क्रमपरिवर्तन और संयोजन: 7 त्वरित तथ्य पूर्ण करें

क्रमपरिवर्तन और संयोजन के गुण

  क्रमपरिवर्तन और संयोजन पर चर्चा करते समय जैसा कि हम चयन और व्यवस्था के साथ या बिना आदेश के विचार के साथ काम कर रहे हैं, स्थिति के आधार पर विभिन्न प्रकार और गुण हैं क्रमपरिवर्तन और संयोजन, क्रमपरिवर्तन और संयोजन के बीच ये अंतर हम यहाँ उचित उदाहरणों के साथ समझाएंगे।

पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन

  यह एक सामान्य क्रमपरिवर्तन है जो n ऑब्जेक्ट्स को एक बार यानी nPr पर व्यवस्थित करता है

n Pr= n! / (nr)!

एक बार में सभी अलग-अलग वस्तुओं के ऑर्डर की संख्या n Pn = एन!

इसके अतिरिक्त, हमारे पास है

nP0 = एन! / एन! = 1

nPr = एन।N-1Pआर-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 या (-r)! =)

पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन

 विभिन्न मदों के लिए क्रमपरिवर्तन (व्यवस्था), एक समय में आर लिया जाता है, जहां प्रत्येक आइटम एक बार, दो बार, तीन बार, …… .. किसी भी व्यवस्था में आर-बार हो सकता है = आर क्षेत्रों को भरने के तरीकों की संख्या जहां प्रत्येक आइटम किसी भी n आइटम से भरा जा सकता है।

Image2 R स्थान क्रमांक
के गुण क्रमपरिवर्तन और संयोजन: पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन

क्रमपरिवर्तन की संख्या = भरने के तरीकों की संख्या r स्थान = (n)r

उन आदेशों की संख्या जिन्हें n वस्तुओं का उपयोग करके व्यवस्थित किया जा सकता है p एक जैसे हैं (एक प्रकार के) q एक जैसे (और दूसरे प्रकार के) हैं, r समान (और दूसरे प्रकार के) हैं और बाकी अलग हैं nPr = n! / (p! q! r!)

उदाहरण:

चार लड़कों में से 5 सेब कितने तरीकों से आवंटित किए जा सकते हैं जब हर लड़का एक या एक से अधिक सेब ले सकता है।      

उपाय: यह पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय का उदाहरण है क्योंकि हम जानते हैं कि ऐसे मामलों के लिए हमारे पास है

क्रमपरिवर्तन की संख्या = भरने के तरीकों की संख्या r स्थानों = एनr

आवश्यक तरीके 4 हैं5 =10, चूँकि प्रत्येक सेब को 4 तरीकों से वितरित किया जा सकता है।

उदाहरण: शब्द की संख्या का पता लगाएं शब्द MATHEMATICS के अक्षरों के साथ व्यवस्थित किया जा सकता है।

उपाय: यहां हम देख सकते हैं कि 2 एम, 2 ए और 2 टी हैं यह दोहराव के साथ क्रमचय का उदाहरण है

= n! / (p! q! r!)

 तरीकों की आवश्यक संख्या = 11 हैं! / (2! 2! 2!) = 4989600

उदाहरण: कितने तरीके जिसमें एक पंक्ति में छह समान सिक्कों को व्यवस्थित करने पर सिर की संख्या के बराबर पूंछों की संख्या।

उपाय: यहाँ हम उसका निरीक्षण कर सकते हैं

सिर की संख्या = 3

पूंछों की संख्या = 3

और चूंकि सिक्के समान हैं, यह दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन का उदाहरण है = n! / (P! Q! R!)

