क्रमपरिवर्तन और संयोजन: याद रखने योग्य 3 महत्वपूर्ण तथ्य

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  परिभाषाओं और बुनियादी अवधारणाओं पर चर्चा करने के बाद, हम सभी परिणामों और संबंधों को सूचीबद्ध करेंगे क्रमपरिवर्तन और संयोजन, उन सभी के आधार पर हम विविध उदाहरणों को हल करके क्रमपरिवर्तन और संयोजन की अवधारणा से अधिक परिचित होंगे।

याद करने के लिए अंक (क्रमपरिवर्तन)

  1. आदेश देने के तरीकों की संख्या = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!}} / (nr)! = n! / {(nr)!}
  2. एक बार में एक साथ ली गई n विभिन्न वस्तुओं की व्यवस्था की संख्या = है nPn = एन!
  3. nP0 = एन! / एन! = 1
  4. पी = एन। N-1Pआर-1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = R (r)∈ N)
  7. आर स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या जहां हर जगह किसी भी एक एन वस्तुओं द्वारा भरा जा सकता है, क्रमपरिवर्तन की संख्या = आर स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या = (एन)r   

उदाहरण: संख्या 999, 10000, 0 की मदद से 2 और 3,6,7,8 के बीच कितने अंक उत्पन्न किए जा सकते हैं, जहां अंकों की नकल नहीं होनी चाहिए?

उपाय: 999 और 10000 के बीच की संख्या सभी चार अंकों की संख्या है।

                   अंक 0, 2, 3,6,7,8 द्वारा निर्मित चार-अंकीय संख्याएँ हैं

परिवर्तन
क्रमचय: उदाहरण

  लेकिन यहां वे संख्याएं भी शामिल हैं जो 0 से शुरू होती हैं। इसलिए हम वे संख्याएं ले सकते हैं जो तीन अंकों से बनती हैं।

प्रारंभिक अंक 0 लेते हुए, पांच अंकों 3, 2 से लंबित 3,6,7,8 स्थानों की व्यवस्था करने के तरीके हैं 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

तो आवश्यक संख्या = 360-60 = 300।

उदाहरण: कितनी पुस्तकों को एक पंक्ति में सेट किया जा सकता है ताकि उल्लिखित दो पुस्तकें एक साथ न हों?

उपाय: N विभिन्न पुस्तकों के आदेशों की कुल संख्या = n !.                                                                                                                

           यदि दो उल्लिखित पुस्तकें हमेशा एक साथ होती हैं तो तरीकों की संख्या = (n-1)! X2

उदाहरण: दो लड़कों के बीच 10 गेंदों को कितने तरीकों से विभाजित किया जाता है, एक को दो और दूसरे को आठ।

उपाय: A 2, बी मिलता है  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A 8, बी मिलता है gets 2; 10!/(8!2!)=45

इसका मतलब है कि 45 + 45 = 90 तरीके से गेंद को विभाजित किया जाएगा।

उदाहरण: "CALCUTTA" शब्द के वर्णमाला की व्यवस्था की संख्या खोजें।

उपाय: आवश्यक तरीकों की संख्या = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

उदाहरण: पार्टी में बीस लोगों को आमंत्रित किया गया है। कितने अलग-अलग तरीकों से वे और मेजबान एक गोल मेज पर बैठ सकते हैं, अगर दोनों लोगों को कीपर के दोनों ओर बैठना है।

उपाय: कुल मिलाकर 20 + 1 = 21 व्यक्ति होंगे।

दो निर्दिष्ट व्यक्तियों और मेजबान को एक इकाई माना जाता है, ताकि ये 21 में व्यवस्थित होने के लिए 3 - 1 + 19 = 18 व्यक्ति रहें! तरीके।

 लेकिन मेज़बान के दोनों ओर के दो विशेष व्यक्तियों को स्वयं 2 में व्यवस्थित किया जा सकता है! तौर तरीकों।

  इसलिए 2 हैं! * १ 18! तरीके।

उदाहरण : कितने तरीकों से एक माला बिल्कुल 10 फूलों से बनाई जा सकती है।

उपाय:  n फूलों की माला (n-1) में बनाई जा सकती है! तरीके।

10 फूलों की माला का उपयोग करके 9!/2 अलग-अलग तरीकों से माला तैयार की जा सकती है।

उदाहरण: विशिष्ट चार अंकों की संख्या का पता लगाएं, जिसे 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 द्वारा गठित किया जाना चाहिए ताकि प्रत्येक और प्रत्येक संख्या में 1 नंबर हो।

उपाय: 1 स्थानों में से पहले स्थान पर 4 हासिल करने के बाद 3 स्थानों को भरा जा सकता है7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

लेकिन कुछ संख्याएँ जिनका चौथा अंक शून्य है, इसलिए इस प्रकार के तरीके =6P2= 6! / (6-2)! = 20।

                   कुल तरीके = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180

कॉम्बिनेशन के लिए इन पॉइंट्स को ध्यान में रखें

  • के संयोजन की संख्या n वस्तुओं, जिनमें से p समान हैं, लिया r एक समय है

एन.पी.Cr+एन.पी.Cआर-1+एन.पी.Cआर-2+ …… .. +एन.पी.C0 , यदि r<=p और  एन.पी.Cr+एन.पी.Cआर-1+एन.पी.Cआर-2+… .. +एन.पी.Cआरपी  , यदि r>p

