40+ बिंदु वर्गों या अनुपात सूत्रों की गंभीर हल की गई समस्याएं

सूत्र पर मूल उदाहरण "बिंदु खंड या अनुपात"

केस-मैं

समस्या 21: बिंदु P(x, y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (1,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

अगर एक बिंदु पी (एक्स, वाई) रेखा खंड को विभाजित करता है AB के भीतर अनुपात में एम: एन,जहां . के निर्देशांक A और B रहे (x1,y1) और (x2,y2) क्रमश। तब P के निर्देशांक हैं 

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

और

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं, (x1,y1) ≌(1,1) यानी   x1= 1, y1=1 ;

(x2,y2)(४,१) यानी   x2= 4, y2=1   

और

एम:एन  1:2 यानी   एम = 1, एन = 2

40+ बिंदु वर्गों या अनुपात सूत्रों की गंभीर हल की गई समस्याएं
सचित्र प्रदर्शन

इसलिए,       

एक्स =\mathbf{\frac{\बाएं (1\बार x2\दाएं)+\बाएं (2\गुना x1 \दाएं)} {1+2}} ( m & n in . का मान डालना     \textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}} )

या, एक्स =\mathbf{\textbf{}\tfrac{1x4+2x1}{3}} ( values ​​का मान डालना x1 &  x2 भी )

या, एक्स = \mathbf{\tfrac{4+2}{3}}

या, एक्स = \mathbf{\textbf{}\tfrac{6}{3}}

 Or, एक्स = 2

इसी तरह हमें मिलता है,  

y =\mathbf{\frac{\बाएं (1\बार y2 \दाएं)+\बाएं (2\बार y1 \दाएं)} {1+2}} ( m & n in . का मान डालना     वाई =\mathbf{\frac{my2+ny1}{m+n}})

या, य =\mathbf{\frac{\बाएं (1\गुना 1 \दाएं)+\बाएं (2\बार 1 \दाएं)}{3}} ( values ​​का मान डालना y1 &  y2 भी )

या, य = \mathbf{\frac{\बाएं (1\गुना 1+2 \दाएं)}{3}}

या, वाई =  \mathbf{\frac{3}{3}}

या, y = 1

 इसलिए, x=2 और y=1 बिंदु P यानी (2,1) के निर्देशांक हैं।   (उत्तर)

उपरोक्त समस्या 21 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 22: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (0,5) और (0,0) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

                     उत्तर। (0,2)

समस्या 23: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (1,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

उत्तर। (3,1)

समस्या 24: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (3,5,) और (3,-5,) को मिलाने वाले रेखाखंड पर 1:1 के अनुपात में विभाजित होता है।

उत्तर। (3,0)

समस्या 25: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-4,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:5 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है

उत्तर: (-1,1)

समस्या 26: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-10,2) और (10,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 1.5 : 2.5.

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प्रकरण द्वितीय

समस्या 27:   बिंदु Q(x,y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2,1) और (6,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:1 के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करता है।

उपाय:  हम पहले से जानते हैं,

अगर एक बिंदु क्यू (एक्स, वाई) रेखा खंड को विभाजित करता है AB बाहर से अनुपात में एम: एन,जहां निर्देशांक of A और B रहे (x1,y1) और (x2,y2) क्रमशः, तो बिंदु P के निर्देशांक हैं 

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

और

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं,  (x1,y1) (२,१) यानी  x1= 2, y1=1 ;

                                                    (x2,y2)(२,१) यानी   x2= 6, y2=1 और   

                                                    एम:एन  3:1 यानी    m=3,एन =1   

बिंदु खंड
सचित्र प्रदर्शन

इसलिए, 

x =\mathbf{\frac{\बाएं (3\गुना x2 \दाएं)-\बाएं (1\गुना x1 \दाएं)}{3-1}} ( m & n in . का मान डालना     x  =\mathbf{\frac{mx2-nx1}{mn}})

या, x =\mathbf{\frac{\बाएं (3\बार 6 \दाएं) -\बाएं (1\बार 2 \दाएं)}{2}} ( values ​​का मान डालना x1 &  x2 भी )

या, x\mathbf{\frac{18-2}{2}}

या, x  =  \mathbf{\frac{16}{2}}

या, x = 8

इसी तरह हमें मिलता है,  

y =\mathbf{\frac{\बाएं (3\बार y2 \दाएं)-\बाएं (1\बार y1 \दाएं)} {3-1}} ( m & n in . का मान डालना     वाई =\mathbf{\frac{my2-ny1}{mn}})

या, वाई =\mathbf{\frac{\बाएं (3\बार 1 \दाएं) -\बाएं (1\बार 1 \दाएं)}{2}} ( values ​​का मान डालना y1 &  y2 भी )

या, य = \mathbf{\frac{3-1}{2}}

या, वाई =  \mathbf{\frac{2}{2}}

या, y = 1

 इसलिए, x=8 और y=1 बिंदु Q के निर्देशांक हैं अर्थात (8,1).   (उत्तर)

उपरोक्त समस्या 27 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 28: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2,2) और (4,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 3 : 1.

उत्तर। (5,2)

समस्या 29: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (0,2) और (0,5) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 5: 2.

उत्तर। (0,7)

समस्या 30: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-3,-2) और (3,-2) को मिलाने वाले रेखाखंड के विस्तारित भाग पर अनुपात में स्थित है। 2 : 1.

उत्तर। (९, -२)

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केस-III

समस्या 31:  दो बिंदुओं (-1,2) और (1,2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

अगर एक बिंदु आर (एक्स, वाई) मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु हो ए (एक्स1,y1) और बी (एक्स2,y2)।फिर . के निर्देशांक R रहे

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{x}_{1}\textbf{+}\textbf{x}_{2}}{\textbf{2}}

और

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{y}_{1}\textbf{+}\textbf{y}_{2}}{\textbf{2}}

(सूत्र चार्ट देखें)

केस- III केस- I का रूप है जबकि m=1 और n=1

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं,  (x1,y1) (-1,2) यानी  x1= -1, y1=2 और

                                                    (x2,y2)(२,१) यानी   x2= 1, y2=2

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सचित्र प्रदर्शन

इसलिए,

x =\mathbf{\frac{\बाएं ( -1 \दाएं)+1}{2}} ( values ​​का मान डालना x1 &  x2  in x =\mathbf{\frac{x1+x2}{2}})

या, x  =  \mathbf{\frac{0}{2}}

या, x = 0

इसी तरह हमें मिलता है, 

y =\mathbf{\frac{2+2}{2}} ( values ​​का मान डालना y1 &  y2  in y =\mathbf{\frac{x1+x2}{2}})

या, y \mathbf{\frac{4}{2}}

या, y = 2

इसलिए, x=0 और y=2 मध्यबिंदु R यानी (0,2) के निर्देशांक हैं।   (उत्तर)

उपरोक्त समस्या 31 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 32: दो बिंदुओं (-1,-3) और (1,-4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर। (0,3.5)

समस्या 33: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-5,-7) और (5,7) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

उत्तर। (0,0)

समस्या 34: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (10,-5) और (-7,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

उत्तर। (1.5, -1.5)

समस्या 35: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (3,√2) और (1,3 .) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है2)।

उत्तर। (2,2√2)

समस्या 36: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2+3i,5) और (2-3i,-5) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

उत्तर। (2,0)

नोट: कैसे जांचा जाए कि कोई बिंदु किसी रेखा (लंबाई = d इकाइयों) को आंतरिक या बाह्य रूप से m:n के अनुपात से विभाजित करता है या नहीं

अगर (m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , तो आंतरिक रूप से विभाजित और

यदि (m×d)/(m+n) – ( ​​n×d)/(m+n) = d , तो बाह्य रूप से विभाजित करना

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सूत्र "एक त्रिभुज का क्षेत्रफल" पर मूल उदाहरण

केस-मैं 

समस्या 37: त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है जिसके दो शीर्ष हैं ए(1,2) और बी (5,3) और ऊंचाई के संबंध में AB be 3 इकाइयों समन्वय विमान में?

 उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

If "एच" ऊंचाई हो और "बी" त्रिभुज का आधार हो, तो  त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × b × h

(सूत्र चार्ट देखें)

40+ बिंदु वर्गों या अनुपात सूत्रों की गंभीर हल की गई समस्याएं
सचित्र प्रदर्शन

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं, 

 h = 3 इकाइयाँ और b = [(x2-x1)2+ (Y2-y1)2 ] अर्थात  [(5-1)2+(3-2)2 ]

                    या, b = [(4)2+ (1)2 ]

                    या, b = [(16+1 ]

                    या,  b = √ 17 इकाइयां

अत: त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल है   = ½ × बी × एच यानी

= ½ × (√ 17) × 3 इकाइयों

= 3⁄2 × (√ 17 ) इकाइयाँ (Ans।)

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प्रकरण द्वितीय

समस्या 38:शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है ए(1,2), बी(5,3) और सी(3,5) समन्वय विमान में?

 उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

If  ए (एक्स1,y1) बी (एक्स2,y2) और सी (एक्स3,y3) त्रिभुज के शीर्ष हो,

त्रिभुज का क्षेत्रफल है  =|½[x1 (y2-  y3) + एक्स2 (y3-  y2) + एक्स3 (y2- वाई1)]|

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का उपयोग करते हुए हमारे पास है, 

                                              (x1,y1) (1,2) यानी   x1= 1, y1=2 ;

                                              (x2,y2) (२,१) यानी   x2= 5, y2=3 और

                                              (x3,y3) (२,१) यानी    x3= 3, y3=5

40+ बिंदु वर्गों या अनुपात सूत्रों की गंभीर हल की गई समस्याएं
सचित्र प्रदर्शन

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = |½[x1 (y2-  y3) + एक्स2 (y3-  y1) + एक्स3 (y1-y2)]| अर्थात 

= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]|  वर्ग इकाइयों 

= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]|    वर्ग इकाइयों

= |½[-2 + 10 + 3]|    वर्ग इकाइयों

= x 11|     वर्ग इकाइयों

= 11/2     वर्ग इकाइयों

= 5.5      वर्ग इकाइयों         (उत्तर।)

उपरोक्त समस्याओं में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 39: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1,1), (-1,2) और (3,2) हैं।

उत्तर 2 वर्ग इकाइयों

समस्या 40: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3,0), (0,6) और (6,9) हैं।

उत्तर 22.5 वर्ग इकाइयों

समस्या 41: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1,-2), (0,4) और (1,-3) हैं।

उत्तर 6.5 वर्ग इकाइयों

समस्या 42: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-5,0,), (0,5) और (0,-5) हैं।                                 उत्तर 25 वर्ग इकाइयों

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NASRINA PARVIN के बारे में

40+ बिंदु वर्गों या अनुपात सूत्रों की गंभीर हल की गई समस्याएंमैं नसरीना परवीन हूं, भारत के संचार और सूचना प्रौद्योगिकी मंत्रालय में काम करने का 10 साल का अनुभव है। मैंने गणित में ग्रेजुएशन किया है। अपने खाली समय में मुझे गणित के प्रश्न पढ़ाना, हल करना पसंद है। बचपन से ही गणित ही एक ऐसा विषय है जिसने मुझे सबसे ज्यादा आकर्षित किया।

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