क्रमपरिवर्तन और संयोजन: 11 तथ्य जो आपको जानना चाहिए

क्रमांतरण और संयोजन

 क्रमांतरण और संयोजन, यह लेख प्रत्यक्ष गणना के अलावा, किसी विशेष घटना के संभावित परिणामों की संख्या या निर्धारित वस्तुओं, क्रमपरिवर्तन और संयोजनों की संख्या पर चर्चा करेगा, जो कि संयोजन विश्लेषण में गणना की प्राथमिक विधि है।

क्रमपरिवर्तन और संयोजन सीखते समय सामान्य गलतियाँ

छात्रों के बीच हमेशा भ्रम की स्थिति बनी रहती है क्रमपरिवर्तन और संयोजन क्योंकि दोनों विभिन्न वस्तुओं की व्यवस्था की संख्या और किसी विशेष घटना के संभावित परिणाम की संख्या या एक सेट से तत्व प्राप्त करने के तरीकों की संख्या से संबंधित हैं। क्रमपरिवर्तन का विषय और उदाहरणों के साथ संयोजन और औचित्य के साथ उनके बीच के अंतर पर यहां चर्चा की जाएगी।

के बीच अंतर याद रखने के लिए एक सरल और आसान तकनीक क्रमपरिवर्तन और संयोजन है: क्रमपरिवर्तन क्रम से संबंधित है अर्थात क्रमपरिवर्तन में स्थिति महत्वपूर्ण है जबकि संयोजन क्रम से संबंधित नहीं है अर्थात संयोजन में स्थिति महत्वपूर्ण नहीं है।

क्रमपरिवर्तन और संयोजनों की चर्चा से पहले, हमें कुछ आवश्यक शर्तों की आवश्यकता होती है, जिनका अक्सर उपयोग किया जाता है।

 फैक्टरियल क्या है

          फैक्टरियल पॉजिटिव पूर्णांकों का उत्पाद है जो 1 से n तक है (1 और n की गिनती) n द्वारा निरूपित! और n factorial के रूप में पढ़ा नीचे वर्णित है

n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1)।n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

ⁿP_r = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1)= n!/(एनआरई)!

मन यह 0! = 1 

०! = 0

०! = 1

n! = = n(एनएलई)!

जैसे 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

गिनती के तरीके (गुणन का सिद्धांत और जोड़)

      जोड़ का सिद्धांत: यदि एक ही समय में दो घटनाएँ नहीं हो सकती हैं, तो कोई एक घटना घट सकती है

n1 + n2 + n3 + + + ways .ways

      गुणन का सिद्धांत: यह देखते हुए कि यदि घटनाएँ एक के बाद एक घटित हुई हैं, तो सभी घटनाएँ संकेतित क्रम में हो सकती हैं:

n₁.n₂.n₃...तरीके

उदाहरण: यदि कोई संस्थान 7 विभिन्न कला पाठ्यक्रम, 3 विभिन्न तकनीकी पाठ्यक्रम और 4 विभिन्न भौतिक पाठ्यक्रम चलाता है।

यदि कोई छात्र प्रत्येक प्रकार के पाठ्यक्रम में से किसी एक में दाखिला लेना चाहता है तो उसके तरीकों की संख्या होगी

m = 7.3.4 = 84

यदि कोई छात्र पाठ्यक्रम में से किसी एक को दाखिला लेना चाहता है, तो उसके तरीकों की संख्या होगी

n = 7 + 3 + 4 = 14

क्रमपरिवर्तन क्या है

वस्तुओं की विभिन्न स्थिति को कहा जाता है क्रमपरिवर्तन, जहां व्यवस्था का क्रम मायने रखता है। के एक सेट की कोई स्थिति n किसी दिए गए क्रम में विभिन्न वस्तुओं को कहा जाता है परिवर्तन वस्तु का।

        तब {P, Q, R, S} अक्षरों के सेट के एक उदाहरण पर विचार करें

  एक नज़र में चार वर्णमाला के 4 क्रमांकन में से कुछ QSRP, SRQP और PRSQ हैं

एक विशेष क्रम में इन विशेष वस्तुओं के किसी भी आर <= n के किसी भी आदेश को "आर" कहा जाता है-परिवर्तनया "की एक क्रमपरिवर्तन नहींb पर लिया गया अंक समय पर.

मूल रूप से हम उन्हें सेट किए बिना इस तरह के क्रमपरिवर्तन की संख्या पसंद करते हैं।

क्रमचय सूत्र का उदाहरण

एक समय में r ली गई n विभिन्न वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या को दर्शाया जाएगा

ⁿP_r = n. (n-1).(n-2)...(एनआर+1)= n!/(एन-r)!

गणित में इसे विभिन्न तरीकों से दर्शाया जाता है, उनमें से कुछ नीचे दिए गए हैं:

P (n, r), nPr, Pn, r, or (n) r

उदाहरण: संख्या एम की गणना करें छह वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन, A, B, C, D, E, F एक नज़र में तीन कहते हैं।

समाधान: यहाँ n=6, r=3, m=?

ⁿP_r = n!/(एनआर)!

m = ⁶P₃ = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120

तो एम = 120

उदाहरण: शब्द "MATHS" से 2 अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द उत्पन्न किए जा सकते हैं?

हल: यहाँ n = 5, r = 2, m =?

ⁿP_r = n!/(एनआर)!

m = ⁵P₂ = 5!/(5-2)! = 5!/3! =3!.4.5/3! = 4.5 = 20

इसलिए आवश्यक शब्दों की संख्या 20 है।

एक संयोजन से आप क्या समझते हैं?

A संयोजन एसटी n एक समय में लिए गए विभिन्न तत्व r-वें तत्वों का कोई चयन है जहां आदेशों पर विचार नहीं किया जा रहा है। ऐसे चयन को a कहा जाता है आर-संयोजन। संक्षेप में, ए संयोजन एक चयन है जिसमें चयनित वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।

      RSI संयोजन उन तरीकों की संख्या देता है जो किसी विशेष सेट को व्यवस्थित किया जा सकता है, जहां व्यवस्था का क्रम मायने नहीं रखता है।

 कॉम्बिनेशन की स्थिति को समझने के लिए, उदाहरण पर विचार करें

एक हॉल में बीस लोग पहुंचते हैं और सभी अन्य लोगों के साथ हाथ मिलाते हैं। हम हैंडशेक की संख्या कैसे प्राप्त कर सकते हैं? "ए" ए के साथ बी और बी के साथ हाथ मिलाते हुए दो अलग-अलग हैंडशेक नहीं होंगे। यहां, हैंडशेक का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। हैंडशेक की संख्या एक बार में 20 अलग-अलग चीजों के संयोजन में 2 ले ली जाएगी।

एक सरल उदाहरण के साथ संयोजन सूत्र

       इस तरह के संयोजनों की संख्या को निरूपित किया जाएगा

कभी-कभी इसे C(n,r) से भी दर्शाया जाता है। ⁿC_r , सी_{एन, आर} या सी_rⁿ

उदाहरण: एक कक्षा में 10 पुरुषों और 6 महिलाओं के साथ 4 छात्र होते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए n उन छात्रों के बीच से 4 सदस्यीय समिति चुनने के तरीके।

यह संयोजन से संबंधित है, क्रमपरिवर्तन से नहीं, क्योंकि समिति में आदेश एक महत्वपूर्ण कारक नहीं है। ऐसी समितियों में "10 चुनिंदा 4" हैं। अर्थात्:

यहाँ n = 10, r = 4

इसलिए 210 तरीकों से हम ऐसी 4 सदस्यीय समिति चुन सकते हैं।

उदाहरण: एक कंटेनर में 6 नीली गेंदें और 8 लाल गेंदें होती हैं। किसी भी रंग की दो गेंदों को कंटेनर से खींचे जाने के तरीकों की संख्या को पहचानें।

यहां संभवतः 14 गेंदों में से 2 को चुनने के लिए "2 चुनें 14" तरीके। इस प्रकार:

यहाँ n = 14, r = 2

इसलिए 91 तरीकों से दो गेंदों को किसी भी रंग में खींचा जा सकता है।

क्रमपरिवर्तन और संयोजन के बीच अंतर

क्रमपरिवर्तन बनाम संयोजन के बीच का अंतर संक्षेप में यहां दिया गया है

परमीशन और कॉम्बिनेशन कहां लगाए जाएं

  यह महत्वपूर्ण कदम है जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब भी स्थिति व्यवस्था, आदेश और विशिष्टता के लिए हो तो हमें इसका उपयोग करना होगा परिवर्तन और जब भी स्थिति चयन के लिए होती है, तो चयन, चयन, चयन और संयोजन के बिना हमें आदेश का उपयोग करना होता है मेल। अगर जब भी कोई प्रश्न उठता है, तो आप इन आधारभूत बातों को अपने दिमाग में रखते हैं कि "क्या उपयोग करना है और क्या नहीं"।

उदाहरणों के साथ वास्तविक जीवन में क्रमपरिवर्तन और संयोजन का उपयोग

वास्तविक जीवन क्रम में और संयोजन लगभग हर जगह उपयोग किया जाता है क्योंकि हम जानते हैं कि वास्तविक जीवन में एक ऐसी स्थिति होगी जब आदेश महत्वपूर्ण है और कहीं आदेश महत्वपूर्ण नहीं है, उन स्थितियों में हमें संबंधित पद्धति का उपयोग करना होगा।

उदाहरण के लिये

संख्या ज्ञात कीजिए N किसी दिए गए कप्तान के साथ 11 टीमों का चयन 26 खिलाड़ियों में से किया जा सकता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न - अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

तथ्यात्मक क्या है?

1 से n में धनात्मक पूर्णांक का उत्पाद (1 और n सहित)

n! = 1.2.3… (n-2)। (n-1)। n

एक क्रमचय क्या है?

वस्तुओं के विभिन्न क्रमों को कहा जाता है क्रमपरिवर्तन

कॉम्बिनेशन क्या है?

     RSI संयोजन एक विशिष्ट सेट को निर्धारित करने के तरीकों की संख्या प्रदान करता है, जहां व्यवस्था का क्रम मायने नहीं रखता है।

व्यावहारिक जीवन में क्रमपरिवर्तन और संयोजनों का अनुप्रयोग

क्रमबद्धता का उपयोग उन सूचियों की व्यवस्था या चयन के लिए किया जाता है जहां ऑर्डर महत्वपूर्ण है, और संयोजन का उपयोग चयन या पसंद के लिए किया जाता है जहां ऑर्डर महत्वपूर्ण नहीं है।

क्रमचय सूत्र

ⁿP_r = n!/(एनआर)!

संयोजन सूत्र

क्या क्रमपरिवर्तन और संयोजन के बीच कोई संबंध है?

हाँ,

ⁿC_r = ⁿP_r/r!

क्या हम वास्तविक जीवन में क्रमपरिवर्तन और संयोजनों का उपयोग कर सकते हैं?

हाँ,

शब्दों की व्यवस्था में, अक्षर, संख्या, स्थिति और रंग आदि जहां आदेश महत्वपूर्ण क्रमपरिवर्तन का उपयोग किया जाएगा

समिति, टीमों, मेनू, और विषयों आदि के चयन में जहां आदेश महत्वपूर्ण संयोजन का उपयोग नहीं किया जाता है।

   के बारे में संक्षिप्त जानकारी क्रमपरिवर्तन और संयोजन मूल सूत्र के साथ दो या तीन बार पढ़ा जाता है जब तक आप अवधारणा के बारे में विचार प्राप्त नहीं करते हैं, लगातार लेखों में हम अलग-अलग परिणामों और सूत्रों के साथ उपयुक्त उदाहरणों के बारे में विस्तार से चर्चा करेंगे। क्रमपरिवर्तन और संयोजन। यदि आप आगे के अध्ययन से गुजरना चाहते हैं:

गणित पर अधिक विषयों के लिए, कृपया इसका अनुसरण करें संपर्क.

सन्दर्भ:

1. निर्णायक गणित की थ्योरी और समस्याओं का परिणाम

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/

डॉ मोहम्मद माझर उल हक

मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।