प्रायिकता और उसके स्वयंसिद्धों पर समस्याएं

संभावना है एक मौलिक अवधारणा गणित में जो हमें अनिश्चितता को मापने और घटनाओं के घटित होने की संभावना के बारे में भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। यह चलता है एक महत्वपूर्ण भूमिका in विभिन्न क्षेत्र, जिसमें सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, भौतिकी, और शामिल हैं कम्प्यूटर साइंस. में यह अनुभाग, हम अन्वेषण करेंगे परिभाषा संभाव्यता की और इसका महत्व गणित में, साथ ही इससे बनने वाले स्वयंसिद्ध सिद्धांत भी बुनियाद संभाव्यता सिद्धांत का.

संभाव्यता की परिभाषा और गणित में इसका महत्व

संभाव्यता को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है एक नाप किसी घटना के घटित होने की संभावना का. इसे इस रूप में दर्शाया गया है एक संख्या 0 और 1 के बीच, जहां 0 असंभवता को इंगित करता है और 1 निश्चितता को इंगित करता है। संकल्पना गणित में संभाव्यता आवश्यक है क्योंकि यह हमें विश्लेषण करने और समझने में मदद करती है अनिश्चित स्थितियाँ.

In असली जीवन, हमे मिला संभाव्य स्थितियाँ रोज रोज। उदाहरण के लिए, फ़्लिप करते समय एक उचित सिक्का, हम जानते हैं कि इसके सिर पर उतरने की संभावना 0.5 है। इसी तरह, रोल करते समय एक निष्पक्ष छह-तरफा पासा, लुढ़कने की संभावना एक विशिष्ट संख्या, मान लीजिए 3, 1/6 है। संभाव्यता को समझकर और लागू करके हम बना सकते हैं सूचित निर्णय और जोखिमों का आकलन करें विभिन्न परिदृश्य.

सिद्धांत संभावना प्रदान करता है एक व्यवस्थित ढाँचा अध्ययन और विश्लेषण के लिए अनिश्चित घटनाएँ. यह हमें गणितीय रूप से मॉडल बनाने और विश्लेषण करने की अनुमति देता है यादृच्छिक घटनाएंइस तरह के रूप में, सिक्का उछालना, पासा रोल, तथा ताश के खेल. संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग करके, हम इसकी संभावना की गणना कर सकते हैं अलग परिणाम, अनुमान लगाना अपेक्षित मूल्य of यादृच्छिक चर, और इसके आधार पर भविष्यवाणियाँ करें उपलब्ध डाटा.

संभाव्यता सिद्धांत के अभिगृहीत

सुनिश्चित करने के लिए एक सुसंगत और सुसंगत दृष्टिकोण संभाव्यता के लिए, गणितज्ञों ने स्थापित किया है एक सेट जो स्वयंसिद्ध सूत्र बनते हैं बुनियाद संभाव्यता सिद्धांत का. ये स्वयंसिद्ध प्रदान करना एक कठोर रूपरेखा संभावनाओं को परिभाषित करने और उनमें हेरफेर करने के लिए। चलो ले लो करीब से देखने पर at la तीन स्वयंसिद्ध संभाव्यता का:

1. गैर-नकारात्मकता: किसी भी घटना की प्रायिकता सदैव एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। में अन्य शब्द, किसी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती।

2. additivity: के लिये कोई संग्रह परस्पर अनन्य घटनाओं (ऐसी घटनाएँ जो एक साथ घटित नहीं हो सकतीं) के मिलन की संभावना ये घटनाएं उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं के योग के बराबर है। यह स्वयंसिद्ध हमें इसकी संभावना की गणना करने की अनुमति देता है जटिल घटनाएँ की संभावनाओं पर विचार करके उनके घटक भाग.

3. मानकीकरण: संपूर्ण नमूना स्थान की संभावना (सेट सभी संभावित परिणामों में से) 1 के बराबर है। यह स्वयंसिद्ध यह सुनिश्चित करता है कुल संभावना सभी संभावित परिणामों में से हमेशा 1 होता है, बशर्ते एक सुसंगत रूपरेखा एसटी संभाव्यता गणना.

पालन ​​करने से ये स्वयंसिद्ध, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं हमारी गणना और संभावनाओं के बारे में तर्क तार्किक रूप से सुदृढ़ और सुसंगत हैं। ये स्वयंसिद्ध, साथ अन्य संभाव्यता अवधारणाएँइस तरह के रूप में, सशर्त संभाव्यता, स्वतंत्रता, और बेयस प्रमेय, रूप बिल्डिंग ब्लॉक्स संभाव्यता सिद्धांत का.

In आगामी अनुभाग, हम संभाव्यता सिद्धांत में गहराई से उतरेंगे, अन्वेषण करेंगे विभिन्न संभाव्यता अवधारणाएँ, उदाहरण, अभ्यास, और गणना। संभाव्यता के सिद्धांतों और सिद्धांतों को समझकर हम विकास कर सकते हैं एक ठोस आधार निपटने के लिए अधिक जटिल संभाव्यता समस्याएँ और संभाव्यता को लागू करना वास्तविक दुनिया के परिदृश्य.

प्रायिकता और उसके अभिगृहीतों पर समस्याएं

उदाहरण 1: रेस्तरां मेनू संयोजन

कल्पना कीजिए कि आप वहां हैं एक रेस्तरां साथ में एक विविध मेनू, की पेशकश की एक किस्म ऐपेटाइज़र, स्नैक्स और मिठाइयाँ। मान लीजिए कि हैं 5 क्षुधावर्धक, 10 प्रवेश, तथा 3 मिठाइयाँ से चुनने के लिए. कितने भिन्न संयोजन of भोजन क्या आप बना सकते हैं?

इस समस्या को हल करने के लिए हम इसका उपयोग कर सकते हैं मौलिक सिद्धांत गिनती का. सिद्धांत कहता है कि यदि करने के लिए एम तरीके हैं एक बात और दूसरे को करने के n तरीके हैं, तो दोनों को करने के लिए m * n तरीके हैं।

In ये मामला, हम विकल्पों की संख्या को गुणा कर सकते हैं प्रत्येक पाठ्यक्रम: 5 क्षुधावर्धक * 10 प्रवेश * 3 मिठाइयाँ = 150 अलग संयोजन of भोजन.

उदाहरण 2: वस्तु खरीद की संभावना

मान लीजिए आप दौड़ रहे हैं एक ऑनलाइन स्टोर और आप ग्राहकों की खरीदारी की संभावना का विश्लेषण करना चाहते हैं कुछ मदें एक साथ। मान लीजिए आपके पास है 100 ग्राहकों, और आप ट्रैक करते हैं उनका खरीद इतिहास. से बाहर ये ग्राहक, 30 ने वस्तु A खरीदी है, 40 ने वस्तु B खरीदी है, और 20 ने वस्तु B खरीदी है दोनों आइटम ए और बी क्या संभावना यह है कि एक बेतरतीब ढंग से चयनित ग्राहक क्या आपने या तो आइटम A या आइटम B खरीदा है?

इस समस्या को हल करने के लिए हम इसका उपयोग कर सकते हैं सिद्धांत समावेशन-बहिष्करण का. यह सिद्धांत हमें मिलन की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है दो घटनाएँ की संभावना घटाकर उनका चौराहा.

सबसे पहले, हम आइटम ए या आइटम बी को अलग से खरीदने की संभावना की गणना करते हैं। वस्तु A खरीदने की प्रायिकता 30/100 = 0.3 है, और वस्तु B खरीदने की प्रायिकता 40/100 = 0.4 है।

इसके बाद, हम खरीदारी की संभावना की गणना करते हैं दोनों आइटम ए और आइटम बी. यह द्वारा दिया गया है चौराहा का दो घटनाएँ, जो 20/100 = 0.2 है।

वस्तु A या वस्तु B खरीदने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हम खरीदने की प्रायिकताएँ जोड़ते हैं प्रत्येक आइटम और खरीदने की संभावना घटाएँ दोनों आइटम: 0.3 + 0.4 – 0.2 = 0.5.

इसलिए, संभावना है कि एक बेतरतीब ढंग से चयनित ग्राहक या तो आइटम ए या आइटम बी खरीदा है 0.5 है।

उदाहरण 3: कार्ड घटित होने की संभावना

आइए 52 ताश के पत्तों के एक मानक डेक पर विचार करें। डेक से दिल या हीरा निकलने की प्रायिकता क्या है?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें अनुकूल परिणामों की संख्या (दिल या हीरे का चित्र बनाना) और संभावित परिणामों की कुल संख्या (चित्र बनाना) निर्धारित करने की आवश्यकता है कोई कार्ड डेक से)।

वहां 13 दिल और 13 के हीरे एक डेक में, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या 13 + 13 = 26 है।

संभावित परिणामों की कुल संख्या 52 है (क्योंकि हैं)। 52 कार्ड एक डेक में)।

इसलिए, दिल या हीरा निकालने की प्रायिकता 26/52 = 0.5 है।

उदाहरण 4: तापमान घटित होने की संभावना

मान लीजिए आप भविष्यवाणी करने में रुचि रखते हैं मौसम एसटी अगले दिन. आपने उस पर गौर किया है पिछले वर्षकी संभावना है एक गर्म दिन की प्रायिकता 0.3 है एक ठंडा दिन 0.2 है, और की संभावना बारिश का दिन 0.4 है. क्या संभावना है कि कल या तो गर्म या ठंडा होगा, लेकिन बारिश नहीं होगी?

इस समस्या को हल करने के लिए हम इसका उपयोग कर सकते हैं संभाव्यता जोड़ नियम. नियम बताता है कि के मिलन की संभावना दो परस्पर अनन्य घटनाएँ उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं का योग है।

In ये मामला, घटनाएं "गर्म दिन" तथा "सर्द दिन"परस्पर अनन्य हैं, जिसका अर्थ है कि वे घटित नहीं हो सकते उसी समय. इसलिए, हम बस जोड़ सकते हैं उनकी संभावनाएँ: १० + ५ = १५।

इसलिए, संभावना है कि कल या तो गर्मी होगी या ठंड होगी, लेकिन बारिश नहीं होगी, 0.5 है।

उदाहरण 5: कार्ड मूल्यवर्ग और सूट की संभावना

52 ताश के पत्तों के एक मानक डेक पर विचार करें। चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है? एक पत्ता है भी एक राजा या एक कुदाल?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें अनुकूल परिणामों (ड्राइंग) की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है एक राजा या एक कुदाल) और संभावित परिणामों की कुल संख्या (ड्राइंग)। कोई कार्ड डेक से)।

वहां 4 राजा और ५४८१८७ हुकुम एक डेक में, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या 4 + 13 = 17 है।

संभावित परिणामों की कुल संख्या 52 है (क्योंकि हैं)। 52 कार्ड एक डेक में)।

इसलिए, ड्राइंग की संभावना एक पत्ता है भी एक राजा या एक कुदाल 17/52 ≈ 0.327 है।

उदाहरण 6: पेन के रंगों की प्रायिकता

मान लीजिए आपके पास है एक बैग जिसमें 5 लाल पेन, 3 नीले पेन और शामिल हैं 2 हरे पेन. बैग से यादृच्छिक रूप से लाल या नीला पेन चुनने की प्रायिकता क्या है?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें अनुकूल परिणामों की संख्या (लाल या नीले पेन का चयन करके) और संभावित परिणामों की कुल संख्या (चयन करना) निर्धारित करने की आवश्यकता है कोई कलम बैग से)।

बैग में 5 लाल पेन और 3 नीले पेन हैं, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या 5 + 3 = 8 है।

संभावित परिणामों की कुल संख्या 5 + 3 + 2 = 10 है (क्योंकि 5 लाल पेन, 3 नीले पेन हैं, और 2 हरे पेन बैग में)।

इसलिए, बैग से यादृच्छिक रूप से लाल या नीला पेन चुनने की संभावना 8/10 = 0.8 है।

उदाहरण 7: समिति गठन की संभावना

मान लीजिए कि वहाँ हैं 10 लोग, और आपको बनाने की आवश्यकता है एक समिति of 3 लोग. इसकी क्या प्रायिकता है कि आप 2 पुरुषों और 1 महिला का चयन करें? कमिटी?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें अनुकूल परिणामों की संख्या (2 पुरुषों और 1 महिला का चयन करके) और संभावित परिणामों की कुल संख्या (किसी एक का चयन करके) निर्धारित करने की आवश्यकता है 3 लोग से समूह 10 का)।

सबसे पहले, हम एक समूह से 2 पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या की गणना करते हैं 5 पुरुषों: सी(5, 2) = 10.

इसके बाद, हम समूह में से 1 महिला का चयन करने के तरीकों की संख्या की गणना करते हैं 5 महिलाओं: सी(5, 1) = 5.

अनुकूल परिणामों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 2 पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या को 1 महिला को चुनने के तरीकों की संख्या से गुणा करते हैं: 10 * 5 = 50।

संभावित परिणामों की कुल संख्या किसी को चुनने के तरीकों की संख्या है 3 लोग 10 के समूह से: C(10, 3) = 120।

इसलिए, 2 पुरुषों और 1 महिला के चयन की संभावना कमिटी 50/120 ≈ 0.417 है।

उदाहरण 8: कार्ड हाथ में सूट घटित होने की संभावना

52 ताश के पत्तों के एक मानक डेक पर विचार करें। एक हाथ में कम से कम 5 कार्ड निकालने की प्रायिकता क्या है? एक कार्ड प्रत्येक सूट (दिल, हीरे, क्लब और हुकुम) का?

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें अनुकूल परिणामों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है (कम से कम एक हाथ खींचना)। एक कार्ड प्रत्येक सूट का) और संभावित परिणामों की कुल संख्या (ड्राइंग)। कोई भी हाथ डेक से 5 कार्डों में से)।

सबसे पहले, हम चयन करने के तरीकों की संख्या की गणना करते हैं एक कार्ड प्रत्येक सूट से: 13 * 13 * 13 * 13 = 285,316।

इसके बाद, हम संभावित परिणामों की कुल संख्या की गणना करते हैं, जो कि निकालने के तरीकों की संख्या है कोई भी 5 कार्ड 52 के डेक से: सी(52) = 5।

इसलिए, एक हाथ में कम से कम 5 कार्ड निकालने की प्रायिकता है एक कार्ड प्रत्येक सूट का मूल्य 285,316/2,598,960 ≈ 0.11 है।

उदाहरण 9: दो शब्दों में से एक ही अक्षर चुनने की प्रायिकता

जब संभावना की बात आती है, तो हम अक्सर सामना करते हैं दिलचस्प समस्याएं वह चुनौती हमारी समझ of विषय. चलो गौर करते हैं एक उदाहरण जिसमें से वही अक्षर चुनना शामिल है दो शब्द.

मान लीजिए हमारे पास है दो शब्द, "सेब" और "केला।" हम उसी अक्षर को यादृच्छिक रूप से चुनने की प्रायिकता निर्धारित करना चाहते हैं दोनों शब्द. इस समस्या को हल करने के लिए, हमें इसे विभाजित करने की आवश्यकता है छोटे कदम.

सबसे पहले, आइए सूचीबद्ध करें सभी पत्र in प्रत्येक शब्द:

शब्द 1: "सेब"
शब्द 2: "केला"

अब, हम विचार करके समान अक्षर चुनने की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं प्रत्येक अक्षर व्यक्तिगत रूप से. आइये आगे बढ़ते हैं प्रक्रिया चरण कदम से:

1. से एक पत्र का चयन करना पहला शब्द:
2. शब्द "एप्पल" में पांच अक्षर हैं, अर्थात् 'ए', 'पी', 'पी', 'एल' और 'ई'।

3. किसी विशेष अक्षर को चुनने की संभावना 1 में से 5 है, क्योंकि कुल मिलाकर पाँच अक्षर हैं।

4. से एक पत्र का चयन करना दूसरा शब्द:

5. शब्द "केला" है छह अक्षर, अर्थात् 'बी', 'ए', 'एन', 'ए', 'एन', और 'ए'।

6. इसी प्रकार, किसी विशेष अक्षर को चुनने की संभावना 1 में से 6 है।

7. समान अक्षर चुनने की प्रायिकता की गणना:

8. जबसे प्रत्येक अक्षर है एक समान मौका से चुने जाने का दोनों शब्द, हम संभावनाओं को एक साथ गुणा करते हैं।
9. समान अक्षर चुनने की प्रायिकता (1/5) * (1/6) = 1/30 है।

इसलिए, से एक ही अक्षर चुनने की संभावना शब्द "सेब" और "केला" 1/30 है।

सशर्त अपेक्षा के महत्वपूर्ण गुण क्या हैं और वे संभाव्यता और उसके सिद्धांतों पर समस्याओं से कैसे संबंधित हैं?

सशर्त अपेक्षा की अवधारणा संभाव्यता सिद्धांत में एक मौलिक अवधारणा है, और इसमें महत्वपूर्ण गुण हैं जो हमें संभाव्यता और इसके सिद्धांतों से संबंधित समस्याओं को हल करने में मदद कर सकते हैं। इन गुणों और संभाव्यता समस्याओं से उनके संबंध को समझने के लिए, इसमें गहराई से जाना आवश्यक है सशर्त अपेक्षा के गुणों की व्याख्या की गई। ये गुण इस बात की अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं कि सशर्त अपेक्षाएं कैसे व्यवहार करती हैं और विभिन्न परिदृश्यों में अपेक्षाओं और संभावनाओं की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। इन गुणों को समझकर, हम संभाव्यता की अवधारणा और इसके सिद्धांतों और सशर्त अपेक्षा के विचार के बीच की खाई को पाट सकते हैं, जिससे हम आत्मविश्वास के साथ जटिल संभाव्यता समस्याओं से निपटने में सक्षम हो सकते हैं।

आम सवाल-जवाब

1. गणित में संभाव्यता का क्या महत्व है?

गणित में संभाव्यता महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें अनिश्चितता को मापने और उसके आधार पर भविष्यवाणियां करने की अनुमति देती है उपलब्ध जानकारी। यह प्रावधान एक ढांचा विश्लेषण और समझने के लिए यादृच्छिक घटनाएँ और उनकी संभावना घटना का.

2. आप संभाव्यता और उसके सिद्धांतों को कैसे परिभाषित करेंगे?

संभावना है एक नाप किसी घटना के घटित होने की संभावना का. इसका उपयोग करके परिभाषित किया गया है तीन स्वयंसिद्ध:

1. किसी भी घटना की प्रायिकता एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है।
2. संपूर्ण नमूना स्थान की प्रायिकता 1 है।
3. परस्पर अनन्य घटनाओं के मिलन की संभावना उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं के योग के बराबर होती है।

3. संभाव्यता के तीन सिद्धांत क्या हैं?

RSI तीन स्वयंसिद्ध संभाव्यता के हैं:

1. गैर-नकारात्मकता: किसी भी घटना की संभावना एक गैर-नकारात्मक संख्या है।
2. सामान्यीकरण: संपूर्ण नमूना स्थान की संभावना 1 है।
3. योगात्मकता: परस्पर अनन्य घटनाओं के मिलन की संभावना उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं के योग के बराबर होती है।

4. अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत के सिद्धांत क्या हैं?

के सूक्तियाँ अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत रहे एक सेट ऐसी धारणाएँ जो बताती हैं कि व्यक्ति अनिश्चितता के तहत कैसे निर्णय लेते हैं। इनमें पूर्णता, परिवर्तनशीलता, निरंतरता और स्वतंत्रता के सिद्धांत शामिल हैं।

5. संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत क्या हैं?

RSI संभाव्यता के सिद्धांत सिद्धांत मौलिक सिद्धांत हैं जो संभावनाओं के व्यवहार को नियंत्रित करते हैं। इनमें गैर-नकारात्मकता, सामान्यीकरण और योगात्मकता के सिद्धांत शामिल हैं।

6. क्या आप संभाव्यता के सिद्धांतों पर कुछ हल की गई समस्याएं प्रदान कर सकते हैं?

निश्चित रूप से! यहाँ है एक उदाहरण:

समस्या: एक निष्पक्ष छह-तरफा पासा लुढ़का हुआ है. एक सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान: चूंकि मरने उचित है, यह है छह समान रूप से संभावित परिणाम: {1, 2, 3, 4, 5, 6}। इनमें से तीन हैं सम संख्या: {2, 4, 6}। इसलिए, एक सम संख्या आने की प्रायिकता 3/6 = 1/2 है।

7. मुझे संभाव्यता समस्याएँ और उत्तर कहाँ मिल सकते हैं?

आप इसमें संभाव्यता समस्याएं और उत्तर पा सकते हैं विभिन्न संसाधन जैसे पाठ्यपुस्तकें, ऑनलाइन गणित वेबसाइटें, तथा शैक्षिक मंच. इसके अतिरिक्त, वहाँ हैं विशिष्ट वेबसाइटें जो संभाव्यता समस्याएं और समाधान प्रदान करते हैं, जैसे गणित-सहायता उत्तर.

8. क्या कोई संभाव्यता उदाहरण उपलब्ध हैं?

हां, वहां हैं कई संभाव्यता उदाहरण उपलब्ध है. कुछ सामान्य उदाहरण फ़्लिपिंग शामिल करें एक सिक्का, लुढ़कता हुआ पासा, एक डेक से कार्ड निकालना, और उसमें से गेंदों का चयन करना एक कलश. ये उदाहरण हैं यह समझाने में मदद करें कि कैसे संभाव्यता अवधारणाएँ में लागू किया जा सकता है विभिन्न परिदृश्य.

9. कुछ संभाव्यता सूत्र और नियम क्या हैं?

वहां कई संभाव्यता सूत्र और नियम जो आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• अतिरिक्त नियम: पी(ए या बी) = पी(ए) + पी(बी) - पी(ए और बी)
• गुणन नियम: पी(ए और बी) = पी(ए) * पी(बी|ए)
• पूरक नियम: पी(ए') = 1 - पी(ए)
• सशर्त संभाव्यता: पी(ए|बी) = पी(ए और बी) / पी(बी)
• बेयस प्रमेय: पी(ए|बी) = पी(बी|ए) * पी(ए) / पी(बी)

10. क्या आप अभ्यास के लिए कुछ संभाव्यता अभ्यास सुझा सकते हैं?

निश्चित रूप से! यहाँ हैं कुछ संभाव्यता अभ्यास आप कोशिश कर सकते हैं:

1. एक बैग शामिल हैं 5 लाल गेंदों और 3 नीली गेंदें. चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है? एक लाल गेंद?
2. दो पासे लुढ़का हुआ हैं. मिलने की सम्भावना क्या है एक रकम 7 का?
3. एक डेक कार्डों का मिश्रण किया जाता है और एक कार्ड मुरझाया है। हृदय का चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है?
4. एक जार शामिल हैं 10 लाल पत्थर और 5 हरे पत्थर. अगर दो कंचे प्रतिस्थापन के बिना निकाले जाते हैं, प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है? दो लाल पत्थर?
5. एक स्पिनर में विभाजित है 8 बराबर खंड 1 से 8 तक क्रमांकित। सम संख्या पर उतरने की प्रायिकता क्या है?

ये व्यायाम आपको आवेदन करने का अभ्यास करने में मदद मिलेगी संभाव्यता अवधारणाएँ और गणना.

डॉ मोहम्मद माझर उल हक

मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।