तरीकों की आवश्यक संख्या = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

परिपत्र क्रमांकन:

परिपत्र क्रमांकन में, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वस्तु का क्रम दूसरों के लिए सम्मान है।

तो, परिपत्र क्रमचय में, हम एक वस्तु की स्थिति को समायोजित करते हैं और अन्य वस्तुओं को सभी दिशाओं में व्यवस्थित करते हैं।

परिपत्र क्रमांकन दो तरीकों में विभाजित है:

(i) वृत्ताकार क्रमपरिवर्तन जहां क्लॉकवाइज़ और एंटी-क्लॉकवाइज़ सेटिंग्स सुझाती हैं अलग क्रमचय, जैसे मेज के चारों ओर लोगों के बैठने की व्यवस्था।

(ii) वृत्ताकार क्रमपरिवर्तन जहाँ क्लॉकवाइज़ और एंटी-क्लॉकवाइज़ सेटिंग्स प्रदर्शित होती हैं एक ही क्रमचय, जैसे हार बनाने के लिए कुछ मोतियों की व्यवस्था करना।

क्लॉकवाइज और एंटी-क्लॉकवाइज व्यवस्था

अगर एंटी-क्लॉकवाइज और क्लॉकवाइज ऑर्डर और मूवमेंट हैं अलग नहीं उदाहरण के लिए, हार में मनके की व्यवस्था, माला में फूल की व्यवस्था इत्यादि, तब की संख्या के परिपत्र क्रमपरिवर्तन n अलग आइटम है (n-1)! / 2

  1. N विभिन्न वस्तुओं के लिए परिपत्र क्रमपरिवर्तन की संख्या, उस समय r ली जाती है, जब दक्षिणावर्त और विरोधी दक्षिणावर्त के आदेश माने जाते हैं विभिन्न by nPr /r
  2. एन विभिन्न वस्तुओं के लिए परिपत्र क्रमपरिवर्तन की संख्या, एक समय में आर लिया जाता है, जब क्लॉकवाइज और एंटी-क्लॉकवाइज ऑर्डर होते हैं अलग नहीं से nPr / २ आर
  3. N विभिन्न वस्तुओं के परिपत्र क्रमपरिवर्तन की संख्या (n-1) है!
  4. तरीकों की संख्या n अलग-अलग लड़कों को एक गोल मेज पर बैठाया जा सकता है (n-1)!
  5. तरीकों की संख्या n विभिन्न रत्नों को एक नेकलेट बनाने के लिए स्थापित किया जा सकता है, (n-1) /! 2 है

उदाहरण:

रिंग में पांच चाबियां कितने तरीके से रखी जा सकती हैं

उपाय:

चूंकि रिंग के मामले में क्लॉकवाइज और एंटीक्लॉकवाइज एक जैसे होते हैं।

अगर विरोधी दक्षिणावर्त और दक्षिणावर्त अनुक्रम और आंदोलन हैं अलग नहीं उसके बाद के परिपत्र क्रमपरिवर्तन की संख्या n अलग आइटम है

= (एन -1) /! 2

आवश्यक तरीके = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

उदाहरण:

व्यवस्था की संख्या क्या होगी, यदि किसी समिति के ग्यारह सदस्य एक गोल मेज पर बैठते हैं ताकि राष्ट्रपति और सचिव हमेशा एक साथ बैठें।

उपाय:

परिपत्र क्रमचय की मौलिक संपत्ति द्वारा

N विभिन्न चीजों के परिपत्र क्रमपरिवर्तन की संख्या (n-1) है!

चूंकि दो स्थितियां ठीक हैं इसलिए हमारे पास है

आवश्यक तरीके (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

उदाहरण: 6 पुरुष और 5 महिलाएं एक गोल मेज पर भोजन कर सकती हैं यदि कोई दो महिलाएं एक साथ नहीं बैठ सकती हैं

उपाय: परिपत्र क्रमचय की मौलिक संपत्ति द्वारा।

N विभिन्न चीजों के परिपत्र क्रमपरिवर्तन की संख्या (n-1) है!

एक गोल मेज़ पर 6 व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = (6 – 1)! =5!

क्रमपरिवर्तन और संयोजन के गुण
क्रमपरिवर्तन और संयोजन के गुण: उदाहरण

अब महिलाओं को 6 में व्यवस्थित किया जा सकता है! तरीके और कुल तरीकों की संख्या = 6! × ५!

