सशर्त संभावना: जानने के लिए 7 दिलचस्प तथ्य

सशर्त संभाव्यता

सशर्त सिद्धांत संभावना बड़ा जोखिम लेने की अवधारणा से बाहर आएं। आजकल ऐसे कई मुद्दे हैं जो संयोग के खेल से डगमगाते हैं, जैसे सिक्के फेंकना, पासा फेंकना और ताश खेलना। 

सशर्त संभाव्यता सिद्धांत कई अलग-अलग डोमेन और लचीलेपन में लागू होता है सशर्त संभाव्यता लगभग इतने सारे विभिन्न आवश्यकताओं के लिए उपकरण प्रदान करता है। घटनाओं के होने की संभावना के अध्ययन से संबंधित संभाव्यता सिद्धांत और नमूने।

एक्स और वाई पर विचार करें दोनों एक आकस्मिक प्रयोग की दो घटनाएं हैं। बाद में, एक्स की परिस्थितियों की संभावना के तहत वाई कि पहले से ही पी (वाई) as 0 के साथ हुआ है, सशर्त संभावना के रूप में जाना जाता है और पी (एक्स / वाई) द्वारा निरूपित किया जाता है।

इसलिए, P (X / Y) = X के होने की संभावना, यदि बशर्ते कि Y पहले ही हो चुका हो।

पी (एक्स ⋂ वाई) / पी (वाई) = एन (एक्स ⋂ वाई) / एन (वाई)

इसी तरह, पी (वाई / एक्स) = वाई की घटना की संभावना, जैसा कि एक्स पहले ही हो चुका है।

पी (एक्स ⋂ वाई) / पी (एक्स) = एन (एक्स ⋂ वाई) / एन (वाई)

कुछ मामलों के लिए संक्षेप में, पी (एक्स / वाई) का उपयोग वाई होने पर एक्स की घटना की संभावना को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। इसी तरह, P (Y / X) का उपयोग Y होने की संभावना को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है जबकि X होता है।

संभाव्यता पर गुणन प्रमेय क्या है?

यदि एक्स और वाई दोनों एक मनमाना प्रयोग की स्व-सहायक (स्वतंत्र) घटनाएं हैं, तो

पी(एक्स ⋂ वाई) = पी (एक्स)। पी (एक्स/वाई), अगर पी (एक्स) 0

पी(एक्स ⋂ वाई) = पी (वाई)। पी (वाई / एक्स), अगर पी (वाई) 0

स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन प्रमेय क्या है? 

If X और Y दोनों एक स्वैच्छिक प्रयोग से जुड़े स्व-सहायक (स्वतंत्र) ईवेंट हैं, फिर P (X ∩ Y) = (X) .P (Y)।

अर्थात, दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ होने की संभावना उनकी संभावनाओं के गुणन के बराबर है। गुणन प्रमेय का उपयोग करके, हमारे पास P (X = Y) = P (Y) .P (Y / X) है।

 चूंकि X और Y स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए P (Y / X) = P (Y)

इंप्लाइज, P (X) Y) = P (X) .P (Y)

जबकि घटनाएं परस्पर अनन्य हैं: 

यदि X और Y परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो ⇒ n(X ∩ Y)= 0 , P(X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

किसी भी तीन घटनाओं के लिए X, Y, Z जो परस्पर अनन्य हैं, 

P (X (Y) = P (Y = Z) = P (Z = X) = P (X) Y ∩ Z) = 0

पी (एक्स ⋃ वाई ⋃ जेड) = पी (एक्स) + पी (वाई) + पी (जेड)

जबकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं: 

यदि X और Y असंबंधित (या स्वतंत्र) घटनाएँ हैं, तो

पी (एक्स ∩ वाई) = पी (एक्स)। पी (वाई)

पी (एक्सयूवाई) = पी (एक्स) + पी (वाई) - पी (एक्स)। पी (वाई)

बता दें कि X और Y एक अनियंत्रित (या यादृच्छिक) प्रयोग से जुड़ी दो घटनाएं हैं

यदि Y If X, तब

(बी) पी (वाई) ≤ पी (एक्स)

इसी तरह अगर X⊂ Y, तो

(बी) पी (एक्स) ≤ पी (वाई)

न तो X और न ही Y के होने की संभावना है 

उदाहरण: अगर कार्ड के एक पैकेट से एक ही कार्ड चुना जाता है। क्या संभव मौका है कि यह या तो एक कुदाल या एक राजा है?

