10+ उदाहरणों के साथ प्रायिकता और उसके स्वयंसिद्धों पर महत्वपूर्ण समस्याएं

प्रायिकता और उसके स्वयंसिद्धों पर समस्याएं

इस लेख में हम संभाव्यता की समस्याओं और प्रायिकता के स्वयंसिद्धों पर ध्यान केंद्रित करेंगे

उदाहरण:

  1. एक निश्चित राजमार्ग में एक रेस्तरां एक एंट्री, एक स्टार्च और एक मिठाई के रूप में तीन संयोजन भोजन प्रदान करता है। इन भोजन में निम्नलिखित व्यंजन शामिल हैं
प्रवेशपनीर या मंचूरियन
स्टार्चनूडल्स या फ्राइड राइस या आलू
मिठाईअनानास का रस या आइसक्रीम या आड़ू या जेलो
प्रायिकता और उसके अभिगृहीतों पर समस्याएं

इन भोजनों में से एक व्यक्ति प्रत्येक में से एक कोर्स चुनता है

  1. नमूना स्थान में परिणामों की संख्या क्या है।
  2. घटना में कितने परिणाम होंगे A जो अनानास के रस का प्रतिनिधित्व करता है, चुना जाता है
  3. घटना B जो पनीर का प्रतिनिधित्व करती है, के चुने जाने पर कितने परिणाम प्राप्त होंगे
  4. उत्पाद घटना AB में सभी परिणामों को सूचीबद्ध करें
  5. घटना में कितने परिणाम होंगे C जो तले हुए चावल का प्रतिनिधित्व करता है, चुना जाता है
  6. उत्पाद घटना एबीसी में सभी परिणामों को सूचीबद्ध करें

उपाय:

  1.       नमूना स्थान में परिणामों की कुल संख्या है 2+3+4=24
  2. घटना ए में यदि पहले से ही तीसरे भोजन से एक पाठ्यक्रम चुना जाता है तो संभावित परिणाम पहले दो भोजन पर निर्भर करेगा इस प्रकार ए में परिणामों की संख्या 2+3=6 है।
  3. घटना बी में यदि पहले भोजन से पहले से ही एक पाठ्यक्रम चुना जाता है तो संभावित परिणाम शेष दो भोजन पर निर्भर करेगा इस प्रकार बी में परिणामों की संख्या 3 है . 4 = 12
  4. चूंकि उत्पाद घटना में AB दूसरे भोजन पर निर्भर करता है इसलिए संभावित परिणाम होंगे AB={(x,noodles,y),(x,फ्राइड राइस,y),(x,आलू,y)}
  5. चूंकि तले हुए चावल दूसरे भोजन से हैं इसलिए घटना सी में परिणाम शेष दो भोजन पर निर्भर करता है इसलिए घटना सी में परिणामों की संख्या 2+4=8 है।
  6. उत्पाद घटना ABC में परिणाम तले हुए चावल पर निर्भर करता है इसलिए घटना ABC का परिणाम {(x, तला हुआ चावल, y)} है।
  • शॉपिंग मॉल में संभावना ग्राहक द्वारा खरीदी जाने वाली वस्तुओं की संख्या इस प्रकार दी गई है, 0.22 के साथ सूट, 0.30 के साथ शर्ट, 0.28 के साथ टाई, एक सूट और एक शर्ट दोनों 0.11 के साथ, एक सूट और एक टाई 0.14 के साथ, एक शर्ट और एक टाई 0.10 के साथ और सभी 3 आइटम 0.06 के साथ। ग्राहक द्वारा कोई भी वस्तु न खरीदे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ग्राहक द्वारा ठीक एक वस्तु खरीदी गई है।

उपाय:

माना कि घटनाएँ A, B और C क्रमशः आइटम सूट, शर्ट और टाई ख़रीदी जाती हैं, तो प्रायिकता

\begin{array}{c} P(A \ Cup B \ Cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)- पी (बी \ कैप सी) + पी (ए \ कैप बी \ कैप सी) \\ पी (ए \ कप बी \ कप सी) = 022 + 0.30 + 0.28-0.11-0.14-0.10 + 0.06 = 0.51 \ अंत {सरणी }