  1. n चुनें 0 या n चुनें n 1 है, nC0 = nCn = 1, nC1 = एन।
  2. nCr + nCआर-1 = + 1 nCr
  3. Cx = nCy <=> x = y या x + y = n
  4. n. N-1Cआर-1 = (n-r + 1) nCआर-1
  5. nC0+nC2+nC4+…। =nC1+nC3+nC5… .. २N-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
  7. nCn++ 1 nCn++ 2 nCn++ 3 nCn+ ……… .. +2n-1Cn=2nC+ 1 n
  9. के संयोजन की संख्या n एक समय में सभी अलग-अलग चीजें। nCn= n /! {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1

निरंतरता में हम कुछ उदाहरणों को हल करेंगे  

उदाहरण: If 15Cr=15Cआर + ५ , तब r का मान क्या है?

उपाय: यहां हम उपरोक्त का उपयोग करेंगे

 nCr=nCएनआर समीकरण के बाईं ओर

15Cr=15Cआर + ५ => 15C15-r =15Cआर + ५

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

इसलिए r का मान 5 है, जो 15 CHOOSE 5 की समस्या है।

उदाहरण: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 में r का मान ज्ञात करें, ताकि का मान nCr  15 होगी।

 उपाय: यहाँ दिए गए शब्द में 2n चय 3 का अनुपात और n 2 का चयन है

संयोजन की परिभाषा द्वारा

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   अभी 6Cr=15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => आर = 2, 4

इसलिए समस्या 6 चुन 2 या 6 चुन 4 हो गई है

उदाहरण:  If  nCआर-1= 36 nCr= 84 और nCआर + ५= 126, फिर r का मान क्या होगा?

 समाधान: यहाँ nCआर-1 / nCr = 36/84 और nCr /nCआर + ५ =84/126 .

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3, और इसी प्रकार दूसरे राशन से हमें प्राप्त होता है

4n-10r = 6

हल करने पर, हमें n = 9, r = 3 मिलता है

इसलिए समस्या 9 चुन 3, 9 2 और 9 4 चुनती है।

उदाहरण: कमरे में मौजूद सभी लोग हर किसी से हाथ मिलाते हैं। हाथ मिलाने की कुल संख्या 66 है। कमरे में व्यक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

nC2 =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

उपाय: इसलिए n का मान 12 है, जिसका अर्थ है कि कमरे में कुल लोगों की संख्या 12 है और समस्या 12 चुन 2 है।

उदाहरण: एक फुटबॉल टूर्नामेंट में 153 खेल खेले गए। सभी टीमों ने एक खेल खेला। टूर्नामेंट में शामिल समूहों की संख्या ज्ञात करें।

उपाय:

यहाँ उत्पन्न करें nC2 =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

इसलिए टूर्नामेंट में भाग लेने वाली टीमों की कुल संख्या 18 थी और संयोजन 18 है 2 चुनें।

उदाहरण दीपावली समारोह के दौरान प्रत्येक क्लब सदस्य दूसरों को ग्रीटिंग कार्ड भेजता है। यदि क्लब में 20 सदस्य हैं, तो सदस्यों द्वारा एक्सचेंज किए गए ग्रीटिंग कार्ड की कुल संख्या क्या होगी।

उपाय: चूंकि दो सदस्य एक-दूसरे से दो तरीकों से कार्ड का आदान-प्रदान कर सकते हैं, इसलिए 20 दो बार दो का चयन करें

2 एक्स 20C2 =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380, ग्रीटिंग कार्ड के आदान-प्रदान के 380 तरीके होंगे।

उदाहरण: छह प्लस '+' और चार माइनस '-' प्रतीकों को ऐसी सीधी रेखा में व्यवस्थित किया जाना चाहिए ताकि कोई भी दो '-' प्रतीक न मिलें, तरीकों की कुल संख्या ज्ञात करें।

 उपाय: क्रम इस प्रकार लगाया जा सकता है -+-+-+-+-+-+- (-) चिन्ह 7 रिक्त (नुकीले) स्थान पर लगाए जा सकते हैं।

इसलिए आवश्यक तरीकों की संख्या = 7C4 = 35।

उदाहरण: If nC21 =nC6 , तो खोजो nC15 =?

उपाय: यह देखते हुए nC21 =nC6

21+6=एन => एन=27

अत 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

जो कि 27 का चुनाव 15 है।

निष्कर्ष

कुछ उदाहरणों को संबंधों और परिणामों के आधार पर लिया जाता है, उदाहरणों की संख्या के रूप में हम प्रत्येक परिणाम पर ले जा सकते हैं, लेकिन यहां महत्वपूर्ण बात जो मैं दिखाना चाहता हूं कि हम स्थिति के आधार पर किसी भी परिणाम का उपयोग कैसे कर सकते हैं यदि आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता है सामग्री के माध्यम से जाना या यदि कोई व्यक्तिगत मदद करता है तो आप हमसे संबंधित संबंधित कुछ सामग्री से संपर्क करने के लिए स्वतंत्र हो सकते हैं:

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प्रदर्शनियों की सूची और समस्याओं की व्याख्याएं

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination