प्रायिकता और उसके स्वयंसिद्धों पर समस्याएं

उदाहरण:

1. एक निश्चित राजमार्ग में एक रेस्तरां एक एंट्री, एक स्टार्च और एक मिठाई के रूप में तीन संयोजन भोजन प्रदान करता है। इन भोजन में निम्नलिखित व्यंजन शामिल हैं

प्रवेश	पनीर या मंचूरियन
स्टार्च	नूडल्स या फ्राइड राइस या आलू
मिठाई	अनानास का रस या आइसक्रीम या आड़ू या जेलो

इन भोजनों में से एक व्यक्ति प्रत्येक में से एक कोर्स चुनता है

1. नमूना स्थान में परिणामों की संख्या क्या है।
2. घटना में कितने परिणाम होंगे A जो अनानास के रस का प्रतिनिधित्व करता है, चुना जाता है
3. घटना B जो पनीर का प्रतिनिधित्व करती है, के चुने जाने पर कितने परिणाम प्राप्त होंगे
4. उत्पाद घटना AB में सभी परिणामों को सूचीबद्ध करें
5. घटना में कितने परिणाम होंगे C जो तले हुए चावल का प्रतिनिधित्व करता है, चुना जाता है
6. उत्पाद घटना एबीसी में सभी परिणामों को सूचीबद्ध करें

उपाय:

1.       नमूना स्थान में परिणामों की कुल संख्या है 2+3+4=24
2. घटना ए में यदि पहले से ही तीसरे भोजन से एक पाठ्यक्रम चुना जाता है तो संभावित परिणाम पहले दो भोजन पर निर्भर करेगा इस प्रकार ए में परिणामों की संख्या 2+3=6 है।
3. घटना बी में यदि पहले भोजन से पहले से ही एक पाठ्यक्रम चुना जाता है तो संभावित परिणाम शेष दो भोजन पर निर्भर करेगा इस प्रकार बी में परिणामों की संख्या 3 है ^. 4 = 12
4. चूंकि उत्पाद घटना में AB दूसरे भोजन पर निर्भर करता है इसलिए संभावित परिणाम होंगे AB={(x,noodles,y),(x,फ्राइड राइस,y),(x,आलू,y)}
5. चूंकि तले हुए चावल दूसरे भोजन से हैं इसलिए घटना सी में परिणाम शेष दो भोजन पर निर्भर करता है इसलिए घटना सी में परिणामों की संख्या 2+4=8 है।
6. उत्पाद घटना ABC में परिणाम तले हुए चावल पर निर्भर करता है इसलिए घटना ABC का परिणाम {(x, तला हुआ चावल, y)} है।

• शॉपिंग मॉल में संभावना ग्राहक द्वारा खरीदी जाने वाली वस्तुओं की संख्या इस प्रकार दी गई है, 0.22 के साथ सूट, 0.30 के साथ शर्ट, 0.28 के साथ टाई, एक सूट और एक शर्ट दोनों 0.11 के साथ, एक सूट और एक टाई 0.14 के साथ, एक शर्ट और एक टाई 0.10 के साथ और सभी 3 आइटम 0.06 के साथ। ग्राहक द्वारा कोई भी वस्तु न खरीदे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ग्राहक द्वारा ठीक एक वस्तु खरीदी गई है।

उपाय:

माना कि घटनाएँ A, B और C क्रमशः आइटम सूट, शर्ट और टाई ख़रीदी जाती हैं, तो प्रायिकता

और इसी तरह से दो या दो से अधिक वस्तुओं के खरीदे जाने की प्रायिकता है

• 52 डेक कार्डों के एक पैकेट से कार्ड वितरित किए जाते हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता होगी कि 14^th कार्ड इक्का भी होगा, इसकी क्या प्रायिकता होगी कि 14 कार्ड पर पहला इक्का निकलेगा।

उपाय:

14 . की संभावना के बाद से^th कार्ड 52 में से कोई भी है इसलिए 4/52

अब 14^th कार्ड होगा इक्का is

• क्या प्रायिकता होगी कि दो राज्यों का न्यूनतम तापमान 70◦F है, बशर्ते A और B दो राज्यों के तापमान को 70◦F के रूप में दर्शाते हैं और C इन दोनों राज्यों के अधिकतम तापमान को 70◦F के रूप में प्रायिकता के साथ दर्शाते हैं।

