सूत्र पर मूल उदाहरण "बिंदु खंड या अनुपात"
केस-मैं
समस्या 21: बिंदु P(x, y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (1,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
उपाय: हम पहले से जानते हैं,
अगर एक बिंदु पी (एक्स, वाई) रेखा खंड को विभाजित करता है AB के भीतर अनुपात में एम: एन,जहां . के निर्देशांक A और B रहे (x1,y1) और (x2,y2) क्रमश। तब P के निर्देशांक हैं
और
(सूत्र चार्ट देखें)
इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं, (x1,y1) ≌(1,1) यानी x1= 1, y1=1 ;
(x2,y2)(४,१) यानी x2= 4, y2=1
और
एम:एन 1:2 यानी एम = 1, एन = 2
इसलिए,
एक्स =
( m & n in . का मान डालना
या, एक्स =1*4+2*1/3 ( values का मान डालना x1 & x2 भी )
या, एक्स = 4 + 2 / 3
या, एक्स = 6 * 3
Or, एक्स = 2
इसी तरह हमें मिलता है,
y =
( m & n in . का मान डालना वाई =
या, य =(1*1+2*1)/3 ( values का मान डालना y1 & y2 भी )
या, य = 1*1+2/3
या, वाई = 3 / 3
या, y = 1
इसलिए, x=2 और y=1 बिंदु P यानी (2,1) के निर्देशांक हैं। (उत्तर)
उपरोक्त समस्या 21 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -
समस्या 22: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (0,5) और (0,0) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
उत्तर। (0,2)
समस्या 23: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (1,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
उत्तर। (3,1)
समस्या 24: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (3,5,) और (3,-5,) को मिलाने वाले रेखाखंड पर 1:1 के अनुपात में विभाजित होता है।
उत्तर। (3,0)
समस्या 25: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-4,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:5 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है
उत्तर: (-1,1)
समस्या 26: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-10,2) और (10,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 1.5 : 2.5.
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प्रकरण द्वितीय
समस्या 27: बिंदु Q(x,y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2,1) और (6,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:1 के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करता है।
उपाय: हम पहले से जानते हैं,
अगर एक बिंदु क्यू (एक्स, वाई) रेखा खंड को विभाजित करता है AB बाहर से अनुपात में एम: एन,जहां निर्देशांक of A और B रहे (x1,y1) और (x2,y2) क्रमशः, तो बिंदु P के निर्देशांक हैं
और
(सूत्र चार्ट देखें)
इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं, (x1,y1) (२,१) यानी x1= 2, y1=1 ;
(x2,y2)(२,१) यानी x2= 6, y2=1 और
एम:एन 3:1 यानी m=3,एन =1
इसलिए,
x =
( m & n in . का मान डालना x =
या, x =(3*6)-(1*2)/2 ( values का मान डालना x1 & x2 भी )
या, x = 18-2/2
या, x = 16 / 2
या, x = 8
इसी तरह हमें मिलता है,
y =
( m & n in . का मान डालना वाई =
या, वाई =
( values का मान डालना y1 & y2 भी )
या, य = 3-1/2
या, वाई = 2 / 2
या, y = 1
इसलिए, x=8 और y=1 बिंदु Q के निर्देशांक हैं अर्थात (8,1). (उत्तर)
उपरोक्त समस्या 27 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -
समस्या 28: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2,2) और (4,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 3 : 1.
उत्तर। (5,2)
समस्या 29: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (0,2) और (0,5) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 5: 2.
उत्तर। (0,7)
समस्या 30: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-3,-2) और (3,-2) को मिलाने वाले रेखाखंड के विस्तारित भाग पर अनुपात में स्थित है। 2 : 1.
