क्रमपरिवर्तन और संयोजन | समस्या और समाधान के साथ पूरा अवलोकन

क्रमांतरण और संयोजन

उदाहरणों द्वारा अवधारणा की व्याख्या और संयोजन

इस लेख में, हमने कुछ उदाहरणों पर चर्चा की है जो अवधारणा की अंतर्दृष्टि को प्राप्त करने के लिए क्रमपरिवर्तन और संयोजन पर छात्रों की नींव को मजबूत बनाएंगे, यह अच्छी तरह से पता है कि क्रमपरिवर्तन और संयोजन दोनों संभावनाओं की गणना करने की प्रक्रिया है। उनके बीच अंतर यह है कि आदेश मायने रखता है या नहीं, इसलिए यहां उदाहरणों की संख्या के माध्यम से जाने से हमें भ्रम स्पष्ट हो जाएगा कि किसका उपयोग करना है।

योजना या चयन के क्रम में व्यवस्थित किए जाने वाले लोगों या वस्तुओं के समूह से एक समय में एक छोटी या समान संख्या में लोगों या वस्तुओं की व्यवस्था या चयन करने के तरीकों को कहा जाता है क्रमपरिवर्तन।

प्रत्येक अलग समूह या चयन जिसे कुछ या सभी वस्तुओं को लेने से बनाया जा सकता है, चाहे वे कैसे भी व्यवस्थित हों, कहा जाता है संयोजन.

मूल क्रमपरिवर्तन (nPr सूत्र) उदाहरण

            यहाँ हम n चीजों से r स्थानों को भरने के बराबर n अलग-अलग वस्तुओं के समूह का चयन कर रहे हैं।

युग्म
क्रमांतरण और संयोजन

व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = आर स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या।

^ {n} P_ {r} = n। (n-1)। (n-2)… (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

\ frac {n। (n-1)। (n-2)… (n-r + 1)। (nr)!} {(nr)!} = \ frac {n!} {(nr)!} =} ^ {n} P_ {r}

so एनपीआर सूत्र हमें उपयोग करना है

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}!

उदाहरण 1): एक ट्रेन है जिसकी 7 सीटें खाली रखी जाती हैं, फिर तीन यात्री कितने तरीके से बैठ सकते हैं।

समाधान: यहाँ n = 7, r = 3

इसलिए आवश्यक तरीके =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}!

^{7}P_{3}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{4!.5.6.7}{4!} =210

210 तरीकों से 3 यात्री बैठ सकते हैं।

उदाहरण 2) 4 महिलाओं में से 10 लोगों को टीम लीडर के रूप में कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

समाधान: यहाँ n = 10, r = 4

इसलिए आवश्यक तरीके =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}!

^{10}P_{4}=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{6!.7.8.9.10}{6!}=5040

5040 तरीकों से 4 महिलाओं को टीम लीडर के रूप में चुना जा सकता है।

उदाहरण ३) वर्णमाला के छब्बीस अक्षरों में से चुने गए ४ विभिन्न अक्षरों में से कितने क्रमपरिवर्तन संभव हैं?

समाधान: यहाँ n = 26, r = 4

इसलिए आवश्यक तरीके =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}!

^{26}P_{4}=\frac{26!}{(26-4)!}=\frac{22!.23.24.25.26}{22!}=358800

358800 तरीकों में, 4 अलग-अलग पत्र परमिट उपलब्ध हैं।

उदाहरण 4) कितने अलग-अलग तीन-अंकीय क्रमपरिवर्तन उपलब्ध हैं, जिन्हें दस अंकों से 0 से 9 तक संयुक्त रूप से चुना गया है? (0 और 9 सहित)।

समाधान: यहाँ n = 10, r = 3

इसलिए आवश्यक तरीके =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}!

^{10}P_{3}=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{7!.8.9.10}{7!}=720

720 तरीकों में, तीन अंकों के क्रमपरिवर्तन उपलब्ध हैं।

उदाहरण 5) 18 प्रतियोगियों के साथ प्रतियोगिता में किसी न्यायाधीश द्वारा प्रथम, द्वितीय और तृतीय स्थान प्राप्त करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करें।

समाधान: यहाँ n = 18, r = 3

इसलिए आवश्यक तरीके =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}!

^{18}P_{3}=\frac{18!}{(18-3)!}=\frac{15!.16.17.18}{15!}=4896

18 प्रतियोगियों में से, 4896 की संख्या में, एक न्यायाधीश एक प्रतियोगिता में प्रथम, द्वितीय और तृतीय स्थान प्राप्त कर सकता है।

उदाहरण

6) तरीकों की संख्या का पता लगाएं, 7 लोग खुद को एक पंक्ति में व्यवस्थित कर सकते हैं।

समाधान: यहाँ n = 7, r = 7

इसलिए आवश्यक तरीके =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}!

^{7}P_{7}=\frac{7!}{(7-7)!}=\frac{7!}{0!}=5040

5040 संख्या में, 7 लोग खुद को एक पंक्ति में व्यवस्थित कर सकते हैं।

संयोजन पर आधारित उदाहरण (nCr सूत्र / n चुनें k सूत्र)

संयोजनों की संख्या (चयन या समूह) जिन्हें एक समय में r (0 <= r <= n) से ली गई विभिन्न वस्तुओं से सेट किया जा सकता है

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!} = \ binom {n} {k}

यह आमतौर पर के रूप में जाना जाता है nCr या n चुनें k सूत्र.

^ {n} C_ {k} = \ frac {n!} {k! (nk)!}

उदाहरण:

1) यदि आपके पास लाल, पीले और सफेद रंग में अलग-अलग रंग के तीन कपड़े हैं तो क्या आप एक अलग संयोजन पा सकते हैं यदि आपको उनमें से किसी दो को चुनना है?

