2डी में कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पॉइंट्स की पूरी गाइड | 10+ उदाहरणों के साथ इसका महत्वपूर्ण सूत्र

यह sequential से संबंधित एक अनुक्रमिक पोस्ट है निर्देशांक ज्यामिति, विशेष रूप से ». हम पहले ही पोस्ट में कुछ टॉपिक पर चर्चा कर चुके हैं "ज्यामिति के समन्वय के लिए एक पूर्ण मार्गदर्शिका". इस पोस्ट में हम शेष विषयों पर चर्चा करेंगे।

2डी . में कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पॉइंट्स पर बेसिक फ़ार्मुले:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में बिंदुओं पर सभी बुनियादी सूत्रों का वर्णन यहां किया गया है और सूत्रों के बारे में एक नज़र में आसान और त्वरित सीखने के लिए 'बिंदुओं पर सूत्र तालिका' चित्रमय व्याख्या के साथ नीचे प्रस्तुत किया गया है।

दो अंक दूरी सूत्र | विश्लेषणात्मक ज्यामिति:

दूरी एक माप है जो यह पता लगाने के लिए है कि वस्तुएं, स्थान आदि एक दूसरे से कितनी दूर हैं। इकाइयों के साथ इसका संख्यात्मक मान होता है। 2डी में को-ऑर्डिनेट ज्योमेट्री या एनालिटिकल ज्योमेट्री में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न एक सूत्र है। हम इसे 'दूरी' के रूप में लिख सकते हैं डी = √ [(एक्स2-x1)2+ (Y2-y1)2 ] , जहां  (x1,y1) और (x2,y2) xy-तल पर दो बिंदु हैं। एक संक्षिप्त चित्रमय व्याख्या के बाद है 'बिंदु विषय संख्या 1 पर सूत्र तालिका' नीचे.

मूल बिंदु से एक बिंदु की दूरी | निर्देशांक ज्यामिति:

यदि हम एक्स-प्लेन में उत्पत्ति के साथ अपनी यात्रा शुरू करते हैं और उस विमान के किसी भी बिंदु पर समाप्त होते हैं, तो मूल और बिंदु के बीच की दूरी भी एक सूत्र 'दूरी' द्वारा ज्ञात की जा सकती है। ओपी = √ (एक्स2 + और2), जो एक बिंदु (0,0) के साथ "दो अंक दूरी सूत्र" का एक छोटा रूप भी है। एक संक्षिप्त चित्रमय व्याख्या के बाद है 'बिंदु विषय संख्या 2 पर सूत्र तालिका' नीचे.

अंक खंड सूत्र | निर्देशांक ज्यामिति :

यदि कोई बिंदु दो दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करता है, तो हम उस बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए खंड सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, जबकि जिस अनुपात से रेखा खंड विभाजित होता है, वह दिया जाता है और इसके विपरीत। ऐसी संभावना है कि रेखा खंड को आंतरिक या बाह्य रूप से बिंदु से विभाजित किया जा सकता है। जब बिंदु दो दिए गए बिंदुओं के बीच रेखा खंड पर स्थित होता है, तो आंतरिक खंड सूत्रों का उपयोग किया जाता है अर्थात

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

और

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

और जब बिंदु दो दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के बाहरी भाग पर स्थित होता है, तो बाह्य खंड सूत्रों का उपयोग किया जाता है अर्थात

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

जहाँ (x , y) बिंदु के आवश्यक निर्देशांक माने जाते हैं। भौतिकी में त्रिभुज के केन्द्रक, अंतःकेंद्र, परिधि के साथ-साथ प्रणालियों के द्रव्यमान का केंद्र, संतुलन बिंदु आदि खोजने के लिए ये बहुत आवश्यक सूत्र हैं। नीचे दिए गए रेखांकन के साथ विभिन्न प्रकार के अनुभाग सूत्रों का संक्षिप्त दृश्य अवश्य देखें अंक विषय संख्या 3 पर सूत्र तालिका; केस- I और केस- II'.

मिड पॉइंट फॉर्मूला| निर्देशांक ज्यामिति:

यह ऊपर वर्णित आंतरिक बिंदु अनुभाग सूत्रों से प्राप्त एक आसान सूत्र है। जबकि हमें एक रेखाखंड का मध्यबिंदु यानी उस बिंदु का निर्देशांक ज्ञात करना होता है जो रेखाखंड पर दिए गए दो बिंदुओं से समान दूरी पर होता है अर्थात अनुपात 1:1 रूप प्राप्त करता है, तो इस सूत्र की आवश्यकता होती है। सूत्र के रूप में है

