बस समर्थित बीम | यह पूरा अवलोकन है

विषय-सूची

  • सिम्पली सपोर्टेड-बीम क्या है?
  • इट्स फ्री बॉडी डायग्राम.
  • सीमा शर्तें और संबंधित सूत्र।
  • केंद्रित लोडिंग के लिए झुकने का क्षण।
  • समान रूप से वितरित लोडिंग के लिए झुकने का क्षण।
  • यह उदाहरण के साथ विक्षेपण और विक्षेपण समीकरण है।
  • यह वितरित लोडिंग के लिए f(x) के रूप में विक्षेपण है [त्रिकोणीय लोडिंग].
  • अन्य के विभिन्न लोडिंग उत्प्रेरण झुकने वाले तनाव।

सिम्पली सपोर्टेड बीम क्या है?

बस सपोर्टेड बीम परिभाषा

एक साधारण रूप से समर्थित बीम एक बीम है, जिसमें एक छोर सामान्य रूप से टिका होता है, और दूसरे छोर पर रोलर का समर्थन होता है। तो हिंगेड सपोर्ट के कारण, (x, y) में विस्थापन का प्रतिबंध होगा और रोलर सपोर्ट के कारण y-दिशा में अंत-विस्थापन को रोका जाएगा और बीम की धुरी के समानांतर चलने के लिए स्वतंत्र होगा।

बस समर्थित बीम मुक्त शरीर आरेख.

बीम के लिए फ्री-बॉडी आरेख नीचे दिया गया है जिसमें बीम के बाएं छोर से 'p' की दूरी पर बिंदु भार का अभिनय होता है।

बस समर्थित बीम का मुफ्त शरीर आरेख
SSB के लिए नि: शुल्क शारीरिक आरेख

बस समर्थित बीम सीमा की स्थिति और फॉर्मूला

संतुलन की स्थिति का उपयोग करके बीम पर अभिनय करने वाली प्रतिक्रिया बलों का मूल्यांकन 

\ योग F_x = 0, \; \ योग F_y = 0, \; \ योग M_A = 0

ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,

\ योग F_y = 0 -------> R_A + R_B-W = 0

R_A + R_B = डब्ल्यू

Wp-R_BL = 0

ए के बारे में क्षण लेना मानक नोटेशन के साथ 0 के बराबर है।

\\ R_B = \ frac {Wp} {L}

उपरोक्त समीकरण से,

R_A + \ frac {Wp} {L} = W

R_A = \ frac {Wq} {L}

मान लीजिए XX, A द्वारा दर्शाए गए अंतिम बिंदु से x की 'a' दूरी पर प्रतिच्छेदन है।

मानक साइन-कन्वेंशन को ध्यान में रखते हुए, हम चित्र में वर्णित बिंदु A पर अपरूपण बल की गणना कर सकते हैं।

ए पर कतरें बल,

V_A = R_A = \ frac {Wq} {L}

क्षेत्र XX पर कतरनी बल है

V_x = R_A-W

V_x = \ frac {Wq} {L} -W

V_x = \ frac {W (qL)} {L}

V_x = \ frac {-Wp} {L}

B पर शियर फोर्स है 

V_B = \ frac {-Wp} {L}

यह साबित करता है कि शियर फोर्स पॉइंट लोएड्स के आवेदन के बीच स्थिर रहता है।

बेंडिंग मोमेंट के मानक नियमों को लागू करते हुए, बीम के बाएं छोर से क्लॉकवाइज बेंडिंग मोमेंट को क्रमशः +ve और काउंटर क्लॉकवाइज बेंडिंग मोमेंट को -ve माना जाता है।

  • बिंदु A = 0 पर BM।
  • बिंदु C पर BM = -RA p ………………………… [चूँकि पल प्रतिक्षण है, झुकने का क्षण नकारात्मक के रूप में सामने आ रहा है]
  • बिंदु C पर BM इस प्रकार है

B.M_C = \ frac {-Wpq} {L} ......................... अधिकतम \ _ झुकने वाला \ _; पल

  • बीएम बिंदु बी = 0 पर।
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कतरनी बल और झुकने पल आरेख

एक्स के एक फ़ंक्शन के रूप में समान रूप से वितरित लोडिंग के लिए बस समर्थित बीम झुकने का क्षण।

नीचे दिया गया एक सरल समर्थित बीम है जिसमें समान रूप से वितरित लोडिंग पूरी अवधि में लागू होती है,

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यूडीएल के साथ एस.एस.बी.

क्षेत्र XX ए से दूरी x पर कोई भी क्षेत्र हो।

यूनिफ़ॉर्म लोडिंग केस के कारण बीम पर कार्य करने वाले परिणामी समतुल्य भार को किसके द्वारा विस्तृत किया जा सकता है?

एफ = एल * एफ

एफ = एफएल

समतुल्य बिंदु भार fL मध्य अवधि में अभिनय। यानी, एल / 2 पर

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संतुलन की स्थिति का उपयोग करके बीम पर अभिनय करने वाली प्रतिक्रिया बलों का मूल्यांकन 

\ योग F_x = 0, \; \ योग F_y = 0, \; \ योग M_A = 0

ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,

\ योग F_y = 0 \\ R_A + R_B = fL

मानक साइन कन्वेंशन लेते हुए, हम लिख सकते हैं

\\ fL * \ frac {L} {2} -R_BL = 0 \\\\ R_B = \ frac {fL} {2}

उपरोक्त समीकरण से,

R_A + \ frac {fL} {2} = fL \\ R_A = \ frac {fL {{}}

मानक साइन कन्वेंशन के बाद, ए पर शीयरफोर्स होगा।

V_A = R_A = \ frac {fL} {2}

सी पर कतरें बल

V_C = R_A- \ frac {fL} {2}

V_C = \ frac {fL} {2} - \ frac {fL} {2} = 0

क्षेत्र XX पर कतरनी बल है

V_x = R_A-fx \\\\ V_x = \ frac {fL} {2} -fx \\\\ V_x = \ frac {f [L-2x]} {2}

बी पर कतरें बल

V_B = \ frac {-fL} {2}

बेंडिंग मोमेंट डायग्राम के लिए, हम मानक अंकन लेकर पा सकते हैं.

  • बिंदु A = 0 पर BM।
  • बिंदु X पर BM है

B.M_x = M_A - \ frac {fx ^ 2} {2} = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

  • बीएम बिंदु बी = 0 पर।

इस प्रकार, झुकने के क्षण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

B.M_x = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

केस I: बीम के केंद्र में केंद्रित भार F के साथ बस समर्थित बीम के लिए

बिंदु C पर एक सांद्र भार (F) = 90 kN अभिनय करने वाले साधारण समर्थित स्टील बीम के लिए नीचे एक मुक्त बॉडी आरेख है। अब बिंदु A पर ढलान की गणना करें और अधिकतम विक्षेपण करें। अगर मैं = 922 सेंटीमीटर4, ई = 210 गीगा पास्कल, एल = 10 मीटर।

समाधान की:

FBD एक उदाहरण दिया गया है जो नीचे दिया गया है,

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केंद्रित बिंदु भार के साथ एसएसबी के लिए नि: शुल्क शारीरिक आरेख

बीम के अंत में ढलान है,

\ frac {डाई} {dx} = \ frac {FL ^ 2} {16EI}

\\\frac{dy}{dx}=\frac{90*10^3*10^2}{16*210*10^9*922*10^{-8}} \\\\\frac{dy}{dx}=0.29

केंद्र में एक केंद्रित भार ले जाने वाले एक समर्थित स्टील बीम के लिए, अधिकतम विक्षेपण है,

y_ {अधिकतम} = \ frac {FL ^ 3} {48EI}

y_{max}=\frac{90*10^3*10^3}{48*210*10^9*922*10^{-8} }

y_ {अधिकतम} = 1.01 \; m

केस II: सपोर्ट ए से 'ए' की दूरी पर लोड वाले सिंपल सपोर्टेड बीम के लिए।

इस स्थिति के लिए बिंदु C पर अभिनय भार (F) = 90 kN। फिर बिंदु A और B पर ढलान की गणना करें और अधिकतम विक्षेपण, यदि I = 922 सेमी4, ई = 210 गीगा पास्कल, एल = 10 मीटर, ए = 7 मीटर, बी = 3 मीटर।

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तो,

बीम के अंतिम समर्थन A पर ढलान,

\

\theta_1=\frac{90*10^3*3*(10^2-3^2)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_1 = 0.211 \; रेडियन

बीम के अंतिम समर्थन बी पर ढलान,

\ theta_2 = \ frac {Fab (2L-b)} {6LEI}

\theta_2=\frac{90*10^3*3*7*(10*^2-3)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_2 = 0.276 \; रेड

समीकरण अधिकतम विक्षेपण देता है,

y_{max}=\frac{Fb(3L^2-4b^2)}{48EI }

y_{max}=\frac{90*10^3*3*(3*10^2-4*3^2)}{48*210*10^9*922*10^{-8}}

y_ {अधिकतम} = 0.766 \; m

मानक भार मामलों के लिए ढलान और विक्षेपण तालिका:

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समान रूप से वितरित लोड के साथ बस समर्थित बीम में ढलान और विक्षेपण मामला

चलो वजन W1 एंड से कुछ दूरी पर अभिनय करता है A और2 अंत से दूरी बी पर अभिनय A.