समाधान: यहाँ n = 3, r = 2 यह है 3 विकल्प 2 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{3}C_{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{2!.3}{2!.1}=3

3 अलग-अलग संयोजन में आपको उनमें से कोई दो मिलते हैं।

2) कितने अलग संयोजन किया जा सकता है अगर आपके पास 4 अलग-अलग आइटम हैं और आपको 2 चुनना है?

समाधान: यहाँ n = 4, r = 2 यह है 4 विकल्प 2 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{4}C_{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{2!.3.4}{2!.2!}=6

6 अलग-अलग संयोजन में आपको उनमें से कोई दो मिलते हैं।

3) यदि आपके पास केवल 5 वर्ण हैं और आप उनमें से किसी 2 को चुनना है, तो कितने अलग-अलग संयोजन किए जा सकते हैं?

समाधान: यहाँ n = 5, r = 2 यह है 5 विकल्प 2 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{5}C_{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{3!.4.5}{2!.3!}=10

10 अलग-अलग संयोजन में आपको उनमें से कोई दो मिलते हैं।

4) संयोजनों की संख्या ज्ञात करें 6 2 चुनें।

समाधान: यहाँ n = 6, r = 2 यह है 6 विकल्प 2 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{6}C_{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{4!.5.6}{2!.4!}=15

15 अलग-अलग संयोजन में आपको उनमें से कोई दो मिलते हैं।

5) 3 विभिन्न भागीदारों में से 5 सदस्यों को चुनने के तरीकों की संख्या का पता लगाएं।

समाधान: यहाँ n = 5, r = 3 यह है 5 विकल्प 3 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{5}C_{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{3!.4.5}{3!.2!}=10

10 अलग-अलग संयोजनों में आपको उनमें से तीन मिलते हैं।

6) लाल, नीले, पीले, नारंगी, हरे और बैंगनी वाले क्रेयॉन के बॉक्स। कितने तरीकों के विपरीत आप केवल तीन रंग बनाने के लिए उपयोग कर सकते हैं?

समाधान: यहाँ n = 6, r = 3 यह है 6 विकल्प 3 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{6}C_{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{3!.4.5.6}{3!.3.2.1}=20

20 अलग-अलग संयोजनों में आपको उनमें से तीन मिलते हैं।

7) 4 चुनें 3 के लिए संयोजनों की संख्या ज्ञात करें।

समाधान: यहाँ n = 4, r = 3 यह है 4 विकल्प 3 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{4}C_{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{3!.4}{3!.1!}=4

4 अलग-अलग संयोजनों में आपको उनमें से तीन मिलते हैं।

8) 10 लोगों में से कितने अलग-अलग पांच-व्यक्ति समितियों का चुनाव किया जा सकता है?

समाधान: यहाँ n = 10, r = 5 यह है 10 विकल्प 5 समस्याओं

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{10}C_{5}=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10!}{5!.5!}=\frac{5!.6.7.8.9.10}{5!.5.4.3.2}=7.4.9=252

तो 252 लोगों से 5 विभिन्न 10 व्यक्ति समितियों का चुनाव किया जा सकता है।

9) कॉलेज में कुल 12 वॉलीबॉल खिलाड़ी हैं, जो 9 खिलाड़ियों की टीम से मिलकर बनेगा। यदि कप्तान लगातार बना रहता है, तो टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है।

समाधान: यहां पहले से ही कप्तान के रूप में चुना गया है, इसलिए अब 11 खिलाड़ियों में से 8 को n = 11, r = 8 चुना जाना है। 11 विकल्प 8 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{11}C_{8}=\frac{11!}{8!(11-8)!}=\frac{11!}{8!.3!}=\frac{8!.9.10.11}{8!.3.2.1}=3.5.11=165

इसलिए यदि कप्तान लगातार बना रहता है, तो टीम को 165 तरीकों से बनाया जा सकता है।

10) संयोजनों की संख्या ज्ञात करें 10 2 चुनें।

समाधान: यहाँ n = 10, r = 2 यह है 10 विकल्प 2 मुसीबत

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{10}C_{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10!}{2!.8!}=\frac{8!.9.10}{2!.8!}=5.9=45

45 अलग-अलग संयोजन में आपको उनमें से कोई दो मिलते हैं।

हमें यह अंतर देखना होगा कि nrr कितने तरीकों से चीजों का चयन किया जा सकता है जैसे कि r और nPr के तरीकों की संख्या है जैसे कि r के माध्यम से चीजों को क्रमबद्ध किया जा सकता है। हमें यह ध्यान रखना होगा कि किसी भी तरह के क्रमांकन परिदृश्य के लिए, जिस तरह से चीजों को व्यवस्थित किया जाता है वह बहुत महत्वपूर्ण है। हालांकि, संयोजन में, आदेश का मतलब कुछ भी नहीं है।

निष्कर्ष

इस आलेख में कुछ वास्तविक जीवन के उदाहरणों के साथ क्रमपरिवर्तन और संयोजन का विस्तृत विवरण प्रदान किया गया है, लेखों की एक श्रृंखला में हम विभिन्न उदाहरणों और प्रासंगिक उदाहरणों के बारे में विस्तार से चर्चा करेंगे यदि आप आगे के अध्ययन में रुचि रखते हैं। यह संपर्क.

संदर्भ

  1. प्रदर्शनियों की सूची और समस्याओं की व्याख्याएं
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

क्रमपरिवर्तन और संयोजन | समस्या और समाधान के साथ पूरा अवलोकनमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, दिलचस्प और आत्म व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजेक्स में योगदान करना मुझे अच्छा लगता है।
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