बिंदु अनुभाग या अनुपात सूत्र: 41 महत्वपूर्ण समाधान

सूत्र पर मूल उदाहरण "बिंदु खंड या अनुपात"

केस-मैं

समस्या 21: बिंदु P(x, y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (1,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

अगर एक बिंदु पी (एक्स, वाई) रेखा खंड को विभाजित करता है AB के भीतर अनुपात में एम: एन,जहां . के निर्देशांक A और B रहे (x₁,y₁) और (x₂,y₂) क्रमश। तब P के निर्देशांक हैं 

और

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं, (x₁,y₁) (1,1) यानी   x₁= 1, y₁=1 ;

(x₂,y₂)≌(4,1) यानी   x₂= 4, y₂=1   

और

एम:एन  ≌ 1:2 यानी   एम = 1, एन = 2

इसलिए,       

एक्स =

( m & n in . का मान डालना   

या, एक्स =1*4+2*1/3 ( values ​​का मान डालना x₁ &  x₂ भी )

या, एक्स = 4 + 2 / 3

या, एक्स = 6*3

 Or, एक्स = 2

इसी तरह हमें मिलता है,  

y =

( m & n in . का मान डालना     वाई =

या, य =(1*1+2*1)/3 ( values ​​का मान डालना y₁ &  y₂ भी )

या, य = 1*1+2/3

या, वाई =  3/3

या, y = 1

 इसलिए, x=2 और y=1 बिंदु P यानी (2,1) के निर्देशांक हैं।   (उत्तर)

उपरोक्त समस्या 21 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 22: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (0,5) और (0,0) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

                     उत्तर। (0,2)

समस्या 23: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (1,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

उत्तर। (3,1)

समस्या 24: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (3,5,) और (3,-5,) को मिलाने वाले रेखाखंड पर 1:1 के अनुपात में विभाजित होता है।

उत्तर। (3,0)

समस्या 25: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-4,1) और (4,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:5 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है

उत्तर: (-1,1)

समस्या 26: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-10,2) और (10,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 1.5 : 2.5.

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प्रकरण द्वितीय

समस्या 27:   बिंदु Q(x,y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2,1) और (6,1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:1 के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करता है।

उपाय:  हम पहले से जानते हैं,

अगर एक बिंदु क्यू (एक्स, वाई) रेखा खंड को विभाजित करता है AB बाहर से अनुपात में एम: एन,जहां निर्देशांक of A और B रहे (x₁,y₁) और (x₂,y₂) क्रमशः, तो बिंदु P के निर्देशांक हैं 

और

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं,  (x₁,y₁) (२,१) यानी  x₁= 2, y₁=1 ;

                                                    (x₂,y₂)(२,१) यानी   x₂= 6, y₂=1 और   

                                                    एम:एन  3:1 यानी    m=3,एन =1   

इसलिए, 

x =

( m & n in . का मान डालना     x  =

या, x =(3*6)-(1*2)/2 ( values ​​का मान डालना x₁ &  x₂ भी )

या, x = 18-2/2

या, x  = 16 / 2

या, x = 8

इसी तरह हमें मिलता है,  

y =

( m & n in . का मान डालना     वाई =

या, वाई =

( values ​​का मान डालना y₁ &  y₂ भी )

या, य = 3-1/2

या, वाई =  2/2

या, y = 1

 इसलिए, x=8 और y=1 बिंदु Q के निर्देशांक हैं अर्थात (8,1).   (उत्तर)

उपरोक्त समस्या 27 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 28: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2,2) और (4,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 3 : 1.

उत्तर। (5,2)

समस्या 29: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (0,2) और (0,5) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात में विभाजित करता है 5:2.

उत्तर। (0,7)

समस्या 30: वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-3,-2) और (3,-2) को मिलाने वाले रेखाखंड के विस्तारित भाग पर अनुपात में स्थित है। 2 : 1.