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RSI झुकने का पल उपरोक्त बीम के लिए समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{wx^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b))

पूर्ण बीम पर लागू यूडीएल को मैकॉले के ब्रैकेट या मैकॉले की शर्तों से जुड़े किसी विशेष उपचार की आवश्यकता नहीं है। ध्यान रखें कि मैकाले की शर्तें स्वयं के संबंध में एकीकृत हैं। उपरोक्त मामले (एक्सए) के लिए, यदि यह नकारात्मक निकलता है, तो इसे अनदेखा करना चाहिए। अंतिम स्थितियों को प्रतिस्थापित करने से पारंपरिक रूप से एकीकरण के मूल्यों में कमी आएगी और इसलिए आवश्यक ढलान और विक्षेपण मूल्य होगा।

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इस स्थिति में, यूडीएल बिंदु बी पर शुरू होता है, झुकने वाला क्षण संशोधित होता है, और समान रूप से वितरित लोड अवधि मैकाले की ब्रैकेट शब्द बन जाती है।

उपरोक्त मामले के लिए झुकने वाला क्षण नीचे दिया गया है।

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{w(x-a)^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b)

एकीकृत हम,

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^2}{2}-\frac{w(x-a)^3}{6}-W_1\frac{(x-a)^2}{2}-W_2\frac{(x-b)^2}{2}+A

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^3}{6}-\frac{w(x-a)^4}{24}-W_1\frac{(x-a)^3}{2}-W_2\frac{(x-b)^3}{6}+Ax+B

वितरित के लिए एक्स के एक समारोह के रूप में बस समर्थित बीम विक्षेपण लोड हो रहा है [त्रिकोणीय लोड हो रहा है]

त्रिकोणीय लोडिंग के अधीन स्पैन एल का सरल-समर्थित बीम नीचे दिया गया है और डबल-एकीकरण पद्धति का उपयोग करते हुए ढलान और झुकने के क्षण के समीकरण को निम्नानुसार प्राप्त किया गया है।

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सममित लोडिंग के लिए, प्रत्येक समर्थन प्रतिक्रिया कुल भार का आधा वहन करती है और समर्थन पर प्रतिक्रिया wL / 4 होती है और उस बिंदु पर क्षण पर विचार किया जाता है जो समर्थन A से x की दूरी पर होता है।

M=\frac{wL}{4}x-\frac{wx^2}{L}\frac{x}{3}=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3)

अंतर का उपयोग करनाn- वक्र का समीकरण।

\frac{d^2y}{dx^2}=M=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3).

डबल इंटीग्रिंग द्वारा हम पा सकते हैं।

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1.................[1].

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+C_1x+C_2.................[2].

समीकरण में x = 0, y = 0 डालकर [2],

C_2 = 0

सममित लोडिंग के लिए, 0.5L पर ढलान शून्य है

 इस प्रकार, ढलान = 0 पर x = L / 2,

0=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2*L^2}{2}-L^4)+C_1

C_1 = \ frac {-5wL ^ 3} {192}

C के स्थिरांक मानों को प्रतिस्थापित करना2 और सी1 हमें मिला,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})-\frac{5wL^3}{192}x

बीम के केंद्र में सबसे अधिक विक्षेपण पाया जाता है। यानी एल/2 पर।

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2L^3}{2*8}-\frac{L^5}{5*32})-\frac{5wL^3}{192}\frac{L}{2}

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

एल = 7 मीटर पर ढलान का मूल्यांकन और दिए गए डेटा से विक्षेपण: I = 922 सेमी4 , E = 220 GPa, L = 10 m, w = 15 Nm

उपरोक्त समीकरणों से: x = 7 मीटर पर,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

220*10^9*922*10^{-8}*\frac{dy}{dx}=\frac{15}{12*10}(\frac{3*10^2*7^2}{2}-7^4)-\frac{5*15*10^3}{192}

\ frac {डाई} {dx} = 1.124 * 10 ^ {- 4} \; रेडियन

समीकरण का उपयोग करना [4]