उपाय:

पी (ए) = पी (एक कुदाल कार्ड) = १३ / ५२

पी (बी) = पी (एक राजा कार्ड) = ४ / ५२

पी (या तो एक कुदाल या एक राजा कार्ड) = पी (ए या बी)

= P (A PB) = P (A) + P (B) -P (A )B)

= पी (ए) + पी (बी) पी (ए) पी (बी)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

उदाहरण: किसी को लक्ष्य को 3 में से 4 अवसरों के साथ हिट करने के लिए जाना जाता है, जबकि किसी अन्य व्यक्ति को लक्ष्य को 2 में से 3 अवसरों के साथ हिट करने के लिए जाना जाता है। यह पता करें कि क्या दोनों लोग प्रयास कर रहे हैं या नहीं, तो उस लक्ष्य पर चोट की संभावना है।

उपाय:

 पहले व्यक्ति द्वारा लक्षित हिट की संभावना = पी (ए) = 3/4

दूसरे व्यक्ति = पी (बी) = 2/3 द्वारा निशाना साधने की संभावना

दोनों घटनाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं, क्योंकि दोनों व्यक्तियों ने एक ही लक्ष्य = P (A या B) को मारा

= P (A PB) = P (A) + P (B) -P (A )B)

= पी (ए) + पी (बी) पी (ए) पी (बी)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

उदाहरण: If  A  और B दो घटनाएँ ऐसी हैं कि P(A)=0.4 , P(A+B)=0.7 और P(AB)=0.2 तो P(B) ?

उपाय: चूँकि हमारे पास P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB) है

=> 0.7 = 0.4 + पी (बी) -0.2

=> पी (बी) = 0.5

उदाहरण: कार्ड के एक पैकेट से एक कार्ड मनमाने तरीके से चुना जाता है। कार्ड के लाल रंग के कार्ड या रानी होने की क्या संभावना है।

उपाय: आवश्यक संभावना है

पी (रेड + क्वीन) -पी (रेड Red क्वीन)

= पी (रेड) + पी (क्वीन) -पी (रेड) क्वीन)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

उदाहरण: यदि परीक्षण में X के विफल होने की संभावना 0.3 है और Y की संभावना 0.2 है, तो इस बात की संभावना ज्ञात करें कि X या Y परीक्षण में विफल रहे हैं?

उपाय: यहां P(X)=0.3 , P(Y)=0.2 है

अब P(X ∪ Y)= P(X) +P(Y) -P(X ⋂ Y)

चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए

P (X ⋂ Y) = P (X)। पी (वाई)

इस प्रकार आवश्यक संभावना 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44 है

उदाहरण: भौतिकी में असफल होने की संभावना 20% है और गणित में असफल होने की संभावना 10% है। कम से कम एक विषय में असफल होने की संभावनाएं क्या हैं?

उपाय: माना P(A) =20/100=1/5, P(B) =10/100=1/10

चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं और हमें खोजना होगा 

P (A (B) = P (A) + P (B) -P (A)। पी (बी)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

तो एक विषय में फेल होने का मौका (14/50) X 100 = 28% है

उदाहरण: तीन छात्रों द्वारा एक प्रश्न हल करने की प्रायिकता क्रमशः 1/2,1/4, और 1/6 है। प्रश्न का उत्तर देने की संभावित संभावना क्या होगी?

उपाय:

(i) यह प्रश्न एक छात्र भी हल कर सकता है

(ii) इस प्रश्न का उत्तर दो छात्रों द्वारा समवर्ती रूप से दिया जा सकता है।

(iii) इस प्रश्न का उत्तर तीन छात्रों द्वारा एक साथ दिया जा सकता है।

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (A (B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [A (.P) (B) + P (B) .P (C) + P (C)। P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

उदाहरण: एक यादृच्छिक चर X में प्रायिकता वितरण है

घटनाओं E ={X अभाज्य संख्या है} और F={X<4} के लिए, P(E ∪ F) की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उपाय:

E = {X एक अभाज्य संख्या है}

P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62

एफ = {एक्स <4}, पी(एफ) =पी(1)+पी(2)+पी(3)=0.50

और P(E ⋂ F) = P(2)+ P(3) =0.35

P (E (F) = P (E) + P (F) - P (E) F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

उदाहरण: तीन सिक्के उछाले गए। यदि उनमें से एक सिक्के पर पूँछ दिखाई देती है, तो तीनों सिक्कों में पूँछ दिखाई देने की संभावित सम्भावना क्या होगी?

उपाय: विचार करना E यह वह घटना है जहां तीनों सिक्कों की पूँछ दिखाई देती है F वह घटना है जहां एक सिक्का पूंछ दिखाई देता है। 

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

और ई = {टीटीटी}

आवश्यक संभावना = पी (ई / एफ) = पी (ई / एफ) / पी (ई) = १ / P

कुल संभावना और बे का नियम

कुल संभावना का नियम:

नमूना स्थान S और n परस्पर अनन्य और संपूर्ण घटनाओं के लिए E₁ E₂ …।इ_n एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित। यदि X एक विशिष्ट घटना है जो ई घटनाओं के साथ होती है₁ या ई₂ या या E_n, तो 

बे का नियम: 

विचार करना S एक नमूना स्थान और ई हो₁, ई₂, …..इ_n be n असंगत (या परस्पर अनन्य) घटनाएँ ऐसी हैं