इस प्रकार ग्राहक द्वारा कोई भी वस्तु नहीं खरीदे जाने की प्रायिकता है

1-पी(ए \कप बी \कप सी)=1-0.51=0.49

और इसी तरह से दो या दो से अधिक वस्तुओं के खरीदे जाने की प्रायिकता है

पी(एबी \कप एसी \कप बीसी)=0.11+0.14+0.10-0.06-0.06-0.06+0.06=0.23

जहां

(ए \कैप बी)=एबी,(ए \कैप सी)=एसी,(बी \कैप सी)=बीसी

तो प्रायिकता है कि ठीक एक वस्तु खरीदी गई है

पी (ए \ कप बी \ कप सी) -पी (एबी \ कप एसी \ कप बीसी) = 0.51-0.23 = 0.28

  • 52 डेक कार्डों के एक पैकेट से कार्ड वितरित किए जाते हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता होगी कि 14th कार्ड इक्का भी होगा, इसकी क्या प्रायिकता होगी कि 14 कार्ड पर पहला इक्का निकलेगा।

उपाय:

14 . की संभावना के बाद सेth कार्ड 52 में से कोई भी है इसलिए 4/52 10+ उदाहरणों के साथ प्रायिकता और उसके स्वयंसिद्धों पर महत्वपूर्ण समस्याएं

अब 14th कार्ड होगा इक्का is

P(A)=\frac{4 \cdot 51 \cdot 50 \cdot \cdot \cdot2\cdot 1}{52 !}=\frac{4}{52}

और वह पहला इक्का है

P(A)=\frac{48 \cdot 47 \cdots 36 \cdot 4}{52 \cdot 51 \cdots 40 \cdot 39}=0.0312

  • क्या प्रायिकता होगी कि दो राज्यों का न्यूनतम तापमान 70◦F है, बशर्ते A और B दो राज्यों के तापमान को 70◦F के रूप में दर्शाते हैं और C इन दोनों राज्यों के अधिकतम तापमान को 70◦F के रूप में प्रायिकता के साथ दर्शाते हैं।

पी(ए)=0.3, पी(बी)=0.4, \पाठ { और } पी(सी)=0.2

उपाय:

चूंकि घटनाएं ए और बी दो राज्यों के तापमान को 70◦F के रूप में दर्शाती हैं और सी इन दो राज्यों के अधिकतम तापमान को 70◦F के रूप में दर्शाती हैं, एक और घटना डी पर विचार करें जो इन दो राज्यों के न्यूनतम तापमान का प्रतिनिधित्व करेगी

so

पी(ए \कप बी)=पी(ए)+पी(बी)-पी(एबी)=.7-पी(एबी) \\ पी(सी \कप डी)=पी(सी)+पी(डी)- P(CD)=.2+P(D)-P(DC) \\ \text { चूंकि } A \कप B=C \कप D \text { और } AB=CD, \\ 0=0.5-P( डी) \\ पी (डी) = 0.5।

  • प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले चार कार्ड जब 52 डेक कार्ड पैक में फेरबदल किया गया था तो अलग-अलग मूल्यवर्ग और अलग-अलग सूट होंगे।

उपाय:

प्रायिकता है कि पहले चार कार्डों को फेरबदल करने पर सूट हो जाएगा

\frac{52 \cdot 39 \cdot 26 \cdot 13}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}=0.1055

और विभिन्न संप्रदायों के होने की प्रायिकता है

\frac{52 \cdot 48 \cdot 44 \cdot 40}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}=0.6701

  • लाल और काले पेन वाले दो बॉक्स हैं, यदि बॉक्स A में 3 लाल और 3 काले पेन हैं जबकि बॉक्स B में 4 लाल और 6 काले पेन हैं, तो इनमें से प्रत्येक बॉक्स से एक पेन यादृच्छिक रूप से लिया जाता है, तो इन दोनों के यादृच्छिक रूप से लिए जाने की क्या प्रायिकता है पेन एक ही रंग के होंगे।

उपाय:

लाल पेन के लिए घटना R और काले पेन के लिए घटना B पर विचार करें तो अभीष्ट प्रायिकता होगी

पी(आर \कप बी)=पी(आर)+पी(बी)=\frac{3 \cdot 4}{6 \cdot 10}+\frac{3 \cdot 6}{6 \cdot 10}=1 / 2

  • विभिन्न समूहों के परिसर के छात्रों से आकार 4 की एक समिति बनाई जाती है जिसमें 3 कला छात्रों का समूह, 4 वाणिज्य छात्रों का समूह, 4 विज्ञान छात्रों का समूह और 3 इंजीनियरिंग छात्रों का समूह होता है।
  • क्या प्रायिकता होगी कि इस समिति में इनमें से प्रत्येक समूह से एक विद्यार्थी शामिल होगा?
  • क्या प्रायिकता होगी कि इस समिति में 2 वाणिज्य और 2 विज्ञान के छात्र होंगे?
  • क्या प्रायिकता होगी कि इस समिति में केवल वाणिज्य या विज्ञान के छात्र होंगे?