पुनरावृत्ति के बिना संयोजन

यह सामान्य संयोजन है जो "संयोजन (चयन या समूह) की संख्या है जो इससे बन सकता है n एक बार में ली गई विभिन्न वस्तुएँ होती हैं nCr = n! / (nr)! r!

भी    nCr =nCआरआर

              n Pr /आर! =n!/(nr)! =nCr

उदाहरण: यदि 12 उम्मीदवार हैं और उनमें से पांच अनुसूचित श्रेणी से हैं, तो 25 रिक्तियों को भरने के लिए विकल्पों की संख्या ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि 3 रिक्तियां एससी उम्मीदवारों के लिए आरक्षित हों, जबकि शेष सभी के लिए खुली हों।

उपाय: चूँकि 3 रिक्त पद 5 आवेदकों से भरे जाते हैं 5 C3  तरीके (यानी 5 विकल्प 3) और अब शेष उम्मीदवार 22 हैं और शेष सीटें 9 हैं 22C9 (२२ CHOOSE 22) चयन किया जा सकता है 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

तो चयन 4974200 तरीकों से किया जा सकता है। 

उदाहरण: चुनाव में 10 उम्मीदवार और तीन रिक्तियां हैं। एक मतदाता कितने तरीकों से अपना वोट डाल सकता है?

उपाय: चूंकि 3 उम्मीदवारों के लिए केवल 10 रिक्तियां हैं, इसलिए यह 10 CHOOSE 1, 10 CHOOSE 2, और 10 CHOOSE 3 उदाहरणों की समस्या है,

एक मतदाता में मतदान कर सकते हैं 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 इसलिए 175 तरीकों से मतदाता मतदान कर सकता है।

उदाहरण:9 लोगों के लिए एक कमरे में 4 कुर्सियां ​​हैं, जिनमें से एक एक विशिष्ट कुर्सी के साथ एक एकल सीट अतिथि है। वे कितने तरीके से बैठ सकते हैं?

उपाय: चूंकि 3 कुर्सियों का चयन किया जा सकता है 8C3 और फिर 3 व्यक्तियों को 3 में व्यवस्थित किया जा सकता है! तौर तरीकों।

3 कुर्सियों पर 8 व्यक्तियों को बैठाया जाना है 8C3 (यानी 8 विकल्प 3) की व्यवस्था

=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56X6 = 336

336 तरीकों से वे बैठ सकते हैं।

उदाहरण: पांच पुरुषों और 4 महिलाओं के लिए, 6 का एक समूह बनाया जाएगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है ताकि समूह में अधिक पुरुष हों।

समाधान: यहाँ समस्या में विभिन्न संयोजन शामिल हैं जैसे 5 चुनें 5, 5 चुनें 4, 5 पुरुषों के लिए 3 चुनें और महिलाओं के लिए इसमें 4 शामिल हैं 1, 4 चुनें 2 और 4 चुनें 3 जैसा कि निम्नलिखित में दिया गया है

1 महिला और 5 पुरुष =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 महिलाएं और 4 पुरुष =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 महिलाएं और 3 पुरुष =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    इसलिए कुल तरीके = 4 + 30 + 40 = 74।

उदाहरण: 12 लड़कों के तीन तरीकों से यात्रा की जा सकती है ताकि प्रत्येक कार में 4 लड़के यह मान सकें कि तीन विशेष लड़के एक ही कार में नहीं जाएंगे।

उपाय: पहले तीन विशेष लड़कों को छोड़ दें, शेष 9 लड़के प्रत्येक कार में 3 हो सकते हैं। इसे 9 CHOOSE 3 में किया जा सकता है 9C3 तरीके,

तीन विशेष लड़कों को प्रत्येक कार में तीन तरीकों से रखा जा सकता है। इसलिए कुल तरीकों की संख्या = 3X है9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

इसलिए 252 तरीकों से उन्हें रखा जा सकता है।

उदाहरण: 2 ग्रीन और 2 ब्लैक बॉल वाले बैग से 7 हरे और 8 ब्लैक बॉल कितने तरीके से निकले?