पी(ए)=0.3, पी(बी)=0.4, और पी(सी)=0.2

उपाय:

चूंकि घटनाएं ए और बी दो राज्यों के तापमान को 70◦F के रूप में दर्शाती हैं और सी इन दो राज्यों के अधिकतम तापमान को 70◦F के रूप में दर्शाती हैं, एक और घटना डी पर विचार करें जो इन दो राज्यों के न्यूनतम तापमान का प्रतिनिधित्व करेगी

so

• प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले चार कार्ड जब 52 डेक कार्ड पैक में फेरबदल किया गया था तो अलग-अलग मूल्यवर्ग और अलग-अलग सूट होंगे।

उपाय:

प्रायिकता है कि पहले चार कार्डों को फेरबदल करने पर सूट हो जाएगा

• लाल और काले पेन वाले दो बॉक्स हैं, यदि बॉक्स A में 3 लाल और 3 काले पेन हैं जबकि बॉक्स B में 4 लाल और 6 काले पेन हैं, तो इनमें से प्रत्येक बॉक्स से एक पेन यादृच्छिक रूप से लिया जाता है, तो इन दोनों के यादृच्छिक रूप से लिए जाने की क्या प्रायिकता है पेन एक ही रंग के होंगे।

उपाय:

लाल पेन के लिए घटना R और काले पेन के लिए घटना B पर विचार करें तो अभीष्ट प्रायिकता होगी

• विभिन्न समूहों के परिसर के छात्रों से आकार 4 की एक समिति बनाई जाती है जिसमें 3 कला छात्रों का समूह, 4 वाणिज्य छात्रों का समूह, 4 विज्ञान छात्रों का समूह और 3 इंजीनियरिंग छात्रों का समूह होता है।
• क्या प्रायिकता होगी कि इस समिति में इनमें से प्रत्येक समूह से एक विद्यार्थी शामिल होगा?
• क्या प्रायिकता होगी कि इस समिति में 2 वाणिज्य और 2 विज्ञान के छात्र होंगे?
• क्या प्रायिकता होगी कि इस समिति में केवल वाणिज्य या विज्ञान के छात्र होंगे?

उपाय:

1. संभावना है कि इस समिति में इनमें से प्रत्येक समूह से एक छात्र शामिल होगा

• संभावना है कि इस समिति में 2 वाणिज्य और 2 विज्ञान के छात्र शामिल होंगे

• संभावना है कि इस समिति में केवल वाणिज्य या विज्ञान के छात्र शामिल होंगे

• एक अच्छी तरह से फेरबदल किए गए 52 पैक कार्ड डेक से एक 5 हैंड कार्ड हाथ बांटा जाता है, संभावना है कि 52 कार्डों के प्रत्येक सूट में से कम से कम एक कार्ड है।

उपाय:

इसके विपरीत विचार करें कि A_i घटनाओं को निरूपित करें कि सूट से कोई कार्ड नहीं है i=1,2,3,4 ऐसा दिखाई देता है

इस प्रायिकता को एक से घटाने पर हमें 0.2637 प्राप्त होगा

या मान लीजिए n नए सूट का प्रतिनिधित्व करता है और o पुराने सूट का प्रतिनिधित्व करता है

• दो शब्दों में से एक ही अक्षर के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: चूँकि हमारे पास तीन शब्द समान हैं इसलिए एक ही अक्षर के लिए

1. एक दौड़ प्रतियोगिता में छह खिलाड़ी होते हैं जिनकी टी-शर्ट एक से छह तक होती है और नमूना स्थान में 6 होते हैं! परिणाम। होने देना A घटना हो कि टी-शर्ट नंबर -1 वाला खिलाड़ी शीर्ष तीन फिनिशरों में से है, और चलो B अगर टी-शर्ट नंबर-2 वाला खिलाड़ी दूसरे नंबर पर आता है। ए और बी के मिलन में परिणामों की गणना करें।

समाधान: नंबर-1 खिलाड़ी के लिए 5!=120 परिणाम हैं जिसमें उसकी स्थिति निर्दिष्ट है

इसी तरह एन (बी) = 120

और एन(एबी)=2*4!=48

इस प्रकार

एन (एयूबी) = 432

संभाव्यता पर अधिक पोस्ट के लिए, कृपया अनुसरण करें प्रायिकता पृष्ठ.