उपाय:

  1. संभावना है कि इस समिति में इनमें से प्रत्येक समूह से एक छात्र शामिल होगा

\frac{3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3}{\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array}\right)}=0.1439

  • संभावना है कि इस समिति में 2 वाणिज्य और 2 विज्ञान के छात्र शामिल होंगे

\ frac {\ बाएँ (\ शुरू {सरणी} {c} 4 \\ 2 \ अंत {सरणी} \ दाएँ) \ बाएँ (\ start {सरणी} {c} 4 \\ 2 \ अंत {सरणी} \ दाएँ)} {\बाएं(\शुरू{सरणी}{सी} 14 \\ 4 \अंत{सरणी}\दाएं)}=0.0360

  • संभावना है कि इस समिति में केवल वाणिज्य या विज्ञान के छात्र शामिल होंगे

\ frac {\ बाएँ (\ शुरू {सरणी} {c} 8 \\ 4 \ अंत {सरणी} \ दाएँ)} {\ बाएँ (\ start {सरणी} {c} 14 \\ 4 \ अंत {सरणी} \ दाएँ )}=0.0699

  • एक अच्छी तरह से फेरबदल किए गए 52 पैक कार्ड डेक से एक 5 हैंड कार्ड हाथ बांटा जाता है, संभावना है कि 52 कार्डों के प्रत्येक सूट में से कम से कम एक कार्ड है।

उपाय:

इसके विपरीत विचार करें कि Ai घटनाओं को निरूपित करें कि सूट से कोई कार्ड नहीं है i=1,2,3,4 ऐसा दिखाई देता है

प्रायिकता और उसके अभिगृहीत
संघों की संभावना

इस प्रायिकता को एक से घटाने पर हमें 0.2637 प्राप्त होगा

या मान लीजिए n नए सूट का प्रतिनिधित्व करता है और o पुराने सूट का प्रतिनिधित्व करता है

पी (ए) = पी (एन, एन, एन, एन, ओ) + पी (एन, एन, एन, ओ, एन) + पी (एन, एन, ओ, एन, एन) + पी (एन, ओ, n, n, n)\\ \\ \begin{aligned} P(A)=& \frac{52 \cdot 39 \cdot 26 \cdot 13 \cdot 48+52 \cdot 39 \cdot 26 \cdot 36 \cdot 13}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \\ &+\frac{52 \cdot 39 \cdot 24 \cdot 26 \cdot 13+52 \cdot 12 \cdot 39 \cdot 26 \cdot 13}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \\ =& \frac{52 \cdot 39 \cdot 26 \cdot 13(48+36+24+12)}{52 \cdot 51 \ cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \\ =&0.2637 \end{aligned}

  • दो शब्दों में से एक ही अक्षर के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: चूँकि हमारे पास तीन शब्द समान हैं इसलिए एक ही अक्षर के लिए

P(\text{same letter})=P(R)+P(E)+P(V)=\frac{2}{7}\frac{1}{8}+\frac{3}{7}\frac{1}{8}+\frac{1}{7}\frac{1}{8}=\frac{3}{28}

  1. एक दौड़ प्रतियोगिता में छह खिलाड़ी होते हैं जिनकी टी-शर्ट एक से छह तक होती है और नमूना स्थान में 6 होते हैं! परिणाम। होने देना A घटना हो कि टी-शर्ट नंबर -1 वाला खिलाड़ी शीर्ष तीन फिनिशरों में से है, और चलो B अगर टी-शर्ट नंबर-2 वाला खिलाड़ी दूसरे नंबर पर आता है। ए और बी के मिलन में परिणामों की गणना करें।

समाधान: नंबर-1 खिलाड़ी के लिए 5!=120 परिणाम हैं जिसमें उसकी स्थिति निर्दिष्ट है

इसी तरह एन (बी) = 120

और एन(एबी)=2*4!=48

इस प्रकार

एन (एयूबी) = 432

संभाव्यता पर अधिक पोस्ट के लिए, कृपया अनुसरण करें प्रायिकता पृष्ठ.

डीआर के बारे में मोहम्मद मजहर उल हक

10+ उदाहरणों के साथ प्रायिकता और उसके स्वयंसिद्धों पर महत्वपूर्ण समस्याएंमैं डॉ. मोहम्मद मजहर उल हक, गणित में सहायक प्रोफेसर। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव हो। शुद्ध गणित में विशाल ज्ञान, ठीक बीजगणित पर। समस्या को डिजाइन करने और हल करने की अपार क्षमता होना। उम्मीदवारों को अपने प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, दिलचस्प और आत्म व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजेक्स में योगदान करना मुझे अच्छा लगता है।
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