और पी(ई_i) > 0 के लिए i = 1,2,…,n

हम सोच सकते हैं E_iप्रयोग के परिणाम के लिए अग्रणी कारक के रूप में। संभावनाएं P(E_i), i = 1, 2,… .., n पूर्व (या पहले) संभावनाओं के रूप में जाना जाता है। यदि घटना एक्स के परिणाम में मूल्यांकन निकलता है, जहां P(X)> 0. तब हमें इस संभावना का अनुभव करना होगा कि कथित घटना X कारण के कारण थी E_i, यही है, हम सशर्त संभाव्यता पी (ई) की तलाश करते हैं_i/एक्स) । इन संभावनाओं को पश्च संभावनाओं के रूप में जाना जाता है, जो बे के नियम द्वारा दी गई है

उदाहरण: 3 बक्से हैं, जिनमें 2 नीले और 3 हरे पत्थर शामिल हैं; क्रमशः 4 नीले और 1 हरे रंग के पत्थर और 3 नीले और 7 हरे रंग के पत्थर। एक संगमरमर को बक्से में से एक पर यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है और हरे रंग की गेंद लगती है। फिर क्या संभावना है कि यह बॉक्स से खींचा गया जिसमें सबसे अधिक हरे पत्थर थे।

उपाय: निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:

ए -> संगमरमर खींचा हरा है;

E₁ -> बॉक्स 1 चुना जाता है;

E₂ बॉक्स 2 को चुना गया है

E₃ बॉक्स 3 चुना गया है.

पी.ई₁) = पी (ई₂) = पी (ई₃) = 1/3, पी (ए / ई₁) = 3/5

फिर

P (A / E)₂)=1/5, पी(ए/ई₃) = 7/10

आवश्यक संभावना = पी (ई)₃/ए)

पी.ई₃)पी(ए/ई₃)/पी.ई₁)पी(ए/ई₁)+पी(ई₂)पी(ए/ई₂)+पी(ई₃)पी(ए/ई₃) = 7/15

उदाहरण: प्रवेश परीक्षा में बहुविकल्पीय प्रश्न होते हैं। प्रत्येक प्रश्न के चार संभावित सही उत्तर हैं जिनमें से एक सही है। किसी छात्र द्वारा किसी विशेष प्रश्न का सही उत्तर समझने की संभावित संभावना 90% है। यदि उसे किसी विशेष प्रश्न का सही उत्तर मिल जाता है, तो वह संभावित संभावना क्या है जिसकी वह भविष्यवाणी कर रहा था।

उपाय: हम निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित करते हैं:

A₁ : वह जवाब जानता है।

A₂ : वह जवाब नहीं जानता होगा।

ई: वह सही उत्तर से अवगत है।

P (A)₁) =9/10, पी(ए₂) =1-9/10=1/10, P(E/A₁) = 1,

पी(ई/ए₂) = 1/4

तो अपेक्षित संभावना

उदाहरण: बाल्टी A जिसमें 4 येलो और 3 ब्लैक मार्बल्स और बकेट शामिल हैं B जिसमें 4 ब्लैक और 3 यलो मार्बल्स हैं। एक बाल्टी को यादृच्छिक पर लिया जाता है और एक संगमरमर खींचा जाता है और नोट किया जाता है कि यह पीला है। क्या संभावना है कि यह बकेट आता है B.

उपाय: यह बे के प्रमेय पर आधारित है। 

उठाया बाल्टी की संभावना A , पी(ए)=1/2

उठाया बाल्टी की संभावना B , पी (बी) = 1/2

बाल्टी से पीली संगमरमर की संभावना A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

बाल्टी से पीली संगमरमर की संभावना B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

पीले मार्बल्स की कुल संभावना=(2/7)+(3/14)=1/2

इस तथ्य की संभावना कि बाल्टी से पीला पत्थर खींचा जाता है B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

निष्कर्ष:

 इस लेख में हम मुख्य रूप से चर्चा करते हैं: सशर्त संभाव्यता और बेयस प्रमेय उदाहरण सहित इनमें से परीक्षण के प्रत्यक्ष और आश्रित परिणाम पर हम अब तक लगातार लेखों में चर्चा करते हैं, हम यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता और संभाव्यता सिद्धांत से संबंधित कुछ परिचित शब्दों पर चर्चा करेंगे, यदि आप आगे पढ़ना चाहते हैं तो इसके माध्यम से जाएं:

Schaum की संभावना और सांख्यिकी और डब्ल्यू की रूपरेखाikipedia पेज.

आगे के अध्ययन के लिए, कृपया हमारे संदर्भ लें गणित पृष्ठ.

डॉ मोहम्मद माझर उल हक

मैं डीआर हूं. मोहम्मद मजहर उल हक. मैंने अपनी पीएच.डी. पूरी कर ली है। गणित में और गणित में सहायक प्रोफेसर के रूप में कार्यरत। अध्यापन में 12 वर्ष का अनुभव होना। शुद्ध गणित, विशेषकर बीजगणित में व्यापक ज्ञान होना। समस्या के डिजाइन और समाधान की अपार क्षमता रखते हैं। उम्मीदवारों को अपना प्रदर्शन बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सक्षम।
मुझे शुरुआती और विशेषज्ञों के लिए गणित को सरल, रोचक और स्वयं व्याख्यात्मक बनाने के लिए लैम्ब्डेजिक्स में योगदान करना पसंद है।