यदि कोई बिंदु दो दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करता है, तो हम उस बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए खंड सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, जबकि जिस अनुपात से रेखा खंड विभाजित होता है, वह दिया जाता है और इसके विपरीत। ऐसी संभावना है कि रेखा खंड को आंतरिक या बाह्य रूप से बिंदु से विभाजित किया जा सकता है। जब बिंदु दो दिए गए बिंदुओं के बीच रेखा खंड पर स्थित होता है, तो आंतरिक खंड सूत्रों का उपयोग किया जाता है अर्थात

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

और

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

और जब बिंदु दो दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के बाहरी भाग पर स्थित होता है, तो बाह्य खंड सूत्रों का उपयोग किया जाता है अर्थात

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

        और

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

जहाँ (x , y) बिंदु के आवश्यक निर्देशांक माने जाते हैं। भौतिकी में त्रिभुज के केन्द्रक, अंतःकेंद्र, परिधि के साथ-साथ प्रणालियों के द्रव्यमान का केंद्र, संतुलन बिंदु आदि खोजने के लिए ये बहुत आवश्यक सूत्र हैं। नीचे दिए गए रेखांकन के साथ विभिन्न प्रकार के अनुभाग सूत्रों का संक्षिप्त दृश्य अवश्य देखें अंक विषय संख्या 3 पर सूत्र तालिका; केस- I और केस- II'.

मिड पॉइंट फॉर्मूला| निर्देशांक ज्यामिति:

यह ऊपर वर्णित आंतरिक बिंदु अनुभाग सूत्रों से प्राप्त एक आसान सूत्र है। जबकि हमें एक रेखाखंड का मध्यबिंदु यानी उस बिंदु का निर्देशांक ज्ञात करना होता है जो रेखाखंड पर दिए गए दो बिंदुओं से समान दूरी पर होता है अर्थात अनुपात 1:1 रूप प्राप्त करता है, तो इस सूत्र की आवश्यकता होती है। सूत्र के रूप में है

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}

और

x=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}

आप "सूत्रों के विषय पर सूत्र तालिका संख्या 3-केस-III' इस पर चित्रमय विचार प्राप्त करने के लिए नीचे।

निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल:

एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष तल पर या द्विविमीय क्षेत्र में होते हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल इन तीनों भुजाओं से घिरा आंतरिक स्थान है। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का मूल सूत्र (2/1 X आधार X ऊँचाई) है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, यदि तीनों शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा आसानी से की जा सकती है, त्रिभुज का क्षेत्रफल   == ½ [x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)]| , वास्तव में यह निर्देशांक ज्यामिति में दो बिंदु दूरी सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल के मूल सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। दोनों मामलों को रेखांकन में वर्णित किया गया है 'बिंदु 4 विषय पर सूत्र तालिका' नीचे.

बिंदुओं की संरेखता (तीन बिंदु) | निर्देशांक ज्यामिति:

Collinear का अर्थ है 'एक ही रेखा पर होना'। ज्यामिति में, यदि तीन बिंदु समतल में एक ही रेखा पर स्थित हैं, तो वे शून्य के अलावा अन्य क्षेत्रफल वाला त्रिभुज कभी नहीं बना सकते हैं, अर्थात यदि त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र को तीन संरेख बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो क्षेत्रफल का परिणाम उन बिन्दुओं से बनने वाला काल्पनिक त्रिभुज शून्य पर ही समाप्त होगा। तो सूत्र बन जाता है ½ [x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)] =0 चित्रमय प्रतिनिधित्व के साथ अधिक स्पष्ट विचार के लिए, देखें "बिंदु विषय संख्या 5 पर सूत्र तालिका" नीचे.

त्रिभुज का केन्द्रक| सूत्र:

त्रिभुज की तीन माध्यिकाएं* हमेशा त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और माध्यिका को किसी भी शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करती हैं। इस बिंदु को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं। केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र है

x=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}

और

x=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}

में "बिंदु विषय संख्या 6 पर सूत्र तालिका" नीचे, उपरोक्त विषय को बेहतर ढंग से समझने और त्वरित दृश्य के लिए ग्राफिक रूप से वर्णित किया गया है।

त्रिभुज का केंद्रबिंदु|सूत्र:

यह त्रिभुज के सबसे बड़े अंतःवृत्त का केंद्र है जो त्रिभुज के अंदर फिट बैठता है। यह त्रिभुज के आंतरिक कोणों के तीन समद्विभाजक का प्रतिच्छेद बिंदु भी है। त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त सूत्र है     

x=\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}

और

x=\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}

में "बिंदु विषय संख्या 6 पर सूत्र तालिका" नीचे, उपरोक्त विषय को बेहतर ढंग से समझने और त्वरित दृश्य के लिए ग्राफिक रूप से वर्णित किया गया है।

