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।