प्रायिकता मास फलन | 5 उदाहरणों के साथ इसका पूरा अवलोकन

असतत रैंडम वेरिएबल और गणितीय उम्मीद-द्वितीय

जैसा कि हम पहले से ही अब परिचित हैं असतत यादृच्छिक चर, यह एक यादृच्छिक चर है जो एक क्रम में संभव मानों की संख्या गिनता है। असतत रैंडम वैरिएबल से संबंधित दो महत्वपूर्ण अवधारणा असतत रैंडम वैरिएबल और डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन की संभावना है, हम नाम को इस तरह की प्रोबेबिलिटी और डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन तक सीमित रखते हैं,

प्रायिकता मास फ़ंक्शन (pmf)

                RSI जन समारोह की संभावना असतत यादृच्छिक चर की संभावना है, इसलिए किसी के लिए भी यादृच्छिक चर असतत  x1, एक्स2, एक्स3, एक्स4,……, एक्सk  इसी संभावनाएं P (x)1), पी (एक्स2), पी (एक्स3), पी (एक्स4) ……, पी (x)k) इसी संभावना बड़े पैमाने पर कार्य कर रहे हैं।

विशेष रूप से, X = a, P (a) = P (X = a) इसका pmf है

हम यहाँ बाद में उपयोग करते हैं जन समारोह की संभावना असतत यादृच्छिक चर संभावना के लिए। प्रायिकता के लिए सभी संभावित विशेषताओं को स्पष्ट रूप से संभाव्यता द्रव्यमान समारोह पर लागू किया जाएगा जैसे सकारात्मकता और सभी pmf का योग एक होगा आदि।

संचयी वितरण समारोह (cdf) / वितरण समारोह

  वितरण फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है

F (x) = P (X <= x)

असतत मास फ़ंक्शन के साथ असतत यादृच्छिक चर के लिए यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन (cdf) है।

और ऐसे यादृच्छिक चर के लिए गणितीय अपेक्षा जिसे हमने परिभाषित किया था

E (g (x)) = \ sum \ limit_ {i} x_ {i} p_ {i}

अब हम गणितीय अपेक्षाओं के कुछ परिणाम देखते हैं

  1. यदि एक्स1, एक्स2, एक्स3, एक्स4,… .. संबंधित संभावनाओं P (x) के साथ असतत यादृच्छिक चर हैं1), पी (एक्स2), पी (एक्स3), पी (एक्स4) ... वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन जी के लिए उम्मीद की जाएगी

E (g (x)) = \ sum \ limit_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

उदाहरण: निम्नलिखित संभाव्यता द्रव्यमान कार्यों के लिए E (X) ज्ञात कीजिए3)

जन समारोह की संभावना

यहाँ जी (एक्स) = एक्स3

तो,

E (g (x)) = \ sum \ limit_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

E (X ^ {3}) = \ sum \ limit_ {i} x_ {i} ^ {3} p (x_ {{})

E(X^{3}) = (-1)^{3}<em>0.2+(0)^{3}</em>0.5+(1)^{^{3}}*0.3

ई (एक्स ^ {3}) = 0.1

इसी तरह किसी भी nth ऑर्डर के लिए हम लिख सकते हैं

E [X ^ {n}] = \ sum \ limit_ {x: p (x)> 0} x ^ {n} / (x)

जिसे nth moment के नाम से जाना जाता है।

2. यदि a और b स्थिरांक हैं

ई [एएक्स + बी] = एई [एक्स] + बी

इसे हम आसानी से समझ सकते हैं

E [aX + b] = \ sum \ limit_ {x: p (x)> 0} (ax + b) p (x)

= a \ sum \ limit_ {x: p (x)> 0} xp (x) + b \ sum \ limit_ {x: p (x)> 0} p (x)

= एई [एक्स] + बी

अपेक्षा के संदर्भ में भिन्न।

                Μ द्वारा निरूपित किए गए माध्य के लिए, असतत यादृच्छिक चर X का वेरिएंट (X) द्वारा निरूपित या अपेक्षा के संदर्भ में σ होगा

वर (X) = E [(X- μ)2]

और हम इसे और सरल बना सकते हैं

वर (X) = E [(X- μ)2]

= \ sum \ limit_ {x} (x- \ mu) ^ {2} p (x)

= \ sum \ limit_ {x} (x ^ {2} -2x \ mu + \ mu ^ {2}) P (X)

= \ sum \ limit_ {x} (x ^ {2} p (x) -2 \ mu \ sum \ limit_ {x} xp (x) + \ mu ^ {2} \ sum \ limit_ {x} p (x) )