आसान ग्राफिकल स्पष्टीकरण के लिए नीचे "बिंदु विषय संख्या 7 पर सूत्र तालिका" देखने की जरूरत है।

मूल सूत्र का स्थानांतरण| निर्देशांक ज्यामिति:

पिछली पोस्ट में हम पहले ही जान चुके हैं "ज्यामिति के समन्वय के लिए एक पूर्ण मार्गदर्शिका" कि मूल बिंदु बिंदु (0,0) पर स्थित है जो समतल में अक्षों के प्रतिच्छेदन का बिंदु है। हम मूल के संबंध में विमान के सभी चतुर्थांशों में मूल को स्थानांतरित कर सकते हैं, जो इसके माध्यम से कुल्हाड़ियों का नया सेट देगा।

उपरोक्त तल में एक बिंदु के लिए, इसके निर्देशांक नए मूल और अक्षों के साथ बदल जाएंगे और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है, एक बिंदु के नए निर्देशांक P (x)1,y1) रहे x1 = एक्स-ए; आप1 = वाई-  b जहां नए मूल के निर्देशांक (ए, बी) हैं। इस विषय पर स्पष्ट समझ रखने के लिए नीचे दिए गए चित्रमय प्रतिनिधित्व को देखना बेहतर है "बिंदु विषय संख्या 8 पर सूत्र तालिका" .

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

अंक
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त्रिभुज का परिकेन्द्र :

यह एक त्रिभुज की भुजा के तीन लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह एक त्रिभुज के परिवृत्त का केंद्र भी है जो केवल त्रिभुज के शीर्षों को स्पर्श करता है।

मध्यस्थ:

माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष को मध्यबिंदु या बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड है, जो शीर्ष के विपरीत भाग को समद्विभाजित करता है। प्रत्येक त्रिभुज में तीन माध्यिकाएँ होती हैं जो हमेशा एक ही त्रिभुज के केन्द्रक पर एक दूसरे को काटती हैं।                                                         

2डी में कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पॉइंट्स पर सॉल्व्ड प्रॉब्लम्स।

2डी में अंक के बारे में बेहतर ढंग से सीखने के लिए, एक बुनियादी उदाहरण यहां चरण दर चरण हल किया गया है और अभ्यास के लिए प्रत्येक सूत्र पर उत्तरों के साथ अधिक समस्याएं हैं। निर्देशांक ज्यामिति 2डी में बिंदुओं के विषय पर एक बुनियादी और स्पष्ट विचार प्राप्त करने के बाद ही अगले लेखों में समाधान के साथ चुनौतीपूर्ण समस्याएं होनी चाहिए।

सूत्रों पर बुनियादी उदाहरण "दो बिंदुओं के बीच की दूरी"

समस्या 1:  दिए गए दो बिंदुओं (1,2) और (6,-3) के बीच की दूरी की गणना करें।

उपाय: हम पहले से ही जानते हैं, दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र  (x1,y1) और (x2,y2)  is डी = √ [(एक्स2-x1)2+ (Y2-y1)2 ] …(1)                                                                                                                    

(उपरोक्त सूत्र तालिका देखें)   यहाँ, हम यह मान सकते हैं कि (x .)1,y1) (1,2) और (x .)2,y2) (6, -3) यानी x1= 1, वाई1=2 और x2= 6, वाई2 =-3, यदि हम इन सभी मानों को समीकरण (1) में रख दें, तो हमें अभीष्ट दूरी प्राप्त होती है।

2डी में कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पॉइंट्स की पूरी गाइड | 10+ उदाहरणों के साथ इसका महत्वपूर्ण सूत्र

इसलिए, दो बिंदुओं (1,2) और (6,-3) के बीच की दूरी है

=√ [(6-1)2+(-3-2)2 ] इकाइयां

= [(5)2+(-5)2 ] इकाइयां

=√ [२५+२५ ] इकाइयां

=√ [५० ] इकाइयां

=√ [२×५2 ] इकाइयां

= 5√2 इकाइयाँ (Ans।)

नोट: कुछ इकाइयों द्वारा दूरी का हमेशा अनुसरण किया जाता है।

ऊपर वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं (मूल) नीचे दी गई हैं समस्या 1:-

समस्या 2: दो बिंदुओं (2,8) और (5,10) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।               

उत्तर। √13 इकाइयों

समस्या 3: दो बिंदुओं (-3,-7) और (1,-10) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।           

उत्तर: 5 इकाइयों

समस्या 4: दो बिंदुओं (2,0) और (-3,4) के बीच की दूरी का पता लगाएं.               