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

220*10^9*922*10^{-8}*y_{max}=\frac{15*10^4}{120}

y_ {अधिकतम} = - 6.16 * 10 ^ {- 4} \; m

नकारात्मक संकेत नीचे की ओर झुकाव का प्रतिनिधित्व करता है।

बस बीम का समर्थन करने के लिए विभिन्न लोड हो रहा तनाव उत्प्रेरण के अधीन है।

नीचे दिया गया एक बिंदु भार वहन करने वाली एक साधारण समर्थित स्टील बीम का एक उदाहरण है और इस बीम में समर्थन एक छोर पर पिन समर्थित हैं, और दूसरा रोलर समर्थन है। इस बीम में निम्नलिखित दी गई सामग्री है, और डेटा लोड हो रहा है

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए लोडिंग में F = 80 kN है। एल = 10 मीटर, ई = 210 जीपीए, I = 972 सेमी4, डी = 80 मिमी

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संतुलन की स्थिति का उपयोग करके बीम पर अभिनय करने वाली प्रतिक्रिया बलों का मूल्यांकन 

\ योग F_x = 0, \; \ योग F_y = 0, \; \ योग M_A = 0

ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,

\ योग F_y = 0 \\ R_A + R_B-80000 = 0 \\ R_A + R_B = 80000

A के बारे में क्षण लेते हुए, घड़ी के अनुसार क्षण + ve, और वामावर्त क्षण को -ve के रूप में लिया जाता है, हम इसकी गणना कर सकते हैं।

80000 * 4-R_B * 10 = 0

R_B = 32000 \; N

R का मान लगानाB समीकरण [१] में।

R_A + 32000 = 80000

R_A = 48000 \; N

माना, XX अंत बिंदु A से x की दूरी पर दिलचस्प का खंड है, इसलिए A पर अपरूपण बल होगा।

V_A = R_A = 48000 \; N

क्षेत्र XX पर कतरनी बल है

V_x = R_A-F

V_x = \ frac {Fb} {L} -F

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {-Fa} {L} = \ frac {-80000 * 4} {10} = - 32000 \ N;

B पर शियर फोर्स है 

V_B = \ frac {-Fa} {L} = - 32000 \; N

यह साबित करता है कि शियर फोर्स पॉइंट लोएड्स के आवेदन के बीच स्थिर रहता है।

झुकने वाले क्षण के मानक नियमों को लागू करना, बीम के बाएं छोर से क्लॉकवाइज झुकने का क्षण सकारात्मक माना जाता है। काउंटर क्लॉक वाइज मोड़ को नेगेटिव के रूप में लिया जाता है।

  • A = 0 पर झुकने वाला पल
  • C = -R पर झुकने वाला क्षणA एक ………………………… [चूँकि पल-पल जवाबी है, झुकने वाला पल नकारात्मक के रूप में सामने आ रहा है]
  • C पर झुकने का क्षण है

B.M_{max}=-80000*4*\frac{6}{10}=-192000\;Nm

  • B = 0 पर झुकने वाला पल

यूलर-बर्नौली के समीकरण के लिए झुकने का क्षण द्वारा दिया गया है

\ frac {M} {I} = \ frac {\ sigma} {y} = \ frac {E} {}}

एम = बीम के क्रॉससेक्शन पर बीएम लागू।

I = जड़त्व का दूसरा क्षेत्र क्षण।

= झुकना तनाव प्रेरित।

y = बीम के तटस्थ अक्ष और वांछित तत्व के बीच सामान्य दूरी।

ई = एमपी में यंग का मापांक

मिमी में वक्रता का आर = त्रिज्या

इस प्रकार, बीम में झुकने तनाव

\ sigma_b = \ frac {M_ {max} y} {I}

\sigma_b=\frac{-192000*80/2*10^{-3}}{972*10^{-8}}

\ sigma_b = -790.12 \; एमपीए

बीम के विक्षेपण के बारे में जानने के लिए और कन्टीलीवर बीम अन्य लेख नीचे क्लिक करें।

हकीमुद्दीन बवनगांववाला के बारे में

Simply Supported Beam | It's Complete Overviewमैं हकीमुद्दीन बवांगोंवाला, मैकेनिकल डिजाइन और विकास में विशेषज्ञता के साथ एक मैकेनिकल डिजाइन इंजीनियर हूं। मैंने डिजाइन इंजीनियरिंग में एम। टेक पूरा किया है और 2.5 साल का रिसर्च एक्सपीरियंस है। अब तक प्रकाशित हीट ट्रीटमेंट जुड़नार के हार्ड टर्निंग और परिमित तत्व विश्लेषण पर दो शोध पत्र। माई एरिया ऑफ इंट्रेस्ट मशीन डिजाइन, मटेरियल की स्ट्रेंथ, हीट ट्रांसफर, थर्मल इंजीनियरिंग आदि है। CATIA में दक्ष और सीएडी और सीएई के लिए ANSYS सॉफ्टवेयर। रिसर्च के अलावा।
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