= E [X ^ {2}] -2 \ mu ^ {2} + \ mu ^ {2}

= E [X ^ {2}] - \ mu ^ {2}

इसका मतलब है कि हम विचरण को यादृच्छिक चर वर्ग की अपेक्षा के अंतर और यादृच्छिक चर की अपेक्षा के वर्ग के रूप में लिख सकते हैं।

यानी वार (एक्स) = ई [एक्स2] - (ई [एक्स])2

उदाहरण:  जब एक डाई फेंक दिया जाता है तो विचरण की गणना करें।

उपाय:  यहाँ हम जानते हैं कि जब मरने वाले को हर चेहरे के लिए संभावनाएँ दी जाएंगी

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

इसलिए विचरण की गणना के लिए हम रैंडम वैरिएबल और उसके वर्ग की अपेक्षा पाएंगे

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

ई [एक्स2] = १2। (1/6) +22। (1/6) +32। (1/6) +42। (1/6) +52। (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

और हमने अभी विचरण किया है

वार (एक्स) = ई [एक्स2] - (ई [एक्स])2

so

वर (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12

विचरण के लिए एक महत्वपूर्ण पहचान है

  1. मनमाने स्थिरांक के लिए a और b हमारे पास है

वार (एएक्स + बी) = ए2 वर (X)

यह हम आसानी से दिखा सकते हैं

वार (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]

= ई [ए2(एक्स - μ)2]

=a2 E [(X-μ)2]

=a2 वर (X)

बर्नौली यादृच्छिक चर

      एक स्विस गणितज्ञ जेम्स बर्नौली परिभाषित करते हैं बर्नौली यादृच्छिक चर रैंडम वेरिएबल के रूप में या तो सफलता या विफलता के रूप में रैंडम प्रयोग के लिए केवल दो परिणाम हैं।

जब परिणाम सफलता एक्स = 1 है

जब परिणाम विफलता X = 0 है

तो बर्नौली यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता द्रव्यमान समारोह है

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

जहां p सफलता की संभावना है और 1-p विफलता की संभावना होगी।

यहाँ हम 1-p = q भी ले सकते हैं जहाँ q विफलता की संभावना है।

जैसा कि इस प्रकार का यादृच्छिक चर स्पष्ट रूप से असतत है, इसलिए यह असतत यादृच्छिक चर में से एक है।

उदाहरण: सिक्का उछालना।

द्विपद यादृच्छिक यादृच्छिक

यदि एक ऐसे यादृच्छिक प्रयोग के लिए, जिसका परिणाम केवल सफलता या विफलता के रूप में होता है, तो हम n परीक्षण लेते हैं, इसलिए हर बार हमें सफलता या असफलता मिलेगी, तो ऐसे n परीक्षण के लिए यादृच्छिक चर X प्रतिनिधित्व परिणाम यादृच्छिक प्रयोग के रूप में जाना जाता है द्विपद यादृच्छिक चर.

                दूसरे शब्दों में यदि p एकल बर्नौली परीक्षण में सफलता के लिए संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन है और q = 1-p विफलता की संभावना है तो n परीक्षणों में 'x या i' बार होने की संभावना होगी

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

or

p (i) = \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} जहां i = 0,1,2,… .n

उदाहरण: यदि हम दो सिक्कों को छह बार उछालते हैं और सिर प्राप्त करना सफलता है और शेष घटनाएं विफल होती हैं तो इसकी संभावना होगी

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

P(X=2)=\binom{6}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{6-2}=\frac{6!}{2!4!}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}

इसी तरह से हम ऐसे किसी भी प्रयोग के लिए गणना कर सकते हैं।

RSI द्विपद यादृच्छिक चर नाम रहा है द्विपद क्योंकि यह के विस्तार का प्रतिनिधित्व करता है

लाटेकस^{n}=q^{n}+\binom{n}{1}q^{n-1}p+\binom{n}{2}q^{n-2}p^{2}+…….+p^{n}=\sum\limits_{i = 1}^n\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}[/latex]

यदि हम n = 1 के स्थान पर रखते हैं तो यह बर्नोली के यादृच्छिक चर में बदल जाएगा।

उदाहरण: यदि पाँच सिक्कों को फेंक दिया गया था और परिणाम स्वतंत्र रूप से लिया गया है तो प्रमुखों की संख्या की संभावना क्या होगी।

यहाँ अगर हम यादृच्छिक चर X को प्रमुखों की संख्या के रूप में लेते हैं तो यह n = 5 के साथ द्विपद यादृच्छिक चर में बदल जाएगा और सफलता की संभावना ability के रूप में होगी