 उत्तर। √41 इकाइयों

प्रश्न 5: दो बिंदुओं (2,-4) और (0,0) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।                

उत्तर: 25 इकाइयों

समस्या 6: दो बिंदुओं (10,100) और (-10,100,) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। 

                                                                                                                               उत्तर: 20 इकाइयों

समस्या 7: दो बिंदुओं (√5,1) और (2√5,1) के बीच की दूरी का पता लगाएं।          

उत्तर। 5 इकाइयों

समस्या 8: दो बिंदुओं (2√7,2) और (3√7,-1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।       

उत्तर 4 इकाइयों

समस्या 9: दो बिंदुओं (2+√10, 0) और (2-√10, 0) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।   

                                                                                                                              उत्तर। 2√10 इकाइयों

समस्या 10: दो बिंदुओं (2+3i, 0) और (2-3i, 10) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। { मैं = √-1 }

                                                                                                                                 उत्तर: 8 इकाइयों

समस्या 11: दो बिंदुओं (2+i, -5) और (2-i, -7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। { मैं = √-1 }

                                                                                                                                  उत्तर 0 इकाइयों

समस्या 12: दो बिंदुओं (7+4i,2i) और (7-4i, 2i) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। { मैं = √-1 }

                                                                                                                                   उत्तर। -8 इकाइयों

समस्या 13: दो बिंदुओं (√3+i, 3) और (2√3+i, 5) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। { मैं = √-1 }  

                                                                                                                                उत्तर। 7 इकाइयों

समस्या 14: दो बिंदुओं (5+√2, 3+i) और (2+√2, 7+2i) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। { मैं = √-1 } 

                                                                                                                           उत्तर। 2√(6+2i) इकाइयों 

सूत्रों पर बुनियादी उदाहरण "मूल से एक बिंदु की दूरी"

प्रश्न 15: मूल बिन्दु से एक बिंदु (3,4) की दूरी ज्ञात कीजिए।

उपाय:                                                                                                

 हमारे पास मूल बिंदु से एक बिंदु की दूरी का सूत्र है,  ओपी = √ (एक्स2 + और2) (उपरोक्त सूत्र तालिका देखें) तो यहाँ हम मान सकते हैं (x,y) (3,4) यानी x=3 और y=4                                                                                            

2डी में कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पॉइंट्स की पूरी गाइड | 10+ उदाहरणों के साथ इसका महत्वपूर्ण सूत्र

इसलिए, उपरोक्त समीकरण में x और y के इन मानों को रखने पर, हमें अभीष्ट दूरी प्राप्त होती है 

=(32 + 42) इकाइयां

=√ (९ .) + 16) इकाइयां

=√ (25) इकाइयां

= 5 इकाइयां

नोट: कुछ इकाइयों द्वारा हमेशा दूरी का अनुसरण किया जाता है।

नोट: मूल बिंदु से किसी बिंदु की दूरी वास्तव में बिंदु और मूल बिंदु के बीच की दूरी है अर्थात (0,0)

ऊपर वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं

मुसीबत 15:-

समस्या 16: मूल बिंदु से एक बिंदु (1,8) की दूरी ज्ञात कीजिए।                              

उत्तर। √65 इकाइयों

समस्या 17: मूल बिंदु से एक बिंदु (0,7) की दूरी ज्ञात कीजिए।                              

उत्तर 7 इकाइयों

समस्या 18: मूल बिंदु से एक बिंदु (-3, -4) की दूरी ज्ञात कीजिए।                            

उत्तर 5 इकाइयों

समस्या 19: मूल बिंदु से एक बिंदु (10,0) की दूरी ज्ञात कीजिए।                             

उत्तर 10 इकाइयों

समस्या 20: मूल बिंदु से एक बिंदु (0,0) की दूरी ज्ञात कीजिए।                               

उत्तर 0 इकाइयों

                 ___________________________________________________________

अंक के अन्य सूत्रों पर बुनियादी उदाहरण ऊपर वर्णित और इस विषय पर कुछ चुनौतीपूर्ण प्रश्न निर्देशांक ज्यामिति में, अगली पोस्ट के बाद हैं.

NASRINA PARVIN के बारे में

2डी में कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पॉइंट्स की पूरी गाइड | 10+ उदाहरणों के साथ इसका महत्वपूर्ण सूत्रमैं नसरीना परवीन हूं, भारत के संचार और सूचना प्रौद्योगिकी मंत्रालय में काम करने का 10 साल का अनुभव है। मैंने गणित में ग्रेजुएशन किया है। अपने खाली समय में मुझे गणित के प्रश्न पढ़ाना, हल करना पसंद है। बचपन से ही गणित ही एक ऐसा विषय है जिसने मुझे सबसे ज्यादा आकर्षित किया।

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