उत्तर। (९, -२)
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केस-III
समस्या 31: दो बिंदुओं (-1,2) और (1,2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उपाय: हम पहले से जानते हैं,
अगर एक बिंदु आर (एक्स, वाई) मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु हो ए (एक्स1,y1) और बी (एक्स2,y2)।फिर . के निर्देशांक R रहे
और
(सूत्र चार्ट देखें)
केस- III केस- I का रूप है जबकि m=1 और n=1
इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं, (x1,y1) (-1,2) यानी x1= -1, y1=2 और
(x2,y2)(२,१) यानी x2= 1, y2=2
इसलिए,
x =
( values का मान डालना x1 & x2 in x =
या, x = 0 / 2
या, x = 0
इसी तरह हमें मिलता है,
y =2 + 2 / 2 ( values का मान डालना y1 & y2 in y =
या, y = 4 / 2
या, y = 2
इसलिए, x=0 और y=2 मध्यबिंदु R यानी (0,2) के निर्देशांक हैं। (उत्तर)
उपरोक्त समस्या 31 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -
समस्या 32: दो बिंदुओं (-1,-3) और (1,-4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर। (0,3.5)
समस्या 33: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-5,-7) और (5,7) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।
उत्तर। (0,0)
समस्या 34: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (10,-5) और (-7,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।
उत्तर। (1.5, -1.5)
समस्या 35: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (3,√2) और (1,3 .) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है√2)।
उत्तर। (2,2√2)
समस्या 36: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2+3i,5) और (2-3i,-5) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।
उत्तर। (2,0)
नोट: कैसे जांचा जाए कि कोई बिंदु किसी रेखा (लंबाई = d इकाइयों) को आंतरिक या बाह्य रूप से m:n के अनुपात से विभाजित करता है या नहीं
अगर (m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , तो आंतरिक रूप से विभाजित और
यदि (m×d)/(m+n) – ( n×d)/(m+n) = d , तो बाह्य रूप से विभाजित करना
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सूत्र "एक त्रिभुज का क्षेत्रफल" पर मूल उदाहरण
केस-मैं
समस्या 37: त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है जिसके दो शीर्ष हैं ए(1,2) और बी (5,3) और ऊंचाई के संबंध में AB be 3 इकाइयों समन्वय विमान में?
उपाय: हम पहले से जानते हैं,
If "एच" ऊंचाई हो और "बी" त्रिभुज का आधार हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × b × h
(सूत्र चार्ट देखें)
इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं,
h = 3 इकाइयाँ और b = [(x2-x1)2+ (Y2-y1)2 ] अर्थात [(5-1)2+(3-2)2 ]
या, b = [(4)2+ (1)2 ]
या, b = [(16+1 ]
या, b = √ 17 इकाइयां
अत: त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल है = ½ × बी × एच यानी
= ½ × (√ 17) × 3 इकाइयों
= 3⁄2 × (√ 17 ) इकाइयाँ (Ans।)
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प्रकरण द्वितीय
समस्या 38:शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है ए(1,2), बी(5,3) और सी(3,5) समन्वय विमान में?
उपाय: हम पहले से जानते हैं,
If ए (एक्स1,y1) बी (एक्स2,y2) और सी (एक्स3,y3) त्रिभुज के शीर्ष हो,
त्रिभुज का क्षेत्रफल है =|½[x1 (y2- y3) + एक्स2 (y3- y2) + एक्स3 (y2- वाई1)]|
(सूत्र चार्ट देखें)
इस सूत्र का उपयोग करते हुए हमारे पास है,
(x1,y1) (1,2) यानी x1= 1, y1=2 ;
(x2,y2) (२,१) यानी x2= 5, y2=3 और
(x3,y3) (२,१) यानी x3= 3, y3=5
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = |½[एक्स1 (y2- y3) + एक्स2 (y3- y1) + एक्स3 (y1-y2)]| अर्थात
= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]| वर्ग इकाइयों
= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]| वर्ग इकाइयों
= |½[-2 + 10 + 3]| वर्ग इकाइयों
= |½ x 11| वर्ग इकाइयों
= 11/2 वर्ग इकाइयों
= 5.5 वर्ग इकाइयों (उत्तर।)
उपरोक्त समस्याओं में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -
समस्या 39: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1,1), (-1,2) और (3,2) हैं।
उत्तर 2 वर्ग इकाइयों
समस्या 40: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3,0), (0,6) और (6,9) हैं।
उत्तर 22.5 वर्ग इकाइयों
समस्या 41: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1,-2), (0,4) और (1,-3) हैं।
उत्तर 6.5 वर्ग इकाइयों
समस्या 42: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-5,0,), (0,5) और (0,-5) हैं। उत्तर 25 वर्ग इकाइयों
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