उपाय: यहाँ बैग में 7 हरे होते हैं जिसमें से हमें 2 चुनने होते हैं इसलिए यह 7 CHOOSE 2 समस्या है और 8 काली गेंदों में से हमें 2 को चुनना है तो यह 8 CHOOSE 2 समस्या है।

इसलिए आवश्यक संख्या = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

इसलिए 588 तरीकों से हम उस बैग से 2 हरे और 2 काले रंग का चयन कर सकते हैं।

उदाहरण: अंग्रेजी शब्दों के बारह अलग-अलग अक्षर उपलब्ध कराए गए हैं। इन अक्षरों से 2 वर्णानुक्रमिक नाम बनते हैं। कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने पर कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

उपाय: यहाँ हमें 2 अक्षरों में से 12 अक्षर शब्दों का चयन करना है इसलिए यह 12 CHOOSE 2 समस्या है।

2 अक्षरों के शब्दों की संख्या जिसमें अक्षरों को किसी भी समय = 12 पर आवर्ती किया गया है2

        लेकिन कोई नहीं। 12 में से दो भिन्न अक्षर होने पर शब्दों की संख्या =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        आवश्यक शब्दों की संख्या = 122-66 = 144-66 = 78।

उदाहरण: प्लेन पर 12 पॉइंट होते हैं जहाँ छह समतल होते हैं, फिर इन पॉइंट्स को मिलाकर कितनी लाइनें खींची जा सकती हैं।

उपाय: एक विमान में लाइन बनाने के लिए 12 बिंदुओं के लिए हमें छह कोलिनियर बिंदुओं के लिए 2 बिंदुओं की आवश्यकता होती है, इसलिए यह 12 CHOOSE 2 और 6 CHOOSE 2 समस्या है।

पंक्तियों की संख्या = है 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

तो 52 तरीकों से यह रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

उदाहरण: उन तरीकों की संख्या ज्ञात करें, जिसमें 6 सदस्यीय कैबिनेट को 8 सज्जनों और 4 महिलाओं से स्थापित किया जा सकता है, ताकि कैबिनेट में कम से कम 3 महिलाएं शामिल हों।

उपाय: समिति बनाने के लिए, हम 3 प्रत्येक पुरुष और महिला और 2 पुरुष 4 महिलाओं को चुन सकते हैं, इसलिए समस्या में 8 CHOOSE 3, 4 CHOOSE 3, 8 CHOOSE 2 और 4 CHOOSE 4 शामिल हैं।

दो तरह की कैबिनेट बनाई जा सकती है

        (i) 3 पुरुष और 3 महिलाएं हैं

        (ii) 2 पुरुष और 4 महिलाएं

        संभव नहीं। के तरीके = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

इसलिए 252 तरीकों से हम इस तरह के मंत्रिमंडल का गठन कर सकते हैं।

       ये कुछ उदाहरण हैं जहां हम की स्थिति की तुलना कर सकते हैं nPr vs nCr क्रमपरिवर्तन के मामले में, चीजों को व्यवस्थित करने का तरीका महत्वपूर्ण है। हालांकि संयोजन में आदेश का मतलब कुछ भी नहीं है।

निष्कर्ष

क्रमपरिवर्तन और संयोजन का एक संक्षिप्त विवरण जब मूल सूत्र के साथ दोहराया और दोहराया नहीं जाता है और महत्वपूर्ण परिणाम वास्तविक उदाहरणों के रूप में प्रदान किए जाते हैं, लेखों की इस श्रृंखला में हम प्रासंगिक उदाहरणों के साथ विभिन्न परिणामों और सूत्रों पर विस्तार से चर्चा करेंगे, यदि आप पढ़ना जारी रखना चाहते हैं:

प्रदर्शनियों की सूची और समस्याओं की व्याख्याएं

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

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