तो द्विपदीय यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन का अनुसरण करके हम प्राप्त करेंगे

P{X=0}=\binom{5}{0}(\frac{1}{2})^{0}(\frac{1}{2})^{5}=\frac{1}{32}

P{X=1}=\binom{5}{1}(\frac{1}{2})^{1}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{5}{32}

P{X=2}=\binom{5}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{10}{32}

P{X=3}=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^{3}(\frac{1}{2})^{2}=\frac{10}{32}

P{X=4}=\binom{5}{4}(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})^{1}=\frac{5}{32}

उदाहरण:

एक निश्चित कंपनी में उत्पादन से दोषपूर्ण की संभावना 0.01 है। कंपनी 10 के पैक में उत्पाद बनाती है और बेचती है और अपने ग्राहकों को मनी बैक गारंटी की पेशकश करती है कि 1 उत्पादों में से अधिकांश पर दोषपूर्ण है, इसलिए बेची गई उत्पादों के किस अनुपात में कंपनी को बदलना होगा।

यहाँ यदि X दोषपूर्ण उत्पादों का प्रतिनिधित्व करने वाला रैंडम वैरिएबल है तो यह n = 10 और p = 0.01 के साथ द्विपद प्रकार का है तो संभावना है कि पैक वापस आ जाएगा

P({X\geq 1})=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\binom{10}{0}(0.01)^{0}(0.99)^{10}-\binom{10}{1}(0.01)^{1}(0.99)^{9}

\ लगभग 0.004

उदाहरण: (चक-ए-लक / भाग्य का पहिया) होटल में भाग्य के एक विशिष्ट खेल में एक खिलाड़ी 1 से 6 तक की संख्याओं में से किसी एक पर दांव लगाता है, तीन बार पासा लुढ़कता है और यदि संख्या खिलाड़ी द्वारा एक बार, दो या तीन बार दांव लगती है। खिलाड़ी जो बहुत सारी इकाइयों का मतलब है अगर एक बार दिखाई देता है तो 1 इकाई यदि दो पासे पर है तो 2 इकाइयाँ और यदि तीन पासा है तो 3 इकाइयाँ, संभावना की मदद से जांचें कि खिलाड़ी के लिए खेल उचित है या नहीं।

अगर हम मानते हैं कि पासा और चोर तकनीक के साथ कोई अनुचित साधन नहीं है, तो स्वतंत्र रूप से पासा के परिणाम को मानकर प्रत्येक पासा के लिए सफलता की संभावना 1/6 है और विफलता होगी

 1-1 / 6 इसलिए यह n = 3 के साथ द्विपद यादृच्छिक चर का उदाहरण है

तो पहले हम एक्स को असाइन करके विजेता संभावनाओं की गणना करेंगे क्योंकि खिलाड़ी जीतते हैं

P(X=0)=\binom{3}{0}(\frac{1}{6})^{0}(\frac{5}{6})^{3}=\frac{125}{216}

P(X=1)=\binom{3}{1}(\frac{1}{6})^{1}(\frac{5}{6})^{2}=\frac{75}{216}

P(X=2)=\binom{3}{2}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{1}=\frac{15}{216}

P(X=3)=\binom{3}{3}(\frac{1}{6})^{3}(\frac{5}{6})^{0}=\frac{1}{216}

अब खेल की गणना के लिए खिलाड़ी के लिए उचित है या नहीं हम यादृच्छिक चर की उम्मीद की गणना करेंगे

E[X]=\frac{-125+75+30+3}{216}

= - \ frac {17} {216}

इसका मतलब खिलाड़ी के लिए खेल को खोने की संभावना है जब वह 216 बार खेलता है 17।

निष्कर्ष:

   इस लेख में हमने एक असतत यादृच्छिक चर, संभाव्यता द्रव्यमान समारोह और विचरण के कुछ मूल गुणों पर चर्चा की। इसके अलावा हमने कुछ प्रकार के असतत यादृच्छिक चर को देखा है, इससे पहले कि हम निरंतर यादृच्छिक चर को शुरू करें हम असतत यादृच्छिक चर के सभी प्रकारों और गुणों को कवर करने का प्रयास करते हैं, यदि आप आगे पढ़ना चाहते हैं तो इसके माध्यम से जाएं:

Schaum की संभावना और सांख्यिकी की रूपरेखा

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

प्रायिकता मास फलन | 5 उदाहरणों के साथ इसका पूरा अवलोकनमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
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