उत्तर। (९, -२)

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केस-III

समस्या 31:  दो बिंदुओं (-1,2) और (1,2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

अगर एक बिंदु आर (एक्स, वाई) मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु हो ए (एक्स₁,y₁) और बी (एक्स₂,y₂)।फिर . के निर्देशांक R रहे

और

(सूत्र चार्ट देखें)

केस- III केस- I का रूप है जबकि m=1 और n=1

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं,  (x₁,y₁) (-1,2) यानी  x₁= -1, y₁=2 और

                                                    (x₂,y₂)(२,१) यानी   x₂= 1, y₂=2

इसलिए,

x =

( values ​​का मान डालना x₁ &  x₂  in x =

या, x  = 0/2

या, x = 0

इसी तरह हमें मिलता है, 

y =2 + 2 / 2 ( values ​​का मान डालना y₁ &  y₂  in y =

या, y = 4/2

या, y = 2

इसलिए, x=0 और y=2 मध्यबिंदु R यानी (0,2) के निर्देशांक हैं।   (उत्तर)

उपरोक्त समस्या 31 में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 32: दो बिंदुओं (-1,-3) और (1,-4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर। (0,3.5)

समस्या 33: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (-5,-7) और (5,7) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

उत्तर। (0,0)

समस्या 34: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (10,-5) और (-7,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

उत्तर। (1.5, -1.5)

समस्या 35: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (3,√2) और (1,3 .) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है√2)।

उत्तर। (2,2√2)

समस्या 36: मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो दो बिंदुओं (2+3i,5) और (2-3i,-5) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

उत्तर। (2,0)

नोट: कैसे जांचा जाए कि कोई बिंदु किसी रेखा (लंबाई = d इकाइयों) को आंतरिक या बाह्य रूप से m:n के अनुपात से विभाजित करता है या नहीं

अगर (m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , तो आंतरिक रूप से विभाजित और

यदि (m×d)/(m+n) – ( ​​n×d)/(m+n) = d , तो बाह्य रूप से विभाजित करना

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सूत्र "एक त्रिभुज का क्षेत्रफल" पर मूल उदाहरण

केस-मैं 

समस्या 37: त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है जिसके दो शीर्ष हैं ए(1,2) और बी (5,3) और ऊंचाई के संबंध में AB be 3 इकाइयों समन्वय विमान में?

 उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

If "एच" ऊंचाई हो और "बी" त्रिभुज का आधार हो, तो  त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × b × h

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का प्रयोग करके हम कह सकते हैं, 

 h = 3 इकाइयाँ और b =

अर्थात  √

                    या, b =

                    या, b =

                    या,  b = √ 17 इकाइयां

अत: त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल है   = ½ × बी × एच यानी

= ½ × (√ 17) × 3 इकाइयों

= 3⁄2 × (√ 17 ) इकाइयाँ (Ans।)

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प्रकरण द्वितीय

समस्या 38:शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है ए(1,2), बी(5,3) और सी(3,5) समन्वय विमान में?

 उपाय:   हम पहले से जानते हैं,

If  ए (एक्स₁,y₁) बी (एक्स₂,y₂) और सी (एक्स₃,y₃) त्रिभुज के शीर्ष हो,

त्रिभुज का क्षेत्रफल है  =|½

|

(सूत्र चार्ट देखें)

इस सूत्र का उपयोग करते हुए हमारे पास है, 

                                              (x₁,y₁) (1,2) यानी   x₁= 1, y₁=2 ;

                                              (x₂,y₂) (२,१) यानी   x₂= 5, y₂= एक्सएनएनएक्स और

                                              (x₃,y₃) (२,१) यानी    x₃= 3, y₃=5

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = |½

| अर्थात 

= |½

|  वर्ग इकाइयों 

= |½

|    वर्ग इकाइयों

= |½

|    वर्ग इकाइयों

= |½ x 11|     वर्ग इकाइयों

= 11/2     वर्ग इकाइयों

= 5.5      वर्ग इकाइयों         (उत्तर।)

उपरोक्त समस्याओं में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए आगे के अभ्यास के लिए अधिक उत्तर की गई समस्याएं नीचे दी गई हैं: -

समस्या 39: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1,1), (-1,2) और (3,2) हैं।

उत्तर 2 वर्ग इकाइयों

समस्या 40: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3,0), (0,6) और (6,9) हैं।

उत्तर 22.5 वर्ग इकाइयों

समस्या 41: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1,-2), (0,4) और (1,-3) हैं।

उत्तर 6.5 वर्ग इकाइयों

समस्या 42: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-5,0,), (0,5) और (0,-5) हैं।                                 उत्तर 25 वर्ग इकाइयों

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